Menor (álgebra lineal)

Cálculo de un determinante de orden 3 mediante la regla de Laplace. Para ello se utilizan algunos menores de la matriz.

En álgebra lineal, un menor o menor complementario de una matriz $A$ es el determinante de alguna submatriz, obtenido de $A$ mediante la eliminación de una o más de sus filas o columnas. Los menores obtenidos por la eliminación de únicamente una fila y una columna de matrices cuadradas se llaman primeros menores y se necesitan para encontrar la matriz de cofactores, la cual es útil para calcular el determinante y la inversa de matrices cuadradas.

Definición

Sea $A$ una matriz de $m\times n$ y $k$ un entero con $0<k\le \min \{m,n\}$, un menor de orden $k\times k$ de $A$ es el determinante de una matriz $k\times k$ obtenida de $A$ mediante la eliminación de $m-k$ filas y $n-k$ columnas.

Puesto que hay:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})$ (leído como "m combinaciones de k")

maneras de escoger $k$ filas de $m$ filas, y hay

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$

maneras de escoger $k$ columnas de $n$ columnas, hay en total

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$

menores de tamaño $k\times k$.

Notación

El menor $(i,j)$ (a menudo denotado como $M_{ij}$) de una matriz cuadrada $A$ de $n\times n$, es definido como el determinante de la matriz $(n-1)\times (n-1)$ formada mediante la eliminación de la $i$-ésima fila y la $j$-ésima columna de $A$. Un menor $(i,j)$ puede ser referido también como $(i,j)$-ésimo menor, o simplemente menor $ij$ .

$M_{ij}$ puede encontrarse también eliminando los índices correspondientes al elemento a_ij de la matriz $A$, en cuyo caso decimos que $M_{ij}$ es el menor de $a_{ij}$

Un menor formado por la eliminación de una única fila y una única columna de una matriz cuadrada $A$ (tal como $M_{ij}$) es llamado primer menor. Cuando dos filas y dos columnas son eliminada, se le llama segundo menor.

Menores de una matriz

El determinante de cualquier submatriz de $k\times k$ de $A$ se llama menor de tamaño $k$.

• Si la submatriz es una submatriz principal, su determinante es un menor principal.

Tomando $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 1& -1\\ 2& 0& 5\end{array}\right]$ La submatriz $B$ = $A[\{1,2\}]$ = $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 1\end{array}\right]$ es una submatriz principal y su determinante $|A|=(1)(1)-(2)(-1)=3$ es un menor principal.

• Si la submatriz es una submatriz principal superior, su determinante es un menor principal superior.

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 1& -1\\ 2& 0& 5\end{array}\right]$En la misma matriz, las submatrices superiores son: $A_1=A[1]=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$; $A_2=A[1,2]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 1\end{array}\right]$; $A_3=A[1,2,3]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 1& -1\\ 2& 0& 5\end{array}\right]=A$ Los determinantes de las submatrices |$A_1$| = 1, |$A_2$| = 3, |$A_3|$ = 5 son los menores escalonados superiores.

• Si las submatriz es una submatriz principal inferior, su determinante es un menor principal inferior.

$A=\left[\begin{array}{ccc}5& 4& 3\\ 2& 1& 5\\ 2& 0& 5\end{array}\right]$ Las submatrices escalonadas inferiores de A son: $A_1=A[1]=\left[\begin{array}{c}5\end{array}\right]$ ;$A_2=A[1,2]=\left[\begin{array}{cc}1& 5\\ 0& 5\end{array}\right]$ ;$A_3=A[1,2,3]=\left[\begin{array}{ccc}5& 4& 3\\ 2& 1& 5\\ 2& 0& 5\end{array}\right]=A$ Los determinantes de las submatrices $|A_1|=1$ , $|A_2|=5$ , $|A_3|=19$ son los menores inferiores principales.

Véase también

• Determinante (matemática)
• Matriz de adjuntos
• Matriz traspuesta conjugada

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld