Ver el código de «Elemento conjugado»

{{otros usos|Conjugación (desambiguación)}}
{{distinguir|el [[conjugado (matemática)|conjugado de un número complejo]]}}

En [[matemáticas]], los '''elementos conjugados''' de un [[elemento algebraico]] {{var|x}} en un [[Cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] {{var|K}} son las [[raíz de un polinomio|raíces]] de su [[Polinomio mínimo (teoría de cuerpos)|polinomio mínimo]] en {{var|K}}, en una [[Extensión de cuerpos|extensión]] {{var|L}} de {{var|K}} donde este polinomio es [[polinomio dividido|dividido]] (es decir, se puede expresar como un producto de [[monomio]]s).

De manera equivalente, los conjugados de {{var|x}} son la imagen de {{var|x}} generada por los {{var|K}}-automorfismos de {{var|L/K}}.

==Ejemplos==
* Si {{var|α}} es un elemento de {{var|K}}, su polinomio mínimo sobre {{var|K}} es {{var|X – α}}, por lo tanto, su único conjugado sobre {{var|K}} es él mismo.
* Si {{math|''α {{=}} a'' + i''b''}} es un [[número complejo]] no [[Número real|real]], es decir, si su [[parte imaginaria]] {{var|b}} no es cero, entonces su polinomio mínimo en ℝ es {{math|(''X – α'')(''X – <u>α</u>'') {{=}} ''X''<sup>2</sup> – 2''aX'' + ''a''<sup>2</sup>+''b''<sup>2</sup>}}, y por lo tanto, sus conjugados en ℝ son {{math|α}} y su [[Conjugado (matemática)|número complejo conjugado]] {{var|<u>α</u>}}.
* Las [[Raíz de la unidad|raíces cúbicas de la unidad en ℂ]] son
<center><math>1,\quad\mathrm j=\mathrm{e}^\frac{2\mathrm i\pi}3=\frac{-1+\mathrm i\sqrt3}2\quad\text{y}\quad\mathrm j^2=\overline{\mathrm j}=\mathrm{e}^\frac{-2\mathrm i\pi}3=\frac{-1-\mathrm i\sqrt3}2.</math></center>
En [[Número racional|ℚ]], {{math|j}} y {{math|j<sup>2</sup>}} tienen el polinomio mínimo común {{math|''X''<sup>2</sup> + ''X'' + 1}} y son conjugados.
De manera más general, las raíces primitivas {{math|n}}-ésimas de la unidad en ℂ tienen un polinomio mínimo en ℚ, el {{math|n}}-ésimo [[polinomio ciclotómico]], y son conjugadas en ℚ.

==Propiedades==
* El polinomio mínimo de {{math|α}} en {{math|K}} se divide entre cualquier [[extensión normal]] {{math|L}} de {{math|K}} que contenga {{math|α}} (por ejemplo, una [[clausura algebraica]] de {{math|K}}, o incluso solo un [[cuerpo de descomposición]] del polinomio).<ref>{{cita libro |idioma=en|nombre=Serge|apellido=Lang|título=Algebra|edición=8ª reimpr.|año=1978|página= 182}}</ref> Los conjugados de {{math|α}} son entonces las imágenes de {{math|α}} por los elementos del [[grupo de Galois]] de la extensión.
* Sea {{math|α}} un [[número entero algebraico]] distinto de cero y {{math|{{!}}<u>''α''</u>{{!}}}}, el mayor de los [[módulo de un número complejo|módulos]] de sus conjugados sobre ℚ. [[Leopold Kronecker|Kronecker]] demostró<ref>{{cita publicación|idioma=de|nombre=Leopold|apellido=Kronecker|título=Zwei Sätze über Gleichungen mit ganzzahligen Coefficienten|publicación=J. reine angew. Math. Journal für die reine und angewandte Mathematik|volumen=53|año=1857|página=173-175|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0053&DMDID=DMDLOG_0012}}</ref><ref name=Narkiewicz>{{cita libro|idioma=en|autor=Władysław Narkiewicz|título=Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers|editor=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|año=2004|edición=3|página=49 y 71 de 712|isbn=978-3-540-21902-6|url=https://books.google.fr/books?id=Pw4F-EVIK-oC&pg=PA49}}</ref><ref>{{cita publicación|idioma=en|título=Conjugate algebraic numbers on conics: A survey|obra=Number Theory and Polynomials|número=352|serie=[[London Mathematical Society|LMS]] Lecture Note Series|autor=James Fraser McKee|autor2= C. Smyth|editor=CUP|ubicación=Cambridge University Press|año=2008|isbn=978-0-52171467-9|páginas=211-240|url=https://books.google.fr/books?id=wxTY-hABUzYC&pg=PA211}}</ref> que
# Si {{math|{{!}}<u>''α''</u>{{!}}}} es menor o igual a 1, {{math|α}} es la raíz de la unidad;
# Si {{math|{{!}}<u>''α''</u>{{!}}}} es menor o igual a 2 y {{math|α}} es [[Cuerpo totalmente real|totalmente real]], es decir, si todos los conjugados de {{math|α}} sobre ℚ pertenecen al intervalo real [–2, 2], entonces {{math|α}} es de la forma {{math|2 cos(π''r'')}} para un determinado {{math|r}} racional.

El punto 1 se puede deducir del siguiente lema (utilizado también en otra parte de la prueba del [[teorema de las unidades de Dirichlet]]):<ref>{{cita libro|idioma=en|nombre1=Gerald J.|apellido1=Janusz|título=Algebraic Number Fields|editor=[[Academic Press]]|serie=Pure and Applied Mathematics|número=55|año=1973|edición=3|páginas=220|capítulo=55|isbn=978-0-12-380250-7|url=https://books.google.fr/books?id=4VcriqDY2ycC&pg=PA55}}</ref><ref>{{cita libro|idioma=en|nombre1=Serge|apellido1=Lang|título=Algebraic Number Theory|editor=Springer|obra=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|número=110|año=1994|edición=2|páginas=105 de 357|isbn=978-0-387-94225-4|url=https://books.google.fr/books?id=u5eGtA0YalgC&pg=PA105}}</ref> para cualquier entero {{math|''n''}} y cualquier real {{math|''C''}}, existe solo un número finito de enteros algebraicos {{math|α}} tales que el grado (del polinomio mínimo) de {{math|α}} es menor o igual que {{math|''n''}} y que {{math|{{!}}<u>''α''</u>{{!}} ≤ ''C''}}.

{{Demostración|1=
* Prueba del lema: los coeficientes del polinomio mínimo {{math|P}} de {{math|α}} son [[Polinomio simétrico|funciones simétricas]] de los conjugados de {{math|α}}. Si el grado de {{math|P}} y los conjugados de α están acotados, entonces estos coeficientes también están acotados (ya que son números enteros) y solo pueden tomar un número finito de valores. Así, el conjunto considerado es finito, como el conjunto de raíces de un número finito de polinomios.
* Prueba del punto 1: si {{math|α}} es de grado {{math|n}}, entonces todas sus potencias son de grado menor o igual a {{math|n}}. Al aplicar el lema para {{math|''C'' {{=}} 1}}, se deduce que estas potencias son finitas, lo que nos permite comprobar la proposición.}}

Existen varios refinamientos del punto 1 proporcionando, según el grado de {{math|α}}, un aumento de |<u>α</u>| menos restrictivo pero suficiente para que α sea la raíz de la unidad.<ref name=Narkiewicz/>

==Conjugados de un polinomio==
Supóngase que {{math|''f''(''x'')}} es un polinomio [[Extensión separable|separable]] e [[Polinomio irreducible|irreducible]] en {{math|''K''[''X'']}}, y que existe una [[Extensión de cuerpos|extensión]] {{math|''M''/''K''}} y un polinomio {{math|g}} en {{math|''M''[''X'']}} de modo que {{math|g}} divide {{math|f}} en {{math|''M''[''X'']}}.
Si se denomina ''L'' al [[cuerpo de descomposición]] de {{math|f}} en {{math|K}}, {{math|''L''/''K''}} es [[Teoría de Galois|galoisiano]] y {{math|''L''[''X'']/''K''[''X'']}} es isomorfo a {{math|''L''/''K''}}. Además, los coeficientes de {{math|g}} pertenecen a ''L''. En particular, el polinomio {{math|g}} es [[Elemento algebraico|algebraico]] en {{math|''K''[''X'']}}, y por tanto tiene elementos conjugados en {{math|''K''[''X'']}}: el conjunto de conjugados de {{math|g}} se obtiene aplicando los automorfismos de {{math|Gal(''L''/''K'')}} sobre los coeficientes de {{math|g}}.

===Propiedades===
Es natural pensar que el producto de los conjugados de {{math|g}} es igual a {{math|f}}, pero esto es incorrecto, a menos que {{math|g}} sea irreducible y {{math|f}} sea primitivo, en el sentido de que {{math|''L''/''K''}} es generado por una sola raíz de {{math|f}}.

En general, el producto de los conjugados de {{math|g}} es igual a {{math|cf<sup>n</sup>}}, donde {{math|c}} pertenece al campo {{math|K}} y {{math|n}} es un número natural.

==Referencias==
{{listaref}}

==Véase también==
* [[Lema de Krasner]]
* [[Número de Pisot-Vijayaraghavan]]
* [[Número de Salem]]

==Enlaces externos==
{{Portal|Matemáticas}}
* {{MathWorld|título=Conjugate Elements|id=ConjugateElements}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de Galois]]