Espacio normado auxiliar

En análisis funcional, Alexander Grothendieck (1928-2014) empleó sistemáticamente dos métodos para construir espacios normados a partir de discos con el fin de definir operadores nucleares y espacios nucleares:Plantilla:Sfn

El primero de estos métodos se utiliza si el disco $D$ está acotado. En este caso, el espacio normado auxiliar es $expan D$ , con la norma

p_{D} (x) : = \inf_{x \in r D, r > 0} r .

El otro método se utiliza si el disco $D$ es absorbente. En este segundo caso, el espacio normado auxiliar es el espacio cociente $X / p_{D}^{- 1} (0) .$

Si el disco está acotado y es absorbente, entonces los dos espacios normados auxiliares son canónicamente isomorfos (como espacios vectoriales topológicos y espacios normados).

Inducido por un disco acotado – Discos de Banach

En este artículo, $X$ será un espacio vectorial real o complejo (aunque no necesariamente un EVT) y $D$ será un disco en $X .$

Espacio seminormado inducido por un disco

Sea $X$ un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto $D$ de $X,$ el Funcional de Minkowski de $D$ se define por:

Si $D = \emptyset$ , entonces define $p_{\emptyset} (x) : {0} \to [0, \infty)$ como la aplicación trivial $p_{\emptyset} = 0$ Plantilla:Sfn y se asumirá que $expan \emptyset = {0} .$ ^{[note 1]}
Si $D \neq \emptyset$ y si $D$ es absorbente en $expan D$ , entonces denota el funcional de Minkowski de $D$ en $expan D$ por

p_{D} : expan D \to [0, \infty)

donde para todos los $x \in expan D,$ esto se define por : $p_{D} (x) : = \inf_{} {r : x \in r D, r > 0} .$

Sea $X$ un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto $D$ de $X$ tal que el $p_{D}$ funcional de Minkowski sea una seminorma en $expan D,$ denótese por $X_{D}$

X_{D} : = (expan D, p_{D})

que se denomina seminorma inducida por $D,$ donde si $p_{D}$ es una norma, entonces se llama espacio normado inducido por $D .$

Supuesto (Topología): $X_{D} = expan D$ está dotado de la topología de la seminorma inducida por $p_{D},$ que se denotará por $τ_{D}$ o $τ_{p_{D}} .$

Es importante destacar que esta topología surge "completamente" del conjunto $D,$ la estructura algebraica de $X,$ y la topología habitual en $ℝ$ (ya que $p_{D}$ se define usando Plantilla:Enf el conjunto $D$ y la multiplicación escalar). Esto justifica el estudio de los discos de Banach y es parte de la razón por la que juegan un papel importante en la teoría de operadores nucleares y espacios nucleares.

La aplicación de inclusión ${In}_{D} : X_{D} \to X$ se denomina "aplicación canónica".Plantilla:Sfn

Supóngase que $D$ es un disco. Entonces, $expan D = ⋃_{n = 1}^{\infty} n D$ para que $D$ sea absorbente en $expan D,$ el sistema generador de $D .$ El conjunto ${r D : r > 0}$ de todos los múltiplos escalares positivos de $D$ forma una base en el entorno del origen para una topología inducida en un espacio localmente convexo $τ_{D}$ en $expan D .$ El funcional de Minkowski del disco $D$ en $expan D$ garantiza que $p_{D}$ esté bien definido y forme una seminorma en $expan D .$ Plantilla:Sfn La topología localmente convexa inducida por esta seminorma es la topología $τ_{D}$ que se definió anteriormente.

Definición de disco de Banach

Un disco acotado $D$ en un espacio vectorial topológico $X$ tal que $(X_{D}, p_{D})$ sea un espacio de Banach, se denomina disco de Banach, infracompleto o completante acotado en $X .$

Si se muestra que $(expan D, p_{D})$ es un espacio de Banach, entonces $D$ será un disco de Banach en Plantilla:Enf que contenga $D$ como un subconjunto acotado.

Esto se debe a que el funcional $p_{D}$ de Minkowski se define en términos puramente algebraicos. En consecuencia, la cuestión de si $(X_{D}, p_{D})$ forma o no un espacio de Banach depende únicamente del disco $D$ y de $p_{D},$ el funcional de Minkowski, y no de ninguna topología del EVT particular que $X$ pueda tener inducida. Por lo tanto, el requisito de que un disco de Banach en un EVT $X$ sea un subconjunto acotado de $X$ es la única propiedad que vincula la topología de un disco de Banach con la topología del EVT $X$ que lo contiene.

Propiedades de los espacios seminormados inducidos por un disco

Discos acotados

El siguiente resultado explica por qué es necesario limitar los discos de Banach.

Plantilla:Teorema Plantilla:Demostración

Hausdorffsidad

El espacio $(X_{D}, p_{D})$ es de Hausdorff si y solo si $p_{D}$ es una norma, lo que ocurre si y solo si $D$ no contiene ningún subespacio vectorial no trivial.Plantilla:Sfn En particular, si existe una topología en un EVT de Hausdorff $X$ , de modo que $D$ esté acotado en $X$ , entonces $p_{D}$ es una norma. Un ejemplo en el que $X_{D}$ no es de Hausdorff se obtiene dejando que $X = ℝ^{2}$ y dejando que $D$ sea el eje $x$ .

Convergencia de redes

Supóngase que $D$ es un disco en $X$ tal que $X_{D}$ es de Hausdorff y sea $x_{∙} = {(x_{i})}_{i \in I}$ una red en $X_{D} .$ Entonces, $x_{∙} \to 0$ en $X_{D}$ si y solo si existe un $r_{∙} = {(r_{i})}_{i \in I}$ red de números reales tal que $r_{∙} \to 0$ y $x_{i} \in r_{i} D$ para todo $i$ ; además, en este caso se asumirá sin pérdida de generalidad que $r_{i} \geq 0$ para todo $i .$

Relación entre espacios inducidos por un disco

Si $C \subseteq D \subseteq X$ , entonces $expan C \subseteq expan D$ y $p_{D} \leq p_{C}$ en $expan C,$ se define la siguiente aplicación lineal continua:Plantilla:Sfn

Si $C$ y $D$ son discos en $X$ con $C \subseteq D$ , entonces denomínese a la aplicación de inclusión ${In}_{C}^{D} : X_{C} \to X_{D}$ la "inclusión canónica" de $X_{C}$ en $X_{D} .$

En particular, la topología subespacial que $expan C$ hereda de $(X_{D}, p_{D})$ es más débil que la topología inducida por la seminorma de $(X_{C}, p_{C})$ .Plantilla:Sfn

El disco como bola unitaria cerrada

El disco $D$ es un subconjunto cerrado de $(X_{D}, p_{D})$ si y solo si $D$ es la bola unitaria cerrada de la seminorma $p_{D}$ ; esto es

D = {x \in expan D : p_{D} (x) \leq 1} .

Si $D$ es un disco en un espacio vectorial $X$ y si existe una topología EVT $τ$ en $expan D$ tal que $D$ es un subconjunto cerrado y acotado de $(expan D, τ),$ entonces $D$ es la bola unitaria cerrada de $(X_{D}, p_{D})$ (es decir, $D = {x \in expan D : p_{D} (x) \leq 1}$ ) (véase nota al pie para su demostración).^{[note 2]}

Condiciones suficientes para un disco de Banach

El siguiente teorema se puede utilizar para establecer que $(X_{D}, p_{D})$ es un espacio de Banach.

Una vez establecido esto, $D$ será un disco Banach en cualquier EVT en el que $D$ esté acotado.

Plantilla:Teorema

Plantilla:Demostración

Tenga en cuenta que incluso si $D$ no es un subconjunto acotado y secuencialmente completo de cualquier EVT de Hausdorff, aún se podría concluir que $(X_{D}, p_{D})$ es un espacio de Banach aplicando este teorema a algún disco $K$ que satisfaga

{x \in expan D : p_{D} (x) < 1} \subseteq K \subseteq {x \in expan D : p_{D} (x) \leq 1}

porque $p_{D} = p_{K} .$

Las siguientes son consecuencias del teorema anterior:

Un disco acotado secuencialmente completo en un EVT de Hausdorff es un disco de Banach.Plantilla:Sfn
Cualquier disco en un EVT de Hausdorff que esté completo y acotado (por ejemplo, compacto) es un disco de Banach.Plantilla:Sfn
La bola cerrada unidad en un espacio de Fréchet está secuencialmente completa y, por lo tanto, es un disco de Banach.Plantilla:Sfn

Supóngase que $D$ es un disco acotado en un EVT $X .$

Si $L : X \to Y$ es una aplicación lineal continua y $B \subseteq X$ es un disco de Banach, entonces $L (B)$ es un disco de Banach y $L |_{X_{B}} : X_{B} \to L (X_{B})$ induce un isomorfismo sobre el EVT $Y_{L (B)} ≅ X_{B} / (X_{B} \cap \ker L) .$

Propiedades de los discos de Banach

Sea $X$ un EVT y $D$ sea un disco limitado en $X .$

Si $D$ es un disco de Banach acotado en un espacio localmente convexo de Hausdorff $X$ , y si $T$ es barrilado en $X$ , entonces $T$ absorbe a $D$ (es decir, hay un número $r > 0$ tal que $D \subseteq r T .$ Plantilla:Sfn

Si $U$ es un entorno cerrado equilibrado convexo del origen en $X$ , entonces la colección de todos los entornos $r U,$ donde $r > 0$ abarca los números reales positivos, induce una topología de espacio vectorial topológico en $X .$ Cuando $X$ tiene esta topología, se denota por $X_{U} .$ Dado que la topología no es necesariamente de Hausdorff ni completa, la completación del espacio de Hausdorff $X / p_{U}^{- 1} (0)$ se denota por $\overline{X_{U}}$ , de modo que $\overline{X_{U}}$ es un espacio de Hausdorff completo y $p_{U} (x) : = \inf_{x \in r U, r > 0} r$ es una norma en este espacio que convierte a $\overline{X_{U}}$ en un espacio de Banach. El polar de $U,$ $U^{\circ},$ es un disco equicontinuo acotado débilmente compacto en $X^{'}$ y, por lo tanto, es infracompleto.

Si $X$ es un EVT metrizable localmente convexo, entonces para cada subconjunto acotado $B$ de $X,$ existe un disco $D$ acotado en $X$ tal que $B \subseteq X_{D},$ y tanto $X$ como $X_{D}$ inducen la misma topología del subespacio en $B .$ Plantilla:Sfn

Inducido por un disco radial – cociente

Supóngase que $X$ es un espacio vectorial topológico y $V$ es un conjunto convexo equilibrado y radial. Entonces, ${\frac{1}{n} V : n = 1, 2, \dots}$ es una base del entorno en el origen para alguna topología localmente convexa $τ_{V}$ en $X .$ Esta topología de EVT $τ_{V}$ está dada por el funcional de Minkowski, y está formada por $V,$ $p_{V} : X \to ℝ,$ que es una seminorma en $X$ definida por $p_{V} (x) : = \inf_{x \in r V, r > 0} r .$ La topología $τ_{V}$ es de Hausdorff si y solo si $p_{V}$ es una norma, o equivalentemente, si y solo si $X / p_{V}^{- 1} (0) = {0}$ o equivalente, para lo cual basta que $V$ esté acotado en $X .$ La topología $τ_{V}$ no tiene por qué ser de Hausdorff, pero $X / p_{V}^{- 1} (0)$ sí que lo es. $X / p_{V}^{- 1} (0)$ induce una norma sobre $‖ x + X / p_{V}^{- 1} (0) ‖ : = p_{V} (x),$ donde este valor es, de hecho, independiente del representante de la clase de equivalencia $x + X / p_{V}^{- 1} (0)$ elegida. El espacio normado $(X / p_{V}^{- 1} (0), ‖ \cdot ‖)$ se denota por $X_{V}$ y su completación se denota por $\overline{X_{V}} .$

Si además, $V$ está acotado en $X$ , entonces la seminorma $p_{V} : X \to ℝ$ es una norma, por lo que en particular, $p_{V}^{- 1} (0) = {0} .$ En este caso, se toma $X_{V}$ como el espacio vectorial $X$ en lugar de $X / {0}$ , de modo que la notación $X_{V}$ no sea ambigua (si $X_{V}$ denota el espacio inducido por un disco radial o el espacio inducido por un disco acotado).Plantilla:Sfn

La topología cociente $τ_{Q}$ en $X / p_{V}^{- 1} (0)$ (heredada de la topología original de $X$ ) es más fina (en general, estrictamente más fina) que la topología normal.

Aplicaciones canónicas

La aplicación canónica es la clase de equivalencia $q_{V} : X \to X_{V} = X / p_{V}^{- 1} (0),$ que es continua cuando $X_{V}$ tiene la topología normal o la topología del cociente.Plantilla:Sfn

Si $U$ y $V$ son discos radiales tales como $U \subseteq V$ , entonces $p_{U}^{- 1} (0) \subseteq p_{V}^{- 1} (0)$ , por lo que existe una aplicación canónica sobreyectiva lineal continua $q_{V, U} : X / p_{U}^{- 1} (0) \to X / p_{V}^{- 1} (0) = X_{V}$ , definida enviando $x + p_{U}^{- 1} (0) \in X_{U} = X / p_{U}^{- 1} (0)$ a la clase de equivalencia $x + p_{V}^{- 1} (0),$ donde se puede verificar que la definición no depende del representante de la clase de equivalencia $x + p_{U}^{- 1} (0)$ que se elija.Plantilla:Sfn

Esta aplicación canónica tiene la norma $\leq 1$ ,Plantilla:Sfn y posee una extensión canónica lineal continua única a $\overline{X_{U}}$ que se denota por $\overline{g_{V, U}} : \overline{X_{U}} \to \overline{X_{V}} .$

Supóngase además que $B \neq \emptyset$ y $C$ son discos acotados en $X$ con $B \subseteq C$ , de modo que $X_{B} \subseteq X_{C}$ y la inclusión ${In}_{B}^{C} : X_{B} \to X_{C}$ sea una aplicación lineal continua. Sean ${In}_{B} : X_{B} \to X,$ ${In}_{C} : X_{C} \to X,$ y ${In}_{B}^{C} : X_{B} \to X_{C}$ las aplicaciones canónicas. Entonces, ${In}_{C} = {In}_{B}^{C} \circ {In}_{C} : X_{B} \to X_{C}$ y $q_{V} = q_{V, U} \circ q_{U} .$ Plantilla:Sfn

Inducido por un disco radial acotado

Supóngase que $S$ es un disco radial acotado. Dado que $S$ es un disco acotado, si $D : = S$ , entonces se puede crear el espacio normado auxiliar $X_{D} = expan D$ con la norma $p_{D} (x) : = \inf_{x \in r D, r > 0} r$ . Como $S$ es radial, $X_{S} = X .$ Dado que $S$ es un disco radial, si $V : = S$ , entonces se puede crear el espacio de la seminorma auxiliar $X / p_{V}^{- 1} (0)$ con la seminorma $p_{V} (x) : = \inf_{x \in r V, r > 0} r$ . Debido a que $S$ está acotado, esta seminorma es una norma y $p_{V}^{- 1} (0) = {0}$ , por lo que entonces $X / p_{V}^{- 1} (0) = X / {0} = X .$ Así, en este caso, los dos espacios normados auxiliares producidos por estos dos métodos diferentes dan como resultado el mismo espacio normado.

Dualidad

Supongamos que $H$ es un disco equicontinuo débilmente cerrado en $X^{'}$ (esto implica que $H$ es débilmente compacto) y sea

U : = H^{\circ} = {x \in X : | h (x) | \leq 1 for all h \in H}

el polar de $H .$ Debido a que $U^{\circ} = H^{\circ \circ} = H$ según el teorema bipolar, se deduce que un funcional lineal continuo $f$ pertenece a $X_{H}^{'} = expan H$ si y solo si $f$ pertenece al espacio dual continuo de $(X, p_{U}),$ donde $p_{U}$ es el funcional de Minkowski de $U$ definido por $p_{U} (x) : = \inf_{x \in r U, r > 0} r .$ Plantilla:Sfn

Conceptos relacionados

Un disco en un EVT se llama infrabornivoroPlantilla:Sfn si absorbe todos los discos de Banach.

Un aplicación lineal entre en dos EVT se llama infra-acotadaPlantilla:Sfn si asigna discos de Banach a discos delimitados.

Convergencia rápida

Se dice que una sucesión $x_{∙} = {(x_{i})}_{i = 1}^{\infty}$ en un EVT $X$ es "rápidamente convergente"Plantilla:Sfn a un punto $x \in X$ si existe un disco de Banach $D$ tal que tanto $x$ como la sucesión estén (finalmente) contenidos en $expan D$ y $x_{∙} \to x$ en $(X_{D}, p_{D}) .$

Toda sucesión rápidamente convergente es Mackey convergente.Plantilla:Sfn

Véase también

Notas

Plantilla:Reflist

Referencias

Plantilla:Listaref

Bibliografía

Enlaces externos

Espacio nuclear en ncatlab

Plantilla:Control de autoridades
Error en la cita: Existen etiquetas <ref> para un grupo llamado «note», pero no se encontró la etiqueta <references group="note"/> correspondiente.

[note 1]

[note 2]

Espacio normado auxiliar

Sumario

Inducido por un disco acotado – Discos de Banach

Espacio seminormado inducido por un disco

Definición de disco de Banach

Propiedades de los espacios seminormados inducidos por un disco

Condiciones suficientes para un disco de Banach

Propiedades de los discos de Banach

Inducido por un disco radial – cociente

Aplicaciones canónicas

Inducido por un disco radial acotado

Dualidad

Conceptos relacionados

Convergencia rápida

Véase también

Notas

Referencias

Bibliografía

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Espacio normado auxiliar

Inducido por un disco acotado – Discos de Banach

Espacio seminormado inducido por un disco

Definición de disco de Banach

Propiedades de los espacios seminormados inducidos por un disco

Condiciones suficientes para un disco de Banach

Propiedades de los discos de Banach

Inducido por un disco radial – cociente

Aplicaciones canónicas

Inducido por un disco radial acotado

Dualidad

Conceptos relacionados

Convergencia rápida

Véase también

Notas

Referencias

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