Ver el código de «Relaciones métricas en el triángulo»

Las '''relaciones métricas en el [[triángulo]]''' son aquellas que tratan los vínculos entre lados o ángulos, entre los cuales se destaca el [[Teorema de Pitágoras]] que es válido exclusivamente en el [[triángulo rectángulo]] y se aplica sobre la longitud de los catetos, hipotenusa, la altura relativa a la hipotenusa y los segmentos determinados sobre ésta como proyecciones de los catetos del ángulo

== Elementos del triángulo ==
[[Archivo:Triangle.Labels.svg|300px|derecha]]

Los elementos principales de un triángulo son: vértices, lados y ángulos.
{{Triángulos (Designaciones convencionales)}}

== Triángulo rectángulo ==

[[Archivo:Triangulo-Rectangulo.svg|miniatura|250px|derecha|Un triángulo rectángulo y sus elementos.]]
[[Archivo:Triângulo retângulo.svg|240px|derecha]]

'''Triángulo rectángulo''' se denomina al [[triángulo]] en el que uno de sus [[ángulo]]s es recto, es decir, mide 90° ([[grados sexagesimales]]) o π/2 [[radián|radianes]].  
{{Triángulos (clasificación por amplitud de sus ángulos)}}
Fórmulas para calcular en un '''triangulo rectángulo''', un lado desconocido en función de los otros dos, donde '''''a''''' y '''''b''''' son los catetos y '''''c''''' es la hipotenusa.
{{Pitágoras (fórmulas prácticas)}}
Se denomina [[hipotenusa]] al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al [[ángulo recto]]. 

Se llaman [[catetos]] a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto.

Cualquier triángulo se puede dividir en 2 triángulos rectángulos.

[[Archivo:triangulorec.JPG|220px|Triángulo utilizado para describir las propiedades.]]
Dado un triángulo rectángulo '''ABC''' (véase la imagen), con ángulo recto en '''C''', donde:

:'''c''' es la [[hipotenusa]],
:'''h''' es la altura relativa a la hipotenusa,
:'''p''' y '''q''' son los segmentos determinados en la hipotenusa,

se cumplen las siguientes propiedades:

* Un cateto es media proporcional- o bien media geométrica-<ref>Milton '''Donaire'''. Formas y números. 978-612-45279-9-9</ref> entre la hipotenusa y la [[proyección ortogonal]] de este mismo cateto sobre la hipotenusa:
:::<math>a^2 = c\cdot p \,</math> 
:::<math>b^2 = c\cdot q \,</math>

;comprobación
el triángulo ABC es semejante al triángulo CHA, por tanto:

:::<math>\frac{b}{c}=\frac{q}{b}</math>

despejando

:::<math>b^2 = c\cdot q \,</math>

* El cuadrado de la medida de la altura es igual al producto de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa:
:::<math>h^2 = p\cdot q \,</math>

;comprobación
el triángulo CHB es semejante al triángulo CHA, por tanto:

:::<math>\frac{q}{h}=\frac{h}{p}</math>

despejando:

:::<math>h^2 = p\cdot q \,</math>

* El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (Teorema de Pitágoras).
:::<math>c^2 = a^2+b^2 \,</math>

;comprobación

del teorema anterior:

:::<math>a^2 = c\cdot p \,</math> 
:::<math>b^2 = c\cdot q \,</math>

sumando ambas ecuaciones:

:::<math>b^2+a^2=c\cdot q+c\cdot p \,</math>

luego

:::<math>b^2+a^2=c(p+q) \,</math>

pero p+q=c

:::<math>b^2+a^2=c\cdot c \,</math>

finalmente

:::<math>c^2 = a^2+b^2 \,</math>

* El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por su altura:
:::<math>a.b = h\cdot c \,</math>

;comprobación

existen dos comprobaciones:

1) a partir de las superficies o áreas:

:::<math>A=\frac1{2}a\cdot b\,</math>

y

:::<math>A=\frac1{2}c\cdot h\,</math>

eso quiere decir que:

:::<math>\frac1{2}a\cdot b=\frac1{2}c\cdot h\,</math>

que al eliminar los doses:

:::<math>a\cdot b=c\cdot h\,</math>

2) el triángulo ABC es semejante al triángulo CHA, por tanto:

:::<math>\frac{c}{h}=\frac1{b}{a}\,</math>

despejando:

:::<math>a\cdot b=c\cdot h\,</math>

* El inverso del cuadrado de la altura de la hipotenusa es igual a la suma de los inversos de los cuadrados de los catetos:
:::<math>\frac1{h^2} = \frac1{a^2}+\frac1{b^2} \,</math>

;comprobación

por el teorema de Pitágoras:

:::<math>c^2 = a^2+b^2 \,</math>

dividimos entre <math>(a\cdot b)^2\,</math>:

:::<math>\frac{c^2}{(ab)^2} = \frac{a^2+b^2}{(a\cdot b)^2}\,</math>

pero a.b=c.h

:::<math>\frac{c^2}{(ch)^2} = \frac{a^2+b^2}{(a\cdot b)^2}\,</math>

eliminando las c y convirtiendo en 2 la fracción de la derecha:

:::<math>\frac1{h^2} = \frac{a^2}{(a\cdot b)^2}+\frac{b^2}{(a\cdot b)^2} \,</math>

simplificando

:::<math>\frac1{h^2} = \frac1{a^2}+\frac1{b^2} \,</math>
[[Archivo:Triángulo rectángulo.svg|miniatura|derecha|300px|'''''Figura 1''''' - Los segmentos '''''m''''' y '''''n''''' son las respectivas proyecciones de los lados '''''b''''' y '''''a''''' sobre la hipotenusa '''''c''''', siendo '''''h''''' la altura correspondiente a la hipotenusa.]]

En un triángulo rectángulo:

La medida de un cateto es media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su proyección sobre ella.

{{Ecuación|<math> \frac{a}{b} = \frac{b}{m} </math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;, también se cumple:&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> \frac{a}{c} = \frac{c}{n} </math>}} 
  
La [[teorema de la altura|medida de la altura]] es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la hipotenusa. 

{{Ecuación|<math> \frac{m}{h} = \frac{h}{n} </math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;, es decir:&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> h^2 = m \cdot n \,</math>}}

Las tres alturas del triángulo rectángulo pueden calculase como:

{{Ecuación|<math>h_a=\frac{b\cdot c}{a}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>h_b=c</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>h_c=b</math>}}

donde '''''b''''' y '''''c''''' son los catetos y '''''a''''', la hipotenusa, en tanto que '''''h<sub>a</sub>''''', '''''h<sub>b</sub>''''' y '''''h<sub>c</sub>''''' son las alturas sobre los respectivos lados.

La relación entre catetos e hipotenusa se establece mediante el [[Teorema de Pitágoras]]:

{{Ecuación|<math> a^2 = b^2 + c^2 \,</math>}}

donde <math> a \,</math> es la medida de la hipotenusa.

=== Teorema de la altura ===
En [[matemáticas]], el teorema de "'''la altura de un [[triángulo rectángulo]]'''" establece que:
{{Teorema|1=En cualquier triángulo '''rectángulo''' la altura relativa a la [[hipotenusa]] es la [[media proporcional]] entre las [[proyección ortogonal|proyecciones ortogonales]] de los catetos sobre la hipotenusa.|título= Teorema de la altura (''forma'' 1)}}

==== Demostración ====
La altura del triángulo '''rectángulo''' ABC (véase '''''Figura 1''''') lo divide en dos [[triángulos semejantes|triángulos rectángulos semejantes]], de forma que
:<math>\frac{h}{n} = \frac{m}{h}</math>
[[Archivo:Triângulo retângulo.svg|miniatura|derecha|240px|'''''Figura 1''''': Teorema de la altura.]]

Multiplicando los dos miembros de la igualdad por <math>hn</math> se tiene:
:<math>h^2=m\,n \,</math>
por lo que
{{ecuación|<math>h=\sqrt{m\,n}</math>|1|left}}
=== Otra forma del mismo teorema ===
La altura '''''h''''' correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo (véase '''''Figura 1''''') también puede obtenerse reemplazando a los valores '''''m''''' y '''''n''''' de la ecuación {{Eqnref|1}} del presente teorema por sus respectivos equivalentes dados por el [[teorema del cateto]].

::<math>m=\frac{b^2}{a} \,</math>&nbsp; &nbsp; ; &nbsp; &nbsp;<math>n=\frac{c^2}{a} \,</math>

{{ecuación|<math>h=\sqrt{m\,n}=\sqrt{\frac{b^2}{a}\frac{c^2}{a}}</math>|h2|left}}

lo que al simplificar en el último término de la ecuación  {{Eqnref|h2}} la raíz con los cuadrados nos conduce a :
{{ecuación|<math>h=\frac{b\,c}{a}</math>|h3}}

Donde '''''h''''' es la altura (''relativa a la hipotenusa''), '''''b''''' y '''''c''''' los catetos y '''''a''''' la hipotenusa.<br />

La ecuación {{Eqnref|h3}} nos permite establecer el enunciado (''forma'' 2) del teorema :
{{Teorema|1= En todo triángulo rectángulo la altura '''''h''''' (''relativa a la hipotenusa'') es igual al producto de sus catetos '''''b''''' y '''''c''''' divididos por la hipotenusa '''''a'''''.|título= Teorema de la altura (''forma'' 2)}}

=== Teorema del cateto ===
[[Archivo:Triángulo rectángulo.svg|miniatura|derecha|300px|'''''Figura 1''''' - Los segmentos '''''m''''' y '''''n''''' son las respectivas proyecciones de los lados '''''b''''' y '''''a''''' sobre la hipotenusa '''''c''''', siendo '''''h''''' la altura correspondiente a la hipotenusa.]]
El '''teorema del cateto''' establece lo siguiente:

{{teorema
|1= En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de ese cateto sobre la hipotenusa.|título= Teorema del cateto}}

Este teorema (''véase '''Figura 1''''') puede expresarse matemáticamente —''para cada uno de sus dos catetos''— como:

{{ecuación|<math>b^2 \ =\ c\; m</math>}}
{{ecuación|<math>a^2 \ =\ c\; n</math>}}

Donde '''m''' y '''n''' son, respectivamente, las ''proyecciones'' de los catetos '''b''' y '''a''' sobre la [[hipotenusa]] '''c'''.

==== Demostración ====

Sea el [[triángulo]] Δ'''ABC''' rectángulo en '''C''', dispuesto de modo que su base es la hipotenusa '''c'''. La altura '''h''' determina los segmentos '''m''' y '''n''', que son, respectivamente, las ''proyecciones'' de los catetos '''b''' y '''a''' sobre la hipotenusa.

Los triángulos rectángulos Δ'''ABC''', Δ'''ACH''' y Δ'''BCH''' tienen iguales sus [[ángulo]]s, y por lo tanto son [[Semejanza (geometría)|semejantes]]:

#Todos tienen un ángulo recto.
#Los ángulos '''B''' y '''ACH''' son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y tener sus lados perpendiculares.
#Igualmente sucede con los ángulos '''A''' y '''BCH'''.

[[Archivo:Triángulo rectángulo.svg|miniatura|derecha|300px|'''''Figura 1''''' - Los segmentos '''''m''''' y '''''n''''' son las respectivas proyecciones de los lados '''''b''''' y '''''a''''' sobre la hipotenusa '''''c''''', siendo '''''h''''' la altura correspondiente a la hipotenusa.]]

Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:


* Por la semejanza entre los triángulos Δ'''ACH''' y Δ'''ABC'''

:<math>\frac {b}{m}=\frac {c}{b}</math>


de dónde,


:<math>b^2 \ =\ cm</math>


* Por la semejanza entre los triángulos Δ'''BCH''' y Δ'''ABC'''


:<math>\frac {a}{n}=\frac {c}{a}</math>


:<math>a^2 \ =\ cn</math>

y el teorema queda demostrado.

==== Corolario ====
{{definición|1= “''En todo triángulo rectángulo la longitud de la proyección ortogonal de cualquier cateto sobre la hipotenusa es igual al cuadrado de la longitud de ese mismo cateto dividido por la longitud de la hipotenusa.''”|título=Corolario 1|compacto=sí}}
Basados en las dos ecuaciones del teorema anterior, para deducir el '''«''corolario'' 1»''' basta con despejar en cada una de ellas, la respectiva variable de su proyección ortogonal, siendo estas '''''m''''' y '''''n''''': 

{{ecuación|<math>b^2 \ =\ c\; m \;\;\;\; ; \;\;\;\; a^2 \ =\ c\; n</math>}}
en las que al despejar respectivamente '''''m''''' y '''''n''''' producen las ecuaciones del '''«''corolario'' 1»''':
{{ecuación|<math>m=\frac{b^2}{c} \;\;\;\; ; \;\;\;\; n=\frac{a^2}{c}</math>}}
donde '''''m''''' es la proyección ortogonal del cateto '''''b''''' sobre la hipotenusa  '''''c''''' (''véase '''figura 1''''') y '''''n''''' es la proyección ortogonal del cateto  '''''a''''' también sobre la hipotenusa '''''c'''''.

=== Razones trigonométricas ===

En un triángulo rectángulo, las [[Trigonometría|razones trigonométricas]] del ángulo <math>\alpha \;</math> con vértice en '''A''', son:
[[Archivo:Triángulo-en-círculo.svg|derecha|230px]]

El [[Seno (matemáticas)|seno]]: la razón entre el [[cateto]] opuesto y la [[hipotenusa]],
::: <math> \text{sen}(\alpha)= \frac{a}{c} </math>

El [[coseno]]: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,
::: <math> \cos(\alpha)= \frac{b}{c} </math>

La [[tangente (trigonometría)|tangente]]: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,
::: <math> \tan(\alpha)= \frac{a}{b} </math>

=== Área ===
[[Archivo:Rectangle.svg|miniatura|derecha|250px|'''''fig.''''' '''''ar1''''': Relación entre el rectángulo y dos de las tres alturas (''la de los catetos'') de un triángulo rectángulo.]]

Se puede considerar el área de un triángulo rectángulo como la mitad del área de un rectángulo partido por su [[diagonal]], véase '''''fig.''''' '''''ar1''''', (''o un cuadrado si el triángulo rectángulo es además [[Triángulo#Clasificación de los triángulos|isósceles]]'').

{{ecuación|<math>A = \frac{b \cdot a}{2}</math>|A1}}

donde '''''a''''' y '''''b''''' de la ecuación {{Eqnref|A1}} representan las medidas de los dos catetos que coinciden con los dos lados y las correspondientes alturas del rectángulo (''véase'' '''''fig.''''' '''''ar1''''').<br />


En todo triángulo rectángulo cada uno de los dos catetos es siempre la respectiva altura del otro. Asumiendo que  '''''a''''' = '''''cateto1''''' y '''''b''''' = '''''cateto2''''' se puede escribir una versión equivalente de ecuación {{Eqnref|A1}} de la siguiente manera:

{{ecuación|<math>A = \frac{cateto1 \cdot cateto2}{2}</math>}}

La demostración anterior es solo un caso especial, restringido, de una mucho más general que vale para todo triángulo  ('''''no solo para los triángulos rectángulos'''''); Y esta es la "proposición I.41<ref name="Euclides proposición I.41">Euclides [[Los Elementos]], proposición I.41 → "''Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está contenido entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo''".</ref> de Euclides, la cual se basa en el concepto más general de '''''[[paralelogramo]]''''' y no se restringe al rectángulo. Dicha proposición I.41 extiende la validez de la ecuación {{Eqnref|A1}} a '''todo triángulo'''.

== Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo ==

[[Euclides]] vio un inconveniente{{cita requerida}}: en un triángulo rectángulo <math>c^2 = a^2+b^2</math> ¿cuánto debería valer numéricamente el lado '''a''' en un triángulo oblicuángulo? Euclides despejó su duda con la '''primera ley de Euclides''' para los triángulos oblicuángulos.
 
=== Primer teorema de Euclides ===
En cualquier triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo equivale a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces uno de ellos por la proyección del otro sobre  él<ref>G. M. '''Bruño'''. Geometría Superior. Madrid, 17ª edición</ref><ref> No se exige que un triángulo sea acutángulo, sino se refiere al lado opuesto de un ángulo agudo, que siempre, por lo menos uno, existe.</ref>

[[Archivo:primer teorema de Euclides.jpg|primer teorema de Euclides.jpg|250px|derecha]]

<center><math>a^2 = c^2+b^2 -2.b.n\,</math></center> siendo n la proyección de c sobre b

<center> <math>a^2 = c^2+b^2 -2.c.p\,</math>  </center> donde p es la proyección de b sobre c

==== Demostración ====

Euclides notó que aunque no se generen triángulos semejantes al trazar la altura se generan dos triángulos rectángulos en los cuales se puede aplicar el teorema de Pitágoras:

empezamos en el triángulo de la izquierda

:::<math>a^2 = h^2+m^2\,</math>

luego despejamos la altura

:::<math>h^2 = a^2-m^2\,</math>

pero m=b-n

:::<math>h^2 = a^2-(b-n)^2\,</math>

en el triángulo de la derecha

:::<math>c^2 = h^2+n^2\,</math>

despejando la altura

:::<math>h^2 = c^2-n^2\,</math>

eso quiere decir que:

:::<math>a^2-(b-n)^2 = c^2-n^2\,</math>

elevando el binomio al cuadrado:

:::<math>a^2-b^2+2.b.n-n^2= c^2-n^2\,</math>

simplificando:

:::<math>a^2-b^2+2.b.n = c^2\,</math>

despejando:

:::<math>a^2 = b^2+c^2-2.b.n\,</math>

análogamente:

:::<math>c^2 = a^2+b^2-2.b.m\,</math>

=== Segundo teorema de Euclides ===

En un triángulo obtusángulo, el lado opuesto al ángulo obtuso al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos más el doble de la base por la proyección de la altura trazada desde uno de los ángulos menores. 
[[Archivo:Segundo teorema de euclides.JPG|250px|derecha]]

:::<math>a^2 = c^2+b^2+2.b.n\,</math>

==== Demostración ====

Euclides notó que al trazar la altura exterior se generan dos triángulos rectángulos (AHC y BCH).

Nos fijamos en el más pequeño (AHC):

:::<math>c^2 = h^2+n^2\,</math>. 

Despejando la altura resulta:

:::<math>c^2-n^2 = h^2\,</math> .

Pasemos al triángulo BHC:

:::<math>a^2 = h^2+(b+n)^2\,</math>.

Despejando la altura queda:

:::<math>a^2-(b+n)^2 = h^2\,</math>.

Eso quiere decir que:

:::<math>a^2-(b+n)^2 = c^2-n^2\,</math>.

Elevando el binomio al cuadrado

:::<math>a^2-b^2-2.b.n-n^2 = c^2-n^2\,</math>,

y simplificando 

:::<math>a^2-b^2-2.b.n = c^2\,</math>.

Despejando ''a''²:

:::<math>a^2 = c^2+b^2+2.b.n\,</math>

== Cálculo de las líneas notables de un triángulo ==

A partir de los dos teoremas anteriores se deriva fórmulas para el cálculo de las líneas notables de un triángulo. A continuación vamos a ver estos 5 teoremas con su comprobación.

=== Teorema de Stewart (cálculo de la ceviana) ===
[[Archivo:Stewarts thm.png|derecha|350px|Diagrama del teorema de Stewart.]]
{{AP|Teorema de stewart}}

Stewart dice que el producto resultante entre una ceviana de un triángulo al cuadrado y de la base de este es igual a la al cuadrado por la proyección del cateto opuesto más la suma del segundo cateto al cuadrado por la proyección del cateto opuesto a este menos el producto resultante entre las multiplicación de las proyecciones de los catetos y la base.<br />

Su formulación matemática es:

{{ecuación|<math>d^2a = nc^2 + mb^2 - nma  \,</math>}}

Donde '''''b''''' y '''''c''''' son los lados "laterales" respecto a la ceviana '''''d''''' correspondiente al lado '''''a''''', '''''n''''' y '''''m''''' los segmentos de la base designados por la misma ceviana.

=== Teorema de la mediana ===
[[Archivo:Apollonius' theorem Schema-001.svg|miniatura|derecha|350px|'''fig.m1''': Esquema con áreas → ( <math>{\scriptstyle{ \color{Red} a^2}\;+\;{ \color{Orange} b^2 }\; =\; { \color{Blue} \frac{1}{2}\;c^2 }\;+\;{ \color{OliveGreen} 2\;M^2 }}</math> ).]]
{{AP|teorema de Apolonio}}

En [[geometría]], el '''teorema de Apolonio''', también llamado '''[[teorema de la mediana]]''', es un [[teorema]] que relaciona la longitud de la [[Mediana (geometría)|mediana]] de un [[triángulo]] con las longitudes de sus lados. 
{{teorema|1= Para todo triángulo la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera, es igual al la mitad del cuadrado del tercer lado más el doble del cuadrado de su mediana correspondiente.|2= [[Apolonio de Perge|Apolonio de Perga]]|título= Teorema de Apolonio (teorema de la mediana)}}

Para cualquier triángulo ''Δ'''ABC''''' (''véase'' '''fig. m1'''), si '''''M''''' es la mediana correspondiente al lado '''c''', donde '''''AP''''' = '''''PB''''' = ½ '''c''', entonces : 

{{ecuación|<math>a^2+b^2=\frac{1}{2}\;c^2 + 2\;M^2</math>}}

Del [[teorema de Apolonio]], también llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse varias fórmulas prácticas (''válidas para cualquier triángulo''), estas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos, a un cuarto elemento desconocido, (''los elementos en cuestión son '''lados''' y '''medianas'''''). La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (''con notación acorde a la figura de la propia tabla'') :
{{Triángulo Medianas (fórmulas prácticas)}}
<!-- 
==== Demostración ====

Del Teorema anterior

:::<math>x^2.b = a^2.n+c^2.m-b.m.n\,</math>

Reemplazando los datos

{{ecuación|<math>M^2.b = a^2.\frac1{2}.b+c^2.\frac1{2}.b-\frac1{4}.b^3\,</math>}}

Lo que al ser resumido expulsa que:

{{ecuación|<math>c^2+a^2 = M^2+\frac1{2}.b^2\,</math>}}
-->

==== Caso particular ====
{{AP|Teorema de Tales}}
En un '''''triángulo rectángulo''''' la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de esta, (''véase'' [[Teorema_de_tales#Segundo_teorema|Corolario 1 del teorema segundo de Tales]]), asumiremos para la ecuación siguiente que dicha hipotenusa se denomina '''c''').

{{ecuación|<math>M_c = \frac{c}{2}</math>}}

Donde '''''M''''' es la mediana correspondiente a la hipotenusa denominada '''''c'''''.<br />

===Simedianas de un triángulo===

donde <math>s_a, s_b, s_c </math> son las [[Línea isogonal|simedianas]] respecto a los lados <math>a, b, c </math> de un triángulo<ref>M. '''García Ardura'''. Problemas gráficos y numéricos de geometría. Decimocuarta edición, Madrid.</ref>

<center><math> s_a = \frac{bc}{b^2+c^2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2} </math> </center>




<center><math> s_b = \frac{ac}{a^2+c^2}\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2} </math> </center>



<center><math> s_c = \frac{ab}{a^2+b^2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2} </math> </center>

=== Teorema de la bisectriz interior ===

{{teorema|1= La [[bisectriz interior]] de un triángulo al cuadrado es igual al producto de los lados menos el producto de los segmentos de la base determinados por la bisectriz.|título= Teorema de la bisectriz interior}}

[[Archivo:Teorema de la bisectriz interior.JPG|250px|derecha]]

<math>x^2 = a\cdot c-m\cdot n\,</math>

Donde:

X:Bisectriz interior

==== Demostración ====

por el teorema de [[semejanza (geometría)|semejanza]] en la [[bisectriz interior]]

<math>\frac{a}{m} = \frac{c}{n}\,</math>

despejando

<math>a\cdot n = c\cdot m\,</math>

por el teorema de Stewart:

<math>X^2(m+n) = a^2n+c^2m-(m+n)mn\,</math>

reemplazando ''an'' por ''cn''

<math>X^2(m+n) = acm+acn-(m+n)mn\,</math>

despejando

<math>x^2 = a\cdot c-m\cdot n\,</math>

=== Teorema de la bisectriz exterior ===

La [[bisectriz exterior]] de un triángulo al cuadrado es igual al producto de los segmentos deteriminados por la bisectriz menos el producto de los lados.

<math>x^2 = m\cdot n-a\cdot c\,</math>

Donde:

X:Bisectriz exterior:

==== Demostración ====

Recordando el teorema de [[semejanza (geometría)|semejanza]] en la bisectriz interior

<math>\frac{a}{m} = \frac{c}{n}\,</math>

despejando

<math>a\cdot n = c\cdot m\,</math>

Luego, ejecutando el teorema de Stewart:

<math>a^2m = X^2(m-n)+c^2n-(m-n)mn\,</math>

reemplazando ''an'' por ''cn'':

<math>acm = X^2(m-n)+acn-(m-n)mn\,</math>

luego

<math>ac(m-n) = X^2(m-n)+acm-(m-n)mn\,</math>

despejando, resulta que:

<math>x^2 = m\cdot n-a\cdot c\,</math>

=== Teorema de la altura ===

También conocido como el teorema de [[Herón]]. La altura de un triángulo es igual a:

:<math>Hb = \frac2{b}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math>

==== Demostración ====

Aplicando el primer teorema de Euclides:

:::<math>a^2 = b^2+c^2-2\cdot b\cdot (HC)\,</math>

despejando HC:

<math>(HC) = \frac1{2b}(b^2+c^2-a^2)</math>

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo BHC:

<math>Hb^2 = c^2-(HC)^2\,</math>

Aplicando [[diferencia de cuadrados]]

<math>Hb^2 = (c-(HC))(c+(HC))\,</math>

transformando HC

<math>Hb^2 = (c-\frac1{2b}(b^2+c^2-a^2))(c+\frac1{2b}(b^2+c^2-a^2))\,</math>

Sumando:

<math>Hb^2 = (\frac1{2b}(b^2-2bc+c^2-a^2))(\frac1{2b}(b^2+2bc+c^2-a^2))\,</math>

ejecutando el [[binomio al cuadrado]]:

<math>Hb^2 = (\frac1{2b}((b-c)^2-a^2))(\frac1{2b}((b+c)^2-a^2))\,</math>

ejecutando la diferencia de cuadrados y transponiendo el <math>(2b)^2</math>

<math>4b^2Hb^2 = (b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)\,</math>

para a+b+c = 2p 

<math>4b^2Hb^2 = 16(p)(p-a)(p-c)(p-b)\,</math>

despejando la altura expulsa que

<math>Hb = \frac2{b}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math>

== Teoremas auxiliares en los cuadriláteros ==

===[[Teorema de Ptolomeo]]===

En todo cuadrilátero inscriptible el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos del cuadrilátero

<math>D1\cdot D2 = ac+bd\,</math> 

Donde:

''D1'', ''D2'': Diagonales del cuadrilátero

''a'', ''b'', ''c'', ''d'' : Lados del cuadrilátero

=== Teorema de Viette ===

En todo cuadrilátero inscrito la relación de las diagonales es igual a la relación entre la suma de los productos de las longitud de sus lados que forman a los extremos de las diagonales.

<math>\frac{D1}{D2} = \frac{(ad+bc)}{ab+cd}</math>

Donde:

''D1'', ''D2'': Diagonales del cuadrilátero

''a'', ''b'', ''c'', ''d'' : Lados del cuadrilátero

=== Teorema de Euler ===

En todo cuadrilátero convexo la suma de los cuadrados de los cuatro lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales más el cuádruple del cuadrado del segmento que conecta los puntos medios de las diagonales 

<center><math>a^2+b^2+c^2+d^2 = d_1^2+d_2^2+4m^2\,</math></center>

Siendo:

<math>d_1, d_2 </math>: diagonales del cuadrilátero

<math>a, b, c, d</math>: lados del cuadrilátero

'''m''': segmento que une los puntos medios de las diagonales.

== Véase también ==
<div class="references-small" style="-moz-column-count:3; column-count:3;">
* [[Cateto]]
* [[Ceviana]]
* [[Euclides]]
* [[Euler]]
* [[Herón]]
* [[Hipotenusa]]
* [[Teorema de Apolonio]] (teorema de la mediana)
* [[Teorema de la altura]]
* [[Teorema de Pitágoras]]
* [[Teorema de Stewart]] (cálculo de la ceviana)
* [[Teorema de Tales]]
* [[Triangulación]]
* [[Triángulo]]
* [[Triángulo de Kepler]]
* [[Triángulo sagrado egipcio]]
* [[Trigonometría]]
</div>

== Notas y referencias ==
;Notas
{{listaref|name="Triángulos (Designaciones convencionales)"}}
:Referencias
{{Listaref}}
* ''Geometría'', segunda edición, proyecto ingenio.

== Enlaces externos ==
{{Commons|Triangle geometry}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Geometría del triángulo]]
[[Categoría:Teoremas de geometría]]
[[Categoría:Triángulos]]

[[ca:relacions mètriques en el triangle]]