Ver el código de «Número primo de Wolstenholme»

{{Ficha de serie entera
|named_after= [[Joseph Wolstenholme]]
|publication_year= 1995<ref>Wolstenholme primes were first described by McIntosh in {{Harvnb|McIntosh|1995|p=385}}</ref>
|author= McIntosh, R. J.
|terms_number= 2
|con_number= Infinito
|parentsequence= [[Primo regular|Primos regulares]]
|first_terms= [[Diez mil|16843]], 2124679
|largest_known_term= 2124679
|OEIS= A088164
|OEIS_name= Primos de Wolstenholme: primos p tales que el binomio (2p-1,p-1)== 1 (mod p^4)
}}

En [[teoría de números]], un [[número de Wolstenholme]] es un número primo ''p'' si cumple la siguiente condición:

:<math>{{2p-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p^4}</math>

Los números de Wolstenholme se nombran en honor a [[Joseph Wolstenholme]] (1891-1929), quien demostró el [[teorema de Wolstenholme|teorema]] que lleva su nombre, el equivalente a la relación matemática ''p''<sup>3</sup> en 1862, siguiendo a [[Charles Babbage]], quien demostró la equivalencia para ''p''<sup>2</sup> en 1819.

Hasta la fecha, los únicos números primos de Wolstenholme conocidos son 16843 y 2124679 {{OEIS|A088164}}; cualquier otro número primo de Wolstenholme debe ser mayor de 10<sup>9</sup>.

==Definición==
{{no resuelto|matemática|¿Existen primos de Wolstenholme que no sean 16843 y 2124679?}}

El primo de Wolstenholme se puede definir de varias formas equivalentes.

===Definición mediante coeficientes binomiales===
Un primo de Wolstenholme es un número primo ''p''&nbsp;>&nbsp;7 que satisface la [[Relación de congruencia|congruencia]]

:<math>{2p-1 \choose p-1} \equiv 1 \pmod{p^4},</math>

donde la expresión en el [[miembro de una ecuación|lado izquierdo de la ecuación]] denota un [[coeficiente binomial]].<ref>{{cite web|url= http://www.johndcook.com/binomial_coefficients.html|title= Binomial coefficients|first= J. D.|last= Cook|access-date= 2010-12-21}}</ref>
En comparación, el [[teorema de Wolstenholme]] establece que para cada primo ''p''&nbsp;>&nbsp;3 se cumple la siguiente congruencia:

:<math>{2p-1 \choose p-1} \equiv 1 \pmod{p^3}.</math>

===Definición a través de los números de Bernoulli===
Un primo de Wolstenholme es un primo ''p'' que divide el numerador del [[número de Bernoulli]] ''B''<sub>''p''−3</sub>.{{sfn|Clarke|Jones|2004|p=553}}{{sfn|McIntosh|1995|p=387}}{{sfn|Zhao|2008|p=25}} Por lo tanto, los números primos de Wolstenholme forman un [[subconjunto]] de los [[primo regular|primos regulares]].

===Definición a través de pares irregulares===
{{AP|Primo regular|l1=Primo irregular}}

Un primo de Wolstenholme es un primo ''p'' tal que (''p'', ''p''–3) es un [[Primo regular|par irregular]].{{sfn|Johnson|1975|p=114}}{{sfn|Buhler|Crandall|Ernvall|Metsänkylä|1993|p=152}}

===Definición a través de números armónicos===
Un primo de Wolstenholme es un primo ''p'' tal que{{sfn|Zhao|2007|p=18}}

:<math>H_{p - 1} \equiv 0 \pmod{p^3}\, ,</math>

es decir, el numerador del [[número armónico]] <math>H_{p-1}</math> expresado en términos mínimos es divisible por ''p''<sup>3</sup>.

==Búsqueda y estado actual==
La búsqueda de números primos de Wolstenholme comenzó en la década de 1960 y continuó durante las décadas siguientes, y los últimos resultados se publicaron en 2007. El primer número primo de Wolstenholme (16843) se encontró en 1964, aunque no se informó explícitamente en ese momento.<ref>Selfridge y Pollack publicaron el primer primo de Wolstenholme en {{Harvnb|Selfridge|Pollack|1964|p=97}} (véase {{Harvnb|McIntosh|Roettger|2007|p=2092}}).</ref> El descubrimiento de 1964 se confirmó posteriormente de forma independiente en la década de 1970. Este siguió siendo el único ejemplo conocido de un primo de este tipo durante casi 20 años, hasta el anuncio del descubrimiento del segundo primo de Wolstenholme (2124679) en 1993.{{sfn|Ribenboim|2004|p=23}} Hasta 1,2{{e|7}}, no se encontraron más primos de Wolstenholme.{{sfn|Zhao|2007|p=25}} Más tarde, McIntosh lo amplió a 2{{e|8}} en 1995.{{sfn|McIntosh|1995|p=387}} y Trevisan & Weber pudieron alcanzar 2,5{{e|8}}.{{sfn|Trevisan|Weber|2001|p=283–284}} El último resultado a partir de 2007 es que solo hay esos dos números primos de Wolstenholme hasta 10<sup>9</sup>.{{sfn|McIntosh|Roettger|2007|p=2092}}

==Número esperado de primos de Wolstenholme==
Se conjetura que existen infinitos números primos de Wolstenholme, y que el número de primos de Wolstenholme&nbsp;≤&nbsp;''x'' es aproximadamente ''ln ln x'', donde ''ln'' denota el [[logaritmo natural]]. Para cada primo ''p''&nbsp;≥&nbsp;5, el '''cociente de Wolstenholme''' se define como

: <math>W_p {{=}} \frac{{2p-1 \choose p-1}-1}{p^3}.</math>

Claramente, ''p'' es un primo de Wolstenholme si y solo si ''W''<sub>''p''</sub>&nbsp;≡&nbsp;0&nbsp;(mod&nbsp;''p''). [[Fórmula empírica (ingeniería)|Empíricamente]] se puede suponer que los restos de ''W''<sub>''p''</sub> módulo ''p'' están [[Distribución uniforme discreta|uniformemente distribuidos]] en el conjunto {0, 1, ..., ''p''–1}. Por este razonamiento, la probabilidad de que el resto tome un valor particular (por ejemplo, 0) es de alrededor de 1/''p''.{{sfn|McIntosh|1995|p=387}}

== Primeros 50 números de Wolstenholme ==
{| class="wikitable"
|+Números de Wolstenholme
!n
!<math>\sum _k^n \frac{1}{k^2}</math>
|-
|1
|1
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|5
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|3
|49
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|205
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|5269
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|1077749
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|9778141
|-
|10
|1968329
|-
|11
|239437889
|-
|12
|240505109
|-
|13
|40799043101
|-
|14
|40931552621
|-
|15
|205234915681
|-
|16
|822968714749
|-
|17
|238357395880861
|-
|18
|238820721143261
|-
|19
|86364397717734821
|-
|20
|17299975731542641
|-
|21
|353562301485889
|-
|22
|354019312583809
|-
|23
|187497409728228241
|-
|24
|187700554334941861
|-
|25
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|-
|26
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|-
|27
|211749047271858474841
|-
|28
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|-
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|8739335943455356005972769
|-
|30
|8745363341445960333910369
|-
|31
|8409718829321111776031704609
|-
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|33
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|-
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|33696425568435587455529424061
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|-
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|-
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|46252969210499754415427421586309
|-
|41
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|-
|42
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|-
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|50
|3121579929551692678469635660835626209661709
|}


==Véase también==
* [[Número primo de Wieferich]]
* [[Número primo de Wall-Sun-Sun]]
* [[Número primo de Wilson]]
* [[Tabla de congruencias]]

==Referencias==
{{listaref|2}}

==Bibliografía==
{{Refbegin|2}}
* {{Citation|last1=Selfridge|first1=J. L.|last2=Pollack|first2=B. W.|title=Fermat's last theorem is true for any exponent up to 25,000|year=1964|journal=Notices of the American Mathematical Society|volume=11|pages=97}}
* {{Citation|last1=Johnson|first1=W.|title=Irregular Primes and Cyclotomic Invariants|year=1975|journal=[[ Mathematics of Computation]]|volume=29|issue=129|pages=113–120|url=http://www.ams.org/journals/mcom/1975-29-129/S0025-5718-1975-0376606-9/S0025-5718-1975-0376606-9.pdf|doi=10.2307/2005468|jstor=2005468|fechaacceso=19 de septiembre de 2022|fechaarchivo=22 de septiembre de 2022|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20220922065543/https://www.ams.org/journals/mcom/1975-29-129/S0025-5718-1975-0376606-9/S0025-5718-1975-0376606-9.pdf|deadurl=yes}}
* {{Citation|last1=Buhler|first1=J.|last2=Crandall|first2=R.|last3=Ernvall|first3=R.|last4=Metsänkylä|first4=T.|title=Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to Four Million|year=1993|journal=[[ Mathematics of Computation]]|volume=61|issue=203|pages=151–153|url=http://www.ams.org/journals/mcom/1993-61-203/S0025-5718-1993-1197511-5/S0025-5718-1993-1197511-5.pdf|doi=10.2307/2152942|jstor=2152942|bibcode=1993MaCom..61..151B|fechaacceso=19 de septiembre de 2022|fechaarchivo=27 de julio de 2022|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20220727080338/https://www.ams.org/journals/mcom/1993-61-203/S0025-5718-1993-1197511-5/S0025-5718-1993-1197511-5.pdf|deadurl=yes}}
* {{Citation|last1=McIntosh|first1=R. J.|title=On the converse of Wolstenholme's Theorem|year=1995|journal=[[ Acta Arithmetica]]|volume=71|issue=4|pages=381–389|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa71/aa7144.pdf|doi=10.4064/aa-71-4-381-389|fechaacceso=19 de septiembre de 2022|fechaarchivo=8 de agosto de 2022|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20220808140719/http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa71/aa7144.pdf|deadurl=yes}}
* {{Citation|last1=Trevisan|first1=V.|last2=Weber|first2=K. E.|title=Testing the Converse of Wolstenholme's Theorem|year=2001|journal=Matemática Contemporânea|volume=21|pages=275–286|url=http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/448/000317407.pdf?sequence=1|fechaacceso=19 de septiembre de 2022|fechaarchivo=22 de septiembre de 2022|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20220922073256/https://lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/448/000317407.pdf?sequence=1|deadurl=yes}}
* {{Citation|author1-link=Paulo Ribenboim|last1=Ribenboim|first1=P.|title=The Little Book of Bigger Primes|location=New York|publisher=Springer-Verlag New York, Inc.|year=2004|isbn=978-0-387-20169-6|chapter=Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime}} {{webarchive|url=https://www.webcitation.org/5uTrtgMk3|date=2010-11-24}}
* {{Citation|last1=Clarke|first1=F.|last2=Jones|first2=C.|title=A Congruence for Factorials|year=2004|journal=Bulletin of the London Mathematical Society|volume=36|pages=553–558|url=http://blms.oxfordjournals.org/content/36/4/553.full.pdf|doi=10.1112/S0024609304003194|issue=4}} {{webarchive|url=https://www.webcitation.org/5vRE6GbVK|date=2011-01-02}}
* {{Citation|last1=McIntosh|first1=R. J.|last2=Roettger|first2=E. L.|title=A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes|year=2007|journal=Mathematics of Computation|volume=76|issue=260|pages=2087–2094|doi=10.1090/S0025-5718-07-01955-2|url=http://www.ams.org/mcom/2007-76-260/S0025-5718-07-01955-2/S0025-5718-07-01955-2.pdf|bibcode=2007MaCom..76.2087M }} {{webarchive|url=https://www.webcitation.org/5usE0UWhy|date=2010-12-10}}
* {{Citation|last1=Zhao|first1=J.|title=Bernoulli numbers, Wolstenholme's theorem, and p<sup>5</sup> variations of Lucas' theorem|year=2007|journal=Journal of Number Theory|volume=123|pages=18–26|doi=10.1016/j.jnt.2006.05.005|s2cid=937685|url=http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoJNTBern.pdf|fechaacceso=19 de septiembre de 2022|fechaarchivo=20 de julio de 2022|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20220720034751/http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoJNTBern.pdf|deadurl=yes}}
* {{Citation|last1=Zhao|first1=J.|title=Wolstenholme Type Theorem for Multiple Harmonic Sums|year=2008|journal=International Journal of Number Theory|volume=4|issue=1|pages=73–106|url=http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoIJNT.pdf|doi=10.1142/s1793042108001146|fechaacceso=19 de septiembre de 2022|fechaarchivo=20 de septiembre de 2022|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20220920173508/http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoIJNT.pdf|deadurl=yes}}
{{Refend}}

==Lecturas adicionales==
{{Refbegin}}
* {{Citation|last1=Babbage|first1=C.|title=Demonstration of a theorem relating to prime numbers|journal=The Edinburgh Philosophical Journal|volume=1|year=1819|pages=46–49|url=https://books.google.com/books?id=KrA-AAAAYAAJ&pg=PA46 }}
* {{Citation|last1=Krattenthaler|first1=C.|last2=Rivoal|first2=T.|title=On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps, II|year=2009|journal=Communications in Number Theory and Physics|volume=3|issue=  3|pages=555–591|arxiv=0907.2578|bibcode=2009arXiv0907.2578K|doi=10.4310/CNTP.2009.v3.n3.a5 }}
* {{Citation|last1=Wolstenholme|first1=J.|title=On Certain Properties of Prime Numbers|year=1862|journal=The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics|volume=5|pages=35–39|url=https://books.google.com/books?id=vL0KAAAAIAAJ&pg=PA35 }}
{{Refend}}

==Enlaces externos==
* Caldwell, Chris K. [http://primes.utm.edu/glossary/xpage/Wolstenholme.html Wolstenholme prime] de The Prime Glossary
* McIntosh, R. J. [http://www.loria.fr/~zimmerma/records/Wieferich.status Estado de búsqueda de Wolstenholme en marzo de 2004] correo electrónico a [[ Paul Zimmermann (mathematician)|Paul Zimmermann]]
* Bruck, R. [https://web.archive.org/web/20130208001700/http://imperator.usc.edu/~bruck/research/stirling Teorema de Wolstenholme, números de Stirling y coeficientes binomiales]
* Conrad, K. [http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/ugradnumthy/padicharmonicsum.pdf The ''p''-adic Growth of Harmonic Sums] observación interesante que involucra los dos números primos de Wolstenholme
* {{Prime Pages|id=Wolstenholme|título=Wolstenholme prime}}
* [http://www.loria.fr/~zimmerma/records/Wieferich.status Estado de la búsqueda de primos de Wolstenholme]

{{Control de autoridades}}
{{ORDENAR:Numero primo de Wolstenholme}}
[[Categoría:Sucesiones de números primos|Wolstenholme]]
[[Categoría:Números epónimos en matemáticas|Wolstenholme]]
[[Categoría:Problemas sin resolver en teoría de números]]