Número primo de Wolstenholme

En teoría de números, un número de Wolstenholme es un número primo p si cumple la siguiente condición:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p-1}{p-1})\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^4)$

Los números de Wolstenholme se nombran en honor a Joseph Wolstenholme (1891-1929), quien demostró el teorema que lleva su nombre, el equivalente a la relación matemática p³ en 1862, siguiendo a Charles Babbage, quien demostró la equivalencia para p² en 1819.

Hasta la fecha, los únicos números primos de Wolstenholme conocidos son 16843 y 2124679 Plantilla:OEIS; cualquier otro número primo de Wolstenholme debe ser mayor de 10⁹.

Definición

El primo de Wolstenholme se puede definir de varias formas equivalentes.

Definición mediante coeficientes binomiales

Un primo de Wolstenholme es un número primo p > 7 que satisface la congruencia

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p-1}{p-1})\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^4),$

donde la expresión en el lado izquierdo de la ecuación denota un coeficiente binomial. En comparación, el teorema de Wolstenholme establece que para cada primo p > 3 se cumple la siguiente congruencia:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p-1}{p-1})\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^3).$

Definición a través de los números de Bernoulli

Un primo de Wolstenholme es un primo p que divide el numerador del número de Bernoulli B_p−3.Plantilla:SfnPlantilla:SfnPlantilla:Sfn Por lo tanto, los números primos de Wolstenholme forman un subconjunto de los primos regulares.

Definición a través de pares irregulares

Un primo de Wolstenholme es un primo p tal que (p, p–3) es un par irregular.Plantilla:SfnPlantilla:Sfn

Definición a través de números armónicos

Un primo de Wolstenholme es un primo p tal quePlantilla:Sfn

$H_{p-1}\equiv 0(\mathrm{mod}{p}^3),$

es decir, el numerador del número armónico $H_{p-1}$ expresado en términos mínimos es divisible por p³.

Búsqueda y estado actual

La búsqueda de números primos de Wolstenholme comenzó en la década de 1960 y continuó durante las décadas siguientes, y los últimos resultados se publicaron en 2007. El primer número primo de Wolstenholme (16843) se encontró en 1964, aunque no se informó explícitamente en ese momento. El descubrimiento de 1964 se confirmó posteriormente de forma independiente en la década de 1970. Este siguió siendo el único ejemplo conocido de un primo de este tipo durante casi 20 años, hasta el anuncio del descubrimiento del segundo primo de Wolstenholme (2124679) en 1993.Plantilla:Sfn Hasta 1,2Plantilla:E, no se encontraron más primos de Wolstenholme.Plantilla:Sfn Más tarde, McIntosh lo amplió a 2Plantilla:E en 1995.Plantilla:Sfn y Trevisan & Weber pudieron alcanzar 2,5Plantilla:E.Plantilla:Sfn El último resultado a partir de 2007 es que solo hay esos dos números primos de Wolstenholme hasta 10⁹.Plantilla:Sfn

Número esperado de primos de Wolstenholme

Se conjetura que existen infinitos números primos de Wolstenholme, y que el número de primos de Wolstenholme ≤ x es aproximadamente ln ln x, donde ln denota el logaritmo natural. Para cada primo p ≥ 5, el cociente de Wolstenholme se define como

$W_p=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p-1}{p-1})-1}{p^3}.$

Claramente, p es un primo de Wolstenholme si y solo si W_p ≡ 0 (mod p). Empíricamente se puede suponer que los restos de W_p módulo p están uniformemente distribuidos en el conjunto {0, 1, ..., p–1}. Por este razonamiento, la probabilidad de que el resto tome un valor particular (por ejemplo, 0) es de alrededor de 1/p.Plantilla:Sfn

Primeros 50 números de Wolstenholme

Números de Wolstenholme

n	$\sum _k^n\frac{1}{k^2}$
1	1
2	5
3	49
4	205
5	5269
6	5369
7	266681
8	1077749
9	9778141
10	1968329
11	239437889
12	240505109
13	40799043101
14	40931552621
15	205234915681
16	822968714749
17	238357395880861
18	238820721143261
19	86364397717734821
20	17299975731542641
21	353562301485889
22	354019312583809
23	187497409728228241
24	187700554334941861
25	23485971550561141649
26	23507608254234781649
27	211749047271858474841
28	10383930672892966877209
29	8739335943455356005972769
30	8745363341445960333910369
31	8409718829321111776031704609
32	33659238975573797429256624061
33	33678387172165436302473264061
34	33696425568435587455529424061
35	33713447924426032135474665661
36	33729537728506506466441425661
37	46196589536413702085491232689909
38	46216358869207937188943565649909
39	46235127387652957234561691089909
40	46252969210499754415427421586309
41	77779788159404962661718664480825429
42	11115284554577186575391010113969347
43	20559016479517324506134616092603242603
44	20565563752324397321583760920379522603
45	20571823268450072862674893950786869803
46	20577813589884143264711540636313749803
47	45469065740208565442457337652191951394827
48	45481218615217799371405854817966216012327
49	15604058017022744466148977281125827189188161
50	3121579929551692678469635660835626209661709

Véase también

• Número primo de Wieferich
• Número primo de Wall-Sun-Sun
• Número primo de Wilson
• Tabla de congruencias

Bibliografía

• Plantilla:Citation
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• Plantilla:Citation Plantilla:Webarchive
• Plantilla:Citation Plantilla:Webarchive
• Plantilla:Citation Plantilla:Webarchive
• Plantilla:Citation
• Plantilla:Citation

Lecturas adicionales

• Plantilla:Citation
• Plantilla:Citation
• Plantilla:Citation

Enlaces externos

• Caldwell, Chris K. Wolstenholme prime de The Prime Glossary
• McIntosh, R. J. Estado de búsqueda de Wolstenholme en marzo de 2004 correo electrónico a Paul Zimmermann
• Bruck, R. Teorema de Wolstenholme, números de Stirling y coeficientes binomiales
• Conrad, K. The p-adic Growth of Harmonic Sums observación interesante que involucra los dos números primos de Wolstenholme
• Plantilla:Prime Pages
• Estado de la búsqueda de primos de Wolstenholme