Intervalo (matemática)

Un intervalo (del latín intervallum) es un subconjunto conexo de la recta real, es decir, un subconjunto $I\subset ℝ$ que satisface que, para cualesquiera $u,w\in I$ y $v\in ℝ$, si $u\le v\le w$, entonces $v\in I$. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad que la recta real.

Proposición

Un intervalo $I$ es un subconjunto de $ℝ$ que verifica la siguiente propiedad: Plantilla:Definición

Notación

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

Intervalos abiertos

Definición

Dados dos números reales $a$ y $b$, se define el conjunto $(a,b)=\{x\in ℝ:a<x<b\}$ llamado intervalo abierto de extremo inferior $a$ y extremo superior $b$.

En palabras, el intervalo abierto $(a,b)$ es el conjunto de números reales comprendidos entre $a$ y $b$: este conjunto no contiene a ninguno de los extremos $a$ y $b$. Es un intervalo de longitud finita.

Otras notaciones

$(a,b);]a,b[;⟨a,b⟩$

En la definición de límite ordinario de una función real se considera como dominio un intervalo abierto que contiene al punto de acumulación.

En la topología usual de la recta (o $ℝ$) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de $ℝ$, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto $(a,b)$ es igual a su interior, su frontera es el conjunto $\{a,b\}$ y su clausura es el intervalo cerrado $[a,b]$. Su exterior son las semirrectas $(-\mathrm{\infty },a]$ y $[b,\mathrm{\infty })$. No tiene puntos aislados, mientras que todos sus puntos son puntos de acumulación del mismo intervalo.

Intervalos cerrados

Sí incluye los extremos.

• Que se indica: $I=[a,b]$

En notación conjuntista:

$I=[a,b]=\{x\in ℝ:a\le x\le b\}$

Intervalos semiabiertos

Incluye únicamente uno de los extremos.

• Con la notación $(a,b]$ o bien $]a,b]$ indicamos.

En notación conjuntista:

$I=(a,b]=\{x\in ℝ:a<x\le b\}$

• Y con la notación $[a,b)$ o bien $[a,b[$,

En notación conjuntista:

$I=[a,b)=\{x\in ℝ:a\le x<b\}$

Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud $|b-a|$. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudio de diferentes conceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc. Se usan en definición de funciones como la función máximo entero, o la función techo o función piso en matemáticas discretas y para la solución de ecuaciones que conllevan valor absoluto, la función signo, etc.

Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es $(a+b)/2$, llamado punto medio, donde los extremos son $a$ y $b$ con $a<b$. En el caso $a=b$, no existe punto medio y el intervalo abierto es $\varnothing$.

Intervalos con infinito

Este tipo de intervalos aparece cuando se conoce solo uno de los extremos y el otro es el infinito, es decir, un valor en términos absolutos mayor que cualquier otro, ya sea positivo o negativo. Al no poderse incluir el infinito en el intervalo, estos se consideran siempre abiertos.

Incluye un extremo e infinito por la derecha.

• Con la notación $[a,\mathrm{\infty })$ o $[a,\mathrm{\infty }[$ indicamos.

En notación conjuntista:

$I=[a,\mathrm{\infty })=\{x\in ℝ:a\le x\}$

Sin incluir el extremo:

• Y con la notación $(a,\mathrm{\infty })$ o $]a,\mathrm{\infty }[$,

$I=(a,\mathrm{\infty })=\{x\in ℝ:a<x\}$

Incluye un extremo e infinito por la izquierda.

• Con la notación $(-\mathrm{\infty },a]$ o $]-\mathrm{\infty },a]$ indicamos.

En notación conjuntista:

$I=(-\mathrm{\infty },a]=\{x\in ℝ:x\le a\}$

Sin incluir el extremo:

• Y con la notación $(-\mathrm{\infty },a)$ o $]-\mathrm{\infty },a[$,

En notación conjuntista:

$I=(-\mathrm{\infty },a)=\{x\in ℝ:x<a\}$

Para todo valor real:

• Y con la notación $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ o $]-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }[$,

En notación conjuntista:

$I=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })=ℝ$

Familia de intervalos

• $\{(1-\frac{1}{n},2+\frac{1}{n}):n\in {\mathbb{Z}}_{>0}\}$ es una familia de intervalos abiertos.

• $\{[1,2+\frac{1}{n}]:n\in {\mathbb{Z}}_{>0}\}$ es una familia de intervalos cerrados.

Operaciones con intervalos

En notación conjuntista: supongamos el conjunto $A$:

$A=\{x\in ℝ:4<x\}=(-\mathrm{\infty },4)$

Esto se lee: $A$ es el conjunto de todos los números reales $x$ tal que $x$ es menor que cuatro.

Y el conjunto $B$:

$B=\{x\in ℝ:9<x\}=(9,\mathrm{\infty })$

$B$ es el conjunto de todos los números reales $x$, tal que $9$ es menor que $x$.

El conjunto unión de $A$ y $B$ sería:

$A\cup B=(-\mathrm{\infty },4)\cup (9,\mathrm{\infty })=\{x\in ℝ:x<4\vee x>9\}$

Un elemento está en la unión de dos o más conjuntos si y solo si está por lo menos en uno de ellos. Plantilla:Clear

El conjunto intersección de $A$ y $B$ es el vacío:

$A\cap B=(-\mathrm{\infty },4)\cap (9,\mathrm{\infty })=\{x\in ℝ:x<4\wedge 9<x\}$

porque $A$ y $B$ no tienen puntos en común.

Se nota de la siguiente manera: $A\cap B=\varnothing$ Plantilla:Clear

Dados los conjuntos A y C:

$A=\{x\in ℝ:x<4\}=(-\mathrm{\infty },4)$

$C=\{x\in ℝ:-3<x<15\}=(-3,15)$

El conjunto unión de $A$ y $C$ es:

$A\cup C=\{x\in ℝ:x<15\}=(-\mathrm{\infty },15)$

El conjunto unión es aquel que toma los valores de cada uno de los conjuntos, entre todos los conjuntos incluidos. Plantilla:Clear

El conjunto intersección de $A$ y $C$ es:

$A\cap C=\{x\in ℝ:-3<x<4\}=(-3,4)$

El conjunto intersección es aquel que toma los valores en común entre todos los conjuntos incluidos. Plantilla:Clear

Entorno

Plantilla:Ap Partiendo del concepto de intervalo, podemos definir el entorno de un punto como el espacio que rodea a ese punto.

Entorno simétrico

Un entorno simétrico o entorno de centro $a$ y radio $r$ se representa:

• Con la notación $E(a,r)$ indicamos

$E(a,r)=\{x\in ℝ/r>0:a-r<x<a+r\}=(a-r,a+r)$

Entorno reducido

Un entorno reducido de centro $a$ y radio $r$ se representa:

• Con la notación $E^{*}(a,r)$ indicamos

$E^{*}(a,r)=E(a,r)\setminus \{a\}$

Un entorno reducido de un punto $a$ es un entorno de $a$, menos $\{a\}$. Por ejemplo, el intervalo $(-1,1)=\{y\in ℝ:-1<y<1\}$ es un entorno de $a=0$ en la recta real, entonces el conjunto $(-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}$ es un entorno reducido de $0$ de radio 1.

Nota

• Si $a>b$, los intervalos descritos no poseen elementos y denotan al conjunto vacío.
• $(a,a)$, $[a,a)$ y $(a,a]$ denotan también al conjunto vacío.
• $[a,a]$ denota al conjunto unitario $\{a\}$, también llamado intervalo degenerado.
• Existen dos notaciones comunes para denotar intervalos, una en la que los intervalos abiertos se escriben como $]a,b[$, y otra en la que los intervalos abiertos se escriben como $(a,b)$.
• La notación $(a,b)$ se utiliza en otras áreas de las matemáticas. Por ejemplo, denota un par ordenado en teoría de conjuntos; las coordenadas de un punto o un vector en geometría analítica y álgebra lineal; un número complejo en álgebra.
• Ambas notaciones admiten el símbolo de infinito ($\mathrm{\infty }$) para indicar que no hay cota.

Clasificación

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).

La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con $a<b$, y $x$ perteneciente al intervalo:

Notación	Intervalo	Longitud	Descripción
$[a,b]$	$a\le x\le b$	$b-a$	Intervalo cerrado de longitud finita.
$[a,b)$ o $[a,b[$	$a\le x<b$	$b-a$	Intervalo semiabierto (cerrado en $a$, abierto en $b$).
$(a,b]$ o $]a,b]$	$a<x\le b$	$b-a$	Intervalo semiabierto (abierto en $a$, cerrado en $b$).
$(a,b)$ o $]a,b[$	$a<x<b$	$b-a$	Intervalo abierto.
$(-\mathrm{\infty },b)$ o $]-\mathrm{\infty },b[$	$x<b$	$\mathrm{\infty }$	Intervalo semiabierto.
$(-\mathrm{\infty },b]$ o $]-\mathrm{\infty },b]$	$x\le b$	$\mathrm{\infty }$	Intervalo semiabierto.
$[a,\mathrm{\infty })$ o $[a,\mathrm{\infty }[$	$x\ge a$	$\mathrm{\infty }$	Intervalo semiabierto.
$(a,\mathrm{\infty })$ o $]a,\mathrm{\infty }[$	$x>a$	$\mathrm{\infty }$	Intervalo semiabierto.
$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ o $]-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }[$	$x\in ℝ$	$\mathrm{\infty }$	Conjunto a la vez abierto y cerrado en la topología usual de $ℝ$.
$[a,a]=\{a\}$	$x=a$	$0$	Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado).
$(a,a)=[a,a)=(a,a]=\varnothing$	sin elemento	$0$	Conjunto vacío.

Caracterización

Intervalo cerrado

El número real $x$ está en $I=[a,b]$ si sólo si $a\le x\le b$. Los puntos $a$ y $b$ son elementos del intervalo cerrado $I$; $a$ es el ínfimo y $b$ el supremo. El intervalo cerrado es la clausura del intervalo abierto y los semiabiertos con extremos $a$ y $b$ con $a\le x\le b$. El intervalo abierto $(a,b)$ es el interior del intervalo cerrado de extremos $a$ y $b$; y estos puntos son los únicos que están en la frontera del intervalo cerrado $I=[a,b]$; este es un conjunto cerrado y compacto con la topología usual de la recta .

Propiedades

• La unión de intervalos de $ℝ$ no siempre es un intervalo (lo será si la intersección es no vacía).
• Los conjuntos conexos de $ℝ$ son exactamente los intervalos.
• Los intervalos cerrados sobre una recta se denominan «segmento de recta», son conjuntos cerrados según la topología usual, conexos y compactos.
• La imagen por una función continua de un intervalo de $ℝ$ es un intervalo de $ℝ$. Esta es una formulación del Teorema del valor intermedio.
• Según la topología usual de $ℝ$, un conjunto abierto es la unión de intervalos abiertos.

Aritmética de intervalos

Sean $I=[a,b]$ y $J=[c,d]$ con $a\le x\le b$, y $c\le y\le d$.

Entonces: $a+c\le x+y\le b+d$. Lo que justifica que

• $I+J=[a+c,b+d]$.

• $I-J=[a-d,b-c]$. (No confundir con la diferencia $I\setminus J=\{a\in ℝ:a\in I\wedge a\notin J\}$)

• Si se toman $a$, $b$, $c$ y $d$ positivos no nulos, $I\cdot J=[ac,bd]$ e $I/J=[a/d,b/c]$.

Generalización

Un intervalo $n$-dimensional se define como un subconjunto de ${ℝ}^n$, que es el producto cartesiano de $n$ intervalos: $I=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n$, uno en cada eje de coordenadas.

Entorno de centro $a$ y radio $\epsilon$.

En términos topológicos, en el espacio métrico $ℝ$ usual los intervalos son las bolas abiertas y cerradas. De manera más general, se le llama vecindad o entorno de centro $a$ y radio $\epsilon$, al conjunto de puntos cuya distancia a $a$ es menor que $\epsilon$.

$E(a,\epsilon )=\{x\in ℝ:|x-a|<\epsilon \}$

Véase también

• Desigualdad
• Valor absoluto
• Intervalo unidad
• Partición de un intervalo
• Medida de Lebesgue

Referencias y notas

• Plantilla:Springer
• Plantilla:MathWorld