Óvalo de Cassini

En matemáticas, el óvalo de Cassini es un conjunto de puntos en un plano, de tal manera que es constante el producto de las distancias desde cada punto $p$ en el óvalo a otros dos puntos fijos $q_{1}$ y $q_{2}$ , que se encuentran a una distancia de $2 a$ , llamados focos de óvalo. Esta constante viene dada por $b^{2}$ . Los óvalos de Cassini llevan ese nombre por el astrónomo Giovanni Doménico Cassini.

Ecuaciones

Si los focos son (a, 0) y (−a, 0), la ecuación en forma cartesiana del óvalo de Cassini es:

(x^{2} + y^{2})^{2} - 2 a^{2} (x^{2} - y^{2}) + a^{4} = b^{4}

La ecuación polar de los Óvalos de Cassini es:

r^{4} + a^{4} - 2 a^{2} r^{2} \cos 2 θ = b^{4}

La forma del óvalo depende de la proporción e = b/a, llamada excentricidad. Cuando e > 1, el lugar geométrico es una única vuelta conectada. Si e < 1, el lugar comprende dos vueltas desconectadas. Si e = 1 la curva se denomina lemniscata de Bernoulli.

Los óvalos de Cassini se pueden considerar como secciones planas de un toro, o como curvas de nivel de una superficie de Cassini.