Polinomio mínimo de valores trigonométricos especiales

En un polígono regular convexo con n lados, el ángulo en el centro mide 2a, siendo a = Plantilla:Math/n

En matemáticas, y más precisamente en álgebra, se puede intentar calcular el polinomio mínimo asociado con un número de la forma Plantilla:Math, Plantilla:Math o Plantilla:Math, siendo Plantilla:Mvar un número racional. Estos números se denominan en el artículo valores trigonométricos especiales.

El polinomio mínimo de un número algebraico Plantilla:Mvar es el polinomio mónico con coeficientes racionales de menor grado de los que Plantilla:Mvar es una raíz.

Las medidas de ángulos con la forma Plantilla:Math se encuentran en muchos problemas geométricos; en particular, las medidas de ángulos del tipo $\frac{2\pi }{n}$ (para cualquier entero Plantilla:Math) corresponden a los ángulos centrales de los polígonos regulares convexos.

Enfoque intuitivo

Para comprobar que $\cos (30^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$, se puede utilizar un triángulo equilátero. Aplicándole el teorema de Pitágoras, es inmediato comprobar que la altura del triángulo equilátero mide $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$

Cuando se aprende trigonometría, rápidamente se ve que el coseno y el seno de las medidas de ciertos ángulos tienen una forma particular, que involucra raíces cuadradas. Así, para un ángulo de 30 grados, es decir, Plantilla:Math radianes, el teorema de Pitágoras permite demostrar que:

$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Esto equivale a decir que Plantilla:Math es una de las soluciones de la ecuación $x^2-\frac{3}{4}=0$. La otra solución a esta ecuación es Plantilla:Math, que también tiene la forma Plantilla:Math.

La ecuación $x^2-\frac{3}{4}=0$ es polinómica: se expresa en la forma Plantilla:Math, donde Plantilla:Mvar es un polinomio. Como Plantilla:Mvar tiene coeficientes racionales, sus raíces son números algebraicos. Además, Plantilla:Mvar es unitario, es decir, su monomio es 1, e irreducible sobre $\mathbb{Q}$, es decir, no se puede factorizar en un producto de polinomios con coeficientes racionales. Plantilla:Mvar es, por tanto, de grado mínimo entre los polinomios con coeficientes racionales que se anulan en Plantilla:Math: en consecuencia, es su polinomio mínimo.

Las preguntas que surgen naturalmente son:

• ¿Cuál es la forma más relevante de escribir un múltiplo racional de Plantilla:Math?
  La respuesta es:
  • $\frac{2k\pi }{n}$ si se está interesado en su coseno,
  • $\frac{k\pi }{n}$ si se está interesado en su seno o su tangente;
• ¿Son algebraicos el coseno, el seno y la tangente?
  La respuesta es sí;
• ¿Todavía se puede expresarlos usando raíces cuadradas?
  La respuesta esta vez es no;
• ¿Se puede al menos siempre expresarlos usando raíces n-ésimas?
  La respuesta es sí si se permite trabajar con números complejos;
• ¿Cómo se obtienen los polinomios mínimos de estos números?

También se verá que es posible reducir el grado de estos polinomios, incluso si eso significa dejar de trabajar solo con polinomios con coeficientes racionales.

Naturaleza algebraica de los valores trigonométricos especiales

Teorema

Esta demostración es breve pero utiliza principalmente el hecho de que el conjunto de números algebraicos es estable respecto a la suma y el producto, lo que es difícil de probar. Se puede preferir una demostración usando herramientas más elementales (véase Algunos polinomios canceladores).

Grado algebraico

El grado de un número algebraico es el grado de su polinomio mínimo. Derrick Henry Lehmer calculó el grado de Plantilla:Math:

si Plantilla:Math y Plantilla:Mvar son primos entre sí,

• el grado de Plantilla:Math vale Plantilla:Math,

donde Plantilla:Mvar es la función indicatriz de Euler. La demostración simplemente usa la irreductibilidad del Plantilla:Mvar-ésimio polinomio ciclotómico (véase Con polinomios ciclotómicos).

Gracias a las identidades y fórmulas de trigonometría $\mathrm{sen}\theta =\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )$, se puede deducir fácilmente que:

• el grado de Plantilla:Math vale:
  • Plantilla:Math si Plantilla:Mvar es impar o divisible entre 4;
  • Plantilla:Math de lo contrario.

En cuanto al grado de Plantilla:Math, si Plantilla:Math y Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar son coprimos, es:

• Plantilla:Math si Plantilla:Mvar es divisible por 4;
• Plantilla:Math en caso contrario.

Racionalidad

Los racionales son números algebraicos de grado 1, un corolario de la sección anterior es que para los múltiples ángulos racionales de Plantilla:Math, los únicos valores racionales de las funciones trigonométricas habituales son:

• para Plantilla:Math y Plantilla:Math: Plantilla:Math, Plantilla:MathPlantilla:Sfrac y Plantilla:Math;
• para Plantilla:Math: Plantilla:Math y Plantilla:Math.

Expresión de valores trigonométricos especiales usando radicales

Expresión con raíces cuadradas

Plantilla:Mvar	Plantilla:Math	Plantilla:Math	Plantilla:Math	Plantilla:Math
12	4	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$	$2-\sqrt{3}$
10	4	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}$
8	4	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\sqrt{2}-1$
6	2	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
5	4	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}$	$\sqrt{5-2\sqrt{5}}$
4	2	$0$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$1$
3	2	$-\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\sqrt{3}$

Un polígono regular con Plantilla:Mvar vértices es construible con regla y compás si y solo si Plantilla:Math es una potencia de dos. De hecho, su ángulo en el centro es $\frac{2\pi }{n}$, pero un corolario del teorema de Wantzel afirma que si un número es construible, entonces su grado es una potencia de Plantilla:Math, y lo contrario es falso en general pero verdadero para los valores trigonométricos especiales.

Gauss dio ya en 1796 (en una forma más explícita) esta condición suficiente sobre el entero Plantilla:Mvar para que el polígono regular con Plantilla:Mvar vértices sea construible, afirmando que también es necesaria, lo que Wantzel confirmó, dando origen al teorema de Gauss-Wantzel.

Por ejemplo, el heptágono, el eneágono regular y el endecágono regular no son construibles porque Plantilla:Math y Plantilla:Math, mientras que para los otros valores de Plantilla:Mvar desde Plantilla:Math a Plantilla:Math, el Plantilla:Mvar-gono regular es construible, como se explica en la siguiente tabla (para obtener más valores de Plantilla:Mvar, consúltese [[función φ de Euler|esta tabla de Plantilla:Math]] y este artículo sobre valores trigonométricos especiales expresables con raíces cuadradas).

Expresión con raíces n-ésimas

El polinomio mínimo de Plantilla:Math es Plantilla:Math, cuyas otras dos raíces son Plantilla:Math y Plantilla:Math. Como estas tres raíces son reales, se está en el “casus irreducibilis”, que no se puede resolver trigonométricamente con las combinaciones de números reales vistas hasta ahora. Esto explica por qué nunca es posible encontrar una expresión de Plantilla:Math con raíces cuadradas o cúbicas reales en forma trigonométrica: solo se puede dar un valor aproximado, o indicar su polinomio mínimo, del que es la única raíz positiva.

Sin embargo, existe una expresión radical de Plantilla:Math, siempre que se permita el uso de raíces cuadradas y cúbicas de números complejos; esta expresión viene dada por el método de Cardano:

$\cos \frac{2\pi }{7}=\frac{1}{6}(\sqrt[3]{\frac{7+21\sqrt{-3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{7-21\sqrt{-3}}{2}}-1)$.

[[Constantes trigonométricas expresadas en radicales reales|Es lo mismo para Plantilla:Math]], también algebraico de grado 3.

¿Qué pasa con los polinomios de grado aún mayor? Niels Henrik Abel y Évariste Galois demostraron que es imposible expresar en general las raíces de un polinomio de grado 5 o superior mediante radicales. Sin embargo, se ha visto en el apartado anterior que determinados valores de Plantilla:Math, de grados tan grandes como se quiera, se expresan mediante raíces cuadradas y por tanto mediante radicales (véase por ejemplo la [[Constantes trigonométricas expresadas en radicales reales|expresión de Plantilla:Math]], de grado Plantilla:Math).

De hecho, Plantilla:Math tiene siempre una expresión radical (en los números complejos), ya que el grupo de Galois de su polinomio mínimo es abeliano, y por lo tanto resoluble (es isomorfo a (ℤ/nℤ)Plantilla:Exp/{1, –1}, como cociente del grupo de Galois del Plantilla:Mvar-ésimo cuerpo ciclotómico por el subgrupo de orden 2 engendrado por conjugación). Más simplemente, Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math (con Plantilla:Mvar racional) siempre pueden ser expresados trivialmente con radicales (complejos), ya que ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}r\pi }$ es una raíz de la unidad.

Polinomios con coeficientes no racionales

Considérense los cuatro números reales Plantilla:Math (para Plantilla:Mvar primo con respecto a Plantilla:Math), de grado Plantilla:Math. Se calculan fácilmente:

$\cos \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},\cos \frac{5\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},\cos \frac{7\pi }{12}=-\cos \frac{5\pi }{12},\cos \frac{11\pi }{12}=-\cos \frac{\pi }{12}$.

Plantilla:Math es, por tanto, la raíz de los siguientes tres polinomios, de segundo grado, con inevitablemente no todos los coeficientes racionales:

• $(X-\cos \frac{\pi }{12})(X-\cos \frac{5\pi }{12})=X^2-\frac{\sqrt{6}}{2}X+\frac{1}{4}=P_1(\sqrt{6},X)$;
• $(X-\cos \frac{\pi }{12})(X-\cos \frac{7\pi }{12})=X^2-\frac{\sqrt{2}}{2}X-\frac{1}{4}=P_2(\sqrt{2},X)$;
• $(X-\cos \frac{\pi }{12})(X-\cos \frac{11\pi }{12})=X^2-\frac{2+\sqrt{3}}{4}=P_3(\sqrt{3},X)$;

y el polinomio mínimo Plantilla:Mvar se puede factorizar de tres formas:

$P(X)=P_1(\sqrt{6},X)P_1(-\sqrt{6},X)=P_2(\sqrt{2},X)P_2(-\sqrt{2},X)=P_3(\sqrt{3},X)P_3(-\sqrt{3},X)$.

Los seis factores cuadráticos tienen coeficientes en un cuerpo cuadrático $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ (Plantilla:Mvar igual a 6, 2 o 3), es decir la forma Plantilla:Math, con Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar racionales.

Existen tres factorizaciones porque el grupo de Galois de Plantilla:Mvar, (ℤ/24ℤ)Plantilla:Exp/{1, –1}, es isomorfo a (ℤ/8ℤ)Plantilla:Exp y por lo tanto al grupo de Klein, que tiene tres subgrupos de índice 2.

En el caso general Plantilla:Math (con Plantilla:Math y Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar primos entre sí), se encontrará al menos una factorización de este tipo (producto de dos polinomios con coeficientes en el mismo cuerpo cuadrático y de grado Plantilla:Math) si (y solo si) Plantilla:Math es divisible entre 4. Solo habrá una si (ℤ/nℤ)Plantilla:Exp/{1, –1} es cíclico.

Cálculo del polinomio mínimo con coeficientes racionales

Algunos polinomios canceladores

Para cualquier Plantilla:Mvar racional, es fácil encontrar un polinomio que se cancele en Plantilla:Math, Plantilla:Math o Plantilla:Math.

Para Plantilla:Math, se deduce de la fórmula de De Moivre que $\cos (nt)=\mathrm{\Re }((\cos t+\mathrm{i}\mathrm{sen}t{)}^n)=T_n(\cos t)$, donde Plantilla:Mvar es un polinomio de grado Plantilla:Mvar con coeficientes enteros (el Plantilla:Mvar-ésimo polinomio de Chebyshov del primer tipo). Ahora, para Plantilla:Math, Plantilla:Math, y por lo tanto, Plantilla:Math es la raíz del polinomio Plantilla:Math.

Se deducen fácilmente polinomios de cancelación de grado Plantilla:Math para Plantilla:Math y Plantilla:Math, gracias a las fórmulas del ángulo doble:

$\cos (2\theta )=1-2{\mathrm{sen}}^2\theta =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$.

Esta segunda prueba de la algebraicidad de los valores trigonométricos especiales es constructiva, porque proporciona una expresión de un polinomio cancelador, es decir, de un polinomio Plantilla:Mvar como Plantilla:Math para Plantilla:Math, Plantilla:Math o Plantilla:Math. Pero dados sus grados, los polinomios encontrados por este método no son mínimos si Plantilla:Math (véase grado algebraico).

A menudo es posible construir polinomios canceladores de grados más pequeños. Por ejemplo, si Plantilla:Mvar es impar, Plantilla:Math, se tiene que:

• para $x=\cos \frac{2k\pi }{n}\ne 1$: $1+2\sum _{i=1}^m{T}_i(x)=0$;
• por lo tanto para $y=\mathrm{sen}\frac{k\pi }{n}\ne 0$: $1+2\sum _{i=1}^m{T}_i(1-2y^2)=0$;
• y para $z=\tan \frac{k\pi }{n}\ne 0$: $1+2\sum _{i=1}^m{T}_i\left(\frac{1-z^2}{1+z^2}\right)=0$,

que proporciona polinomios de cancelación:

• para Plantilla:Mvar: de grado Plantilla:Sfrac,
• para Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar: de grado Plantilla:Math.

Si Plantilla:Mvar es primo, son incluso de grado mínimo, por identificación directa (véase el siguiente apartado) o simplemente viendo sus grados (véase Grado algebraico.

Polinomio mínimo de Plantilla:Math

El método de Lehmer (véase grado algebraico) permite calcular los polinomios mínimos de Plantilla:Math (para Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar primos entre sí) y deducir de ellos los de Plantilla:Math. Se presenta aquí solo en el caso de los cosenos, para el ejemplo Plantilla:Math.

Sea Plantilla:Math el 15º polinomio ciclotómico habitual:

${\mathrm{\Phi }}_{15}(z)=z^8-z^7+z^5-z^4+z^3-z+1$.

Plantilla:Math es de grado $\phi (15)=8$. Se multiplica Plantilla:Math por $z^{-\frac{8}{2}}$:

$z^{-4}{\mathrm{\Phi }}_{15}(z)=(z^4+z^{-4})-(z^3+z^{-3})+(z+z^{-1})-1$.

Se obtiene un nuevo polinomio Plantilla:Math con coeficientes enteros en $t=z+z^{-1}$, según el cálculo proporcionado por el polinomios de Chebyshov:

$z^{-4}{\mathrm{\Phi }}_{15}(z)={\mathrm{\Theta }}_{15}(t)=2[T_4(t/2)-T_3(t/2)+T_1(t/2)]-1=(t^4-4t^2+2)-(t^3-3t)+t-1=t^4-t^3-4t^2+4t+1$.

El procedimiento funciona porque los polinomios ciclotómicos son polinomios palindrómicos, es decir, tienen los mismos coeficientes cuando se leen sus términos tanto en orden de grado creciente como decreciente.

Para $z={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi }{n}}$, se tiene que $z+z^{-1}=2\cos (2k\pi /n)$. Sin embargo, por definición, el polinomio ciclotómico Plantilla:Math tiene precisamente por raíces los complejos ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi }{n}}$ con Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar primos entre sí. Por lo tanto, el número Plantilla:Math es la raíz de:

${\mathrm{\Theta }}_{15}(2x)=16x^4-8x^3-16x^2+8x+1$.

Además, dado que Plantilla:Math es irreducible sobre $\mathbb{Q}$, Plantilla:Math también lo es.

Se determina el polinomio mínimo común a Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math:

$P(x)=\frac{1}{16}{\mathrm{\Theta }}_{15}(2x)=x^4-\frac{1}{2}{x}^3-x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}$.

Listas de polinomios mínimos

Aquí hay una lista de los primeros polinomios mínimos de Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math para $n\ge 3$:

Plantilla:Mvar	$\phi (n)$	Polinomio mínimo Plantilla:Mvar de Plantilla:Math	Polinomio mínimo de Plantilla:Math	Polinomio mínimo de Plantilla:Math
12	4	$\frac{1}{2}{C}_6(2X^2-1)=X^2-\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}{C}_{12}(2X^2-1)=C_{24}=X^4-X^2+\frac{1}{16}$	$X^2-4X+1$
11	10	$X^5+\frac{1}{2}{X}^4-X^3-\frac{3}{8}{X}^2+\frac{3}{16}X+\frac{1}{32}$	$-\frac{1}{32}{C}_{11}(1-2X^2)=C_{44}=$ $X^{10}-\frac{11}{4}{X}^8+\frac{11}{4}{X}^6-\frac{77}{64}{X}^4+\frac{55}{256}{X}^2-\frac{11}{1024}$	$X^{10}-55X^8+330X^6-462X^4+165X^2-11$
10	4	$C_5(-X)=X^2-\frac{1}{2}X-\frac{1}{4}$	$C_5$	$X^4-2X^2+\frac{1}{5}$
9	6	$X^3-\frac{3}{4}X+\frac{1}{8}$	$-\frac{1}{8}{C}_9(1-2X^2)=C_{36}=X^6-\frac{3}{2}{X}^4+\frac{9}{16}{X}^2-\frac{3}{64}$	$X^6-33X^4+27X^2-3$
8	4	$\frac{1}{2}{C}_4(2X^2-1)=X^2-\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}{C}_8(2X^2-1)=C_{16}=X^4-X^2+\frac{1}{8}$	$X^2+2X-1$
7	6	$X^3+\frac{1}{2}{X}^2-\frac{1}{2}X-\frac{1}{8}$	$-\frac{1}{8}{C}_7(1-2X^2)=C_{28}=X^6-\frac{7}{4}{X}^4+\frac{7}{8}{X}^2-\frac{7}{64}$	$X^6-5X^4+3X^2-1$
6	2	$-C_3(-X)=X-\frac{1}{2}$	$C_6$	$X^2-\frac{1}{3}$
5	4	$X^2+\frac{1}{2}X-\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}{C}_5(1-2X^2)=C_{20}=X^4-\frac{5}{4}{X}^2+\frac{5}{16}$	$X^4-10X^2+5$
4	2	$X$	$C_8$	$X-1$
3	2	$X+\frac{1}{2}$	$C_{12}$	$-2(1+X^2)C_3\left(\frac{1-X^2}{1+X^2}\right)=X^2-3$

Véase también

• Constantes trigonométricas expresadas en radicales reales
• Teorema de Niven
• Fórmulas trigonométricas en kπ/7
• Núcleo de Dirichlet

Bibliografía

• * Plantilla:En Peter Brown, The circle dividers, Parabola, vol. 36, n° 1, 2000
• Plantilla:Article (preprint)
• Plantilla:Article

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld