Notación Steinhaus–Moser

En matemáticas, la notación Steinhaus–Moser es una notación para expresar números extremadamente grandes con seguridad. Es una extensión de la notación polígono de Steinhaus.

Definiciones

un número Plantilla:Math en un triángulo significa Plantilla:Math

un número Plantilla:Math en un cuadrado es equivalente a "el número Plantilla:Math dentro de Plantilla:Math triángulos, los cuales están todos anidados."

un número en un pentágono es equivalente a "el número Plantilla:Math dentro de Plantilla:Math cuadrados, los cuales están todos anidados."

etc.: Plantilla:Math escrito en un polígono de Plantilla:Math lados es equivalente a "el número Plantilla:Math dentro de Plantilla:Math polígonos anidados de (Plantilla:Math) lados". En una serie de polígonos anidados, estos están asociados hacia adentro. El número Plantilla:Math dentro de dos triángulos es equivalentes a Plantilla:Math dentro de un triángulo, el cual es equivalente a Plantilla:Math elevado a la potencia Plantilla:Math.

Steinhaus solo definió el triángulo, el cuadrado, y un círculo , el equivalente al pentágono definido anteriormente.

Valores especiales

Moser definió:

• mega es el equivalente al número 2 en un pentagono:
• megiston es el equivalente al número 10 en un círculo: ⑩

El número de Moser es el número representado por "2 en un megagón", donde un megagón es un polígono con "mega" lados.

Notaciones alternativas:

• Utilizar la cuadrado de funciones(x) y triángulo(x)
• Dejar M(Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math) ser el número representado por el número Plantilla:Math en Plantilla:Math anidado p cara polígonos; entonces las reglas son:
• Y
  • mega =$M(2,1,5)$
  • megagón =$M(10,1,5)$
  • moser =$M(2,1,M(2,1,5))$

Mega

Un mega, ②, es ya un número muy grande, desde ② = cuadrado(cuadrado(2)) = cuadrado(triángulo(triángulo(2))) = cuadrado(triángulo(22)) = cuadrado(triángulo(4)) = cuadrado(44) = cuadrado(256) = triángulo(triángulo(triángulo(...Triángulo(256)...))) [256 triángulos] = triángulo(triángulo(triángulo(...Triángulo(256256)...))) [255 triángulos] ~ triángulo(triángulo(triángulo(...Triángulo(3.2 × 10616)...))) [254 triángulos] = ...

Utilizando la otra notación:

mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)

Con la función hemos mega = $f(x)=x^x$$f^{256}(256)=f^{258}(2)$ dónde el superíndice denota un potencia funcional, no una potencia numérica.

Tenemos (nota la convención que las potencias están evaluadas de derechas a izquierdas):

• M(256,2,3) =$(256^{256}{)}^{256^{256}}=256^{256^{257}}$
• M(256,3,3) = ≈$(256^{256^{257}}{)}^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}$$256^{256^{256^{257}}}$

De modo parecido:

• M(256,4,3) ≈$256^{256^{256^{256^{257}}}}$
• M(256,5,3) ≈$256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}$

etc.

Así:

• mega = $M(256,256,3)\approx (256\uparrow {)}^{256}257$, dónde $(256\uparrow {)}^{256}$ denota una potencia funcional de la función $f(n)=256^n$.

Redondeando más crudamente (reencuadradando el 257 al final por 256), conseguimos mega ≈ $256\uparrow \uparrow 257$, utilizando la notación flecha de Knuth.

Después de los pocos pasos iniciales, el valor de es cada vez aproximadamente igual a $n^n$$256^n$. De hecho, es incluso aproximadamente igual a $10^n$. Utilizando base 10 poderes, conseguimos:

• $M(256,2,3)\approx 10^{1.99\times 10^{619}}$ (${\log }_{10}616$ está añadido al 616)
• $M(256,3,3)\approx 10^{10^{1.99\times 10^{619}}}$ ($619$ está añadido al $1.99\times 10^{619}$, el cual es insignificante; por tanto justo un 10 está añadido en el inferior)

...

• mega = $M(256,256,3)\approx (10\uparrow {)}^{255}1.99\times 10^{619}$, dónde denota un poder funcional de la función $(10\uparrow {)}^{255}$$f(n)=10^n$. De ahí $10\uparrow \uparrow 257<\text{mega}<10\uparrow \uparrow 258$

Número de Moser

Ha sido probado que en la notación flecha encadenada de Conway,

$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}<3\to 3\to 4\to 2,$

Y, en la notación flecha arriba de Knuth,

$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}<f^3(4)=f(f(f(4))),\text{ donde }f(n)=3{\uparrow }^{n}3.$

Por lo tanto, el número de Moser, a pesar de que es incomprensiblemente grande, es increíblemente pequeño comparado al número de Graham:

$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}\ll 3\to 3\to 64\to 2<f^{64}(4)=\text{el número de Graham}.$

Véase también

• Función de Ackermann