Ver el código de «Constante de Fransén–Robinson»

La '''constante Fransén–Robinson''', a veces denotada como ''F'', es la [[constante matemática]] que representa el area entre el gráfico de la [[función gamma inversa]], {{math|1/&Gamma;(''x'')}}, y el eje ''x'' positivo. Esto es,

:<math>F = \int_0^\infty \frac{1}{\Gamma(x)}\,dx = 2.8077702420285...</math>

==Otras expresiones==
La constante de Fransén–Robinson constant tiene el valor numérico {{nowrap|''F'' {{=}} 2.8077702420285...}} {{OEIS|id=A058655}}, y una representación en forma de [[fracción continua]] [2; 1, 4, 4, 1, 18, 5, 1, 3, 4, 1, 5, 3, 6, ...] {{OEIS|id=A046943}}. La constante es algo cercana al [[número de Euler]], {{nowrap|''e'' {{=}} 2.71828... .}}  Este hecho se puede explicar por medio de la aproximación de la integral por una suma:

:<math>F = \int_0^\infty \frac{1}{\Gamma(x)}\,dx \approx \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\Gamma(n)} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!},</math>

y esta suma es la definición estándar de serie para ''e''. La diferencia es

:<math>F - e = \int_0^\infty \frac{e^{-x}}{\pi^2 + (\ln x)^2}\,dx</math>

o equivalentemente

:<math>F = e + \frac{1}{\pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{\pi \tan \theta} e^{-e^{\pi \tan \theta}}\,d\theta.</math>

La constante Fransén–Robinson puede también expresarse usando la [[función de Mittag-Leffler]] como el límite

:<math>F = \lim_{\alpha \to 0} \alpha E_{\alpha, 0}(1).</math>

Sin embargo se desconoce si ''F'' se puede expresar de [[Forma cerrada (matemática)|forma cerrada]] en términos de otras constantes conocidas.

==Historia de su cálculo ==
Se ha hecho un gran esfuerzo para calcular el valor numérico de la constante de Fransén-Robinson con gran precisión.

El valor fue calculado con 36&nbsp; cifras decimales por Herman P. Robinson usando la [[cuaddratura de Newton–Cotes]] 11&nbsp;puntos, con 65&nbsp;dígitos por A. Fransén usando la [[fórmula de Euler-Maclaurin]], y a 80&nbsp;dígitos por Fransén y S. Wrigge usando [[serie de Taylor|series de Taylor]] y otros métodos. William A. Johnson calculó 300&nbsp;dígitos, y Pascal Sebah pudo calcular 1025&nbsp;dígitos usando [[cuadratura de Clenshaw–Curtis|integración de Clenshaw–Curtis]].<ref>{{cite web |last1=Gourdon |first1=Xavier |last2=Pascal |first2=Sebah |title=Constants and Records of Computation |url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html |website=Numbers, constants and computation |access-date=2022-07-03}}</ref>

==Referencias==
{{Reflist}}
* {{cite journal |first1=Arne |last1=Fransen |title=Accurate determination of the inverse Gamma integral |journal=BIT |volume=19 |issue=1 |pages=137–138 |mr=0530126 |doi=10.1007/BF01931232 |year=1979|s2cid=122091723 }}
* {{cite journal |first1=Arne |last1=Fransen |first2=Staffan |last2=Wrigge |title=High-Precision values of the Gamma function and of some related coefficients |journal=Mathematics of Computation |volume=34 |issue=150 |pages=553–566 |year=1980 |mr=0559204 |doi=10.2307/2006104|jstor=2006104 }}
* {{cite journal |first1=Arne |last1=Fransen |title=Addendum and corrigendum to "High-Precision values of the Gamma function and of some related coefficients" |journal=[[Mathematics of Computation]] |volume=37 |issue=155 |pages=233–235 |year=1981 |mr=0616377 |doi=10.2307/2007517|jstor=2007517 }}
* {{cite web |first1=Steve |last1=Finch |url=http://www.mathsoft.com/mathsoft_resourcesmathsoft_constants/Number_Theory_Constants/2030.asp |title=Fransén–Robinson Constant }} {{dead link|date=May 2010}}
* {{MathWorld|urlname=Fransen-RobinsonConstant|title=Fransén–Robinson Constant}}
* {{cite book |last1=Borwein |first1=Jonathan |first2=David |last2=Bailey |first3=Roland |last3=Girgensohn |title=Experimentation in Mathematics – Computational Paths to Discovery |publisher=A. K. Peters |year=2003 |isbn=1-56881-136-5 |page=288}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Constantes matemáticas]]
[[Categoría:Funciones gamma y relacionadas]]