Ver el código de «Derivada de la aplicación exponencial»

[[Archivo:Poincare.jpg|derecha|mini|En 1899, las investigaciones de [[Henri Poincaré]] sobre la multiplicación sobre grupos en términos algebraicos de Lie lo llevaron a la formulación del [[álgebra envolvente universal]]<ref>{{Harvsp|Schmid|1982}}</ref> ]]

En la teoría de los [[Grupo de Lie|grupos de Lie]], la [[Aplicación exponencial (teoría de Lie)|aplicación exponencial]] es una correspondencia del [[álgebra de Lie]] {{Math|'''g'''}} de un grupo de Lie {{Math|''G''}} sobre {{Math|''G''}}. En el caso de que {{Math|''G''}} sea un [[Grupo de Lie|grupo de Lie matricial]], la aplicación exponencial se reduce a la [[Exponencial de una matriz|matriz exponencial]]. La aplicación exponencial, denotada {{Math|exp:'''g''' → ''G''}}, es [[Función analítica|analítica]] y tiene como [[derivada]] {{Math|{{sfrac|''d''|''dt''}}exp(''X''(''t'')):T'''g''' → T''G''}}, donde {{Math|''X''(''t'')}} es una [[Ruta (topología)|ruta]] {{Math|''C''<sup>1</sup>}} en el álgebra de Lie, y un [[Diferencial de una función|diferencial]] estrechamente relacionado {{Math|''d''exp:T'''g''' → T''G''}}.<ref name="Rossmann_A">{{Harvsp|Rossmann|2002}} Appendix on analytic functions.</ref> 

La fórmula para obtener {{Math|''d''exp}} fue probada por primera vez por [[Friedrich Schur]] (1891).<ref>{{Harvsp|Schur|1891}}</ref> Más tarde fue elaborada por [[Henri Poincaré]] (1899) en el contexto del problema de expresar la multiplicación de grupos de Lie usando términos algebraicos de Lie.<ref>{{Harvsp|Poincaré|1899}}</ref> También se conoce a veces como la '''fórmula de Duhamel'''. 

La fórmula es importante tanto en matemática pura como aplicada. Entra en pruebas de teoremas como la [[fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff]], y se usa con frecuencia en física,<ref>{{Harvsp|Suzuki|1985}}</ref> tanto en la [[Teoría cuántica de campos|teoría de campos cuánticos]], como en la [[expansión de Magnus]] en [[Teoría perturbacional|la teoría de perturbaciones]] y en la [[teoría de calibre de retículas]]. 

En todo momento, las notaciones {{Math|exp(''X'')}} y {{Math|''e''<sup>''X''</sup>}} se usarán indistintamente para denotar el exponencial dado un argumento, ''excepto'' cuando, como se señaló, las notaciones tienen significados ''distintos''. Aquí se prefiere la notación utilizada en el cálculo para una mejor legibilidad de las ecuaciones. Por otro lado, el estilo {{Math|exp}} es a veces más conveniente para las ecuaciones en línea, y es necesario en las raras ocasiones en las que hay que hacer una distinción real. 

== Declaración ==
La derivada de la aplicación exponencial está dada por<ref name="Rossmann_2">{{Harvsp|Rossmann|2002}} Theorem 5 Section 1.2</ref> {{Caja de ecuación|border|ecuación=<math>\frac{d}{dt}e^{X(t)} = e^{X}\frac{1 - e^{-\mathrm{ad}_{X}}}{\mathrm{ad}_{X}}\frac{dX(t)}{dt}.</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; {{EquationRef|(1)}}|cellpadding=6|color de borde=#0073CF}}

; Explicación 

* {{Math|''X'' {{=}} ''X''(''t'')}} es un camino {{Math|''C''<sup>1</sup>}} (continuamente diferenciable) en el álgebra de Lie con derivada {{Math|''X'' ´(''t'') {{=}} {{sfrac|''dX''(''t'')|''dt''}}}}. El argumento {{Math|''t''}} se omite donde no es necesario. 
* {{Math|ad<sub>''X''</sub>}} es la transformación lineal del álgebra de Lie dada por {{Math|ad<sub>''X''</sub>(''Y'') {{=}} [''X'', ''Y'']}}. Es la [[Representación adjunta de un álgebra de Lie|acción contigua]] de un álgebra de Lie sobre sí misma. 
* La fracción {{Math|{{sfrac|1 − exp(−ad<sub>''X''</sub>)|ad<sub>''X''</sub>}}}} viene dada por la serie de potencias 
::{{NumBlk|:|<math>\frac{1 - e^{-\mathrm{ad}_{X}}}{\mathrm{ad}_{X}} = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k + 1)!}(\mathrm{ad}_X)^k.</math>|{{EquationRef|2}}}}
derivada de la [[serie de potencias]] de la aplicación exponencial de un endomorfismo lineal, como en la exponenciación matricial.<ref name="Rossmann_2">{{Harvsp|Rossmann|2002}} Theorem 5 Section 1.2</ref> 

* Cuando {{Math|''G''}} es un grupo de Lie matricial, todas las ocurrencias de la exponencial están dadas por su [[expansión en serie]] de potencias. 
* Cuando {{Math|''G''}} ''no'' es un grupo de Lie matricial, {{Math|{{sfrac|1 − exp(−ad<sub>''X''</sub>)|ad<sub>''X''</sub>}}}} todavía puede expresarse por su serie de potencias {{NotaEcuación|(2)}}, mientras que las otras dos apariciones de {{Math|exp}} en la fórmula, que se corresponden con la [[Aplicación exponencial (teoría de Lie)|aplicación exponencial en la teoría de Lie]], referida al [[Flujo (matemáticas)|flujo]] de un tiempo del [[campo vectorial]] [[Grupo de Lie|invariante izquierdo]] {{Mvar|X}}, es decir, elemento del álgebra de Lie como se define en el caso general, en el grupo de Lie {{Mvar|G}} visto como una [[variedad analítica]]. Esto todavía equivale exactamente a la misma fórmula que en el caso de la matriz. 
* La fórmula se aplica al caso donde {{Math|exp}} se considera como una aplicación en el espacio de la matriz sobre {{Math|ℝ}} o {{Math|ℂ}} (véase [[Exponencial de una matriz|matriz exponencial]]). Cuando {{Math|''G'' {{=}} GL(''n'', ℂ)}} o {{Math|GL(''n'', ℝ)}}, las nociones coinciden exactamente. 

Para calcular el '''diferencial''' {{Math|''d''exp}} de {{Math|exp}} en {{Math|''X''}}, {{Math|''d''exp<sub>''X''</sub>:T'''g'''<sub>''X''</sub> → T''G''<sub>exp(''X'')</sub>}}, empleando la fórmula estándar<ref name="Rossmann_A">{{Harvsp|Rossmann|2002}} Appendix on analytic functions.</ref> 

: <math>d\exp_XY = \left .\frac{d}{dt}e^{Z(t)}\right|_{t = 0}, Z(0) = X, Z'(0) = Y</math>

Con {{Math|''Z''(''t'') {{=}} ''X'' + ''tY''}} el resultado<ref name="Rossmann_2">{{Harvsp|Rossmann|2002}} Theorem 5 Section 1.2</ref>
{{NumBlk|:|<math>d\exp_XY = e^{X}\frac{1 - e^{-\mathrm{ad}_{X}}}{\mathrm{ad}_{X}}Y</math>|{{EquationRef|3}}}}
se sigue inmediatamente de {{NotaEcuación|(1)}}. En particular, {{Math|''d''exp<sub>0</sub>:T'''g'''<sub>0</sub> → T''G''<sub>exp(0)</sub> {{=}} T''G''<sub>''e''</sub>}} es la identidad porque {{Math|T'''g'''<sub>''X''</sub> ≃ '''g'''}} (ya que {{Math|'''g'''}} es un [[espacio vectorial]]) y {{Math|T''G''<sub>''e''</sub> ≃ '''g'''}}.

== Demostración ==
La prueba dada a continuación asume un grupo de Lie matricial. Esto significa que la aplicación exponencial del álgebra de Lie al grupo de Lie matricial está dado por la serie de potencias habitual, es decir, la exponenciación de la matriz. La conclusión de la prueba aún se mantiene en el caso general, siempre que cada aparición de {{Math|exp}} se interprete correctamente. Véanse los comentarios sobre el caso general que figuran más adelante. 

El esquema de la demostración hace uso de la técnica de diferenciación con respecto a {{Math|''s''}} de la expresión parametrizada 

: <math>\Gamma(s, t) = e^{-sX(t)}\frac{\partial}{\partial t}e^{sX(t)}</math>

para obtener una ecuación diferencial de primer orden para {{Math|Γ}} que luego se puede resolver mediante la integración directa en {{Mvar|s}}. La solución es entonces {{Math|''e''<sup>''X''</sup> Γ(1, t)}}. 

'''Lema'''<br />
Sea {{math|Ad}} la [[representación adjunta]] del grupo respecto a su álgebra de Lie. La acción está dada por {{Math|Ad<sub>''A''</sub>''X'' {{=}} ''AXA''<sup>−1</sup>}} para {{Math|''A'' ∈ ''G'', ''X'' ∈ '''g'''}}. Una relación habitualmente utilizada entre Ad y ad se expresa como<ref>{{Harvsp|Hall|2015}} Proposition 3.35</ref><ref group="nb">Una prueba de la identidad puede encontrarse [[Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff|aquí]]. La relación es simplemente la que existe entre una representación de un grupo de Lie y su álgebra de Lie según la [[Correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie|correspondencia de Lie]], dado que tanto {{Math|Ad}} como {{Math|ad}} son representaciones con {{Math|ad {{=}} ''d''Ad}}.</ref>

{{Caja de ecuación|border|indent=:|equation=<math>\mathrm{Ad}_{e^X} = e^{\mathrm{ad}_X}, ~~X \in \mathfrak{g}~.</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; {{EquationRef|(4)}}|cellpadding=6|border colour=#0073CF}}

'''Demostración'''<br />
Usando la regla del producto dos veces, se obtiene que 

: <math>\frac{\partial\Gamma}{\partial s} = e^{-sX}(-X)\frac{\partial}{\partial t}e^{sX(t)} + e^{-sX}\frac{\partial}{\partial t}[X(t)e^{sX(t)}] = e^{-sX}\frac{dX}{dt}e^{sX}.</math>

Entonces se observa que 

: <math>\frac{\partial\Gamma}{\partial s} = \mathrm{Ad}_{e^{-sX}}X' = e^{-\mathrm{ad}_{sX}}X',</math>

según se expresa en {{NotaEcuación|(4)}}. Integrando, se obtiene 

: <math>\Gamma(1, t) = e^{-X(t)}\frac{\partial}{\partial t}e^{X(t)} = \int_0^1 \frac{\partial\Gamma}{\partial s}ds = \int_0^1 e^{-\mathrm{ad}_{sX}}X'ds.</math>

Usando la serie de potencias formal para expandir la exponencial, integrando término por término y finalmente reconociendo {{NotaEcuación|(2)}}, 

: <math>\Gamma(1, t) = \int_0^1 \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^ks^k}{k!} (\mathrm{ad}_X)^k\frac{dX}{dt}ds = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k + 1)!}(\mathrm{ad}_X)^k \frac{dX}{dt} = \frac{1-e^{-\mathrm{ad}_X}}{\mathrm{ad}_X}\frac{dX}{dt},</math>

de lo que se obtiene el resultado. La prueba, como se presenta aquí, es esencialmente la que se da en {{Harvtxt|Rossmann|2002}}. Una prueba con un carácter más algebraico se puede encontrar en {{Harvtxt|Hall|2015}}.<ref>Véase también {{Harvsp|Tuynman|1995}}, donde se incluye la demostración de Hall.</ref> 

{{Demostración|título=Aproximación formal directa|Mediante la diferenciación directa de la definición de límite estándar de la exponencial, e intercambiando el orden de diferenciación y límite,
: <math>\begin{align}\frac{d}{dt}e^{X(t)} &= \lim_{N \to \infty}\frac{d}{dt}\left(1+\frac{X(t)}{N}\right)^N\\
&= \lim_{N \to \infty}\sum_{k=1}^N\left(1+\frac{X(t)}{N}\right)^{N-k}\frac{1}{N}\frac{dX(t)}{dt}\left(1+\frac{X(t)}{N}\right)^{k-1}~~~,\end{align}</math>
donde cada factor debe su lugar a la no conmutatividad de {{math|''X''(''t'')}} y {{math|''X'' ´(''t'')}}.

Dividiendo el intervalo de la unidad en secciones {{math|''N''}} {{math|Δ''s'' {{=}} {{sfrac|Δ''k''|''N''}}}} ({{math|Δ''k'' {{=}} 1}} ya que los índices de suma son enteros) y teniendo en cuenta que {{mvar|N}} → ∞, {{math|Δ''k'' → ''dk'', {{sfrac|''k''|''N''}} → ''s''}}, {{math|Σ → ∫}}, resulta que
: <math>\begin{align}\frac{d}{dt}e^{X(t)} &= \int_{0}^1e^{(1-s)X}X'e^{sX}ds\\
&= e^X \int_{0}^1 \mathrm{Ad}_{e^{-sX}} X' ds \\
&= e^X \int_{0}^1 e^{-\mathrm{ad}_{sX}} dsX'\\
&= e^X \frac{1-e^{-ad_X}}{ad_X}\frac{dX}{dt}.
\end{align}</math>
La virtud de una prueba formal como esta es que indica cuál "debe" ser la respuesta correcta , siempre que exista. La existencia debe demostrarse por separado en cada caso.}}

=== Comentarios sobre el caso general ===
La fórmula en el caso general viene dada por<ref>{{Harvsp|Sternberg|2004}} This is equation (1.11).</ref> 

: <math>\frac{d}{dt}\mathrm{exp}(C(t))=\mathrm{exp}(C)\phi(-\mathrm{ad}(C))C~ ',</math>

donde<ref group="nb">Esto permite sostener que<br /><math>\tau(\log z)\phi(-\log z) = 1</math><br />para |z - 1| < 1 donde <br /><math>\tau(w) = \frac{w}{1-e^{-w}}.</math><br />Aquí, {{Math|τ}} es la función exponencial generadora de <br /><math>(-1)^kb_k,</math><br />donde {{Math|''b''<sub>''k''</sub>}} son [[Número de Bernoulli|números de Bernoulli]].</ref> 

: <math>\phi(z)=\frac{e^z-1}{z} = 1 + \frac{1}{2!}z + \frac{1}{3!}z^2 + \cdots,</math>

que se reduce formalmente a 

: <math>\frac{d}{dt}\mathrm{exp}(C(t)) = \mathrm{exp}(C)\frac{1 - e^{-\mathrm{ad}_{C}}}{\mathrm{ad}_{C}}\frac{dC(t)}{dt}.</math>

Aquí la notación {{Math|exp}} se usa para la aplicación exponencial del álgebra de Lie y la notación de cálculo en la fracción indica la expansión formal en serie habitual. Para obtener más información y dos pruebas completas en el caso general, consúltese la referencia de {{Harvtxt|Sternberg|2004}} disponible gratuitamente.

== Aplicaciones ==

=== Comportamiento local de la aplicación exponencial ===
El [[teorema de la función inversa]] junto con la derivada de la aplicación exponencial proporciona información sobre el comportamiento local de {{Math|exp}}. Cualquier {{Math|''C''<sup>''k''</sup>, 0 ≤ ''k'' ≤ ∞, ''ω''}} que aplica {{Math|''f''}} entre espacios vectoriales (considerando primero los grupos de Lie matriciales) tiene un inverso de {{Math|''C''<sup>''k''</sup>}} tal que {{Math|''f''}} es una biyección de {{Math|''C''<sup>''k''</sup>}} en un conjunto abierto alrededor de un punto {{Math|''x''}} en el dominio proporcionado {{Math|''df''<sub>''x''</sub>}} que es invertible. De {{NotaEcuación|(3)}} se deduce que esto sucederá precisamente cuando 

: <math>\frac{1 - e^{\mathrm{ad_X}}}{\mathrm{ad}_X}</math>

es invertible. Esto, a su vez, ocurre cuando los valores propios de este operador son todos distintos de cero. Los valores propios de {{Math|{{sfrac|1 − exp(−ad<sub>''X''</sub>)|ad<sub>''X''</sub>}}}} están relacionados con los de {{Math|ad<sub>''X''</sub>}} de la siguiente manera. Si {{Math|''g''}} es una función analítica de una variable compleja expresada mediante una serie de potencias tal que {{Math|''g''(''U'')}} para una matriz {{Math|''U''}} converge, entonces los valores propios de {{Math|''g''(''U'')}} serán {{Math|''g''(''λ''<sub>''ij''</sub>)}} (donde {{Math|''λ''<sub>''ij''</sub>}} son los valores propios de {{Math|''U''}}, el subíndice doble se aclara a continuación).<ref group="nb">Esto se ve eligiendo una base para el espacio vectorial subyacente de modo que {{Math|''U''}} sea [[Matriz triangular|triangular]], siendo los valores propios los elementos diagonales. Entonces {{Math|''U''<sup>''k''</sup>}} es triangular con elementos diagonales {{Math|''λ''<sub>''i''</sub><sup>''k''</sup>}}. Se deduce que los valores propios de {{Math|''U''}} son {{Math|''f''(''λ''<sub>''i''</sub>)}}. Véase {{Harvsp|Rossmann|2002}}, Lema 6 en la sección 1.2.</ref> En el presente caso con {{Math|''g''(''U'') {{=}} {{sfrac|1 − exp(−''U'')|''U''}}}} y {{Math|''U'' {{=}} ad<sub>''X''</sub>}}, los valores propios de {{Math|{{sfrac|1 − exp(−ad<sub>''X''</sub>)|ad<sub>''X''</sub>}}}} son 

: <math>\frac{1 - e^{-\lambda_{ij}}}{\lambda_{ij}},</math>

donde {{Math|''λ''<sub>''ij''</sub>}} son los valores propios de {{Math|ad<sub>''X''</sub>}}. Poniendo {{Math|{{sfrac|1 − exp(−''λ''<sub>''ij''</sub>)|''λ''<sub>''ij''</sub>}} {{=}} 0}} se ve que {{Math|''d''exp}} es invertible precisamente cuando 

: <math>\lambda_{ij} \ne k2\pi i, k = \pm1, \pm2, \ldots.</math>

Los valores propios de {{Math|ad<sub>''X''</sub>}} están, a su vez, relacionados con los de {{Math|''X''}}. Sean {{Math|''λ''<sub>''i''</sub>}} los valores propios de {{Math|''X''}}. Fijada una base ordenada {{Math|''e''<sub>''i''</sub>}} del espacio vectorial subyacente {{Math|''V''}} de manera que {{Math|''X''}} sea triangular inferior, entonces 

: <math>Xe_i = \lambda_ie_i + \cdots,</math>

con los términos restantes múltiplos de {{Math|''e''<sub>''n''</sub>}} con {{Math|''n'' > ''i''}}. Sea {{Math|''E''<sub>''ij''</sub>}} la base correspondiente para el espacio matricial, es decir {{Math|(''E''<sub>''ij''</sub>)<sub>''kl''</sub> {{=}} ''δ''<sub>''ik''</sub>''δ''<sub>''jl''</sub>}}. Ordénese esta base de manera que {{Math|''E''<sub>''ij''</sub> < ''E''<sub>''nm''</sub>}} si {{Math|''i'' − ''j'' < ''n'' − ''m''}}. Se verifica que la acción de {{Math|ad<sub>''X''</sub>}} viene dada por 

: <math>\mathrm{ad}_XE_{ij} = (\lambda_i - \lambda_j)E_{ij} + \cdots \equiv \lambda_{ij}E_{ij} + \cdots,</math>

con los términos restantes múltiplos de {{Math|''E''<sub>''mn''</sub> > ''E''<sub>''ij''</sub>}}. Esto significa que {{Math|ad<sub>''X''</sub>}} es triangular inferior con sus valores propios {{Math|''λ''<sub>''ij''</sub> {{=}} ''λ''<sub>''i''</sub> − ''λ''<sub>''j''</sub>}} en la diagonal. La conclusión es que {{Math|''d''exp<sub>''X''</sub>}} es invertible, por lo tanto, {{Math|exp}} es una biyección bianalítica local alrededor de {{Math|''X''}}, cuando los valores propios de {{Math|''X''}} satisfacen que<ref>{{Harvsp|Rossman|2002}} Proposition 7, section 1.2.</ref><ref group="nb">Las matrices cuyos valores propios {{Math|''λ''}} satisfacen {{Math|{{!}}Im ''λ''{{!}} < ''π''}} están, bajo la exponencial, en biyección con matrices cuyos valores propios {{Math|''μ''}} no están en la línea real negativa o cero. {{Math|''λ''}} y {{Math|''μ''}} están relacionados por la exponencial compleja. Véase {{Harvtxt|Rossmann|2002}} Observación 2c sección 1.2.</ref> 

: <math>\lambda_i - \lambda_j \ne k2\pi i, \quad k = \pm1, \pm2, \ldots, \quad 1 \le i, j \le n = \mathrm{dim}V.</math>

En particular, en el caso de los grupos de Lie matriciales, se deduce, dado que {{Math|''d''exp<sub>0</sub>}} es invertible, por el [[teorema de la función inversa]], que {{Math|exp}} es una biyección bi-analítica en una vecindad de {{Math|0 ∈ '''g'''}} en el espacio matricial. Además, {{Math|exp}}, es una biyección bi-analítica de una vecindad de {{Math|0 ∈ '''g'''}} en {{Math|'''g'''}} a una vecindad de {{Math|''e'' ∈ ''G''}}.<ref>{{Harvsp|Hall|2015}} Corollary 3.44.</ref> La misma conclusión es válida para los grupos de Lie generales que utilizan la versión múltiple del teorema de la función inversa. 

También se desprende del [[teorema de la función implícita]] que la propia {{Math|''d''exp<sub>''ξ''</sub>}} es invertible para {{Math|''ξ''}} suficientemente pequeño.<ref>{{Harvsp|Sternberg|2004}} Section 1.6.</ref>

=== Deducción de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff ===
Si {{Math|''Z(t)''}} se define de modo que 

: <math>e^{Z(t)}=e^{X} e^{tY},</math>

una expresión para {{Math|''Z''(1) {{=}} log( exp''X'' exp''Y'' )}}, la ''fórmula [[Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff|BCH]]'', se puede deducir de la fórmula anterior, 

: <math>\exp(-Z(t))\frac{d}{dt}\mathrm{exp}(Z(t)) = \frac{1 - e^{-\mathrm{ad}_{Z}}}{\mathrm{ad}_{Z}}Z'(t).</math>

Es fácil ver que su lado izquierdo es igual a ''Y.'' Así, 

: <math> Y= \frac{1 - e^{-\mathrm{ad}_{Z}}}{\mathrm{ad}_{Z}}Z'(t),</math>

y por lo tanto, formalmente,<ref>{{Harvsp|Hall|2015}}Section 5.5.</ref><ref>{{Harvsp|Sternberg|2004}} Section 1.2.</ref> 

: <math>Z'(t)= \frac{\mathrm{ad}_{Z}} {1 - e^{-\mathrm{ad}_{Z}}} Y\equiv 
\psi(e^{\mathrm{ad}_{Z}})Y, \quad \psi(w) = \frac{w\log w}{w - 1} = 1 + \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{m + 1}}{m(m+1)}(w-1)^m, ||w|| < 1.</math>

Sin embargo, utilizando la relación entre {{Math|Ad}} y {{Math|ad}} dada por {{NotaEcuación|(4)}}, es sencillo ver que 

: <math> e^{\mathrm{ad}_{Z}} = e^{\mathrm{ad}_{X}} e^{t\mathrm{ad}_{Y}} </math>

y por lo tanto 

: <math>Z'(t)= \psi(e^{\mathrm{ad}_{X}} e^{t\mathrm{ad}_{Y}})Y.</math>

Poniendo esto en la forma de una integral en ''t'' entre 0 y 1, se obtiene 

: <math>Z(1) = \log(\exp X\exp Y) = X + \left ( \int^1_0 \psi \left ( e^{\operatorname{ad} _X} ~ e^{t \,\text{ad} _ Y}\right ) \, dt \right) \, Y, </math>

una [[Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff|fórmula integral]] para {{Math|''Z''(1)}} que es más manejable en la práctica que la [[Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff|fórmula]] explícita de [[Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff|serie de Dynkin]], debido a la simplicidad de la expansión de la serie de {{Math|''ψ''}}. Téngase en cuenta que esta expresión consiste en {{Math|''X+Y''}} y sus conmutadores anidados con {{Mvar|X}} o {{Mvar|Y}}. Una prueba en este sentido se puede encontrar en los libros de texto de {{Harvtxt|Hall|2015}} y {{Harvtxt|Miller|1972}}. 

=== Deducción de la fórmula en serie de Dynkin ===
[[Archivo:Eugene_Dynkin_2003.jpg|derecha|mini|[[Eugene Dynkin]] en su casa, en 2003. En 1947, Dynkin probó la fórmula explícita de la serie BCH.<ref name="Dynkin">{{Harvsp|Dynkin|1947}}</ref> [[Henri Poincaré|Poincaré]], [[H. F. Baker|Baker]], [[John Edward Campbell|Campbell]] y [[Felix Hausdorff|Hausdorff]] se preocuparon principalmente por la ''existencia'' de una serie de corchetes, que es suficiente en muchas aplicaciones, por ejemplo, para probar resultados centrales en la [[Correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie|correspondencia de Lie]].<ref>{{Harvsp|Rossmann|2002}} Chapter 2.</ref><ref>{{Harvsp|Hall|2015}} Chapter 5.</ref> (Foto cortesía de la Colección Dynkin)]]

La fórmula de Dynkin mencionada también puede derivarse de manera análoga, comenzando por la extensión paramétrica 

: <math>e^{Z(t)}=e^{tX} e^{tY},</math>

de donde 

: <math>e^{-Z(t)} \frac{de^{Z(t)}}{dt}= e^{-t \, \mathrm{ad}_{Y}}X + Y ~,</math>

para que, usando la fórmula general anterior, 

: <math>Z'= \frac{\mathrm{ad}_{Z}} {1 - e^{-\mathrm{ad}_{Z} } } ~ ( e^{-t \, \mathrm{ad}_{Y}}X + Y) = 
 \frac{\mathrm{ad}_{Z}} { e^{\mathrm{ad}_{Z} } -1 } ~ ( X + e^{t \, \mathrm{ad}_{X}}Y) ~.</math>

Como, sin embargo, 

: <math>\begin{align}\mathrm{ad_Z} &= \mathrm{log}(\mathrm{exp(\mathrm{ad}_Z)}) = \mathrm{log}(1 + (\mathrm{exp(\mathrm{ad}_Z) - 1)})\\
&= \sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{(-)^{n+1}}{n} (\exp (\mathrm{ad}_Z) - 1)^n ~, \quad ||\mathrm{ad}_Z|| < \log 2 ~~,\end{align}</math>

el último paso en virtud de la expansión de la [[serie de Mercator]], se deduce que 

{{NumBlk|:|<math>Z'= \sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{(-)^{n-1}}{n} (e^{\mathrm{ad}_Z} - 1)^{n-1} ~ ( X + e^{t \, \mathrm{ad}_{X}}Y)~,</math>|{{EquationRef|5}}}}
y, por lo tanto, integrando, 

: <math>Z(1)=\int^1 _0 dt ~\frac{dZ(t)}{dt} = \sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{(-)^{n-1}}{n} \int^1 _0 dt ~(e^{t \, \mathrm{ad}_{X}} e^{t\mathrm{ad}_{Y}} - 1)^{n-1} ~
 ( X + e^{t \, \mathrm{ad}_{X}}Y)~.</math>

En este punto es evidente que la afirmación cualitativa de la fórmula BCH es válida, a saber, que {{Math|''Z''}} se encuentra en el álgebra de Lie generada por {{Math|''X'', ''Y''}} y se puede expresar como una serie entre paréntesis repetidos ''{{RefEcuación|(A)}}''. Para cada {{Mvar|k}}, los términos de cada partición de los mismos se organizan dentro de la integral {{Math|∫''dt'' ''t<sup>k−1</sup>''}}. La fórmula de Dynkin resultante es entonces {{Caja de ecuación|border|indent=|equation=<math>Z = \sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} \sum_{s \in S_{k}} \frac{1}{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k}\frac{[X^{(i_1)}Y^{(j_1)}\cdots X^{(i_k)}Y^{(j_k)}]}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!}, \quad i_r,j_r \ge 0,\quad i_r + j_r > 0,\quad 1 \le r \le k.</math>|cellpadding=6|border colour=#0073CF}} Para una prueba similar con expansiones de series detalladas, véase {{Harvtxt|Rossmann|2002}}. Para obtener detalles completos, haga clic en "Mostrar" a continuación. 

{{Demostración|título=Detalles combinatorios|
Cámbiese el índice de la suma en {{NotaEcuación|(5)}} a {{Math|''k'' {{=}} ''n'' − 1}} y expándase
{{NumBlk|:|<math>\frac{dZ}{dt} = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{k + 1}\left\{(e^{\mathrm{ad}_{tX}}e^{\mathrm{ad}_{tY}} - 1)^kX + (e^{\mathrm{ad}_{tX}}e^{\mathrm{ad}_{tY}} - 1)^ke^{\mathrm{ad}_{tX}}Y\right\}</math>|{{EquationRef|97}}}}
en una serie de potencias. Para manejar las expansiones de la serie simplemente, considérese primero
{{Math|''Z'' {{=}} log(''e''<sup>''X''</sup>''e''<sup>''Y''</sup>)}}. La serie {{Math|log}} y la serie {{Math|exp}} están dadas por
: <math>\log(A) = \sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k}{(A - I)}^k,\quad \text{y}\quad e^X = \sum_{k = 0}^\infty \frac{X^k}{k!}</math>
respectivamente. Combinando ambas se obtiene
{{NumBlk|:|<math>\log(e^Xe^Y) = \sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k}{(e^Xe^Y - I)}^k =
\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k}\left({\sum_{i = 0}^\infty \frac{X^i}{i!}\sum_{j = 0}^\infty \frac{Y^j}{j!} - I}\right)^k = 
\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} \left(\sum_{i,j \ge 0, i + j > 1}^\infty \frac{X^iY^j}{i!j!} \right)^k.</math>|{{EquationRef|98}}}}
Esto se convierte en
{{Caja de ecuación|border|ecuación=<math>Z = \log(e^Xe^Y) = \sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} \sum_{s \in S_k} \frac{X^{i_1}Y^{j_1}\cdots X^{i_k}Y^{j_k}}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!}, \quad i_r, j_r \ge 0, \quad i_r + j_r > 0, \quad 1 \le r \le k,</math>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; {{EquationRef|(99)}}|cellpadding=6|color de borde=#0073CF}}
donde {{Math|''S''<sub>''k''</sub>}} es el conjunto de todas las secuencias {{Math|''s'' {{=}} (''i''<sub>1</sub>, ''j''<sub>1</sub>, &hellip;, ''i''<sub>''k''</sub>, ''j''<sub>''k''</sub>)}} of length {{Math|2''k''}} sujetas a las condiciones expresadas en {{NotaEcuación|(99)}}.

Ahora, se sustituye {{Math|(''e''<sup>''X''</sup>''e''<sup>''Y''</sup> − 1)}} por {{Math|(''e''<sup>ad<sub>''tX''</sub></sup>''e''<sup>ad<sub>''tY''</sub></sup> − 1)}} en [[Miembro de una ecuación|lado izquierdo]] de {{NotaEcuación|(98)}}. La ecuación {{NotaEcuación|(99)}} entonces proporciona
:<math>\begin{align}\frac{dZ}{dt} = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{k + 1} \sum_{s \in S_k, i_{k+1} \ge 0} &t^{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k}\frac{{\mathrm{ad}_{X}}^{i_1}{\mathrm{ad}_{Y}}^{j_1}\cdots {\mathrm{ad}_{X}}^{i_k}{\mathrm{ad}_{Y}}^{j_k}}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!}X\\
+ &t^{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k + i_{k + 1}}\frac{{\mathrm{ad}_{X}}^{i_1}{\mathrm{ad}_{Y}}^{j_1}\cdots {\mathrm{ad}_{X}}^{i_k}{\mathrm{ad}_{Y}}^{j_k}X^{i_{k+1}}}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!i_{k+1}!}Y, \quad i_r,j_r \ge 0, \quad i_r + j_r > 0,\quad 1 \le r \le k,\end{align} </math>
o, con un cambio de notación, una [[Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff#Formas explícitas|Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff explícita]],

:<math>\begin{align}\frac{dZ}{dt} = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{k + 1} \sum_{s \in S_k, i_{k+1} \ge 0} &t^{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k}\frac{[X^{(i_1)}Y^{(j_1)}\cdots X^{(i_k)}Y^{(j_k)}X]}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!}\\
+ &t^{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k + i_{k+1}}\frac{[X^{(i_1)}Y^{(j_1)}\cdots X^{(i_k)}Y^{(j_k)}X^{(i_{k+1})}Y]}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!i_{k+1}!}, \quad i_r,j_r \ge 0, \quad i_r + j_r > 0, \quad 1 \le r \le k\end{align}.</math>

Nótese que el índice del sumatorio para los elementos más a la derecha {{Math|''e''<sup>ad<sub>''tX''</sub></sup>}} en el segundo término en {{NotaEcuación|(97)}} se denotan como {{Math|''i''<sub>''k'' + 1</sub>}}, pero ''no'' son un elemento de una secuencia {{Math|''s'' ∈ ''S''<sub>''k''</sub>}}. Ahora, integrando {{Math|''Z'' {{=}} ''Z''(1) {{=}} ∫{{sfrac|''dZ''|''dt''}}''dt''}}, imponiendo que {{Math|''Z''(0) {{=}} 0}},

:<math>\begin{align}Z = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{k + 1} \sum_{s \in S_k, i_{k+1} \ge 0} &\frac{1}{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k + 1}\frac{[X^{(i_1)}Y^{(j_1)}\cdots X^{(i_k)}Y^{(j_k)}X]}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!}\\
+ &\frac{1}{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k + i_{k+1} + 1}\frac{[X^{(i_1)}Y^{(j_1)}\cdots X^{(i_k)}Y^{(j_k)}X^{(i_{k+1})}Y]}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!i_{k+1}!}, \quad i_r,j_r \ge 0,\quad i_r + j_r > 0,\quad 1 \le r \le k\end{align}.</math>

escribiendo el resultado anterior como 
:<math>\begin{align}Z = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{k + 1} \sum_{s \in S_k, i_{k+1} \ge 0} &\frac{1}{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k + (i_{k + 1} = 1) + (j_{k+1} = 0)}\frac{[X^{(i_1)}Y^{(j_1)}\cdots X^{(i_k)}Y^{(j_k)}X^{(i_{k + 1} = 1)}Y^{(j_{k+1} = 0)}]}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!(i_{k+1} = 1)!(j_{k+1} = 0)!}\\
+ &\frac{1}{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k + i_{k+1} + (j_{k+1} = 1)}\frac{[X^{(i_1)}Y^{(j_1)}\cdots X^{(i_k)}Y^{(j_k)}X^{(i_{k+1})}Y^{(j_{k+1} = 1)}]}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!i_{k+1}!(j_{k+1} = 1)!}, \quad i_r,j_r \ge 0,\quad i_r + j_r > 0,\quad 1 \le r \le k\end{align}.</math>

Pero esto es igual a
{{NumBlk|:|<math>Z = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{k + 1} \sum_{s \in S_{k+1}} \frac{1}{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k + i_{k + 1} + j_{k+1}}\frac{[X^{(i_1)}Y^{(j_1)}\cdots X^{(i_k)}Y^{(j_k)}X^{(i_{k + 1})}Y^{(j_{k+1})}]}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!i_{k+1}!j_{k+1}!}, \quad i_r,j_r \ge 0,\quad i_r + j_r > 0,\quad 1 \le r \le k + 1,</math>|{{EquationRef|100}}}}

usando la simple observación de que {{Math|[''T'', ''T''] {{=}} 0}} para todo {{Math|''T''}}. Esto es, en {{NotaEcuación|(100)}}, el primer término se desvanece a menos que {{Math|''j''<sub>''k'' + 1</sub>}} sea igual a {{Math|0}} o {{Math|1}}, correspondiente al primer y segundo términos en la ecuación anterior. En el caso {{Math|''j''<sub>''k'' + 1</sub> {{=}} 0}}, {{Math|''i''<sub>''k'' + 1</sub>}} debe ser igual a {{Math|1}}, o en caso contrario el término se desvanece por la misma razón ({{Math|''i''<sub>''k'' + 1</sub>}} {{=}} 0 no está permitido). Finalmente, combinando el índice, {{Math|''k'' → ''k'' − 1}},
{{Caja de ecuación|border|ecuación=<math>Z = \log e^Xe^Y = \sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} \sum_{s \in S_{k}} \frac{1}{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k}\frac{[X^{(i_1)}Y^{(j_1)}\cdots X^{(i_k)}Y^{(j_k)}]}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!},~ i_r,j_r \ge 0,~ i_r + j_r > 0,~ 1 \le r \le k.</math>|cellpadding=6|color de borde=#0073CF}} 
Esta es la fórmula de Dynkin. El llamativo parecido con (99) no es accidental: refleja la '''aplicación de Dynkin-Specht-Wever''', reforzando la deducción original, diferente de la fórmula.<ref name=Dynkin/> Nominalmente, ''si''
:<math>X^{i_1}Y^{j_1}\cdots X^{i_k}Y^{j_k}</math>
es expresable como una serie de paréntesis, entonces necesariamente<ref>{{harvnb|Sternberg|2004}} Chapter 1.12.2.</ref>
{{NumBlk|:|<math>X^{i_1}Y^{j_1}\cdots X^{i_k}Y^{j_k} = \frac{[X^{(i_1)}Y^{(j_1)}\cdots X^{(i_k)}Y^{(j_k)}]}{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k}.</math>|{{EquationRef|B}}}}
Al poner la observación {{NotaEcuación|(A)}} y el teorema {{NotaEcuación|(B)}} juntos, se obtiene una prueba concisa de la fórmula de BCH explícita.
}}

== Véase también ==

* [[Representación adjunta de un álgebra de Lie|Representación adjunta (ad)]]
* [[Representación adjunta|Representación adjunta (Ad)]]
* [[Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff|Fórmula Baker-Campbell-Hausdorff]] 
* [[Aplicación exponencial (teoría de Lie)|Mapa exponencial]] 
* [[Exponencial de una matriz|Matriz exponencial]] 
* [[Logaritmo de una matriz|Logaritmo matricial]] 
* [[Expansión de Magnus]]

== Notas ==
{{Listaref|grupo=nb}}

== Referencias ==
{{Listaref}}

== Bibliografía ==
* {{Obra citada|título=Вычисление коэффициентов в формуле Campbell–Hausdorff|idioma=Russian|apellidos=Dynkin|nombre=Eugene Borisovich|enlaceautor=Eugene Dynkin|pub-periódica=[[Doklady Akademii Nauk SSSR]]|volumen=57|páginas=323–326|year=1947}} 
* {{Obra citada|título=Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction|apellidos=Hall|nombre=Brian C.|edición=2nd|editorial=Springer|serie=Graduate Texts in Mathematics|volumen=222|ISBN=978-3319134666|year=2015}} <bdi> {{Obra citada|título=Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction|apellidos=Hall|nombre=Brian C.|edición=2nd|editorial=Springer|serie=Graduate Texts in Mathematics|volumen=222|ISBN=978-3319134666|year=2015}} </bdi>
* {{Obra citada|título=Symmetry Groups and their Applications|apellidos=Miller|nombre=Wllard|editorial=Academic Press|ISBN=0-12-497460-0|year=1972}} <bdi> {{Obra citada|título=Symmetry Groups and their Applications|apellidos=Miller|nombre=Wllard|editorial=Academic Press|ISBN=0-12-497460-0|year=1972}} </bdi>
* {{Obra citada|título=Sur les groupes continus|apellidos=Poincaré|nombre=H.|enlaceautor=Henri Poincaré|pub-periódica=Cambridge Philos. Trans.|volumen=18|páginas=220–55|year=1899}} 
* {{Obra citada|título=Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups|apellidos=Rossmann|nombre=Wulf|editorial=Oxford Science Publications|serie=Oxford Graduate Texts in Mathematics|ISBN=0 19 859683 9|year=2002}} <bdi> {{Obra citada|título=Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups|apellidos=Rossmann|nombre=Wulf|editorial=Oxford Science Publications|serie=Oxford Graduate Texts in Mathematics|ISBN=0 19 859683 9|year=2002}} </bdi>
* {{Obra citada|título=Zur Theorie der endlichen Transformationsgruppen|apellidos=Schur|nombre=F.|enlaceautor=Friedrich Schur|pub-periódica=Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg|volumen=4|páginas=15–32|year=1891}} 
* {{Cita publicación|título=Decomposition formulas of exponential operators and Lie exponentials with some applications to quantum mechanics and statistical physics|apellidos=Suzuki, Masuo|publicación=Journal of Mathematical Physics|volumen=26|número=4|páginas=601|bibcode=1985JMP....26..601S|doi=10.1063/1.526596|año=1985}} 
* {{Obra citada|título=The derivation of the exponential map of matrices|apellidos=Tuynman|pub-periódica=Amer. Math. Monthly|número=9|volumen=102|páginas=818–819|DOI=10.2307/2974511|year=1995}} 
* [[Martinus J. G. Veltman|Veltman, M]], [[Gerardus 't Hooft|'t Hooft, G]] & de Wit, B (2007). "Grupos de mentiras en física", [http://www.staff.science.uu.nl/~hooft101/lectures/lieg07.pdf conferencias en línea]. 
* {{Cita publicación|título=Exponential Operators and Parameter Differentiation in Quantum Physics|apellidos=Wilcox, R. M.|publicación=Journal of Mathematical Physics|volumen=8|número=4|páginas=962–982|bibcode=1967JMP.....8..962W|doi=10.1063/1.1705306|ref=harv|año=1967}} 

== Enlaces externos ==
* {{Obra citada|título=Lie Algebras|apellidos=Sternberg|nombre=Shlomo|enlaceautor=Shlomo Sternberg|url=http://www.math.harvard.edu/~shlomo/docs/lie_algebras.pdf|year=2004}}
* {{Obra citada|título=Poincaré and Lie groups|apellidos=Schmid|nombre=Wilfried|enlaceautor=Wilfried Schmid|url=http://www.ams.org/journals/bull/1982-06-02/S0273-0979-1982-14972-2/S0273-0979-1982-14972-2.pdf|pub-periódica=Bull. Amer. Math. Soc.|número=2|volumen=6|páginas=175–186|DOI=10.1090/s0273-0979-1982-14972-2|year=1982}}

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[[Categoría:Grupos de Lie]]
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