Derivada de la aplicación exponencial

En 1899, las investigaciones de Henri Poincaré sobre la multiplicación sobre grupos en términos algebraicos de Lie lo llevaron a la formulación del álgebra envolvente universal

En la teoría de los grupos de Lie, la aplicación exponencial es una correspondencia del álgebra de Lie Plantilla:Math de un grupo de Lie Plantilla:Math sobre Plantilla:Math. En el caso de que Plantilla:Math sea un grupo de Lie matricial, la aplicación exponencial se reduce a la matriz exponencial. La aplicación exponencial, denotada Plantilla:Math, es analítica y tiene como derivada Plantilla:Math, donde Plantilla:Math es una ruta Plantilla:Math en el álgebra de Lie, y un diferencial estrechamente relacionado Plantilla:Math.

La fórmula para obtener Plantilla:Math fue probada por primera vez por Friedrich Schur (1891). Más tarde fue elaborada por Henri Poincaré (1899) en el contexto del problema de expresar la multiplicación de grupos de Lie usando términos algebraicos de Lie. También se conoce a veces como la fórmula de Duhamel.

La fórmula es importante tanto en matemática pura como aplicada. Entra en pruebas de teoremas como la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, y se usa con frecuencia en física, tanto en la teoría de campos cuánticos, como en la expansión de Magnus en la teoría de perturbaciones y en la teoría de calibre de retículas.

En todo momento, las notaciones Plantilla:Math y Plantilla:Math se usarán indistintamente para denotar el exponencial dado un argumento, excepto cuando, como se señaló, las notaciones tienen significados distintos. Aquí se prefiere la notación utilizada en el cálculo para una mejor legibilidad de las ecuaciones. Por otro lado, el estilo Plantilla:Math es a veces más conveniente para las ecuaciones en línea, y es necesario en las raras ocasiones en las que hay que hacer una distinción real.

Declaración

La derivada de la aplicación exponencial está dada por

$\frac{d}{dt}{e}^{X(t)}=e^X\frac{1-e^{-{\mathrm{a}\mathrm{d}}_X}}{{\mathrm{a}\mathrm{d}}_X}\frac{dX(t)}{dt}.$               Plantilla:EquationRef

Explicación

• Plantilla:Math es un camino Plantilla:Math (continuamente diferenciable) en el álgebra de Lie con derivada Plantilla:Math. El argumento Plantilla:Math se omite donde no es necesario.
• Plantilla:Math es la transformación lineal del álgebra de Lie dada por Plantilla:Math. Es la acción contigua de un álgebra de Lie sobre sí misma.
• La fracción Plantilla:Math viene dada por la serie de potencias

Plantilla:NumBlk

derivada de la serie de potencias de la aplicación exponencial de un endomorfismo lineal, como en la exponenciación matricial.

• Cuando Plantilla:Math es un grupo de Lie matricial, todas las ocurrencias de la exponencial están dadas por su expansión en serie de potencias.
• Cuando Plantilla:Math no es un grupo de Lie matricial, Plantilla:Math todavía puede expresarse por su serie de potencias Plantilla:NotaEcuación, mientras que las otras dos apariciones de Plantilla:Math en la fórmula, que se corresponden con la aplicación exponencial en la teoría de Lie, referida al flujo de un tiempo del campo vectorial invariante izquierdo Plantilla:Mvar, es decir, elemento del álgebra de Lie como se define en el caso general, en el grupo de Lie Plantilla:Mvar visto como una variedad analítica. Esto todavía equivale exactamente a la misma fórmula que en el caso de la matriz.
• La fórmula se aplica al caso donde Plantilla:Math se considera como una aplicación en el espacio de la matriz sobre Plantilla:Math o Plantilla:Math (véase matriz exponencial). Cuando Plantilla:Math o Plantilla:Math, las nociones coinciden exactamente.

Para calcular el diferencial Plantilla:Math de Plantilla:Math en Plantilla:Math, Plantilla:Math, empleando la fórmula estándar

$d{\exp }_{X}Y={\frac{d}{dt}{e}^{Z(t)}|}_{t=0},Z(0)=X,Z^{\prime }(0)=Y$

Con Plantilla:Math el resultado Plantilla:NumBlk se sigue inmediatamente de Plantilla:NotaEcuación. En particular, Plantilla:Math es la identidad porque Plantilla:Math (ya que Plantilla:Math es un espacio vectorial) y Plantilla:Math.

Demostración

La prueba dada a continuación asume un grupo de Lie matricial. Esto significa que la aplicación exponencial del álgebra de Lie al grupo de Lie matricial está dado por la serie de potencias habitual, es decir, la exponenciación de la matriz. La conclusión de la prueba aún se mantiene en el caso general, siempre que cada aparición de Plantilla:Math se interprete correctamente. Véanse los comentarios sobre el caso general que figuran más adelante.

El esquema de la demostración hace uso de la técnica de diferenciación con respecto a Plantilla:Math de la expresión parametrizada

$\mathrm{\Gamma }(s,t)=e^{-sX(t)}\frac{\partial }{\partial t}{e}^{sX(t)}$

para obtener una ecuación diferencial de primer orden para Plantilla:Math que luego se puede resolver mediante la integración directa en Plantilla:Mvar. La solución es entonces Plantilla:Math.

Lema
Sea Plantilla:Math la representación adjunta del grupo respecto a su álgebra de Lie. La acción está dada por Plantilla:Math para Plantilla:Math. Una relación habitualmente utilizada entre Ad y ad se expresa como

${\mathrm{A}\mathrm{d}}_{e^X}=e^{{\mathrm{a}\mathrm{d}}_X},X\in 𝔤.$               Plantilla:EquationRef

Demostración
Usando la regla del producto dos veces, se obtiene que

$\frac{\partial \mathrm{\Gamma }}{\partial s}=e^{-sX}(-X)\frac{\partial }{\partial t}{e}^{sX(t)}+e^{-sX}\frac{\partial }{\partial t}[X(t)e^{sX(t)}]=e^{-sX}\frac{dX}{dt}{e}^{sX}.$

Entonces se observa que

$\frac{\partial \mathrm{\Gamma }}{\partial s}={\mathrm{A}\mathrm{d}}_{e^{-sX}}{X}^{\prime }=e^{-{\mathrm{a}\mathrm{d}}_{sX}}{X}^{\prime },$

según se expresa en Plantilla:NotaEcuación. Integrando, se obtiene

$\mathrm{\Gamma }(1,t)=e^{-X(t)}\frac{\partial }{\partial t}{e}^{X(t)}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\partial \mathrm{\Gamma }}{\partial s}ds=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{-{\mathrm{a}\mathrm{d}}_{sX}}{X}^{\prime }ds.$

Usando la serie de potencias formal para expandir la exponencial, integrando término por término y finalmente reconociendo Plantilla:NotaEcuación,

$\mathrm{\Gamma }(1,t)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{s}^k}{k!}({\mathrm{a}\mathrm{d}}_X{)}^k\frac{dX}{dt}ds=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(k+1)!}({\mathrm{a}\mathrm{d}}_X{)}^k\frac{dX}{dt}=\frac{1-e^{-{\mathrm{a}\mathrm{d}}_X}}{{\mathrm{a}\mathrm{d}}_X}\frac{dX}{dt},$

de lo que se obtiene el resultado. La prueba, como se presenta aquí, es esencialmente la que se da en Plantilla:Harvtxt. Una prueba con un carácter más algebraico se puede encontrar en Plantilla:Harvtxt.

Comentarios sobre el caso general

La fórmula en el caso general viene dada por

$\frac{d}{dt}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(C(t))=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(C)\varphi (-\mathrm{a}\mathrm{d}(C))C{}^{\prime },$

donde

$\varphi (z)=\frac{e^z-1}{z}=1+\frac{1}{2!}z+\frac{1}{3!}{z}^2+\cdots ,$

que se reduce formalmente a

$\frac{d}{dt}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(C(t))=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(C)\frac{1-e^{-{\mathrm{a}\mathrm{d}}_C}}{{\mathrm{a}\mathrm{d}}_C}\frac{dC(t)}{dt}.$

Aquí la notación Plantilla:Math se usa para la aplicación exponencial del álgebra de Lie y la notación de cálculo en la fracción indica la expansión formal en serie habitual. Para obtener más información y dos pruebas completas en el caso general, consúltese la referencia de Plantilla:Harvtxt disponible gratuitamente.

Aplicaciones

Comportamiento local de la aplicación exponencial

El teorema de la función inversa junto con la derivada de la aplicación exponencial proporciona información sobre el comportamiento local de Plantilla:Math. Cualquier Plantilla:Math que aplica Plantilla:Math entre espacios vectoriales (considerando primero los grupos de Lie matriciales) tiene un inverso de Plantilla:Math tal que Plantilla:Math es una biyección de Plantilla:Math en un conjunto abierto alrededor de un punto Plantilla:Math en el dominio proporcionado Plantilla:Math que es invertible. De Plantilla:NotaEcuación se deduce que esto sucederá precisamente cuando

$\frac{1-e^{\mathrm{a}{\mathrm{d}}_{\mathrm{X}}}}{{\mathrm{a}\mathrm{d}}_X}$

es invertible. Esto, a su vez, ocurre cuando los valores propios de este operador son todos distintos de cero. Los valores propios de Plantilla:Math están relacionados con los de Plantilla:Math de la siguiente manera. Si Plantilla:Math es una función analítica de una variable compleja expresada mediante una serie de potencias tal que Plantilla:Math para una matriz Plantilla:Math converge, entonces los valores propios de Plantilla:Math serán Plantilla:Math (donde Plantilla:Math son los valores propios de Plantilla:Math, el subíndice doble se aclara a continuación). En el presente caso con Plantilla:Math y Plantilla:Math, los valores propios de Plantilla:Math son

$\frac{1-e^{-{\lambda }_{ij}}}{{\lambda }_{ij}},$

donde Plantilla:Math son los valores propios de Plantilla:Math. Poniendo Plantilla:Math se ve que Plantilla:Math es invertible precisamente cuando

${\lambda }_{ij}\ne k2\pi i,k=\pm 1,\pm 2,\dots .$

Los valores propios de Plantilla:Math están, a su vez, relacionados con los de Plantilla:Math. Sean Plantilla:Math los valores propios de Plantilla:Math. Fijada una base ordenada Plantilla:Math del espacio vectorial subyacente Plantilla:Math de manera que Plantilla:Math sea triangular inferior, entonces

$X{e}_i={\lambda }_i{e}_i+\cdots ,$

con los términos restantes múltiplos de Plantilla:Math con Plantilla:Math. Sea Plantilla:Math la base correspondiente para el espacio matricial, es decir Plantilla:Math. Ordénese esta base de manera que Plantilla:Math si Plantilla:Math. Se verifica que la acción de Plantilla:Math viene dada por

${\mathrm{a}\mathrm{d}}_X{E}_{ij}=({\lambda }_i-{\lambda }_j)E_{ij}+\cdots \equiv {\lambda }_{ij}{E}_{ij}+\cdots ,$

con los términos restantes múltiplos de Plantilla:Math. Esto significa que Plantilla:Math es triangular inferior con sus valores propios Plantilla:Math en la diagonal. La conclusión es que Plantilla:Math es invertible, por lo tanto, Plantilla:Math es una biyección bianalítica local alrededor de Plantilla:Math, cuando los valores propios de Plantilla:Math satisfacen que

${\lambda }_i-{\lambda }_j\ne k2\pi i,k=\pm 1,\pm 2,\dots ,1\le i,j\le n=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}V.$

En particular, en el caso de los grupos de Lie matriciales, se deduce, dado que Plantilla:Math es invertible, por el teorema de la función inversa, que Plantilla:Math es una biyección bi-analítica en una vecindad de Plantilla:Math en el espacio matricial. Además, Plantilla:Math, es una biyección bi-analítica de una vecindad de Plantilla:Math en Plantilla:Math a una vecindad de Plantilla:Math. La misma conclusión es válida para los grupos de Lie generales que utilizan la versión múltiple del teorema de la función inversa.

También se desprende del teorema de la función implícita que la propia Plantilla:Math es invertible para Plantilla:Math suficientemente pequeño.

Deducción de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff

Si Plantilla:Math se define de modo que

$e^{Z(t)}=e^X{e}^{tY},$

una expresión para Plantilla:Math, la fórmula BCH, se puede deducir de la fórmula anterior,

$\exp (-Z(t))\frac{d}{dt}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(Z(t))=\frac{1-e^{-{\mathrm{a}\mathrm{d}}_Z}}{{\mathrm{a}\mathrm{d}}_Z}{Z}^{\prime }(t).$

Es fácil ver que su lado izquierdo es igual a Y. Así,

$Y=\frac{1-e^{-{\mathrm{a}\mathrm{d}}_Z}}{{\mathrm{a}\mathrm{d}}_Z}{Z}^{\prime }(t),$

y por lo tanto, formalmente,

$Z^{\prime }(t)=\frac{{\mathrm{a}\mathrm{d}}_Z}{1-e^{-{\mathrm{a}\mathrm{d}}_Z}}Y\equiv \psi (e^{{\mathrm{a}\mathrm{d}}_Z})Y,\psi (w)=\frac{w\log w}{w-1}=1+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{m+1}}{m(m+1)}(w-1{)}^m,||w||<1.$

Sin embargo, utilizando la relación entre Plantilla:Math y Plantilla:Math dada por Plantilla:NotaEcuación, es sencillo ver que

$e^{{\mathrm{a}\mathrm{d}}_Z}=e^{{\mathrm{a}\mathrm{d}}_X}{e}^{t{\mathrm{a}\mathrm{d}}_Y}$

y por lo tanto

$Z^{\prime }(t)=\psi (e^{{\mathrm{a}\mathrm{d}}_X}{e}^{t{\mathrm{a}\mathrm{d}}_Y})Y.$

Poniendo esto en la forma de una integral en t entre 0 y 1, se obtiene

$Z(1)=\log (\exp X\exp Y)=X+\left(\underset{0}{\overset{1}{\int }}\psi \left(e^{{\mathrm{ad}}_X}{e}^{t{\text{ad}}_Y}\right)dt\right)Y,$

una fórmula integral para Plantilla:Math que es más manejable en la práctica que la fórmula explícita de serie de Dynkin, debido a la simplicidad de la expansión de la serie de Plantilla:Math. Téngase en cuenta que esta expresión consiste en Plantilla:Math y sus conmutadores anidados con Plantilla:Mvar o Plantilla:Mvar. Una prueba en este sentido se puede encontrar en los libros de texto de Plantilla:Harvtxt y Plantilla:Harvtxt.

Deducción de la fórmula en serie de Dynkin

Eugene Dynkin en su casa, en 2003. En 1947, Dynkin probó la fórmula explícita de la serie BCH. Poincaré, Baker, Campbell y Hausdorff se preocuparon principalmente por la existencia de una serie de corchetes, que es suficiente en muchas aplicaciones, por ejemplo, para probar resultados centrales en la correspondencia de Lie. (Foto cortesía de la Colección Dynkin)

La fórmula de Dynkin mencionada también puede derivarse de manera análoga, comenzando por la extensión paramétrica

$e^{Z(t)}=e^{tX}{e}^{tY},$

de donde

$e^{-Z(t)}\frac{d{e}^{Z(t)}}{dt}=e^{-t{\mathrm{a}\mathrm{d}}_Y}X+Y,$

para que, usando la fórmula general anterior,

$Z^{\prime }=\frac{{\mathrm{a}\mathrm{d}}_Z}{1-e^{-{\mathrm{a}\mathrm{d}}_Z}}(e^{-t{\mathrm{a}\mathrm{d}}_Y}X+Y)=\frac{{\mathrm{a}\mathrm{d}}_Z}{e^{{\mathrm{a}\mathrm{d}}_Z}-1}(X+e^{t{\mathrm{a}\mathrm{d}}_X}Y).$

Como, sin embargo,

$\begin{array}{cc}\mathrm{a}{\mathrm{d}}_{\mathrm{Z}}& =\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{(}{\mathrm{a}\mathrm{d}}_{\mathrm{Z}}\mathrm{)})=\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(1+(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{(}{\mathrm{a}\mathrm{d}}_{\mathrm{Z}}\mathrm{)}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)})\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-{)}^{n+1}}{n}(\exp ({\mathrm{a}\mathrm{d}}_Z)-1{)}^n,||{\mathrm{a}\mathrm{d}}_Z||<\log 2,\end{array}$

el último paso en virtud de la expansión de la serie de Mercator, se deduce que

Plantilla:NumBlk y, por lo tanto, integrando,

$Z(1)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}dt\frac{dZ(t)}{dt}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-{)}^{n-1}}{n}\underset{0}{\overset{1}{\int }}dt(e^{t{\mathrm{a}\mathrm{d}}_X}{e}^{t{\mathrm{a}\mathrm{d}}_Y}-1{)}^{n-1}(X+e^{t{\mathrm{a}\mathrm{d}}_X}Y).$

En este punto es evidente que la afirmación cualitativa de la fórmula BCH es válida, a saber, que Plantilla:Math se encuentra en el álgebra de Lie generada por Plantilla:Math y se puede expresar como una serie entre paréntesis repetidos Plantilla:RefEcuación. Para cada Plantilla:Mvar, los términos de cada partición de los mismos se organizan dentro de la integral Plantilla:Math. La fórmula de Dynkin resultante es entonces

$Z=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}\sum _{s\in S_k}\frac{1}{i_1+j_1+\cdots +i_k+j_k}\frac{[X^{(i_1)}{Y}^{(j_1)}\cdots X^{(i_k)}{Y}^{(j_k)}]}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!},i_r,j_r\ge 0,i_r+j_r>0,1\le r\le k.$

Para una prueba similar con expansiones de series detalladas, véase Plantilla:Harvtxt. Para obtener detalles completos, haga clic en "Mostrar" a continuación.

Véase también

• Representación adjunta (ad)
• Representación adjunta (Ad)
• Fórmula Baker-Campbell-Hausdorff
• Mapa exponencial
• Matriz exponencial
• Logaritmo matricial
• Expansión de Magnus

Bibliografía

• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Cita publicación
• Plantilla:Obra citada
• Veltman, M, 't Hooft, G & de Wit, B (2007). "Grupos de mentiras en física", conferencias en línea.
• Plantilla:Cita publicación

Enlaces externos

• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada