Elemento conjugado
Plantilla:Otros usos Plantilla:Distinguir
En matemáticas, los elementos conjugados de un elemento algebraico Plantilla:Var en un cuerpo Plantilla:Var son las raíces de su polinomio mínimo en Plantilla:Var, en una extensión Plantilla:Var de Plantilla:Var donde este polinomio es dividido (es decir, se puede expresar como un producto de monomios).
De manera equivalente, los conjugados de Plantilla:Var son la imagen de Plantilla:Var generada por los Plantilla:Var-automorfismos de Plantilla:Var.
Ejemplos
- Si Plantilla:Var es un elemento de Plantilla:Var, su polinomio mínimo sobre Plantilla:Var es Plantilla:Var, por lo tanto, su único conjugado sobre Plantilla:Var es él mismo.
- Si Plantilla:Math es un número complejo no real, es decir, si su parte imaginaria Plantilla:Var no es cero, entonces su polinomio mínimo en ℝ es Plantilla:Math, y por lo tanto, sus conjugados en ℝ son Plantilla:Math y su número complejo conjugado Plantilla:Var.
- Las raíces cúbicas de la unidad en ℂ son
En ℚ, Plantilla:Math y Plantilla:Math tienen el polinomio mínimo común Plantilla:Math y son conjugados. De manera más general, las raíces primitivas Plantilla:Math-ésimas de la unidad en ℂ tienen un polinomio mínimo en ℚ, el Plantilla:Math-ésimo polinomio ciclotómico, y son conjugadas en ℚ.
Propiedades
- El polinomio mínimo de Plantilla:Math en Plantilla:Math se divide entre cualquier extensión normal Plantilla:Math de Plantilla:Math que contenga Plantilla:Math (por ejemplo, una clausura algebraica de Plantilla:Math, o incluso solo un cuerpo de descomposición del polinomio).[1] Los conjugados de Plantilla:Math son entonces las imágenes de Plantilla:Math por los elementos del grupo de Galois de la extensión.
- Sea Plantilla:Math un número entero algebraico distinto de cero y Plantilla:Math, el mayor de los módulos de sus conjugados sobre ℚ. Kronecker demostró[2][3][4] que
- Si Plantilla:Math es menor o igual a 1, Plantilla:Math es la raíz de la unidad;
- Si Plantilla:Math es menor o igual a 2 y Plantilla:Math es totalmente real, es decir, si todos los conjugados de Plantilla:Math sobre ℚ pertenecen al intervalo real [–2, 2], entonces Plantilla:Math es de la forma Plantilla:Math para un determinado Plantilla:Math racional.
El punto 1 se puede deducir del siguiente lema (utilizado también en otra parte de la prueba del teorema de las unidades de Dirichlet):[5][6] para cualquier entero Plantilla:Math y cualquier real Plantilla:Math, existe solo un número finito de enteros algebraicos Plantilla:Math tales que el grado (del polinomio mínimo) de Plantilla:Math es menor o igual que Plantilla:Math y que Plantilla:Math.
Existen varios refinamientos del punto 1 proporcionando, según el grado de Plantilla:Math, un aumento de |α| menos restrictivo pero suficiente para que α sea la raíz de la unidad.[3]
Conjugados de un polinomio
Supóngase que Plantilla:Math es un polinomio separable e irreducible en Plantilla:Math, y que existe una extensión Plantilla:Math y un polinomio Plantilla:Math en Plantilla:Math de modo que Plantilla:Math divide Plantilla:Math en Plantilla:Math. Si se denomina L al cuerpo de descomposición de Plantilla:Math en Plantilla:Math, Plantilla:Math es galoisiano y Plantilla:Math es isomorfo a Plantilla:Math. Además, los coeficientes de Plantilla:Math pertenecen a L. En particular, el polinomio Plantilla:Math es algebraico en Plantilla:Math, y por tanto tiene elementos conjugados en Plantilla:Math: el conjunto de conjugados de Plantilla:Math se obtiene aplicando los automorfismos de Plantilla:Math sobre los coeficientes de Plantilla:Math.
Propiedades
Es natural pensar que el producto de los conjugados de Plantilla:Math es igual a Plantilla:Math, pero esto es incorrecto, a menos que Plantilla:Math sea irreducible y Plantilla:Math sea primitivo, en el sentido de que Plantilla:Math es generado por una sola raíz de Plantilla:Math.
En general, el producto de los conjugados de Plantilla:Math es igual a Plantilla:Math, donde Plantilla:Math pertenece al campo Plantilla:Math y Plantilla:Math es un número natural.