Ver el código de «Menor (álgebra lineal)»

[[Archivo:Minorer.png|miniaturadeimagen|Cálculo de un determinante de orden 3 mediante la regla de Laplace. Para ello se utilizan algunos menores de la matriz.]]
En [[álgebra lineal]], un '''menor''' o '''menor complementario''' de una [[matriz (matemáticas)|matriz]] <math>A</math> es el [[determinante (matemática)|determinante]] de alguna [[submatriz]], obtenido de <math>A</math> mediante la eliminación de una o más de sus filas o columnas. Los menores obtenidos por la eliminación de únicamente una fila y una columna de [[matriz cuadrada|matrices cuadradas]] se llaman '''primeros menores''' y se necesitan para encontrar la matriz de [[cofactor (álgebra lineal)|cofactores]], la cual es útil para calcular el determinante y la [[matriz inversa|inversa]] de matrices cuadradas.

== Definición ==

Sea <math>A</math> una matriz de <math>m \times n</math> y <math>k</math> un entero con <math>0<k\leq \min\{m,n\}</math>, un menor de orden <math>k \times k</math> de <math>A</math> es el determinante de una matriz <math>k \times k</math> obtenida de <math>A</math> mediante la eliminación de <math>m - k</math> filas y <math>n - k</math> columnas.

Puesto que hay:
:[[binomial coefficient|<math>{m \choose k}</math>]] (leído como "[[Combinación (matemáticas)|''m'' combinaciones de ''k'']]")

maneras de escoger <math>k</math> filas de <math>m</math> filas, y hay

:<math>{n \choose k}</math>

maneras de escoger <math>k</math> columnas de <math>n</math> columnas, hay en total

:<math>{m \choose k} \cdot {n \choose k}</math>

menores de tamaño <math>k \times k</math>.

== Notación ==

El menor <math>(i,j)</math> (a menudo denotado como <math>M_{ij}</math>) de una [[matriz cuadrada]] <math>A</math> de <math>n \times n</math>, es definido como el determinante de la matriz <math>(n-1) \times (n-1)</math> formada mediante la eliminación de la <math>i</math>-ésima fila y la <math>j</math>-ésima columna de <math>A</math>. Un menor <math>(i,j)</math> puede ser referido también como <math>(i,j)</math>-ésimo menor, o simplemente menor <math>ij</math> .

<math>M_{ij}</math> puede encontrarse también eliminando los índices correspondientes al elemento a<sub>''ij''</sub> de la matriz <math>A</math>, en cuyo caso decimos que <math>M_{ij}</math> es el menor de <math>a_{ij}</math>

Un menor formado por la eliminación de una única fila y una única columna de una matriz cuadrada <math>A</math> (tal como <math>M_{ij}</math>) es llamado ''primer menor''. Cuando dos filas y dos columnas son eliminada, se le llama ''segundo menor''.<ref>Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) ''[http://books.google.com/books?id=BhgPAAAAIAAJ&pg=PA239&lpg=PA239&dq=first+minor+determinant&source=web&ots=BqWTlFMGIB&sig=aeCdnU1sARW9tshE_zhirJZ5dRU&hl=en Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form]''.</ref>

== Menores de una matriz ==

El [[Determinante (matemática)|determinante]] de cualquier [[submatriz]] de <math>k \times k</math> de <math>A</math> se llama menor de tamaño <math>k</math>.

* Si la [[submatriz]] es una '''[[Submatriz#Submatriz principal|submatriz principal]]''', su determinante es un '''menor principal'''.

Tomando
<math>A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
-1 &1 &-1 \\
2&0&5\end{bmatrix}</math>
La submatriz <math>B</math> = <math>A[\{1,2\}]</math> = <math>\begin{bmatrix}
1 &2  \\
-1 &1  \\
\end{bmatrix}</math>
es una submatriz principal y su determinante <math>|A|= (1)(1) -(2)(-1)=3</math> es un menor principal.

* Si la [[submatriz]] es una '''[[Submatriz#Submatriz principal superior|submatriz principal superior]]''', su determinante es un '''menor principal superior.'''

<math>A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
-1 &1 &-1 \\
2&0&5\end{bmatrix}</math>En la misma matriz, las '''submatrices superiores''' son:
<math>A_1 = A[{1}]=\begin{bmatrix}
1\end{bmatrix}</math>; <math>A_2 = A[{1,2}]= \begin{bmatrix}
1 & 2  \\
-1 &1 \\
\end{bmatrix}</math>; <math>A_3 = A[ {1,2,3}]= \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
-1 &1 &-1 \\
2&0&5\end{bmatrix} = A</math>
Los determinantes de las submatrices '''|<math>A_1</math>|''' = 1, '''|<math>A_2</math>|''' = 3, '''|<math>A_3|</math>''' = 5 son los menores escalonados superiores.

* Si las [[submatriz]] es una '''[[Submatriz#Submatriz principal inferior|submatriz principal inferior]]''', su determinante es un '''menor principal inferior'''.
<math>A = \begin{bmatrix}
5 & 4 & 3 \\
2 &1 &5 \\
2&0&5\end{bmatrix}</math> Las submatrices escalonadas inferiores de A son:
<math>A_1 = A[{1}]=\begin{bmatrix}
5\end{bmatrix}</math>
<nowiki>;</nowiki><math>A_2 = A[{1,2}]= \begin{bmatrix}
1 & 5  \\
0 & 5 \\
\end{bmatrix}</math>
<nowiki>;</nowiki><math>A_3 = A[ {1,2,3}]= \begin{bmatrix}
5 & 4 & 3 \\
2 &1 &5  \\
2 & 0 & 5\end{bmatrix} = A</math>
Los determinantes de las submatrices '''<math>|A_1|=1</math>''' , '''<math>|A_2|=5</math>''' , '''<math>|A_3|=19</math>''' son los menores inferiores principales.<ref>{{Cita libro|apellidos=Horn R.A., Johnson C.R.|nombre=|enlaceautor=|título=Matrix Analysis|url=|fechaacceso=|año=2013|editorial=|isbn=|editor=|ubicación=|página=|idioma=|capítulo=}}</ref>

== Véase también ==
* [[Determinante (matemática)]]
* [[Matriz de adjuntos]]
* [[Matriz traspuesta conjugada]]

== Referencias ==
{{listaref}}

== Enlaces externos ==

* {{MathWorld|Minor|Minor}}

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Álgebra lineal numérica]]
[[Categoría:Matrices]]