Ver el código de «Notación Steinhaus–Moser»

{{PA|maltraducido|referencias|t=20150927070759|matemáticas}}

En [[matemáticas]], la '''notación [[Steinhaus]]–[[Moser]]''' es una notación para expresar números extremadamente grandes con seguridad. Es una extensión de la notación polígono de [[Hugo Steinhaus|Steinhaus]].

== Definiciones ==
:[[Archivo:Triangle-n.svg|20px|n en un triángulo]] un número {{math|<VAR >n</VAR >}} en un '''triángulo''' significa {{math|<VAR >n</VAR ><sup><VAR >n</VAR></sup>}}

:[[Archivo:Square-n.svg|20px|n en un cuadrado]] un número {{math|<VAR >n</VAR >}} en un '''cuadrado''' es equivalente a "el número {{math|<VAR >n</VAR >}} dentro de {{math|<VAR >n</VAR >}} triángulos, los cuales están todos anidados."

:[[Archivo:Pentagon-n.svg|20px|n en un pentágono]] un número en un '''pentágono''' es equivalente a "el número {{math|<VAR >n</VAR >}} dentro de {{math|<VAR >n</VAR >}} cuadrados, los cuales están todos anidados."

etc.: {{math|<VAR >n</VAR >}} escrito en un polígono de {{math|<VAR >m</VAR >}} lados es equivalente a "el número {{math|<VAR >n</VAR >}} dentro de {{math|<VAR >n</VAR >}} polígonos anidados de ({{math|<VAR >m</VAR > - 1}}) lados". En una serie de polígonos anidados, estos están [[Asociatividad (álgebra)|asociados]] hacia adentro. El número {{math|<VAR >n</VAR >}} dentro de dos triángulos es equivalentes a {{math|<VAR >n</VAR ><sup><VAR >n</VAR ></sup>}} dentro de un triángulo, el cual es equivalente a {{math|<VAR >n</VAR ><sup><VAR >n</VAR ></sup>}} elevado a la potencia {{math|<VAR >n</VAR ><sup><VAR >n</VAR ></sup>}}.

Steinhaus solo definió el triángulo, el cuadrado, y un '''círculo''' [[Archivo:Circle-n.svg|20px|n en un círculo]], el equivalente al pentágono definido anteriormente.

== Valores especiales ==
Moser definió:
* '''mega''' es el equivalente al número 2 en un pentagono: 
* '''megiston''' es el equivalente al número 10 en un círculo: ⑩
El '''número de Moser''' es el número representado por "2 en un megagón", donde un '''megagón''' es un polígono con "mega" lados.

Notaciones alternativas:
* Utilizar la cuadrado de funciones(x) y triángulo(x)
* Dejar M({{Math|M(<VAR >n</VAR >, <VAR >m</VAR >, <VAR >p</VAR >)}}, {{Math|M(<VAR >n</VAR >, <VAR >m</VAR >, <VAR >p</VAR >)}}, {{Math|M(<VAR >n</VAR >, <VAR >m</VAR >, <VAR >p</VAR >)}}) ser el número representado por el número {{math|<VAR >n</VAR >}} en {{math|<VAR >m</VAR >}} anidado p cara polígonos; entonces las reglas son:
*
* Y
** mega =<math>M(2,1,5)</math> 
** megagón =<math>M(10,1,5)</math> 
** moser =<math>M(2,1,M(2,1,5))</math>

== Mega ==
Un mega, ②, es ya un número muy grande, desde ② =
cuadrado(cuadrado(2)) = cuadrado(triángulo(triángulo(2))) =
cuadrado(triángulo(22)) = 
cuadrado(triángulo(4)) =
cuadrado(44) =
cuadrado(256) =
triángulo(triángulo(triángulo(...Triángulo(256)...)))  [256 triángulos] =
triángulo(triángulo(triángulo(...Triángulo(256256)...)))  [255 triángulos] ~
triángulo(triángulo(triángulo(...Triángulo(3.2 &#xD7; 10616)...)))  [254 triángulos] =
...

Utilizando la otra notación:

mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)

Con la función hemos mega = <math>f(x)=x^x</math><math>f^{256}(256)  = f^{258}(2)</math> dónde el superíndice denota un [[Función compuesta|potencia funcional]], no una potencia numérica.

Tenemos (nota la convención que las potencias están evaluadas de derechas a izquierdas):
* M(256,2,3) =<math>(256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}</math> 
* M(256,3,3) = ≈<math>(256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}</math><math>256^{\,\!256^{256^{257}}}</math>
De modo parecido:
* M(256,4,3) ≈<math>{\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}</math> 
* M(256,5,3) ≈<math>{\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}</math> 
etc.

Así:
* mega = <math>M(256,256,3)\approx(256\uparrow)^{256}257</math>, dónde <math>(256\uparrow)^{256}</math> denota una potencia funcional de la función <math>f(n)=256^n</math>.
Redondeando más crudamente (reencuadradando el 257 al final por 256), conseguimos mega ≈ <math>256\uparrow\uparrow 257</math>, utilizando la [[notación flecha de Knuth]].

Después de los pocos pasos iniciales, el valor de es cada vez aproximadamente igual a <math>n^n</math><math>256^n</math>. De hecho, es incluso aproximadamente igual a <math>10^n</math>. Utilizando base 10 poderes, conseguimos:
* <math>M(256,2,3)\approx10^{\,\!1.99\times 10^{619}}</math> (<math>\log _{10} 616</math> está añadido al 616)
* <math>M(256,3,3)\approx10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}</math> (<math>619</math> está añadido al <math>1.99\times 10^{619}</math>, el cual es insignificante; por tanto justo un 10 está añadido en el inferior)
...
* mega = <math>M(256,256,3)\approx(10\uparrow)^{255}1.99\times 10^{619}</math>, dónde denota un poder funcional de la función <math>(10\uparrow)^{255}</math><math>f(n)=10^n</math>. De ahí <math>10\uparrow\uparrow 257 < \text{mega} < 10\uparrow\uparrow 258</math> 

== Número de Moser ==
Ha sido probado que en la [[notación flecha encadenada de Conway]],

:<math>\mathrm{moser} < 3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2,</math>

Y, en la notación flecha arriba de Knuth,

:<math>\mathrm{moser} < f^{3}(4) = f(f(f(4))), \text{ donde } f(n) = 3 \uparrow^n 3.</math>

Por lo tanto, el número de Moser, a pesar de que es incomprensiblemente grande, es increíblemente pequeño comparado al [[número de Graham]]:

:<math>\mathrm{moser} \ll  3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2 < f^{64}(4) = \text{el número de Graham}.</math>

== Véase también ==
* [[Función de Ackermann]]

== Referencias ==
{{listaref}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Grandes números]]
[[Categoría:Notación matemática]]