Ver el código de «Intervalo (matemática)»

Un '''intervalo''' (del [[latín]] ''intervallum'')<ref>{{cita web |url=https://dle.rae.es/intervalo |título=Intervalo |fechaacceso=13 de agosto de 2021 |sitioweb=[[Real Academia Española]]}}</ref> es un [[conjunto conexo|subconjunto conexo]] de la [[recta real]], es decir, un subconjunto <math>I \subset \R</math> que satisface que, para cualesquiera <math>u, w \in I</math> y <math>v \in \R</math>, si <math>u \le v \le w</math>, entonces <math>v \in I</math>.<ref>Barbolla García R.M. y otros. ''Introducción al análisis real'' Alhambra, Madrid, 1982, segunda edición ISBN 84-205-0771-7</ref> Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad que la recta real.<ref>De Guzmán. Rubio: ''Integración: teoría y técnicas" ISBN 84-205-0631-1''</ref>

== Proposición ==
Un intervalo <math>I</math> es un subconjunto de <math>\R</math> que verifica la siguiente propiedad:
{{definición|
Si <math>r</math> y <math>t</math> son elementos de  <math>I</math> con <math>r \le t</math>, entonces para todo <math>s</math> tal que <math>r \le s \le t</math>, se cumple que <math>s \in I</math> 
}}

== Notación ==
Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y [[paréntesis]]; ambas notaciones están descritas en el [[estándar internacional]] [[ISO 31-11]].

=== Intervalos abiertos ===
[[Archivo:Intervalo real 01.svg|derecha|240px]]

====Definición====
Dados dos [[Número real|números reales]] <math> a </math> y <math> b </math>, se define el conjunto  <math> (a,b) = \{ x \in \mathbb{R}:a < x < b\} </math> llamado '''intervalo abierto''' de extremo inferior <math> a </math> y extremo superior <math> b </math>. 

En palabras, el intervalo abierto <math> (a,b) </math> es el conjunto de números reales comprendidos entre <math> a </math> y <math> b </math>: este conjunto no contiene a ninguno de los extremos <math> a </math> y <math> b </math>.<ref>César A. TREJO: ''El concepto de número''. Publicación de OEA, Washington D.C. (1973). Edición revisada  y corregida</ref> Es un intervalo de ''longitud finita.''

;Otras notaciones
: <math>
   (a,b)
   \; ; \quad
   \left ] a, b \right [
   \; ; \quad
   \langle a, b \rangle
</math>

En la [[definición (matemática)|definición]] de [[límite de una función|límite ordinario]] de una [[función real]] se considera como dominio un intervalo abierto que contiene al [[punto de acumulación]].

En la [[topología usual]] de la recta (o <math>\R</math>) se usa un intervalo abierto para definir un [[conjunto abierto]] en dicha topología. En la topología usual de <math>\R</math>, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto <math> (a,b) </math> es igual a su interior, su frontera es el conjunto <math> \{a,b\} </math> y su clausura es el intervalo cerrado <math> [a,b] </math>. Su exterior son las semirrectas <math> (-\infty,a] </math> y <math> [b,\infty) </math>.<ref>Ayala y otros: ''Elementos de la Topología general'', Salamanca, España, ISBN 84-7829-006-0 </ref> No tiene [[Punto aislado|puntos aislados]], mientras que todos sus puntos son puntos de acumulación del mismo intervalo.<ref>Rubiano: Topología general, Bogotá</ref>

=== Intervalos cerrados ===
Sí incluye los extremos.
* Que se indica: <math>I = [a,b]\ </math>
En notación conjuntista:
: <math>
   I = [a,b]=
   \{ x \in \mathbb{R} : a \le x \le b \}
</math>

=== Intervalos semiabiertos ===
Incluye únicamente uno de los extremos.
[[Archivo:Intervalo real 03.svg|derecha|240px]]
* Con la notación <math> (a,b] </math> o bien <math> \left]a,b\right] </math> indicamos.

En notación conjuntista:
: <math>
   I = (a,b] =
   \{ x \in \mathbb{R} : a < x \le b \}
</math>

[[Archivo:Intervalo real 02.svg|derecha|240px]]
* Y con la notación <math> [a,b) </math> o bien <math> \left[a,b\right[ </math>,

En notación conjuntista:
: <math>
   I = [a,b) =
   \{ x \in \mathbb{R} : a \le x < b \}
</math>

Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman '''finitos'''; los expertos asignan como su longitud <math> |b-a| </math>. Son muy útiles en el [[análisis matemático]] y en los temas de topología general, para el estudio de diferentes conceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc.<ref>Mansfield, M.J. (1974). ''Introducción a la topología.'' Madrid, España. Editorial Alhambra S.A.</ref> Se usan en definición de funciones como la función máximo entero, o la función techo o función piso en [[Matemática discreta|matemáticas discretas]] y para la solución de ecuaciones que conllevan valor absoluto, la [[función signo]], etc.<ref>Arizmendi. Carrillo. Lara: ''Cálculo'' Cecsa, Mexico D.F.</ref>

Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es <math>(a+b)/2</math>, llamado '''punto medio''', donde los extremos son <math>a</math> y <math>b</math> con <math>a<b</math>. En el caso <math>a=b</math>, no existe punto medio y el intervalo abierto es <math>\varnothing</math>.<ref>Spivak: ''Calculus'', tomo I http://valle.fciencias.unam.mx/licenciatura/bibliografia/spivak.pdf</ref>

=== Intervalos con infinito ===
Este tipo de intervalos aparece cuando se conoce solo uno de los extremos y el otro es el infinito, es decir, un valor en términos absolutos mayor que cualquier otro, ya sea positivo o negativo. Al no poderse incluir el infinito en el intervalo, estos se consideran siempre abiertos.

Incluye un extremo e infinito por la derecha.
[[Archivo:Intervalo real 06.svg|derecha|240px]]
* Con la notación <math>[a,\infty)</math> o <math> \left[a,\infty\right[ </math> indicamos.

En notación conjuntista:
: <math>
   I = [a,\infty) =
   \{ x \in \mathbb{R} : a \le x \}
</math>

Sin incluir el extremo:
[[Archivo:Intervalo real 05.svg|derecha|240px]]
* Y con la notación <math>(a,\infty)</math> o <math> \left]a,\infty\right[ </math>,
: <math>
   I = (a,\infty) =
   \{ x \in \mathbb{R} : a < x \}
</math>

Incluye un extremo e infinito por la izquierda.
[[Archivo:Intervalo real 08.svg|derecha|240px]]
* Con la notación <math>(-\infty,a]</math> o <math> \left]-\infty, a\right] </math> indicamos.

En notación conjuntista:
: <math>
   I = (-\infty,a] =
   \{ x \in \mathbb{R} : x \le a \}
</math>

Sin incluir el extremo:
[[Archivo:Intervalo real 07.svg|derecha|240px]]
* Y con la notación <math>(-\infty,a)</math> o <math> \left]-\infty,a\right[ </math>,

En notación conjuntista:
: <math>
   I = (-\infty,a) =
   \{ x \in \mathbb{R} : x < a \}
</math>

Para todo valor real:
[[Archivo:Intervalo real 09.svg|derecha|240px]]
* Y con la notación <math>(-\infty,\infty)</math> o <math> \left]-\infty,\infty\right[ </math>,

En notación conjuntista:
: <math>
   I = (-\infty,\infty) =
   \mathbb{R}
</math>

=== Familia de intervalos ===
* <math>
   \left \{ (1-\tfrac{1}{n}, 2+\tfrac{1}{n}) :
   n \in \mathbb{Z}_{>0} \right \}
</math> es una ''familia de intervalos abiertos''.

* <math>
   \left \{ {[1, 2+\tfrac{1}{n}]} :
    n \in \mathbb{Z}_{>0} \right \}
</math> es una ''familia de intervalos cerrados''.

=== Operaciones con intervalos ===
En notación conjuntista: supongamos el conjunto <math>A</math>:
:<math>
   A = \{ x \in \mathbb{R} : 4 < x \} = (-\infty,4)
</math>

Esto se lee: <math>A</math> es el conjunto de todos los números reales <math>x</math> tal que <math>x</math> es menor que cuatro.

Y el conjunto <math>B</math>:
:<math>
   B = \{ x \in \mathbb{R} : 9 < x \} = (9 , \infty)
</math>

<math>B</math> es el conjunto de todos los números reales <math>x</math>, tal que <math>9</math> es menor que <math>x</math>.

[[Archivo:Intervalo real 20.svg|derecha|240px]]
El conjunto unión de <math>A</math> y <math>B</math> sería:
:<math>
   A \cup B = (- \infty  ,4) \cup (9 , \infty) =
   \{ x \in \mathbb{R} : x < 4 \lor x > 9 \}
</math>

Un elemento está en la unión de dos o más conjuntos si y solo si está por lo menos en uno de ellos.
{{clear}}

[[Archivo:Intervalo real 21.svg|derecha|240px]]
El conjunto intersección de <math>
   A
</math> y <math>
   B
</math> es el vacío:<ref>[[Conjunto vacío]]</ref>
:<math>
   A \cap B = (-\infty,4)\cap(9,\infty) = 
   \{ x \in \mathbb{R} : x < 4 \land 9 < x \}
</math>

porque <math>
   A
</math> y <math>
   B
</math> no tienen puntos en común.

Se nota de la siguiente manera: <math>
   A \cap B =
   \varnothing
</math>
{{clear}}

Dados los conjuntos '''A''' y '''C''':
:<math>
   A =\{x \in \mathbb{R} : x < 4 \} = (-\infty,4)
</math>
:<math>
   C = \{x \in \mathbb{R} : -3 < x < 15 \} = (-3,15)
</math>

[[Archivo:Intervalo real 22.svg|derecha|240px]]
El conjunto unión de <math>
   A
</math> y <math>
   C
</math> es:
:<math>
   A \cup C =
   \{x \in \mathbb{R} : x < 15 \} = (-\infty,15)
</math>

El conjunto unión es aquel que toma los valores de cada uno de los conjuntos, entre todos los conjuntos incluidos.
{{clear}}

[[Archivo:Intervalo real 23.svg|derecha|240px]]
El conjunto intersección de <math>
   A
</math> y <math>
   C
</math> es:
:<math>
   A \cap C =
   \{x \in \mathbb{R} : -3 < x < 4 \} = (-3,4)
</math>

El conjunto intersección es aquel que toma los valores en común entre todos los conjuntos incluidos.
{{clear}}

== Entorno ==
{{ap|Entorno (matemática)}}
Partiendo del concepto de intervalo, podemos definir el entorno de un punto como el espacio que rodea a ese punto.

=== Entorno simétrico ===
Un entorno simétrico o entorno de centro <math> a </math> y radio <math> r </math> se representa:
[[Archivo:Intervalo real 10.svg|derecha|240px]]

* Con la notación <math> E(a,r) </math> indicamos
: <math>
   E(a,r) =
   \{ x \in \mathbb{R} \quad / \; r > 0 : a-r < x < a+r \} =
   (a-r,a+r)
</math>

{{clear}}

=== Entorno reducido ===
Un entorno reducido de centro <math> a </math> y radio <math> r </math> se representa:
[[Archivo:Intervalo real 11.svg|derecha|240px]]

* Con la notación <math> E^*(a,r) </math> indicamos

:<math>
   E^*(a,r) =
   E(a,r) \setminus \{ a \}
</math>

Un ''entorno reducido'' de un punto <math> a </math> es un entorno de <math> a </math>, menos <math> \{a\} </math>. Por ejemplo, el intervalo <math> (-1,1) = \{ y \in \mathbb{R} : -1 < y < 1 \} </math> es un entorno de <math> a = 0 </math> en la [[recta real]], entonces el conjunto <math> (-1,0) \cup(0,1) = (-1,1) \setminus \{ 0 \} </math> es un entorno reducido de <math> 0 </math> de radio 1.

== Nota ==
* Si <math>
   a>b
</math>, los intervalos descritos no poseen elementos y denotan al [[conjunto vacío]].
* <math>
   (a,a)
</math>, <math>
   [a,a)
</math> y <math>
   (a,a]
</math> denotan también al conjunto vacío.
* <math>
   [a,a]
</math> denota al [[conjunto unitario]] <math>
   \{a\}
</math>, también llamado ''intervalo degenerado''.
* Existen dos notaciones comunes para denotar intervalos, una en la que los intervalos abiertos se escriben como <math>\left]a,b\right[</math>, y otra en la que los intervalos abiertos se escriben como <math>(a,b)</math>.
* La notación <math> (a,b) </math> se utiliza en otras áreas de las matemáticas. Por ejemplo, denota un ''[[par ordenado]]'' en [[teoría de conjuntos]]; las ''[[sistema de coordenadas|coordenadas]]'' de un ''[[Punto (geometría)|punto]]'' o un ''[[espacio vectorial|vector]]'' en [[geometría analítica]] y [[álgebra lineal]]; un ''[[número complejo]]'' en [[álgebra]].
* Ambas notaciones admiten el [[Infinito#El símbolo de infinito|símbolo de infinito]] ('''<math>\infty</math>''') para indicar que no hay cota.

== Ejemplos gráficos ==
<center>
{{Galería de imágenes|FunEsc Dominio 01.svg|[[Gráfica de una función]] en un intervalo.|Transformación lineal de intervalos 02.svg|Transformación lineal de intervalos.|Translin.png|Transformación lineal de intervalos.|Number-line.svg|Recta numérica.
}}
</center>

== Clasificación ==
Se pueden clasificar los intervalos según sus características [[topología|topológicas]] (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características [[espacio métrico|métricas]] (longitud: nula, finita no nula, infinita). 

La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con <math>
   a < b
</math>, y <math>
   x
</math> perteneciente al intervalo:

<center>
{| class="wikitable"
|-
! Notación !! Intervalo !!  Longitud  !! Descripción
|-
| <math> [a, b] \,</math> || <math> a \le x \le b </math> || <math>b-a \,</math> ||Intervalo cerrado de longitud finita.
|-
| <math> [a, b) </math> o <math> [a, b[</math> || <math> a \le x < b\!</math> || <math> b-a \, </math>  || Intervalo semiabierto (''cerrado en'' <math> a \, </math>'', abierto en'' <math> b \, </math>).
|-
| <math> (a, b] </math> o <math> ]a, b] </math>|| <math> a < x \le b </math> || <math> b-a \, </math> || Intervalo semiabierto (''abierto en'' <math> a \, </math>'', cerrado en'' <math> b \, </math>).
|-
| <math> (a, b) </math> o <math> ]a, b[ </math> || <math> a <x < b \! </math> || <math> b - a \,</math> || Intervalo abierto.
|-
| <math> (- \infty, b) </math> o <math> ]-\infty, b[ </math>|| <math> x < b \!</math> || <math> \infty </math> || Intervalo semiabierto.
|-
|<math> (- \infty, b]</math> o <math>]-\infty, b] </math>|| <math> x \le b \! </math> || <math> \infty </math> || Intervalo semiabierto.
|-
|<math> [a, \infty ) </math> o <math> [a, \infty[ </math> || <math> x \ge a \! </math> || <math> \infty </math> || Intervalo semiabierto.
|-
|<math>(a,\infty )</math> o <math>]a, \infty [</math>|| <math> x > a \!</math> || <math>\infty</math> || Intervalo semiabierto.
|-
|<math> (-\infty, \infty ) </math> o <math> ]-\infty, \infty [ </math> || <math> x \in \mathbb{R} \! </math> || <math> \infty </math> || Conjunto a la vez abierto y cerrado en la topología usual de <math> \mathbb{R} </math>.
|-
|<math> [a,a] = \{ a \} \! </math>|| <math> x=a \! </math> || <math> 0 \! </math> || Intervalo cerrado de longitud nula (''intervalo degenerado'').
|-
|<math> (a,a) = [a,a) = (a,a] = \varnothing\! </math>|| sin elemento || <math> 0 \!</math>|| [[Conjunto vacío]].
|-
|}
</center><ref>Hasser. La Salle. Sullivan: ''Análisis matemático I.'' </ref>

== Caracterización ==

=== Intervalo cerrado ===
El número real <math>x</math> está en <math> I= [a, b] \,</math> si sólo si <math> a \le x \le b </math>. Los puntos <math>a</math> y <math>b</math> son elementos del intervalo cerrado <math>I</math>; <math>a</math> es el ínfimo y <math>b</math> el supremo. El intervalo cerrado es la clausura del intervalo abierto y los semiabiertos con extremos <math>a</math> y <math>b</math> con <math> a \le x \le b </math>. El intervalo abierto <math>(a,b)</math> es el interior del intervalo cerrado de extremos <math>a</math> y <math>b</math>; y estos puntos son los únicos que están en la frontera del intervalo cerrado <math> I= [a, b] \,</math>; este es un [[conjunto cerrado]] y compacto con la topología usual de la recta .<ref>Mansfield, M.J- (1974). ''Introducción a la Topología.'' Madrid, España. Editorial Alhambra S.A</ref>

== Propiedades ==
* La [[Unión de conjuntos|unión]] de intervalos de <math>\R</math> no siempre es un intervalo (lo será si la intersección es no vacía).
* Los [[Conexidad|conjuntos conexos]] de <math>\R</math> son exactamente los intervalos.<ref name="Chinn_1">Chinn. Steenrod: ''Primeros conceptos de topología'' ISBN 84-205-0524-2</ref>
* Los intervalos cerrados sobre una recta se denominan «[[segmento|segmento de recta]]», son conjuntos cerrados según la topología usual, conexos y compactos.<ref name="Chinn_1"/>
* La imagen por una [[función continua]] de un intervalo de <math>\R</math> es un intervalo de <math>\R</math>. Esta es una formulación del [[Teorema del valor intermedio]].
* Según la topología usual de <math>\R</math>, un conjunto abierto es la unión de intervalos abiertos.<ref>Mansfield, M.J (1974) ''Introducción a la Topología.'' Madrid, España. Editorial Alhambra S. A. </ref>

== Aritmética de intervalos ==
Sean <math>I=[a,b]</math> y <math>J=[c,d]</math> con <math>a\le x\le b</math>, y <math>c\le y\le d</math>.

Entonces: <math>a+c\le x+y\le b+d</math>. Lo que justifica que

* <math>I+J = [a+c,b+d]</math>.

* <math>I-J = [a-d,b-c]</math>. (No confundir con la diferencia <math>I\setminus J=\{a\in\mathbb{R} : a\in I\;\land\;a\notin J\}</math>)

* Si se toman <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> y <math>d</math> positivos no nulos, <math>I\cdot J = [ac,bd]</math> e <math>I/J = [a/d,b/c]</math>.

== Generalización ==
Un intervalo <math>n</math>'''-dimensional''' se define como un subconjunto de <math>\R^n</math>, que es el [[producto cartesiano]] de <math>n</math> intervalos: <math>I = I_1\times I_2 \times \cdots \times I_n</math>, uno en cada eje de coordenadas.

[[Archivo:1 Zahl mit Epsilon Umgebung.svg|thumb|300px|right|Entorno de centro <math>a</math> y radio <math>\varepsilon</math>.]]

En términos [[Topología|topológicos]], en el [[espacio métrico]] <math>\R</math> usual los intervalos son las ''[[Bola (matemática)|bolas]]'' abiertas y cerradas. De manera más general, se le llama ''vecindad'' o [[Entorno (matemática)|entorno]] de centro <math>a</math> y radio <math>\varepsilon</math>, al conjunto de puntos cuya distancia a <math>a</math> es menor que <math>\varepsilon</math>.
: <math>
   E (a, \varepsilon) =
   \left \{
      x \in  \R : |x - a| < \varepsilon
   \right \}
</math>

== Véase también ==
* [[Desigualdad matemática|Desigualdad]]
* [[Valor absoluto]]
* [[Intervalo unidad]]
* [[Partición de un intervalo]]
* [[Medida de Lebesgue]]

== Referencias y notas ==
{{listaref}}
* {{springer|id=Interval_and_segment&oldid=14087|título=Interval and segment|nombre=L.A.|apellido=Skornyakov}}
* {{MathWorld|Interval|Interval}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Análisis matemático]]
[[Categoría:Topología]]