Teorema de Picard-Lindelöf

El teorema de Picard-Lindelöf (muchas veces llamado simplemente teorema de Picard, otras teorema de Cauchy-Lipschitz o teorema de existencia y unicidad) es un resultado matemático de gran importancia dentro del estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Establece bajo qué condiciones puede asegurarse la existencia y unicidad de solución de una EDO dado un problema de Cauchy (problema de valor inicial).

Historia

El estudio y desarrollo del Teorema de Picard-Lindelöf se realizó entre los años 1820 y 1900 y se llevó a cabo por Cauchy, Liouville, Lipschitz, Picard y Lindelöf:

• Entre 1820 y 1830, Cauchy probó que dada una función continua $f$ tal que existe la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}$ y además es continua en cierta región $D\subset {ℝ}^2$ relacionada con el punto $(t_0,x_0)$, entonces existe un intervalo $I\ni t_0$ tal que el problema de valores iniciales

posee una única solución definida en $I$.

• En 1838, Liouville simplificó la prueba de Cauchy introduciendo el método de aproximaciones sucesivas, que más tarde se conocerían como iteraciones de Picard.
• En 1876, Lipschitz mejoró el resultado de Cauchy, sustituyendo la condición sobre $\frac{\partial f}{\partial x}$ por una menos fuerte, conocida como condición de Lipschitz.
• Posteriormente, siguiendo las mismas ideas dadas por Liouville y Lipschitz, todo lo anterior fue ligeramente mejorado y generalizado por Picard (1890) y Lindelöf (1893). Es por ello, que el teorema debe su nombre al matemático francés Picard y al topólogo finlandés quien enunció la teoría de Picard tras su muerte.

Teorema

Enunciado general

De hecho, el parámetro $\alpha$ puede ser encontrado de manera explícita, en la demostración se dan detalles de ello.

Enunciado con más restricciones

El resultado anterior exige los requisitos mínimos que debe cumplir una función si queremos aplicar el teorema. Añadiendo más condiciones al enunciado original, podemos dar este otro más sencillo: "Sea $f:[a,b]\times {ℝ}^n\to {ℝ}^n$ una función Lipschitz. Entonces, dados $(t_0,x_0)\in [a,b]\times {ℝ}^n$" existe una única solución $x(t)$ del problema de valor inicial

definida $\mathrm{\forall }t\in [a,b]$".

Observación

Es importante observar que el teorema de Picard sólo nos garantiza la existencia y unicidad local de la solución de una EDO. Es decir, más allá del intervalo proporcionado por el teorema (dado que su demostración es constructiva) no podemos decir nada, en principio, del comportamiento de la solución del problema de valor inicial. Es posible complementar el teorema señalando que existe un intervalo abierto, que llamaremos intervalo maximal en el cual puede garantizarse que la solución existe y es única; fuera de este intervalo, el teorema de Picard no puede aplicarse.

Optimización del intervalo de la solución

Ahora bien, hay un corolario del teorema del punto fijo de Banach que nos dice que si un operador $T^n$ es contractivo para alguna potencia $n\in \mathbb{N}$ entonces $T$ tiene un único punto fijo. Intentaremos aplicar este resultado al operador de Picard. Pero antes veamos un pequeño lema que nos será muy útil para aplicar el anterior corolario.

Iteración de Picard

El método de aproximaciones sucesivas de Picard es un método iterativo para obtener una solución a una EDO. Dicha construcción iterativa se podrá realizar según la expresión Plantilla:Ecuación Este método constructivo es posible gracias al teorema del punto fijo de Banach.

Ejemplos y Contraejemplos

Ejemplo

Dado $(t_0,x_0)\in {ℝ}^2$, consideramos el problema Plantilla:Ecuación

Para estudiar la existencia y unicidad de solución, definimos $C_{a,b}:=[t_0-a,t_0+a]\times [x_0-b,x_0+b]$ para ciertos valores $a,b\in ℝ$ tales que $a>0$ y $b>0$, y basta con ver que $f(t,x)=(t^2-1)x^3$ es Lipschitz respecto de su segunda variable en $C_{a,b}$. Para ello tomamos dos puntos cualesquiera $(t,x)$, $(t,y)\in C_{a,b}$ y, usando el Teorema del valor medio, obtenemos

$|f(t,x)-f(t,y)|=|t^2-1||x^3-y^3|=|(t^2-1)||3{\epsilon }^2||x-y|$ para cierto $\epsilon \in (x_0-b,x_0+b).$

Acotando $|(t^2-1)|\le \underset{t\in [t_0-a,t_0+a]}{\max }|(t^2-1)|$ y $3{\epsilon }^2\le \underset{x\in [x_0-b,x_0+b]}{\max }|3x^2|$ vemos que $f$ es Lipschitz en $C_{a,b}$ y, por el Teorema de Picard-Lindelöf, existe una única solución local para el problema Plantilla:Ecuación

Contraejemplo

Dada la ecuación diferencial $x^{\prime }=e^t\sqrt{x}$ queremos comprobar si se cumplen las hipótesis del Teorema de Picard-Lindelöf. Dado $(t_0,x_0)\in ℝ\times [0,+\mathrm{\infty })$, definimos $C_{a,b}$ como el ejemplo anterior, y veamos si se cumple la condición de Lipschitz:

• Si $x_0>0$, entonces, en $C_{a,b}$ podemos elegir $b>0$ tal que $x_0-b>0$. Como en $[x_0-b,x_0+b]$ la función $\sqrt{x}$ es $C^1$, de manera análoga al ejemplo anterior existe una constante $L_{x_0}$ tal que $|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\le L_{x_0}|x-y|$ $\mathrm{\forall }x,y\in [x_0-b,x_0+b]$, por lo que hay existencia y unicidad de solución local.

• Sin embargo, si $x_0=0$ cualquier entorno de dicho punto contendrá el 0, donde $\sqrt{x}$ no es Lipschitz. Por lo tanto, no se puede garantizar unicidad local. De hecho, dos soluciones del PVI con condición inicial $x(t_0)=0$ son $x(t)\equiv 0$ y $x(t)=(e^t-1{)}^2/4.$

Teoremas de existencia relacionados

• El Teorema de existencia de Peano garantiza existencia, pero no unicidad. Se asume solo que $f$ es continua pero a diferencia del Teorema de Picard Lindelöf no se requiere que la función sea localmente Lipschitz respecto a su segunda variable.
• El Teorema de existencia de Carathéodory es aún más general. Este teorema es una generalización del Teorema de Peano que no requiere que la función $f$ sea continua por la derecha. Se puede utilizar para garantizar la existencia (pero no unicidad) de soluciones de ecuaciones diferenciales discontinuas.

Véase también

• Ecuación diferencial ordinaria
• Problema de Cauchy
• Función lipschitziana
• Método de aproximaciones sucesivas de Picard
• Teorema del punto fijo de Banach
• Teorema de existencia de Peano
• Teorema de existencia de Carathéodory

Referencias

Bibliografía

• Plantilla:Citation.
• E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 116, 1894, pp. 454–457. Digitized version en línea via http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table . (In that article Lindelöf discusses a generalization of an earlier approach by Picard.)
• Plantilla:Cita libro
• Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. M.L.Krasnov, A.I.Kiseliov, G.I.Makárenko. Editorial URSS. ISBN 5-354-01099-3
• E.A. Coddington. An Introduction to Ordinary Differential Equations. Dover, 1989.
• G.F. Simmons. Differential Equations with applications and historical notes. McGraw-Hill, 1993.
• Martínez, Alejandro; Mesa, Fernando; González, José. Ecuaciones diferenciales ordinarias, Una introducción. Ecoe Ediciones, 2012.

Enlaces externos

• Cauchy-Lipschitz theorem en Encyclopaedia of Mathematics. (en inglés)
• Fixed Points and the Picard Algorithm (en inglés)
• Picard Iteration (en inglés)
• Demostración del teorema de Picard–Lindelöf (en inglés)
• Ejemplo del uso del Teorema de Picard
• Diccionario biográfico de matemáticos (pdf)
• Introducción a la Teoría de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Daniel Azagra Rueda (pdf)