Constante de Fransén–Robinson

La constante Fransén–Robinson, a veces denotada como F, es la constante matemática que representa el area entre el gráfico de la función gamma inversa, Plantilla:Math, y el eje x positivo. Esto es,

F = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{Γ (x)} d x = 2.8077702420285 . . .

Otras expresiones

La constante de Fransén–Robinson constant tiene el valor numérico Plantilla:Nowrap Plantilla:OEIS, y una representación en forma de fracción continua [2; 1, 4, 4, 1, 18, 5, 1, 3, 4, 1, 5, 3, 6, ...] Plantilla:OEIS. La constante es algo cercana al número de Euler, Plantilla:Nowrap Este hecho se puede explicar por medio de la aproximación de la integral por una suma:

F = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{Γ (x)} d x \approx \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{Γ (n)} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!},

y esta suma es la definición estándar de serie para e. La diferencia es

F - e = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- x}}{π^{2} + (\ln x)^{2}} d x

o equivalentemente

F = e + \frac{1}{π} \int_{- π / 2}^{π / 2} e^{π \tan θ} e^{- e^{π \tan θ}} d θ .

La constante Fransén–Robinson puede también expresarse usando la función de Mittag-Leffler como el límite

F = \lim_{α \to 0} α E_{α, 0} (1) .

Sin embargo se desconoce si F se puede expresar de forma cerrada en términos de otras constantes conocidas.

Se ha hecho un gran esfuerzo para calcular el valor numérico de la constante de Fransén-Robinson con gran precisión.

El valor fue calculado con 36 cifras decimales por Herman P. Robinson usando la cuaddratura de Newton–Cotes 11 puntos, con 65 dígitos por A. Fransén usando la fórmula de Euler-Maclaurin, y a 80 dígitos por Fransén y S. Wrigge usando series de Taylor y otros métodos. William A. Johnson calculó 300 dígitos, y Pascal Sebah pudo calcular 1025 dígitos usando integración de Clenshaw–Curtis.^[1]