Teorema de convolución

En matemática, el teorema de convolución establece que, bajo determinadas circunstancias, la transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto (o producto Hadamard) de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).

Sean $f$ y $g$ dos funciones cuya convolución se expresa con $f\ast g$. (notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo $\otimes$). Sea $ℱ$ el operador de la transformada de Fourier, con lo que $ℱ[f]$ y $ℱ[g]$ son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.

Entonces

$ℱ[f*g]=\sqrt{2\pi }(ℱ[f])\cdot (ℱ[g])$

donde · indica producto punto a punto. También puede afirmarse que:

$ℱ[f\cdot g]=\frac{ℱ[f]*ℱ[g]}{\sqrt{2\pi }}$

Aplicando la transformada inversa de Fourier ${ℱ}^{-1}$, podemos escribir:

$f*g=\sqrt{2\pi }{ℱ}^{-1}[ℱ[f]\cdot ℱ[g]]$

Demostración

La demostración funciona para normalizaciones unitarias y no unitarias de la transformada de Fourier, pero en la versión unitaria tiene factores extras de $\sqrt{2\pi }$ que son inconvenientes aquí. Sean $f,g\in L^1({ℝ}^n)$

Sean $F$ la transformada de Fourier de $f$ y $G$ la transformada de Fourier de $g$:

$F(\omega )=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }dx$

$G(\omega )=\underset{{ℝ}^n}{\int }g(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }dx$.

Sea $h$ la convolución de $f$ y $g$

$h(z)=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)g(z-x)\mathrm{d}x.$

Nótese que

$\int \int |f(z)g(x-z)|dxdz=\int |f(z)|\int |g(z-x)|dxdz=\int |f(z)|\Vert g{\Vert }_{1}dz=\Vert f{\Vert }_1\Vert g{\Vert }_1.$

Del teorema de Fubini tenemos que $h\in L^1({ℝ}^n)$, así que su transformada de Fourier está definida. Sea $H$ la transformada de Fourier de $h$:

$H(\omega )=\underset{{ℝ}^n}{\int }h(z)e^{-2\pi iz\cdot \omega }dz=\underset{{ℝ}^n}{\int }\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)g(z-x)dx{e}^{-2\pi iz\cdot \omega }dz.$

Obsérvese que $|f(x)g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \omega }|=|f(x)g(z-x)|$ y gracias al argumento de arriba podemos aplicar nuevamente el teorema de Fubini:

$H(\omega )=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)(\underset{{ℝ}^n}{\int }g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \omega }dz)dx.$

Sustituyendo $y=z-x$; tenemos $dy=dz$, y por lo tanto:

$H(\omega )=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)(\underset{{ℝ}^n}{\int }g(y)e^{-2\pi i(y+x)\cdot \omega }dy)dx$

$=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }(\underset{{ℝ}^n}{\int }g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }dy)dx$

$=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }dx\underset{{ℝ}^n}{\int }g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }dy.$

Estas dos integrales son las definiciones de $F(\omega )$ y $G(\omega )$, así que:

$H(\omega )=F(\omega )\cdot G(\omega ).$

Que es lo que queríamos demostrar.