Ver el código de «Polinomio mínimo de valores trigonométricos especiales»

[[Archivo:Fundamenta triangulo de seslatero.gif|thumb|300px|En un polígono regular convexo con ''n'' lados, el ángulo en el centro mide 2a, siendo a = {{math|π}}/''n'']]

En [[matemáticas]], y más precisamente en [[álgebra]], se puede intentar calcular el '''[[Polinomio mínimo (teoría de cuerpos)|polinomio mínimo]]''' asociado con un número de la forma {{math|cos(''r'' [[Número π|π]])}}, {{math|sen(''r'' π)}} o {{math|tan(''r'' π)}}, siendo {{mvar|r}} un [[número racional]]. Estos números se denominan en el artículo '''''valores trigonométricos especiales'''''.

El polinomio mínimo de un [[número algebraico]] {{mvar|a}} es el [[polinomio mónico]] con coeficientes racionales de menor grado de los que {{mvar|a}} es una [[Raíz de un polinomio|raíz]].

Las medidas de ángulos con la forma {{math|''r''&thinsp;π}} se encuentran en muchos problemas geométricos; en particular, las medidas de ángulos del tipo <math>\frac{2\pi}n</math> (para cualquier [[Número natural|entero]] {{math|''n'' ≥ 3}}) corresponden a los ángulos centrales de los [[Polígono regular|polígonos regulares]] convexos.

== Enfoque intuitivo ==
[[Archivo:Cos30.svg|thumb|right|300px|Para comprobar que <math>\cos(30^\circ) = \frac\sqrt32</math>, se puede utilizar un [[triángulo equilátero]]. Aplicándole el teorema de Pitágoras, es inmediato comprobar que la altura del triángulo equilátero mide <math>\sqrt {2^2-1^2}=\sqrt {3}</math>]]

Cuando se aprende [[trigonometría]], rápidamente se ve que el coseno y el seno de las medidas de ciertos ángulos tienen una forma particular, que involucra raíces cuadradas. Así, para un ángulo de 30 [[Grado sexagesimal|grados]], es decir, {{math|π/6}} [[radianes]], el [[teorema de Pitágoras]] permite demostrar que:
: <math>\cos\frac\pi6=\frac\sqrt32</math>.

Esto equivale a decir que {{math|cos(π/6)}} es una de las soluciones de la ecuación <math>x^2 - \frac34= 0</math>. La otra solución a esta ecuación es {{math|cos(5π/6)}}, que también tiene la forma {{math|cos(''r'' π)}}.

La ecuación <math>x^2 - \frac34= 0</math> es [[Ecuación algebraica|polinómica]]: se expresa en la forma {{math|''P''(''x'') {{=}} 0}}, donde {{mvar|P}} es un [[polinomio]]. Como {{mvar|P}} tiene coeficientes [[Número racional|racionales]], sus raíces son [[Número algebraico|números algebraicos]]. Además, {{mvar|P}} es [[Polinomio mónico|unitario]], es decir, su [[monomio]] es 1, e [[Factorización de polinomios|irreducible]] sobre <math>\Q</math>, es decir, no se puede factorizar en un producto de polinomios con coeficientes racionales.<ref group="nota">A diferencia de los polinomios irreducibles en <math>\R</math> (que son de grado 1 o 2) o [[Teorema fundamental del álgebra|sobre <math>\Complex</math> (de grado 1)]], los polinomios irreducibles en <math>\Q</math> (como ({{math|X<sup>4</sup> + 1}}) pueden [[Criterio de Eisenstein|existir en todos los grados]].</ref> {{mvar|P}} es, por tanto, de grado mínimo entre los polinomios con coeficientes racionales que se anulan en {{math|cos(π/6)}}: en consecuencia, es su [[Polinomio mínimo (teoría de cuerpos)|polinomio mínimo]].

Las preguntas que surgen naturalmente son:
* ¿Cuál es la forma más relevante de escribir un múltiplo racional de {{math|π}}? <br /> La respuesta<ref group="nota">Véase [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Polyn%C3%B4mes_annulateurs_de_nombres_sous_la_forme_cosinus_ou_tangente/M%C3%A9thodes_d%27obtention_des_polyn%C3%B4mes#%C3%89criture_pertinente_d'un_multiple_rationnel_de_%CF%80 «Écriture pertinente d'un multiple rationnel de {{math|π}}»] en [[Wikiversidad]].</ref> es:
** <math>\frac{2k\pi}n</math> si se está interesado en su coseno,
** <math>\frac{k\pi}n</math> si se está interesado en su seno o su tangente;
* ¿Son algebraicos el coseno, el seno y la tangente? <br />La respuesta es ''sí'';
* ¿Todavía se puede expresarlos usando raíces cuadradas? <br /> La respuesta esta vez es ''no'';
* ¿Se puede al menos siempre expresarlos usando raíces ''n''-ésimas? <br />La respuesta es ''sí'' si se permite trabajar con números complejos;
* ¿Cómo se obtienen los polinomios mínimos de estos números?

También se verá que es posible reducir el grado de estos polinomios, incluso si eso significa dejar de trabajar solo con polinomios con coeficientes racionales.

== Naturaleza algebraica de los valores trigonométricos especiales ==
=== Teorema ===
{{Teorema|Para todo número racional {{mvar|r}}, los [[números reales]] {{math|cos(''r'' π)}}, {{math|sen(''r'' π)}} y {{math|tan(''r'' π)}} (si {{math|cos(''r'' π) ≠ 0}}) son [[Número algebraico|algebraicos]].}}

{{Demostración|
Primero, se sabe que las dos [[exponencial compleja|exponenciales]] <math>\operatorname e^{\mathrm i\frac{2k\pi}n}</math> y <math>\operatorname e^{-\mathrm i\frac{2k\pi}n}</math> (con {{mvar|k}} y {{mvar|n}} enteros) son números algebraicos, como [[Raíz de la unidad|raíces {{mvar|n}}-ésimas de la unidad]].
Como el conjunto de números algebraicos, provisto de suma y multiplicación, es un [[cuerpo (matemáticas)|cuerpo]], se deduce que los tres números: <math>\cos\frac{2k\pi}n=\frac{\operatorname e^{\mathrm i\frac{2k\pi}n}+\operatorname e^{-\mathrm i\frac{2k\pi}n}}2,\quad\sen\frac{2k\pi}n=\frac{\operatorname e^{\mathrm i\frac{2k\pi}n}-\operatorname e^{-\mathrm i\frac{2k\pi}n}}{2\operatorname e^{\mathrm i\frac\pi2}}\quad\text{y}\quad\tan\frac{k\pi}n=\frac{\sen\frac{k\pi}n}{\cos\frac{k\pi}n}</math> son algebraicos.
}}

Esta demostración es breve pero utiliza principalmente el hecho de que el conjunto de números algebraicos es [[Elemento algebraico|estable respecto a la suma y el producto]], lo que es difícil de probar. Se puede preferir una demostración usando herramientas más elementales (véase [[#Algunos polinomios canceladores|''Algunos polinomios canceladores'']]).

=== Grado algebraico ===
El grado de un número algebraico es el grado de su polinomio mínimo. [[Derrick Henry Lehmer]] calculó el grado de {{math|cos(2''k''π/''n'')}}:<ref>{{cita publicación|autor1=D. H. Lehmer |título=A Note on Trigonometric Algebraic Numbers |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1933-03_40/page/165 |idioma=en |publicación=[[American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]|número=40 | pages=165-166 |año=1933|jstor=2301023}}. Su segundo teorema sobre el grado de {{math|sen(2''k''π/''n'')}} es falso.</ref><ref>{{cita libro|idioma=en|autor1=[[Ivan Morton Niven]]|título=Irrational Numbers|url=https://archive.org/details/irrationalnumber00nive|editor=[[Cambridge University Press]]|año=1956|capítulo=37-39|obra={{Google books|ov-IlIEo47cC|page=37}}}}. </ref><ref name="garibaldi">{{cita publicación |título=Somewhat More than Governors Need to Know about Trigonometry |idioma=en |autor=Skip Garibaldi|url=http://www.cs.umd.edu/~gasarch/BLOGPAPERS/gov.pdf |publicación=[[Mathematics Magazine]]|volume=81 |número=3 | date=juin 2008 | pages=191-200}}. </ref>

si {{math|''n'' > 2}} y {{mvar|k}} son [[Números coprimos|primos entre sí]],
* el grado de {{math|cos(2''k''π/''n'')}} vale {{math|''φ''(''n'')/2}},<ref group="nota">La función indicadora de Euler toma solo valores pares a partir de {{math|''n'' {{=}} 3}}. Por lo tanto, {{math|''φ''(''n'')/2}} es un número entero.</ref>

donde {{mvar|φ}} es la [[Función φ de Euler|función indicatriz de Euler]]. La demostración<ref group="nota" name="cos" /> simplemente usa la irreductibilidad del {{mvar|n}}-ésimio [[polinomio ciclotómico]] (véase [[#Con polinomios ciclotómicos|''Con polinomios ciclotómicos'']]).

Gracias a las [[identidades y fórmulas de trigonometría]] <math>\sen\theta=\cos\left(\frac\pi2-\theta\right)</math>, se puede deducir fácilmente que:<ref group="nota" name="sen" />

* el grado de {{math|sen(''k''π/''n'')}} vale:<ref name="NivenMauvais">Para obtener una formulación más complicada pero equivalente, consúltese, por ejemplo {{Harvsp|Niven|1956|p=37-39}}.</ref>
** {{math|''φ''(''n'')}} si {{mvar|n}} es impar o divisible entre 4;
** {{math|''φ''(''n'')/2}} de lo contrario.

En cuanto al grado de {{math|tan(''k''π/''n'')}}, si {{math|''n'' > 4}} y {{mvar|k}} y {{mvar|n}} son coprimos, es:<ref>{{cita web|idioma=en|autor=Jack S. Calcut|título=Rationality and the Tangent Function|url=http://www2.oberlin.edu/faculty/jcalcut/tanpap.pdf|ubicación=[[Oberlin College]]}}.</ref><ref name="NivenMauvais" />
* {{math|''φ''(''n'')/2}} si {{mvar|n}} es divisible por 4;
* {{math|''φ''(''n'')}} en caso contrario.

=== Racionalidad ===
Los racionales son números algebraicos de grado 1, un [[corolario]]<ref group="nota">Aunque se había demostrado muchas veces antes de que Niven lo mencionara como un mero corolario, lleva el nombre de [[teorema de Niven]].</ref><ref>{{Harvsp|Niven|1956|p=41}}, corolario 3.12 y notas.</ref> de la sección anterior es que para los múltiples ángulos racionales de {{math|π}}, los únicos valores racionales de las [[Función trigonométrica|funciones trigonométricas]] habituales son:
* para {{math|cos}} y {{math|sen}}:<ref>{{cita publicación|idioma=en|autor=R. S. Underwood|título=On the irrationality of certain trigonometric functions|publicación=[[American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]|volumen=28|número=10|año=1921|página=374-376|jstor=2972160}}.</ref> {{math|0}}, {{math|±}}{{sfrac|1|2}} y {{math|±1}};
* para {{math|tan}}:<ref>{{cita publicación|idioma=en|autor=R. S. Underwood|título=Supplementary note on the irrationality of certain trigonometric functions|publicación=Amer. Math. Monthly|volumen=29|número=9|año=1922|página=346|jstor=2298729}}.</ref> {{math|0}} y {{math|±1}}.

== Expresión de valores trigonométricos especiales usando radicales ==
=== Expresión con raíces cuadradas ===
{| class="wikitable floatright"
|-
!{{mvar|n}}!!{{math|''φ''(''n'')}}!!{{math|cos(2π/''n'')}}!!{{math|sen(π/''n'')}}!!{{math|tan(π/''n'')}}
|-
|align="center" | 12
|align="center" |4
|align="center" |<math>\frac\sqrt32</math>
|align="center" |<math>\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}</math>
|align="center" |<math>2-\sqrt3</math>
|-
|align="center" | 10
|align="center" | 4
|align="center" | <math>\frac{\sqrt5+1}4</math>
|align="center" | <math>\frac{\sqrt5-1}4</math>
|align="center" | <math>\sqrt{1-\frac2\sqrt5}</math>
|-
|align="center" | 8
|align="center" | 4
|align="center" | <math>\frac1\sqrt2</math>
|align="center" | <math>\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}2</math>
|align="center" | <math>\sqrt2-1</math>
|-
|align="center" |6
|align="center" |2
|align="center" |<math>\frac12</math>
|align="center" |<math>\frac12</math>
|align="center" |<math>\frac1\sqrt3</math>
|-
|align="center" |5
|align="center" |4
|align="center" |<math>\frac{\sqrt5-1}4</math>
|align="center" |<math>\sqrt{\frac{5-\sqrt5}8}</math>
|align="center" |<math>\sqrt{5-2\sqrt5}</math>
|-
|align="center" | 4
|align="center" |2
|align="center" |<math>0</math>
|align="center" |<math>\frac1\sqrt2</math>
|align="center" |<math>1</math>
|-
|align="center" |3
|align="center" |2
|align="center" |<math>-\frac12</math>
|align="center" |<math>\frac\sqrt32</math>
|align="center" |<math>\sqrt3</math>
|}

Un [[polígono regular]] con {{mvar|n}} vértices es construible con [[regla y compás]] si y solo si {{math|''φ''(''n'')}} es una [[potencia de dos]]. De hecho, su ángulo en el centro es <math>\frac{2\pi}n</math>, pero un corolario del [[teorema de Wantzel]] afirma que si un número es construible, entonces su grado es una potencia de {{math|2}}, y lo contrario es falso en general pero verdadero para los ''valores trigonométricos especiales''.

[[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] dio ya en 1796 (en una forma más explícita) esta condición suficiente sobre el entero {{mvar|n}} para que el polígono regular con {{mvar|n}} vértices sea construible, afirmando que también es necesaria, lo que Wantzel confirmó, dando origen al [[teorema de Gauss-Wantzel]].

Por ejemplo, el [[heptágono]], el [[eneágono]] regular y el [[endecágono]] regular no son construibles porque {{math|''φ''(7) {{=}} ''φ''(9) {{=}} 6}} y {{math|''φ''(11) {{=}} 10}}, mientras que para los otros valores de {{mvar|n}} desde {{math|3}} a {{math|12}}, el {{mvar|n}}-gono regular es construible, como se explica en la siguiente tabla (para obtener más valores de {{mvar|n}}, consúltese [[función φ de Euler|''esta tabla'' de {{math|''φ''(''n'')}}]] y este artículo sobre [[Constantes trigonométricas expresadas en radicales reales|valores trigonométricos especiales expresables con raíces cuadradas]]).

=== Expresión con raíces ''n''-ésimas ===
El polinomio mínimo de {{math|2cos(2π/7)}} es<ref group="nota" name="cos" /> {{math|(''X''<sup>3</sup> + ''X''<sup>2</sup> – 2''X'' – 1)}}, cuyas otras dos raíces son {{math|2cos(4π/7)}} y {{math|2cos(6π/7)}}. Como estas tres raíces son reales, se está en el “[[casus irreducibilis]]”, que no se puede resolver trigonométricamente con las combinaciones de números reales vistas hasta ahora. Esto explica por qué nunca es posible encontrar una expresión de {{math|cos(2π/7)}} con raíces cuadradas o cúbicas reales en forma trigonométrica: solo se puede dar un valor aproximado, o indicar su polinomio mínimo, del que es la única raíz positiva.

Sin embargo, existe una expresión radical de {{math|cos(2π/7)}}, siempre que se permita el uso de [[Radicación|raíces cuadradas y cúbicas]] de [[números complejos]]; esta expresión viene dada por el [[método de Cardano]]:<ref group="nota">Con la siguiente convención: ya sea un número complejo <math>z = r\operatorname e^{\mathrm i\theta}</math>, donde {{mvar|r}} es un número real positivo y {{mvar|θ}} está en el intervalo {{math|[-π , π]}}, la raíz {{mvar|n}}-ésima ''principal'' de {{mvar|z}} es <math>\sqrt[n]z=\sqrt[n]r\operatorname e^{\mathrm i\theta/n}</math>.</ref>

: <math>\cos\frac{2\pi}7=\frac16\left(\sqrt[3]\frac{7+21\sqrt{-3}}2+\sqrt[3]\frac{7-21\sqrt{-3}}2-1\right)</math>.

[[Constantes trigonométricas expresadas en radicales reales|Es lo mismo para {{math|cos(π/9)}}]],<ref name="garibaldi" /> también algebraico de grado 3.

¿Qué pasa con los polinomios de grado aún mayor? [[Niels Henrik Abel]] y [[Évariste Galois]] demostraron que es imposible expresar ''en general'' las [[Ecuación de quinto grado|raíces de un polinomio de grado 5]] o superior mediante radicales. Sin embargo, se ha visto en el apartado anterior que determinados valores de {{math|cos(2π/''n'')}}, de grados tan grandes como se quiera, se expresan mediante raíces cuadradas y por tanto mediante radicales (véase por ejemplo la [[Constantes trigonométricas expresadas en radicales reales|expresión de {{math|cos(π/2{{exp|''m''+1}})}}]], de grado {{math|1=''φ''(2{{exp|''m''+2}})/2 = 2{{exp|''m''}}}}).

De hecho, {{math|cos(2π/''n'')}} tiene ''siempre'' una expresión radical (en los números complejos),<ref>{{en}} [http://mathoverflow.net/questions/36276/when-is-sinr-pi-expressible-in-radicals-for-r-rational Una descripción general de esta pregunta] en el sitio de [[MathOverflow]].</ref><ref>{{cita web|idioma=en|url=http://www.literka.addr.com/mathcountry/algebra/trigvalues/values11.htm|título=Mathematical Countryside|autor=Literka|fechaacceso=27 de julio de 2022|fechaarchivo=8 de septiembre de 2013|urlarchivo=https://archive.today/20130908095325/http://www.literka.addr.com/mathcountry/algebra/trigvalues/values11.htm|deadurl=}} cálculo de {{math|cos(2''k''π/11)}} (de grado 5).</ref> ya que el [[grupo de Galois]] de su polinomio mínimo es [[Grupo abeliano|abeliano]], y por lo tanto [[Grupo resoluble|resoluble]] (es [[Homomorfismo de grupos|isomorfo]] a (ℤ/''n''ℤ){{exp|×}}/{1, –1}, como [[Grupo cociente|cociente]] del grupo de Galois del {{mvar|n}}-ésimo [[cuerpo ciclotómico]] por el [[subgrupo]] de [[Orden (teoría de grupos)|orden]] 2 [[Conjunto generador de un grupo|engendrado]] por [[Conjugado (matemática)|conjugación]]). Más simplemente, {{math|cos(''r'' π)}}, {{math|sen(''r'' π)}} y {{math|tan(''r'' π)}} (con {{mvar|r}} racional) siempre pueden [[Teorema de Abel-Ruffini|ser expresados trivialmente con radicales]] (complejos), ya que <math>\operatorname e^{\mathrm ir\pi}</math> es una raíz de la unidad.

== Polinomios con coeficientes no racionales ==
Considérense<ref group="nota">Muchos otros ejemplos, incluido uno más detallado que este, se pueden encontrar en [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Polyn%C3%B4mes_annulateurs_de_nombres_sous_la_forme_cosinus_ou_tangente/Polyn%C3%B4mes_annulateurs_de_nombres_de_la_forme_2cos(2k%CF%80%E2%95%B1n) «Polynômes annulateurs de nombres de la forme 2cos(2kπ╱n)»]</ref> los cuatro números reales {{math|1=cos{{sfrac|''k''π|12}} = cos{{sfrac|2''k''π|24}}}} (para {{mvar|k}} primo con respecto a {{math|12}}), de grado {{math|{{sfrac|''φ''(24)|2}} {{=}} 4}}. [[Constantes trigonométricas expresadas en radicales reales|Se calculan fácilmente]]:<ref name="garibaldi"/>
: <math>\cos\frac\pi{12}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4,\quad\cos\frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4,\quad\cos\frac{7\pi}{12}=-\cos\frac{5\pi}{12},\quad\cos\frac{11\pi}{12}=-\cos\frac\pi{12}</math>.
{{math|cos{{sfrac|π|12}}}} es, por tanto, la raíz de los siguientes tres polinomios, de segundo grado, con inevitablemente no todos los coeficientes racionales:
* <math>\left(X-\cos\frac\pi{12}\right)\left(X-\cos\frac{5\pi}{12}\right)=X^2-\frac\sqrt62X+\frac14=P_1(\sqrt6,X)</math>;
* <math>\left(X-\cos\frac\pi{12}\right)\left(X-\cos\frac{7\pi}{12}\right)=X^2-\frac\sqrt22X-\frac14=P_2(\sqrt2,X)</math>;
* <math>\left(X-\cos\frac\pi{12}\right)\left(X-\cos\frac{11\pi}{12}\right)=X^2-\frac{2+\sqrt3}4=P_3(\sqrt3,X)</math>;
y el polinomio mínimo {{mvar|P}} se puede factorizar de tres formas:
: <math>P(X)=P_1(\sqrt6,X)P_1(-\sqrt6,X)=P_2(\sqrt2,X)P_2(-\sqrt2,X)=P_3(\sqrt3,X)P_3(-\sqrt3,X)</math>.
Los seis factores cuadráticos tienen coeficientes en un [[cuerpo cuadrático]] <math>\Q(\sqrt d)</math> ({{mvar|d}} igual a 6, 2 o 3), es decir la forma {{math|''a'' + ''b'' {{raíz|''d''}}}}, con {{mvar|a}} y {{mvar|b}} racionales.

Existen tres factorizaciones porque el grupo de Galois de {{mvar|P}}, (ℤ/24ℤ){{exp|×}}/{1, –1}, es isomorfo a (ℤ/8ℤ){{exp|×}} y por lo tanto al [[grupo de Klein]], que tiene tres subgrupos de [[Índice (teoría de grupos)|índice]] 2.

En el caso general {{math|cos(2''k''π/''n'')}} (con {{math|''n'' > 2}} y {{mvar|k}} y {{mvar|n}} primos entre sí), se encontrará al menos una factorización de este tipo (producto de dos polinomios con coeficientes en el mismo cuerpo cuadrático y de grado {{math|''φ''(''n'')/4}}) si (y solo si) {{math|''φ''(''n'')}} es divisible entre 4. Solo habrá una si (ℤ/''n''ℤ){{exp|×}}/{1, –1} es [[Grupo cíclico|cíclico]].

== Cálculo del polinomio mínimo con coeficientes racionales ==
=== Algunos polinomios canceladores ===
Para cualquier {{mvar|r}} racional, es fácil<ref group="nota" name=Annulateurs>Véase [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Polyn%C3%B4mes_annulateurs_de_nombres_sous_la_forme_cosinus_ou_tangente/M%C3%A9thodes_d%27obtention_des_polyn%C3%B4mes#Polyn%C3%B4mes_de_Tchebychev_et_polyn%C3%B4mes_annulateurs «Polynômes de Tchebychev et polynômes annulateurs»]</ref> encontrar un polinomio que se cancele en {{math|cos(''r'' π)}}, {{math|sen(''r'' π)}} o {{math|tan(''r'' π)}}.

Para {{math|cos(2''k''π/''n'')}}, se deduce de la [[fórmula de De Moivre]] que <math>\cos(nt)=\Re\left((\cos t+\mathrm i\sen t)^n\right)=T_n(\cos t)</math>, donde {{mvar|T<sub>n</sub>}} es un polinomio de grado {{mvar|n}} con coeficientes [[Número entero|enteros]] (el {{mvar|n}}-ésimo [[polinomios de Chebyshov|polinomio de Chebyshov]] del primer tipo). Ahora, para {{math|1=''t'' = 2''k''π/''n''}}, {{math|1=cos(''nt'') = cos(2''k''π) = 1}}, y por lo tanto, {{math|cos(2''k''π/''n'')}} es la raíz del polinomio {{math|''T<sub>n</sub>''(''X'') – 1}}.

Se deducen fácilmente polinomios de cancelación de grado {{math|2''n''}} para {{math|sen(''k''π/''n'')}} y {{math|tan(''k''π/''n'')}}, gracias a las [[Identidades y fórmulas de trigonometría|fórmulas del ángulo doble]]:
: <math>\cos(2\theta)=1-2\sen^2\theta=\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}</math>.

Esta segunda prueba de la algebraicidad de los ''valores trigonométricos especiales'' es [[demostración constructiva|constructiva]], porque proporciona una expresión de un polinomio cancelador, es decir, de un polinomio {{mvar|P}} como {{math|''P''(''x'') {{=}} 0}} para {{math|1=''x'' = cos(2''k''π/''n'')}}, {{math|sen(''k''π/''n'')}} o {{math|tan(''k''π/''n'')}}. Pero dados sus grados, los polinomios encontrados por este método no son mínimos si {{math|''n'' ≥ 2}} (véase [[#Grado algebraico|''grado algebraico'']]).

A menudo es posible construir polinomios canceladores de grados más pequeños. Por ejemplo, si {{mvar|n}} es impar, {{math|1=''n'' = 2''m'' + 1}}, se tiene que:<ref group="nota" name=Annulateurs/>
* para <math>x=\cos\frac{2k\pi}n\ne1</math>: <math>1+2\sum_{i=1}^mT_i(x)=0</math>;
* por lo tanto para <math>y=\sen\frac{k\pi}n\ne0</math>: <math>1+2\sum_{i=1}^mT_i(1-2y^2)=0</math>;
* y para <math>z=\tan\frac{k\pi}n\ne0</math>: <math>1+2\sum_{i=1}^mT_i\left(\frac{1-z^2}{1+z^2}\right)=0</math>,
que proporciona polinomios de cancelación:
* para {{mvar|x}}: de grado {{sfrac|''n'' – 1|2}},
* para {{mvar|y}} y {{mvar|z}}: de grado {{math|''n'' – 1}}.
Si {{mvar|n}} es [[Número primo|primo]], son incluso de grado mínimo, por identificación directa (véase el siguiente apartado) o simplemente viendo sus grados (véase [[#Grado algebraico|Grado algebraico]].<ref>O, para {{mvar|y}} y {{mvar|x}}, de acuerdo con el [[criterio de Eisenstein]]: cf. {{Article |publicación= Mathematics Magazine | volume = 77 |número= 2 | pages = 146-149 |año= 2004 |título= The Minimal Polynomials of sin (2π/p) and cos (2π/p) |idioma= en | nombre1 = Scott | apellido1 = Beslin |nombre2= Valerio | apellido2 = De Angelis|url=https://www.researchgate.net/profile/Valerio_De_Angelis/publication/266019590_The_minimal_polynomials_of_sin2p_p_and_cos2p_p/links/56b4074508ae61c480581675/The-minimal-polynomials-of-sin2p-p-and-cos2p-p.pdf?origin=publication_detail}}.</ref>

=== Polinomio mínimo de {{math|cos(2''k''π/''n'')}} ===
El método de Lehmer (véase [[#Grado algebraico|''grado algebraico'']])<ref>Reprodcido por {{cita web |autor= William E. Heierman | url=http://www.corunduminium.com/Trigpolys.html |título=Minimal polynomials for trig functions of angles rationally commensurate with π |idioma=en | date=4 juin 2009|título-trad=Polynômes minimaux pour les fonctions trigonométriques d'angles rationnellement commensurables avec π}}, que intenta deducir un método para {{math|tan(''k''π/''n'')}}.</ref> permite calcular los polinomios mínimos de {{math|cos(2''k''π/''n'')}} (para {{mvar|k}} y {{mvar|n}} primos entre sí) y deducir de ellos los de {{math|sen(''k''π/''n'')}}. Se presenta aquí solo en el caso de los cosenos,<ref group="nota" name=cos>Véase el teorema correspondiente en [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Polyn%C3%B4mes_annulateurs_de_nombres_sous_la_forme_cosinus_ou_tangente/M%C3%A9thodes_d%27obtention_des_polyn%C3%B4mes#Polyn%C3%B4me_minimal_de_cos(r%CF%80) «Polynôme minimal de {{math|cos(''r''π)}}»] en Wikiversité, ilustrado por los ejemplos {{math|1=''n'' = 7}} o {{math|9}} y más generalmente, {{mvar|n}} [[Potencia prima|potencia de un número primo]].</ref> para el ejemplo {{math|1=''n'' = 15}}.

Sea {{math|Φ<sub>15</sub>}} el 15º [[polinomio ciclotómico]] habitual:
: <math>\Phi_{15}(z) = z^8 - z^7 + z^5 - z^4 + z^3 - z + 1</math>.

{{math|Φ<sub>15</sub>}} es de grado <math>\varphi(15)=8</math>. Se multiplica {{math|Φ<sub>15</sub>(''z'')}} por <math>z^{-\frac82}</math>:
: <math>z^{-4}\,\Phi_{15}(z) =(z^4+ z^{-4})- (z^3+z^{-3})+(z+z^{-1})-1</math>.
Se obtiene un nuevo polinomio {{math|Φ<sub>15</sub>(''t'')}} ''con coeficientes enteros'' en <math>t = z + z^{-1}</math>, según el cálculo proporcionado por el [[polinomios de Chebyshov]]:
: <math>z^{-4}\,\Phi_{15}(z) = \Theta_{15}(t) =2[T_4(t/2)-T_3(t/2)+T_1(t/2)]-1=(t^4-4t^2+2)-(t^3-3t)+t-1= t^4 - t^3 - 4t^2 + 4t + 1</math>.
{{Demostración|título=Variante de cálculo|1=
Se escriben las potencias de <math>z + z^{-1}</math> de 0 a 4, calculadas usando el [[teorema del binomio]], en una tabla:
: <math>\begin{matrix}
(z + z^{-1})^4 = & z^4 &     & + 4z^2 &      & + 6 &           & + 4z^{-2} &          & +  z^{-4} \\
(z + z^{-1})^3 = &     & z^3 &        & + 3z &     & + 3z^{-1} &           & + z^{-3} &   \\
(z + z^{-1})^2 = &     &     &   z^2  &      & + 2 &           & + z^{-2}  &          &   \\
(z + z^{-1})^1 = &     &     &        &   z  &     & + z^{-1}  &           &          &   \\
(z + z^{-1})^0 = &     &     &        &      &   1 &           &           &          &   
\end{matrix}</math>

Tanteando un poco, se logra encontrar coeficientes enteros como, por ejemplo, al multiplicar las potencias de <math>z + z^{-1}</math> por estos enteros, obteniéndose la expresión de <math>z^{-4}\,\Phi_{15}(z)</math> tras sumar los resultados: los coeficientes de <math>(z + z^{-1})^4</math> y <math>(z + z^{-1})^3</math> deben ser respectivamente iguales a 1 y –1 para dar <math>(z^4+ z^{-4})- (z^3+z^{-3})</math>, entonces el coeficiente de <math>(z + z^{-1})^2</math> debe ser igual a –4 para eliminar el término en <math>z^2+ z^{-2}</math> que se acaba de introducir: <math>\begin{matrix}
(z + z^{-1})^4 = & z^4 &       & + 4z^2 &      & + 6 &           & + 4z^{-2} &          & +  z^{-4} \\
-(z + z^{-1})^3 = &    & - z^3 &        & - 3z &     & - 3z^{-1} &           & - z^{-3} &   \\
-4(z + z^{-1})^2 = &   &       & - 4z^2 &      & - 8 &           & - 4z^{-2} &          &  \\
4(z + z^{-1})^1 = &    &       &        &   4z &     & + 4z^{-1} &           &          &  \\
(z + z^{-1})^0 = &     &       &        &      &   1 &           &           &          &  \\
\text{total}  =& z^4 & - z^3 &        &  + z & - 1 &  + z^{-1} &           & - z^{-3} & + z^{-4}
\end{matrix}</math>
}}

El procedimiento funciona porque los polinomios ciclotómicos son [[Polinomio recíproco|''polinomios palindrómicos'']], es decir, tienen los mismos coeficientes cuando se leen sus términos tanto en orden de grado creciente como decreciente.

Para <math>z =\operatorname e^{\mathrm i\frac{2k\pi}n}</math>, se tiene que <math>z + z^{-1} = 2\cos(2k\pi/n)</math>. Sin embargo, por definición, el polinomio ciclotómico {{math|Φ<sub>''n''</sub>}} tiene precisamente por raíces los complejos <math>\operatorname e^{\mathrm i\frac{2k\pi}n}</math> con {{mvar|k}} y {{mvar|n}} primos entre sí. Por lo tanto, el número {{math|cos(2''k''π/15)}} es la raíz de:
: <math>\Theta_{15}(2x) = 16x^4 - 8x^3 - 16x^2 + 8x + 1</math>.

Además, dado que {{math|Φ<sub>15</sub>}} es irreducible sobre <math>\Q</math>, {{math|Θ<sub>15</sub>}} también lo es.

Se determina el polinomio mínimo común a {{math|cos(2π/15)}}, {{math|cos(4π/15)}}, {{math|1=cos(8π/15) = –cos(7π/15)}} y {{math|1=cos(14π/15) = –cos(π/15)}}:
: <math>P(x) = \frac1{16} \Theta_{15}(2x) = x^4 - \frac12 x^3 - x^2 + \frac12 x + \frac1{16}</math>.

== Listas de polinomios mínimos ==
Aquí hay una lista de los primeros polinomios mínimos<ref group="nota">Véase también [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Polyn%C3%B4mes_annulateurs_de_nombres_sous_la_forme_cosinus_ou_tangente/Polyn%C3%B4mes_annulateurs_de_nombres_de_la_forme_2cos(2k%CF%80%E2%95%B1n) «Polynômes annulateurs de nombres de la forme 2cos(2kπ╱n)»] y [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Polyn%C3%B4mes_annulateurs_de_nombres_sous_la_forme_cosinus_ou_tangente/Polyn%C3%B4mes_annulateurs_de_nombres_de_la_forme_tan(k%CF%80%E2%95%B1n)#Polyn%C3%B4me_minimal_de_tan(k%CF%80/n) «Polynômes annulateurs de nombres de la forme tan(kπ╱n)»]</ref> de {{math|cos(2π/''n'')}},<ref>Extraido de >{{cita web |autor=Wolfdieter Lang | url=https://oeis.org/A181875/a181875.pdf|título=Minimal Polynomials of cos(2π/n) |idioma=en}} ({{OEIS2C|id=A181875}}).</ref><ref group="nota" name=cos/> {{math|sin(π/''n'')}}<ref group="nota" name="sin">El polinomio mínimo de {{math|sin(π/''n'')}} es igual al de <math>\cos\frac{2\pi}{n/2}</math> si <math>8\mid n-2k</math> y se deduce del de {{math|cos(2π/''n'')}} si no: véase [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Polyn%C3%B4mes_annulateurs_de_nombres_sous_la_forme_cosinus_ou_tangente/M%C3%A9thodes_d%27obtention_des_polyn%C3%B4mes#Cons%C3%A9quences_pour_sin(r%CF%80) «Conséquences pour {{math|sin(''r''π)}}»]</ref><ref>Deducido de >{{cita web |autor=Wolfdieter Lang | url=https://oeis.org/A181872/a181872.pdf|título=Minimal Polynomials of sin(2π/n) |idioma=en}} ({{OEIS2C|id=A181872}}), pero también se deduce de la columna «Polinomio mínimo de {{math|cos(2π/''n'')}}»: véase nota precedente.</ref> y {{math|tan(π/''n'')}}<ref group="nota">El polinomio mínimo de {{math|tan(''k''π/''n'')}} se educe del de {{math|cos(2''k''π/''n'')}} para un ángulo doble, con un cálculo adicional si {{mvar|n}} es divisible por 4: véase [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Polyn%C3%B4mes_annulateurs_de_nombres_sous_la_forme_cosinus_ou_tangente/Polyn%C3%B4mes_annulateurs_de_nombres_de_la_forme_tan(k%CF%80%E2%95%B1n)#Polyn%C3%B4me_minimal_de_tan(k%CF%80/n) «Polynôme minimal de {{math|tan(kπ/n)}}»] en Wikiversité, donde se tratan los ejemplos {{math|1=''n'' = 8, 11, 12}}.</ref><ref>En parte ({{math|1=''n'' = 8, 9, 10, 12}}) deducido de {{cita publicación|idioma=en|título=Equations with Trigonometric Values as Roots|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1959-01_66_1/page/52|página=52-53|autor=Kenneth W. Wegner|jstor=2309924|obra=Amer. Math. Monthly|volumen=66|número=1|año=1959}} y ({{math|1=''n'' = 3, 6, 8, 12}}) extraido de {{Harvsp|Calcut|loc=p. 16}}, pero también se deduce de la columna «Polinomio mínimo de {{math|cos(2π/''n'')}} »: véase la nota precedente.</ref> para <math>n\ge3</math>:

{| class="wikitable"
|-
! {{mvar|n}} !!<math>\varphi(n)</math>!! Polinomio mínimo {{mvar|C<sub>n</sub>}} de {{math|cos(2π/''n'')}} !! Polinomio mínimo de {{math|sin(π/''n'')}} !! Polinomio mínimo de {{math|tan(π/''n'')}}
|-
|12||4||<math>\frac12C_6(2X^2-1)=X^2-\frac34</math>||<math>\frac14C_{12}(2X^2-1)=C_{24}=X^4-X^2+\frac1{16}</math>||<math>X^2-4X+1</math>
|-
|11||10||<math>X^5+\frac12X^4-X^3-\frac38X^2+\frac3{16}X+\frac1{32}</math>||<math>-\frac1{32}C_{11}(1-2X^2)=C_{44}=</math><br/><math>X^{10}-\frac{11}4X^8+\frac{11}4X^6-\frac{77}{64}X^4+\frac{55}{256}X^2-\frac{11}{1024}</math>||<math>X^{10}-55X^8+330X^6-462X^4+165X^2-11</math>
|-
|10||4||<math>C_5(-X)=X^2-\frac12X-\frac14</math>||<math>C_5</math>||<math>X^4-2X^2+\frac15</math>
|-
|9||6||<math>X^3-\frac34X+\frac18</math>||<math>-\frac18C_9(1-2X^2)=C_{36}=X^6-\frac32X^4+\frac9{16}X^2-\frac3{64}</math>||<math>X^6-33X^4+27X^2-3</math>
|-
|8||4||<math>\frac12C_4(2X^2-1)=X^2-\frac12</math>||<math>\frac14C_8(2X^2-1)=C_{16}=X^4-X^2+\frac18</math>||<math>X^2+2X-1</math>
|-
|7||6||<math>X^3+\frac12X^2-\frac12X-\frac18</math>||<math>-\frac18C_7(1-2X^2)=C_{28}=X^6-\frac74X^4+\frac78X^2-\frac7{64}</math>||<math>X^6-5X^4+3X^2-1</math>
|-
|6||2||<math>-C_3(-X)=X-\frac12</math>||<math>C_6</math>||<math>X^2-\frac13</math>
|-
|5||4||<math>X^2+\frac12X-\frac14</math>||<math>\frac14C_5(1-2X^2)=C_{20}=X^4-\frac54X^2+\frac5{16}</math>||<math>X^4-10X^2+5</math>
|-
|4||2||<math>X</math>||<math>C_8</math>||<math>X-1</math>
|-
|3||2||<math>X+\frac12</math>||<math>C_{12}</math>||<math>-2\left(1+X^2\right)C_3\left(\frac{1-X^2}{1+X^2}\right)=X^2-3</math>
|}

== Véase también ==
* [[Constantes trigonométricas expresadas en radicales reales]]
*[[Teorema de Niven]]
* [[Fórmulas trigonométricas en kπ/7]]
* [[Núcleo de Dirichlet]]

== Notas ==
<references group="nota"/>

== Referencias ==
{{listaref}}

== Bibliografía ==
* * {{en}} Peter Brown, [https://www.parabola.unsw.edu.au/files/articles/2000-2009/volume-36-2000/issue-1/vol36_no1_3.pdf The circle dividers], ''Parabola'', vol. 36, n° 1, 2000
* {{Article|idioma=en|autor=David Surowski|coautor=Paul McCombs|título=Homogenous polynomials and the minimal polynomial of {{math|cos(2π/''n'')}}|obra=Missouri Journal of Mathematical Sciences|volumen=15|número=1|año=2003|página=4-14}} ([http://www.math.ksu.edu/~dbski/preprints/cosine-mo-jo.pdf preprint])
* {{Article|idioma=en|autor=William Watkins|coautor=Joel Zeitlin|título=The minimal polynomial of {{math|cos(2π/''n'')}}|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1993-05_100_5/page/471|obra=Amer. Math. Monthly|volumen=100|número=5|año=1993|página=471-474|jstor=2324301}}

== Enlaces externos ==
* {{MathWorld|id= TrigonometryAngles |título = Trigonometry Angles}}
{{Portal|Matemáticas}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Trigonometría]]
[[Categoría:Teoría de números algebraicos]]