Teorema de la PAQ-reducción

El teorema de la $PAQ$-reducción afirma que dada una matriz $A$ de orden $m\times n$ existen dos matrices cuadradas $P$ de orden $m$ y $Q$ de orden $n$ tales que $PAQ$ es una matriz que depende de la dependencia o independencia lineal de las filas y columnas de $A$.

El teorema garantiza la existencia de las matrices $P$ y $Q$, y, dicho de otro modo, la matriz producto $PAQ$ es una matriz que está formada por un bloque con la matriz identidad y ceros a la derecha y debajo. Es decir, es de la forma

$$PAQ=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{Id}}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\in {ℳ}_{m\times n}(𝕂),$$

donde ${\mathrm{Id}}_r$ denota la matriz identidad de orden $r$.

El tamaño de la matriz identidad depende de $A$, de la dependencia de las filas y columnas, es decir, que el rango de $A$ es $r$.

Cálculo de $P$ y $Q$

Para realizar el cálculo de $P$ y $Q$ hay que seguir lo siguiente:

Se coloca $A$ junto a la matriz identidad a la derecha, y se realizan cambios por filas hasta que quede reducida por filas. La matriz resultante (que inicialmente era la identidad) es la matriz $P$:

$$(A\mid {\mathrm{Id}}_m)\sim (A^{\prime }\mid P)$$

Con la matriz reducida por filas, se coloca la matriz identidad debajo, y se realizan cambios esta vez por columnas. En ese paso debería quedar la matriz escalonada reducida. La matriz resultante de haber realizado estos cambios (inicialmente la identidad) es $Q$:

$$\left(\begin{array}{c}{A}^{\prime }\\ {\mathrm{Id}}_n\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{c}{A}^{″}\\ Q\end{array}\right)$$

Observación: $P$ y $Q$ no son únicas.

Por ejemplo, si $A\in {ℳ}_{n\times n}(𝕂)$, $A\ne {\mathrm{Id}}_n$, es invertible, podemos escoger $P=A^{-1}$ y $Q={\mathrm{Id}}_n$ o $P={\mathrm{I}\mathrm{d}}_n$ y $Q=A^{-1}$ y obtenemos dos $PAQ$-reducciones diferentes para $A$.

Véase también

• Rango (álgebra lineal)
• Dependencia e independencia lineal