Ver el código de «Espacio normado auxiliar»

En [[análisis funcional]], [[Alexander Grothendieck]] (1928-2014) empleó sistemáticamente dos métodos para construir [[Espacio vectorial normado|espacios normados]] a partir de [[Conjunto absolutamente convexo|discos]] con el fin de definir [[Operador nuclear|operadores nucleares]] y [[espacio nuclear|espacios nucleares]]:{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=97}}

* El primero de estos métodos se utiliza si el disco <math>D</math> está acotado. En este caso, el '''espacio normado auxiliar''' es <math>\operatorname{ expan } D</math>, con la norma

::<math>p_D(x) := \inf_{x \in r D, r > 0} r.</math>

* El otro método se utiliza si el disco <math>D</math> es [[Conjunto absorbente|absorbente]]. En este segundo caso, el espacio normado auxiliar es el [[Espacio cociente (álgebra lineal)|espacio cociente]] <math>X / p_D^{-1}(0).</math>

Si el disco está acotado y es absorbente, entonces los dos espacios normados auxiliares son canónicamente isomorfos (como [[espacios vectoriales topológicos]] y [[espacio vectorial normado|espacios normados]]).

==Inducido por un disco acotado – Discos de Banach==

En este artículo, <math>X</math> será un espacio vectorial real o complejo (aunque no necesariamente un EVT) y <math>D</math> será un [[Conjunto absolutamente convexo|disco]] en <math>X.</math>

===Espacio seminormado inducido por un disco===

Sea <math>X</math> un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto <math>D</math> de <math>X,</math> el ''[[Funcional de Minkowski]]'' de <math>D</math> se define por:
*Si <math>D= \varnothing</math>, entonces define <math>p_{\varnothing}(x) : \{0\} \to [0, \infty)</math> como la aplicación trivial <math>p_{\varnothing}= 0</math>{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=169}} y se asumirá que <math>\operatorname{ expan } \varnothing= \{0\}.</math><ref group=note>Este es el espacio vectorial más pequeño que contiene <math>\varnothing.</math> Alternativamente, si <math>D= \varnothing</math> entonces <math>D</math> puede reemplazarse por <math>\{0\}.</math></ref>
*Si <math>D \neq \varnothing</math> y si <math>D</math> es [[Conjunto absorbente|absorbente]] en <math>\operatorname{ expan } D</math>, entonces denota el [[funcional de Minkowski]] de <math>D</math> en <math>\operatorname{ expan } D</math> por

:<math>p_D : \operatorname{ expan } D \to [0, \infty)</math>

donde para todos los <math>x \in \operatorname{ expan } D,</math> esto se define por :<math>p_D (x) := \inf_{} \{r : x \in r D, r > 0\}.</math>

Sea <math>X</math> un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto <math>D</math> de <math>X</math> tal que el <math>p_D</math> funcional de Minkowski sea una [[seminorma]] en <math>\operatorname{ expan } D,</math> denótese por <math>X_D</math>

:<math>X_D := \left(\operatorname{ expan } D, p_D\right)</math>

que se denomina ''[[seminorma]] inducida por <math>D,</math>'' donde si <math>p_D</math> es una [[Norma vectorial|norma]], entonces se llama ''[[espacio vectorial normado|espacio normado]] inducido por <math>D.</math>''

'''Supuesto''' ('''Topología'''): <math>X_D= \operatorname{ expan } D</math> está dotado de la topología de la seminorma inducida por <math>p_D,</math> que se denotará por <math>\tau_D</math> o <math>\tau_{p_D}.</math>

Es importante destacar que esta topología surge "completamente" del conjunto <math>D,</math> la estructura algebraica de <math>X,</math> y la topología habitual en <math>\R</math> (ya que <math>p_D</math> se define usando {{enf|solo}} el conjunto <math>D</math> y la multiplicación escalar). Esto justifica el estudio de los discos de Banach y es parte de la razón por la que juegan un papel importante en la teoría de [[operador nuclear|operadores nucleares]] y [[espacio nuclear|espacios nucleares]].

La aplicación de inclusión <math>\operatorname{In}_D : X_D \to X</math> se denomina "aplicación canónica".{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=97}}

Supóngase que <math>D</math> es un disco.
Entonces, <math display="inline"> \operatorname{ expan } D= \bigcup_{n=1}^{\infty} n D</math> para que <math>D</math> sea [[Conjunto absorbente|absorbente]] en <math>\operatorname{ expan } D,</math> el [[sistema generador]] de <math>D.</math>
El conjunto <math>\{r D : r > 0\}</math> de todos los múltiplos escalares positivos de <math>D</math> forma una base en el entorno del origen para una topología inducida en un [[espacio localmente convexo]] <math>\tau_D</math> en <math>\operatorname{ expan } D.</math>
El [[funcional de Minkowski]] del disco <math>D</math> en <math>\operatorname{ expan } D</math> garantiza que <math>p_D</math> esté bien definido y forme una [[seminorma]] en <math>\operatorname{ expan } D.</math>{{sfn|Trèves|2006|p=370}}
La topología localmente convexa inducida por esta seminorma es la topología <math>\tau_D</math> que se definió anteriormente.

===Definición de disco de Banach===

Un [[Conjunto absolutamente convexo|disco]] [[Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)|acotado]] <math>D</math> en un [[espacio vectorial topológico]] <math>X</math> tal que <math>\left(X_D, p_D\right)</math> sea un [[espacio de Banach]], se denomina '''disco de Banach''', '''infracompleto''' o '''completante acotado''' en <math>X.</math>

Si se muestra que <math>\left(\operatorname{ expan } D, p_D\right)</math> es un espacio de Banach, entonces <math>D</math> será un disco de Banach en {{enf|cualquier EVT}} que contenga <math>D</math> como un [[subconjunto]] acotado.

Esto se debe a que el funcional <math>p_D</math> de Minkowski se define en términos puramente algebraicos.
En consecuencia, la cuestión de si <math>\left(X_D, p_D\right)</math> forma o no un espacio de Banach depende únicamente del disco <math>D</math> y de <math>p_D,</math> el funcional de Minkowski, y no de ninguna topología del EVT particular que <math>X</math> pueda tener inducida.
Por lo tanto, el requisito de que un disco de Banach en un EVT <math>X</math> sea un subconjunto acotado de <math>X</math> es la única propiedad que vincula la topología de un disco de Banach con la topología del EVT <math>X</math> que lo contiene.

===Propiedades de los espacios seminormados inducidos por un disco===

'''Discos acotados'''

El siguiente resultado explica por qué es necesario limitar los discos de Banach.

{{teorema|título=Teorema{{sfn|Trèves|2006|pp=370-373}}{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=441-457}}{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=97}}|1=
Si <math>D</math> es un disco en un [[espacio vectorial topológico]] (EVT) <math>X,</math> entonces <math>D</math> está [[Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)|acotado]] en <math>X</math> si y solo si la aplicación de inclusión <math>\operatorname{In}_D : X_D \to X</math> es continua.}}
{{demostración|1=
Si el disco <math>D</math> está delimitado en el EVT <math>X</math>, entonces para todos los entornos <math>U</math> del origen en <math>X,</math> existe algún <math>r > 0</math> tal que <math>r D \subseteq U \cap X_D.</math>
De ello se deduce que en este caso la topología de <math>\left(X_D, p_D\right)</math> es más fina que la topología subespacial que <math>X_D</math> hereda de <math>X,</math> lo que implica que la aplicación de inclusión <math>\operatorname{In}_D : X_D \to X</math> es continua.
Por el contrario, si <math>X</math> tiene una topología EVT tal que <math>\operatorname{In}_D : X_D \to X</math> es continua, entonces para cada entorno <math>U</math> del origen en <math>X</math> existe algún <math>r > 0</math> tal que <math>r D \subseteq U \cap X_D,</math> lo que demuestra que <math>D</math> está acotado en <math>X.</math> 
}}

'''Hausdorffsidad'''

El espacio <math>\left(X_D, p_D\right)</math> es de [[Espacio de Hausdorff|Hausdorff]] si y solo si <math>p_D</math> es una norma, lo que ocurre si y solo si <math>D</math> no contiene ningún subespacio vectorial no trivial.{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=115-154}}
En particular, si existe una topología en un EVT de Hausdorff <math>X</math>, de modo que <math>D</math> esté acotado en <math>X</math>, entonces <math>p_D</math> es una norma.
Un ejemplo en el que <math>X_D</math> no es de Hausdorff se obtiene dejando que <math>X= \R^2</math> y dejando que <math>D</math> sea el eje <math>x</math>.

'''Convergencia de redes'''

Supóngase que <math>D</math> es un disco en <math>X</math> tal que <math>X_D</math> es de Hausdorff y sea <math>x_\bull= \left(x_i\right)_{i \in I}</math> una red en <math>X_D.</math>
Entonces, <math>x_\bull \to 0</math> en <math>X_D</math> si y solo si existe un <math>r_\bull= \left(r_i\right)_{i \in I}</math> red de [[Número real|números reales]] tal que <math>r_\bull \to 0</math> y <math>x_i \in r_i D</math> para todo <math>i</math>;
además, en este caso se asumirá sin pérdida de generalidad que <math>r_i \geq 0</math> para todo <math>i.</math>

'''Relación entre espacios inducidos por un disco'''

Si <math>C \subseteq D \subseteq X</math>, entonces <math>\operatorname{ expan } C \subseteq \operatorname{ expan } D</math> y <math>p_D \leq p_C</math> en <math>\operatorname{ expan } C,</math> se define la siguiente [[aplicación lineal]] continua:{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=441-457}}

Si <math>C</math> y <math>D</math> son discos en <math>X</math> con <math>C \subseteq D</math>, entonces denomínese a la aplicación de inclusión <math>\operatorname{In}_C^D : X_C \to X_D</math> la "inclusión canónica" de <math>X_C</math> en <math>X_D.</math>

En particular, la topología subespacial que <math>\operatorname{ expan } C</math> hereda de <math>\left(X_D, p_D\right)</math> es más débil que la topología inducida por la seminorma de <math>\left(X_C, p_C\right)</math>.{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=441-457}}

'''El disco como bola unitaria cerrada'''

El disco <math>D</math> es un subconjunto cerrado de <math>\left(X_D, p_D\right)</math> si y solo si <math>D</math> es la bola unitaria cerrada de la seminorma <math>p_D</math>; esto es

:<math>D= \left\{x \in \operatorname{ expan } D : p_D(x) \leq 1\right\}.</math>

Si <math>D</math> es un disco en un espacio vectorial <math>X</math> y si existe una topología EVT <math>\tau</math> en <math>\operatorname{ expan } D</math> tal que <math>D</math> es un subconjunto cerrado y acotado de <math>\left(\operatorname{ expan } D, \tau\right),</math> entonces <math>D</math> es la bola unitaria cerrada de <math>\left(X_D, p_D\right)</math> (es decir, <math>D= \left\{x \in \operatorname{ expan } D : p_D(x) \leq 1\right\}</math>) (véase nota al pie para su demostración).<ref group=note>Supóngase sin pérdida de generalidad que <math>X= \operatorname{expan } D.</math> Dado que <math>D</math> está cerrado en <math>(X, \tau),</math> también está cerrado en <math>\left(X_D, p_D\right)</math> y dado que la seminorma <math>p_D</math> es el [[funcional de Minkowski]] de <math>D,</math> que es continuo en <math>\left(X_D, p_D\right),</math> se deduce{{harvtxt|Narici|Beckenstein|2011|pp=119–120}} que <math>D</math> es la bola unitaria cerrada en <math>\left(X_D, p\right).</math></ref>

===Condiciones suficientes para un disco de Banach===

El siguiente teorema se puede utilizar para establecer que <math>\left(X_D, p_D\right)</math> es un espacio de Banach. 

Una vez establecido esto, <math>D</math> será un disco Banach en cualquier EVT en el que <math>D</math> esté acotado.

{{teorema|título=Teorema{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=441-442}}|1= 
Sea <math>D</math> un disco en un espacio vectorial <math>X.</math>
Si existe una topología EVT de Hausdorff <math>\tau</math> en <math>\operatorname{ expan } D</math> tal que <math>D</math> es un subconjunto [[secuencialmente completo]] acotado de <math>(\operatorname{ expan } D, \tau),</math> entonces <math>\left(X_D, p_D\right)</math> es un espacio de Banach.
}}

{{demostración|1=
Supóngase sin pérdida de generalidad que <math>X= \operatorname{ expan } D</math> y sea <math>p := p_D</math> el [[funcional de Minkowski]] de <math>D.</math>
Dado que <math>D</math> es un subconjunto acotado de un EVT de Hausdorff, <math>D</math> no contiene ningún subespacio vectorial no trivial, lo que implica que <math>p</math> es una norma.
Sea <math>\tau_D</math> la topología de una norma en <math>X</math> inducida por <math>p</math> donde, dado que <math>D</math> es un subconjunto acotado de <math>(X, \tau),</math> <math>\tau_D</math> es más fina que <math>\tau.</math>

Debido a que <math>D</math> es convexo y equilibrado, para cualquier <math>0 < m < n</math>

:<math>2^{-(n+1)} D + \cdots + 2^{-(m+2)} D= 2^{-(m+1)} \left(1 - 2^{m-n}\right) D \subseteq 2^{-(m+2)} D.</math>

Sea <math>x_{\bull}= \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> una secuencia de Cauchy en <math>\left(X_D, p\right).</math>
Al reemplazar <math>x_{\bull}</math> con una subsecuencia, podemos asumir sin pérdida de generalidad<sup>†</sup> que para todo <math>i,</math>

:<math>x_{i+1} - x_i \in \frac{1}{2^{i+2}} D. </math>

Esto implica que para cualquier <math>0 < m < n,</math>

:<math>x_n - x_m= \left(x_n - x_{n-1}\right) + \left(x_{m+1} - x_m\right) \in 2^{-(n+1)} D + \cdots + 2^{-(m+2)} D \subseteq 2^{-(m+2)} D</math>

de modo que en particular, tomando <math>m= 1</math> se deduce que <math>x_{\bull}</math> está contenido en <math>x_1 + 2^{-3} D.</math>
Dado que <math>\tau_D</math> es más fina que <math>\tau,</math> <math>x_{\bull}</math> es una secuencia de Cauchy en <math>(X, \tau).</math>
Para todo <math>m > 0,</math> <math>2^{-(m+2)} D</math> es un subconjunto secuencialmente completo de Hausdorff de <math>(X, \tau).</math>
En particular, esto es cierto para <math>x_1 + 2^{-3} D</math>, por lo que existe algún <math>x \in x_1 + 2^{-3} D</math> tal que <math>x_{\bull} \to x</math> en <math>(X, \tau).</math>

Dado que <math>x_n - x_m \in 2^{-(m+2)} D</math> para todos los <math>0 < m < n,</math> fijando <math>m</math> y tomando el límite (en <math>(X, \tau)</math>) como <math>n \to \infty,</math> se deduce que <math>x - x_m \in 2^{-(m+2)} D</math> para cada <math>m > 0.</math>
Esto implica que <math>p\left(x - x_m\right) \to 0</math> es <math>m \to \infty,</math> lo que implica exactamente que <math>x_{\bull} \to x</math> en <math>\left(X_D, p\right).</math>
Esto demuestra que <math>\left(X_D, p\right)</math> está completo.

<sup>†</sup> Esta suposición está permitida porque <math>x_{\bull}</math> es una secuencia de Cauchy en un espacio métrico (por lo que los límites de todas las subsecuencias son iguales) y una secuencia en un espacio métrico converge si y solo si cada subsecuencia tiene una subsubsecuencia que converge.
}}

Tenga en cuenta que incluso si <math>D</math> no es un subconjunto acotado y secuencialmente completo de cualquier EVT de Hausdorff, aún se podría concluir que <math>\left(X_D, p_D\right)</math> es un espacio de Banach aplicando este teorema a algún disco <math>K</math> que satisfaga

:<math>\left\{x \in \operatorname{ expan } D : p_D(x) < 1\right\} \subseteq K \subseteq \left\{x \in \operatorname{ expan } D : p_D(x) \leq 1\right\}</math>

porque <math>p_D= p_K.</math>

Las siguientes son consecuencias del teorema anterior:

*Un disco acotado secuencialmente completo en un EVT de Hausdorff es un disco de Banach.{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=441-457}}
*Cualquier disco en un EVT de Hausdorff que esté completo y acotado (por ejemplo, compacto) es un disco de Banach.{{sfn|Trèves|2006|pp=370–371}}
*La bola cerrada unidad en un [[espacio de Fréchet]] está secuencialmente completa y, por lo tanto, es un disco de Banach.{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=441-457}}

Supóngase que <math>D</math> es un disco acotado en un EVT <math>X.</math>

*Si <math>L : X \to Y</math> es una aplicación lineal continua y <math>B \subseteq X</math> es un disco de Banach, entonces <math>L(B)</math> es un disco de Banach y <math>L\big\vert_{X_B} : X_B \to L\left(X_B\right)</math> induce un isomorfismo sobre el EVT <math>Y_{L(B)} \cong X_B / \left(X_B \cap \operatorname{ker} L\right).</math>

===Propiedades de los discos de Banach===

Sea <math>X</math> un EVT y <math>D</math> sea un disco limitado en <math>X.</math>

Si <math>D</math> es un disco de Banach acotado en un espacio localmente convexo de Hausdorff <math>X</math>, y si <math>T</math> es barrilado en <math>X</math>, entonces <math>T</math> [[Conjunto absorbente|absorbe]] a <math>D</math> (es decir, hay un número <math>r > 0</math> tal que <math>D \subseteq r T.</math>{{sfn|Trèves|2006|pp=370-373}}

Si <math>U</math> es un entorno cerrado equilibrado convexo del origen en <math>X</math>, entonces la colección de todos los entornos <math>r U,</math> donde <math>r > 0</math> abarca los números reales positivos, induce una topología de espacio vectorial topológico en <math>X.</math> Cuando <math>X</math> tiene esta topología, se denota por <math>X_U.</math> Dado que la topología no es necesariamente de Hausdorff ni completa, la completación del espacio de Hausdorff <math>X / p_U^{-1}(0)</math> se denota por <math>\overline{X_U}</math>, de modo que <math>\overline{X_U}</math> es un espacio de Hausdorff completo y <math>p_U(x) := \inf_{x \in r U, r > 0} r</math> es una norma en este espacio que convierte a <math>\overline{X_U}</math> en un espacio de Banach. El polar de <math>U,</math> <math>U^{\circ},</math> es un disco equicontinuo acotado débilmente compacto en <math>X^{\prime}</math> y, por lo tanto, es infracompleto.

Si <math>X</math> es un EVT [[Espacio vectorial topológico metrizable|metrizable]] [[Espacio localmente convexo|localmente convexo]], entonces para cada subconjunto [[Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)|acotado]] <math>B</math> de <math>X,</math> existe un [[Conjunto absolutamente convexo|disco]] <math>D</math> acotado en <math>X</math> tal que <math>B \subseteq X_D,</math> y tanto <math>X</math> como <math>X_D</math> inducen la misma [[topología traza|topología del subespacio]] en <math>B.</math>{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=441-457}}

==Inducido por un disco radial – cociente==

Supóngase que <math>X</math> es un espacio vectorial topológico y <math>V</math> es un conjunto [[Convexidad|convexo]] [[Conjunto equilibrado|equilibrado]] y [[Conjunto radial|radial]].
Entonces, <math>\left\{\tfrac{1}{n} V : n= 1, 2, \ldots\right\}</math> es una base del entorno en el origen para alguna topología localmente convexa <math>\tau_V</math> en <math>X.</math>
Esta topología de EVT <math>\tau_V</math> está dada por el [[funcional de Minkowski]], y está formada por <math>V,</math> <math>p_V : X \to \R,</math> que es una seminorma en <math>X</math> definida por <math>p_V(x) := \inf_{x \in r V, r > 0} r.</math>
La topología <math>\tau_V</math> es de Hausdorff si y solo si <math>p_V</math> es una norma, o equivalentemente, si y solo si <math>X / p_V^{-1}(0)= \{0\}</math> o equivalente, para lo cual basta que <math>V</math> esté [[Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)|acotado]] en <math>X.</math>
La topología <math>\tau_V</math> no tiene por qué ser de Hausdorff, pero <math>X / p_V^{-1}(0)</math> sí que lo es.
<math>X / p_V^{-1}(0)</math> induce una norma sobre <math>\left\|x + X / p_V^{-1}(0)\right\|:= p_V(x),</math> donde este valor es, de hecho, independiente del representante de la clase de equivalencia <math>x + X / p_V^{-1}(0)</math> elegida.
El espacio normado <math>\left(X / p_V^{-1}(0), \|\cdot \|\right)</math> se denota por <math>X_V</math> y su completación se denota por <math>\overline{X_V}.</math>

Si además, <math>V</math> está acotado en <math>X</math>, entonces la seminorma <math>p_V : X \to \R</math> es una norma, por lo que en particular, <math>p_V^{-1}(0)= \{0\}.</math>
En este caso, se toma <math>X_V</math> como el espacio vectorial <math>X</math> en lugar de <math>X / \{0\}</math>, de modo que la notación <math>X_V</math> no sea ambigua (si <math>X_V</math> denota el espacio inducido por un disco radial o el espacio inducido por un disco acotado).{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=97}}

La [[espacio cociente (topología)|topología cociente]] <math>\tau_Q</math> en <math>X / p_V^{-1}(0)</math> (heredada de la topología original de <math>X</math>) es más fina (en general, estrictamente más fina) que la topología normal.

===Aplicaciones canónicas===

La ''aplicación canónica'' es la [[clase de equivalencia]] <math>q_V : X \to X_V= X / p_V^{-1}(0),</math> que es continua cuando <math>X_V</math> tiene la topología normal o la topología del cociente.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=97}}

Si <math>U</math> y <math>V</math> son discos radiales tales como <math>U \subseteq V</math>, entonces <math>p_U^{-1}(0) \subseteq p_V^{-1}(0)</math>, por lo que existe una ''aplicación canónica'' sobreyectiva lineal continua <math>q_{V,U} : X / p_U^{-1}(0) \to X / p_V^{-1}(0)= X_V</math>, definida enviando <math>x + p_U^{-1}(0) \in X_U= X / p_U^{-1}(0)</math> a la clase de equivalencia <math>x + p_V^{-1}(0),</math> donde se puede verificar que la definición no depende del representante de la clase de equivalencia <math>x + p_U^{-1}(0)</math> que se elija.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=97}}

Esta aplicación canónica tiene la norma <math>\,\leq 1</math>,{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=97}} y posee una extensión canónica lineal continua única a <math>\overline{X_U}</math> que se denota por <math>\overline{g_{V,U}} : \overline{X_U} \to \overline{X_V}.</math>

Supóngase además que <math>B \neq \varnothing</math> y <math>C</math> son discos acotados en <math>X</math> con <math>B \subseteq C</math>, de modo que <math>X_B \subseteq X_C</math> y la inclusión <math>\operatorname{In}_B^C : X_B \to X_C</math> sea una aplicación lineal continua.
Sean <math>\operatorname{In}_B : X_B \to X,</math> <math>\operatorname{In}_C : X_C \to X,</math> y <math>\operatorname{In}_B^C : X_B \to X_C</math> las aplicaciones canónicas.
Entonces, <math>\operatorname{In}_C= \operatorname{In}_B^C \circ \operatorname{In}_C : X_B \to X_C</math> y <math>q_V= q_{V,U} \circ q_U.</math>{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=97}}

==Inducido por un disco radial acotado==

Supóngase que <math>S</math> es un disco radial acotado.
Dado que <math>S</math> es un disco acotado, si <math>D := S</math>, entonces se puede crear el espacio normado auxiliar <math>X_D= \operatorname{ expan } D</math> con la norma <math>p_D(x) := \inf_{x \in r D, r > 0} r</math>. Como <math>S</math> es radial, <math>X_S= X.</math>
Dado que <math>S</math> es un disco radial, si <math>V := S</math>, entonces se puede crear el espacio de la seminorma auxiliar <math>X / p_V^{-1}(0)</math> con la seminorma <math>p_V(x) := \inf_{x \in r V, r > 0} r</math>. Debido a que <math>S</math> está acotado, esta seminorma es una norma y <math>p_V^{-1}(0)= \{0\}</math>, por lo que entonces <math>X / p_V^{-1}(0)= X / \{0\}= X.</math>
Así, en este caso, los dos espacios normados auxiliares producidos por estos dos métodos diferentes dan como resultado el mismo espacio normado.

==Dualidad==

Supongamos que <math>H</math> es un disco equicontinuo débilmente cerrado en <math>X^{\prime}</math> (esto implica que <math>H</math> es débilmente compacto) y sea

:<math>U := H^{\circ}= \{x \in X :|h(x)|\leq 1 \text{for all } h \in H\}</math>

el [[conjunto polar|polar]] de <math>H.</math>
Debido a que <math>U^\circ= H^{\circ\circ}= H</math> según el [[teorema bipolar]], se deduce que un funcional lineal continuo <math>f</math> pertenece a <math>X^{\prime}_H= \operatorname{ expan } H</math> si y solo si <math>f</math> pertenece al espacio dual continuo de <math>\left(X, p_U\right),</math> donde <math>p_U</math> es el [[funcional de Minkowski]] de <math>U</math> definido por <math>p_U(x) := \inf_{x \in r U, r > 0} r.</math>{{sfn|Trèves|2006|p=477}}

==Conceptos relacionados==

Un disco en un EVT se llama ''[[infrabornivoro]]''{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=441-457}} si [[Conjunto absorbente|absorbe]] todos los discos de Banach.

Un aplicación lineal entre en dos EVT se llama ''[[aplicación infra-acotada|infra-acotada]]''{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=441-457}} si asigna discos de Banach a discos delimitados.

===Convergencia rápida===
Se dice que una sucesión <math>x_\bull= \left(x_i\right)_{i=1}^\infty</math> en un EVT <math>X</math> es "rápidamente convergente"{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=441-457}} a un punto <math>x \in X</math> si existe un disco de Banach <math>D</math> tal que tanto <math>x</math> como la sucesión estén (finalmente) contenidos en <math>\operatorname{ expan } D</math> y <math>x_\bull \to x</math> en <math>\left(X_D, p_D\right).</math>

Toda sucesión rápidamente convergente es [[sucesión convergente de Mackey|Mackey convergente]].{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=441-457}}

==Véase también==
*[[Espacio bornológico]]
*[[Espacio localmente convexo]]
*[[Topología inicial]]
*[[Producto tensorial de espacios de Hilbert]]
*[[Espacio ultrabornológico]]

==Notas==
{{reflist|group=note}}

==Referencias==
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==Bibliografía==
* {{Cita publicación |url=https://downloads.hindawi.com/journals/ijmms/1995/138625.pdf |título=Some remarks about Mackey convergence |apellidos=Burzyk |nombre=Józef |apellidos2=Gilsdorf |nombre2=Thomas E. |publicación=International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences |editorial=Hindawi Limited |volumen=18 |número=4 |páginas=659–664 |issn=0161-1712 |doi=10.1155/s0161171295000846 |año=1995}} <!--{{sfn|Burzyk|Gilsdorf|1995|pp=}}-->
* {{cita libro|apellido=Diestel|nombre=Joe|título=The Metric Theory of Tensor Products: Grothendieck's Résumé Revisited|editorial=[[American Mathematical Society]]|ubicación=Providence, R.I.|año=2008|volume=16|isbn=9781470424831|oclc=185095773}}
* {{cita libro|apellido=Dubinsky|nombre=Ed|enlace-autor=Ed Dubinsky|título=The Structure of Nuclear Fréchet Spaces|editorial=[[Springer Publishing|Springer-Verlag]]|ubicación=Berlin New York|año=1979|volume=720|series=[[ Lecture Notes in Mathematics]]|isbn=978-3-540-09504-0|oclc=5126156}}
* {{cite journal|apellido=Grothendieck|nombre=Alexander|enlace-autor=Alexander Grothendieck|language=fr|trans-title=Topological Tensor Products and Nuclear Spaces|título=Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires|editorial=American Mathematical Society|ubicación=Providence|año=1955|volume=16|journal=Memoirs of the American Mathematical Society Series|isbn=978-0-8218-1216-7|oclc=1315788|mr=0075539}}
* {{cita libro|apellido=Hogbe-Nlend|nombre=Henri|enlace-autor=Henri Hogbe-Nlend|título=Bornologies and Functional Analysis: Introductory Course on the Theory of Duality Topology-Bornology and its use in Functional Analysis|editorial=North Holland|ubicación=Amsterdam New York New York|año=1977|volume=26|series=North-Holland Mathematics Studies|isbn=978-0-08-087137-0|oclc=316549583|mr=0500064}}
* {{cita libro|apellido1=Hogbe-Nlend|nombre1=Henri|enlace-autor1=Henri Hogbe-Nlend|apellido2=Moscatelli|nombre2=V. B.|enlace-autor2=V. B. Moscatelli|título=Nuclear and Conuclear Spaces: Introductory Course on Nuclear and Conuclear Spaces in the Light of the Duality "topology-bornology"|editorial=North Holland|ubicación=Amsterdam New York New York|año=1981|volume=52|series=North-Holland Mathematics Studies|isbn=978-0-08-087163-9|oclc=316564345}}
* {{cita libro|apellido1=Husain|nombre1=Taqdir|apellido2=Khaleelulla|nombre2=S. M.|título=Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces|editorial=[[Springer Science+Business Media]]|ubicación=Berlin, New York, Heidelberg|año=1978|volume=692|series=[[ Lecture Notes in Mathematics]]|isbn=978-3-540-09096-0|oclc=4493665}}
* {{cita libro|apellido=Khaleelulla|nombre=S. M.|título=Counterexamples in Topological Vector Spaces|editorial=[[Springer Science+Business Media]]|ubicación=Berlin, Heidelberg, New York|año=1982|volume=936|series=[[ Lecture Notes in Mathematics]]|isbn=978-3-540-11565-6|oclc=8588370}}
* {{cita libro|apellido=Narici|nombre=Lawrence|apellido2=Beckenstein|nombre2=Edward|título=Topological Vector Spaces|edición=Second|editorial=CRC Press|ubicación=Boca Raton, FL|año=2011|series=Pure and applied mathematics|isbn=978-1584888666|oclc=144216834}}
* {{cita libro|apellido=Pietsch|nombre=Albrecht|enlace-autor=Albrecht Pietsch|título=Nuclear Locally Convex Spaces|edición=Second|editorial=[[ Springer Puslishing|Springer-Verlag]]|ubicación=Berlin, New York|año=1979|volume=66|series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete|isbn=978-0-387-05644-9|oclc=539541}}
* {{cita libro|apellido1=Robertson|nombre1=Alex P.|apellido2=Robertson|nombre2=Wendy J.|título=Topological Vector Spaces|editorial=[[Cambridge University Press]]|ubicación=Cambridge England|año=1980|volume=53|series=[[ Cambridge Tracts in Mathematics]]|isbn=978-0-521-29882-7|oclc=589250}}
* {{cita libro|apellido=Schaefer|nombre=Helmut H.|enlace-autor=Helmut H. Schaefer|apellido2=Wolff|nombre2=Manfred P.|título=Topological Vector Spaces|edición=Second|volume=8|editorial=Springer New York Imprint Springer|ubicación=New York, NY|año=1999|series=[[ Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|isbn=978-1-4612-7155-0|oclc=840278135}}
* {{cita libro|apellido=Trèves|nombre=François|enlace-autor=François Trèves|título=Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels|editorial=Dover Publications|ubicación=Mineola, N.Y.|año=2006|año-original=1967|isbn=978-0-486-45352-1|oclc=853623322}}
* {{cita libro|apellido=Wong|nombre=Yau-Chuen|enlace-autor=Yau-Chuen Wong|título=Schwartz Spaces, Nuclear Spaces, and Tensor Products|editorial=[[Springer Publishing|Springer-Verlag]]|ubicación=Berlin New York|año=1979|volume=726|series=[[ Lecture Notes in Mathematics]]|isbn=978-3-540-09513-2|oclc=5126158}}

==Enlaces externos==
* [https://ncatlab.org/nlab/show/nuclear+space Espacio nuclear en ncatlab]

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Análisis funcional]]