Ver el código de «Testwiki:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje»

{| style="margin:auto; width:55%; color:black;"
 | style="width:0%; text-align:right; background-color:White;" | [[File:Gftp.svg|center|55px]]
 | style="width:100%; text-align:center; background-color:#f1fadf; padding:1em 1em 1em 1em; border-style: solid; border-width: 0px 0px 0px 0px" | <!--<hr style="border-width: 1px;">--><span style="font-family:cursive;">Por favor, '''contribuya a la protección del medioambiente''': imprima este documento solo si lo considera absolutamente necesario.</span><!--<hr style="border-width: 1px;">-->
|}
<br>
{| style="margin:auto; width:55%; color:black;"
 | style="width:0%; text-align:right; background-color:White;" | [[File:Adaptive-cycle.png|center|91px]]
 | style="width:100%; text-align:center; background-color:#f2eecb; padding:1em 1em 1em 1em; border-style: solid; border-width: 0px 0px 0px 0px" | <!--<hr style="border-width: 1px;">--><span style="font-family:cursive;">'''Advertencia:''' Esta página contiene '''contenido probablemente dinámico''' (esto es, recursos en sentido amplio).</span><!--<hr style="border-width: 1px;">-->
|}
<br>
{{Metaplantilla de avisos |
* Lea toda esta página web detenidamente porque contiene información importante para usted.
* Mantenga a buen recaudo el enlace a esta página web, puede tener que volver a leerla.
* No olvide el [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica|<span style="background-color:SteelBlue; color:Gold; border:1px solid #000000; text-align:center;">&nbsp;'''proyecto asociado de aprendizaje'''&nbsp;</span>]]<!-- /* Also using color box template: [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica|{{color box|SteelBlue|'''proyecto asociado de aprendizaje'''|Gold}}]] */ -->, una actividad optativa, práctica, de evaluación continua y no presencial, del todo recomendable si piensa en la obtención de la mención de «matrícula de honor».</span>
* Tampoco olvide las páginas de discusión asociadas a las anteriores.
}}
<br>
{| style="margin:auto; width:90%; color:black; padding:1em 1em 1em 1em; text-align:left; background-color:#f2eecb;"
 | <span style="font-family:cursive;">
<p>Este '''plan de aprendizaje universitario''' consiste en una introducción a la '''<u>[[matemática discreta]]</u>''' y a sus aplicaciones, incluyendo además unas breves pinceladas sobre algunos '''<u>[[análisis numérico|métodos numéricos]]</u>'''.</p>
<p>En él hago un especial hincapié en el '''[[aprendizaje dialógico|aprendizaje dialógico (aprendizaje basado en la argumentación)]]''' y en el '''[[pensamiento computacional]]''', promocionando el desarrollo y mejora de:</p>
* habilidades de '''[[resolución de problemas]]''' y '''[[toma de decisiones]]''';
* actitudes positivas hacia el '''[[:w:How Not to Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking|pensamiento matemático]]''', '''[[pensamiento analítico|analítico]]''' (''[[:w:analytic reasoning|analytic reasoning]]'', en inglés), '''[[John Dewey|reflexivo]]''', '''[[pensamiento creativo|creativo]]''', '''[[pensamiento lateral|lateral]]''', '''[[pensamiento divergente|divergente]]''' y '''[[pensamiento crítico|crítico]] concreto'''.
<p>Mi experiencia personal lo fundamenta. Wikipedia y otras fuentes de información, en español e inglés, le sirven de apoyo.</p>
<p>La inclusión de diverso material educativo de terceros —[[File:Multimedia-icon.svg|32px|link=]] vídeos incluidos— lleva consigo su mejoramiento.</p>
<p>El uso de Wikipedia, bibliografía, multimedia y otras, estimula y potencia el aprendizaje a través del '''aprendizaje cruzado''' (''[[:w:Nonformal_learning#Contested_definitions|crossover learning]]'', en inglés), '''aprendizaje accidental''' (''[[:w:Learning#Incidental_learning|incidental learning]]'', en inglés), del '''aprender haciendo''' (''[[:w:Learning-by-doing|learning by doing]]'', en inglés), del '''aprendizaje a través de la enseñanza''' (''[[:w:Learning by teaching|learning by teaching]]'', en inglés) y del '''[[microlearning|microaprendizaje]]''', dejando sabores renovados de '''[[aprendizaje semipresencial|aprendizaje mixto]]''' como, por ejemplo, el '''[[aula invertida]]'''.</p>
<p>Por favor, sea libre de sugerir mejoras (véase [[#Para_estar_al_tanto,_saber_m%C3%A1s_o_escribir_alg%C3%BAn_comentario|esta sección]]).</p>
</span>
 | <!-- BEGIN EN CONSTRUCCIÓN --> <!-- style="width:30%; text-align:center; background-color:#f1fadf; border-style: solid; border-width: 0px 0px 0px 0px" | [[File:Ambox warning green construction.svg|center|46px]]<p><hr style="border-width: 1px;">Este plan de aprendizaje corresponde al año académico 2019-2020; con respecto al año académico actual su estado es '''en construcción o revisión''' y por tanto '''sujeto a cambios''', posiblemente hasta unos días antes del comienzo del segundo cuatrimestre académico. Por favor, disculpe las molestias.<hr style="border-width: 1px;"></p> --> <!-- END EN CONSTRUCCIÓN -->
|}

<br>
{| style="background: #eee; text-align: center; font-size:88%; border: 1px solid #aaa" align=center width=100%
| '''[[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Introducción|Ex ante]]'''
| '''[[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Información general|Información general]]'''
| '''[[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Información específica|Información específica]]'''
| '''[[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Proyecto educativo en la Wikipedia en español|Proyecto en Wikipedia]]'''
| '''[[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Esquema de la asignatura|Esquema de la asignatura]]'''
| '''[[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#WP+: Caminos en Wikipedia, bibliografía (teoría y ejercicios, propuestos y resueltos), multimedia y más aún|Caminos en Wikipedia]]'''
| '''[[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Ejemplos de cuestiones de examen, instrumentales y relacionales%5B1%5D%E2%80%8B, y algunas soluciones|Exámenes ejemplo]]'''
| '''[[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Actividades de cualificación y exámenes reales anteriores con algunas soluciones|Exámenes reales]]'''
| '''[[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Plan de estudios tentativo (cronograma para el año académico 2022-2023)|Plan de estudios]]'''
| '''[[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Coda|Ex post]]'''
|}
<br>
{{TOC limit|límite=6}}
<!--
   Transformar con pandoc, de html a mediawiki,
   en https://cloud.sagemath.com/projects/9941889f-c8f4-4b62-8d3f-dddb5e810269/files/

   pandoc ficheroorigen.html -f html -t mediawiki -s -o ficherodestino.txt
→
<!--Rojo = color: rgb(0, 0, 0);-->
<!-- <span style="font-family: liberation sans,sans-serif;"> -->
<!--          EL CURSO / THE COURSE          -->
{| id="mp-upper" style="width: 100%; margin:4px 0 0 0; background:none; border-spacing: 0px;"
<!--          PRELIMINARES, CONTENIDOS Y MÁS / PRELIMINARS, CONTENTS AND MORE          -->
| class="MainPageBG" style="width:80%; border:1px solid #deecc8; background:#f7fffa; vertical-align:top; color:#000;" |
{| id="mp-left" style="width:100%; vertical-align:top; background:#f7fffa;"
<!--          INTRODUCCIÓN / INTRODUCTION          -->
| style="padding:2px;" | <h2 id="pamdan-intro-h2" style="margin:3px; background:#deecc8; font-family:inherit; font-size:110%; font-weight:bold; border:1px solid #deecc8; text-align:left; color:rgb(0, 0, 0); padding:0.2em 0.4em;">Introducción<hr style="width: 100%; height: 4px; background-color: rgb(0, 102, 0);" /></h2>
|-
| style="color:#000; padding:2px 5px 5px;" | <div id="pamdan-intro">
<div style="margin-left: 48%; text-align: right; color: rgb(0, 102, 0); background-color: rgb(255, 255, 223); background-image: none; padding: 0px; border-top: 4px solid rgb(0, 102, 0); border-bottom: 4px solid rgb(0, 102, 0); vertical-align: middle;">
{|
| «Le hablaba yo cierto día a un perito químico de la hipótesis de Avogrado respecto al número de moléculas de los gases en igual volumen, y a su relación con la ley llamada de Mariotte y a sus consecuencias en la química moderna, y hubo de contestarme: &quot;¡Teorías, teorías! Todo eso a mí no me importa... Eso para los que hacen ciencia; yo me limito a aplicarla&quot;. Me callé, torturando mi magín para dar en cómo puede aplicarse ciencia sin hacerla, y al cabo, cuando pasado algún tiempo supe por qué había estado a la muerte nuestro perito, lo comprendí al cabo».
|-
| <small>[[Miguel de Unamuno|Miguel de <span style="font-variant: small-caps;">Unamuno</span>]] (1864-1936): De la enseñanza superior en España [On higher education in Spain], Madrid, Revista Nueva, 1899, http://www.liburuklik.euskadi.eus/handle/10771/24524, p. 45. También, en: ''Obras Completas de Miguel de Unamuno, Vol. VIII (Ensayos)'', pp. 1-58 (la cita, en la p. 32).</small>
|}
</div>
=== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic; font-size:small;">Glosario de abreviaturas</span> ===
<small>
* CC BY, CC BY-SA, CC BY-ND, CC BY-NC, CC BY-NC-SA, CC BY-NC-ND: Licencias públicas de Creative Commons (https://creativecommons.org/licenses/).
* GratisOA: Gratis Open Access (Acceso Abierto Gratuito) (http://legacy.earlham.edu/~peters/fos/overview.htm) (https://cyber.harvard.edu/hoap/Open_Access_(the_book)).
* TDR: [[Todos los derechos reservados|Todos los Derechos Reservados]].
</small>
=== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Ex ante I: Matemáticas e Informática</span> ===
<span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">(Para ir abriendo boca)</span>

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0);">— Arengas</span> ====

* [http://www.dodgycoder.net/2012/09/q-with-nine-great-programmers.html <span style="font-variant: small-caps;">&quot;sztywny&quot; Rzeszótko (AKA &quot;Stiff&quot;)</span>, Jaroslaw (2006). Q&amp;A With Nine Great Programmers.] (En inglés). (Una traducción al español: [http://www.dosideas.com/noticias/actualidad/247-10-preguntas-a-los-mas-grandes-programadores.html 10 preguntas a los más grandes programadores]).
* [http://www.skorks.com/2010/03/you-dont-need-math-skills-to-be-a-good-developer-but-you-do-need-them-to-be-a-great-one/ <span style="font-variant: small-caps;">Skorkin</span>, Alan (2010). You Don’t Need Math Skills To Be A Good Developer But You Do Need Them To Be A Great One; March 24.] (En inglés).

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Matemáticas discretas</span> ====

* [https://www.quora.com/What-is-discrete-mathematics-and-why-is-it-so-important-for-computer-science What is discrete mathematics and why is it so important for computer science?; ''Quora''.] (En inglés).

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Algoritmos</span> ====

* [https://www.quora.com/What-algorithms-should-I-know-to-become-a-good-programmer What algorithms should I know to become a good programmer?; ''Quora''.] (En inglés).

=== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Ex ante II: Wikis temáticos</span> ===

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Wikipedia (Puntos de partida)</span> ====

* [[Matemáticas discretas]]
* [[Portal:Matemáticas]]
* [[Portal:Tecnología]]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Otros:</span> ====

* [http://progopedia.com/ Progopedia (© GFDL &amp; BSD-style).] (En inglés).

=== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Ex ante III: Titulados en Informática</span> ===

* [http://www.cpiiex.es/ Colegio Profesional de Ingenieros en Informática de Extremadura (CPIIEX) (Acceso Gratis)]
** [http://www.cpiiex.es/images/archivos/cdigo%20deontolgico.pdf Código deontológico (Acceso Gratis)]
* [http://www.ccii.es/ Consejo General de Colegios Profesionales de Ingeniería en Informática (CCII) (Acceso Gratis)]

=== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Ex ante IIII: Conocimientos matemáticos preuniversitarios</span> ===

* [http://matematicas.unex.es/actividades-y-noticias/actividades/hedima/ Calvo Jurado, Carmen, Cristina Gutiérrez, Concepción Marín, Pedro Martín, Rodrigo Martínez, Pablo Monfort, José Navarro e Ignacio Ojeda; (2012) HEDIMA: Temas básicos de Análisis Matemático, Álgebra Lineal y Geometría. Grupo HEDIMA, Departamento de Matemáticas, UEX. (© TDR).]
* {{cite web |url=https://www.unicoos.com/asignatura/matematicas |others= |title=Unicoos |last=<span style="font-variant: small-caps;">[[David Calle|Calle]]</span> |first=[[David Calle|David]] |date= |website= |publisher= |access-date= |quote= }} © gratis OA.
* [http://ocw.upm.es/apoyo-para-la-preparacion-de-los-estudios-de-ingenieria-y-arquitectura/matematicas-preparacion-para-la-universidad <span style="font-variant: small-caps;">Casaravilla Gil</span>, A. et al. (2010) Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura: Matemáticas (Preparación para la Universidad). OCW UPM. (© CC BY-NC-SA).]
* [http://ocw.innova.uned.es/matematicas-industriales/contenidos/presentacion.htm <span style="font-variant: small-caps;">Díaz Hernández</span>, A. M. et al. (2010) Curso 0 de Matemáticas. OCW UNED. (© CC BY-NC-ND).]
* [http://www.edu365.cat/batxillerat/ciencies_tecnologia/matematiques.htm# EDU365CAT (2013) (Inici &gt; Batxillera &gt; Ciència i tecnologia &gt; Matemàtiques). Generalitat de Catalunya. (En catalán). (© gratis OA).]
* [https://sites.google.com/site/redmatematicaantioquia/home/libros-de-la-red Gobernación de Antioquia (2015) 100 Problemas que todo bachiller debe entender y resolver. (© gratis OA).]
* [http://personales.unican.es/gonzaleof/ <span style="font-variant: small-caps;">González Ortíz</span>, F. J. (2006) Proyecto MATEX. Gobierno de Cantabria. (© gratis OA).]
* [http://www.lemat.unican.es/lemat/ Grupo Lemat (2009) Proyecto Lemat. Universidad de Cantabria, Gobierno de Cantabria y Gobierno de España. (© gratis OA).]
* [http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ MECD. Proyecto Descartes. (© CC BY-NC-ND).]
* [http://recursostic.educacion.es/multidisciplinar/wikididactica/index.php/Categor%C3%ADas_de_Matem%C3%A1ticas_en_el_Bachillerato WikiDidácTICa (2013) Matemáticas en Bachillerato. Gobierno de España (Intef). (© gratis OA).]

=== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Ex ante V: Motivación general</span> ===
<div style="margin-left: 48%; text-align: right; color: rgb(0, 0, 0); background-color: none; background-image: none; padding: 0px; border-top: 0px solid rgb(0, 102, 0); border-bottom: 0px solid rgb(0, 102, 0); vertical-align: middle;">«A mí me encantaba cuando mi padre se ponía así. Mientras le oía hablar durante mis años mozos, empecé a comprender la importancia que tenía ser capaz de entusiasmarse por algo en esta vida. Él me enseñó que si te interesas por alguna cosa, sea cual sea, debes volcarte sobre ella con todas tus fuerzas. Abrazarla con ambos brazos, apretujarla, amarla y sobre todo apasionarte por ella. Si no hay entusiasmo nada vale la pena. El simple acaloramiento no basta. Hay que ponerse al rojo vivo y apasionarse al máximo. Si no, no vale la pena».<br>
<small>[[Roald Dahl|Roald <span style="font-variant: small-caps;">Dahl</span>]]: [[Mi tío Oswald]] <sup>([[:en:My Uncle Oswald|en]])</sup>. Barcelona, Cataluña (ES-CT), España: Anagrama, 2006, pp. 40-41. (Traducido por Enrique Hegewicz). © TDR.</small>
</div>

* {{cite web |url=http://medialab-prado.es/article/apuntes_para_una_historia_social_de_la_computacion |others= |title='''Apuntes para una historia social de la computación''' |last=<span style="font-variant: small-caps;">[[Andoni Alonso Puelles|Alonso]]</span> |first=[[Andoni Alonso Puelles|Andoni]] |date=2008 |website= |publisher= |access-date= |quote= }} © CC BY-SA. (En español; el debate, a partir del 57:43).
* {{cite web |url=http://www.ted.com/talks/arthur_benjamin_s_formula_for_changing_math_education |others= |title='''Teach statistics before calculus!''' |last=<span style="font-variant: small-caps;">[[Arthur T. Benjamin|Benjamin]]</span> |first=[[Arthur T. Benjamin|Arthur T.]] <sup>([[:en:Arthur T. Benjamin|en]])</sup> |date=2009 |website= |publisher= |access-date= |quote= }} © CC BY-NC-SA. (En inglés, con subtítulos en español).
* {{cite web |url=https://www.youtube.com/watch?v=Jj798r05Ls0 |others= |title='''Discurso de investidura del Dr. Pedro Cavadas como Doctor Honoris Causa en la Universidad Internacional de Valencia (VIU)''' |last=<span style="font-variant: small-caps;">[[Pedro Cavadas|Cavadas]]</span> |first=[[Pedro Cavadas|Pedro]] |date= |website= |publisher= |access-date= |quote= }} © TDR, gratisOA. (En español; el discurso, 00:26:00-01:01:33).
* {{cite web |url=https://comunes.org/es/hack-for-your-rights/ |others= |title='''Hackea por tus derechos''' |last=<span style="font-variant: small-caps;">[[Colectivo Comunes]]</span> |first= |date= |website= |publisher= |access-date= |quote= }} © CC BY-SA.
* {{cite web |url=https://www.medialab-prado.es/videos/javier-de-la-cueva-ontologia-juridica-libre-move-commons-y-licencias-para-vivir |others= |title='''Ontología jurídica libre, Licencias para vivir o Move Commons''' |last=<span style="font-variant: small-caps;">[[Javier de la Cueva|Cueva]]</span> |first=[[Javier de la Cueva|Javier de la]] |date= |website= |publisher= |access-date= |quote= }} © CC BY-SA.
* {{cite journal |last1=<span style="font-variant: small-caps;">[[Ana María Cruz Martín|Cruz Martín]]</span> |first1=[[Ana María Cruz Martín|Ana María]] |author-link1= |last2= |first2= |author-link2= |last3= |first3= |author-link3= |last4= |first4= |author-link4= |last5= |first5= |author-link5= |display-authors= |author-mask= |name-list-format= |last-author-amp= |date= |year=2017 |orig-year= |editor1-last= |editor1-first= |editor1-link= |editor2-last= |editor2-first= |editor2-link= |editor3-last= |editor3-first= |editor3-link= |editor4-last= |editor4-first= |editor4-link= |editor5-last= |editor5-first= |editor5-link= |display-editors= |others= |title='''Los ingenieros y Cervantes''' |script-title= |trans-title= |url=http://jafma.net/ana/theweekendarchaeologist/?p=733 |access-date= |url-access= |format= |department= |journal=The Weekend Archaeologist |type= |series= |language= |edition= |location= |publisher= |publication-place= |publication-date= |volume= |issue= |page= |pages= |at= |nopp= |arxiv= |asin= |bibcode= |bibcode-access= |biorxiv= |citeseerx= |doi= |doi-access= |doi-broken-date= |isbn= |issn= |jfm= |jstor= |jstor-access= |lccn= |mr= |oclc= |ol= |ol-access= |osti= |osti-access= |pmc= |pmid= |rfc= |ssrn= |zbl= |id= |archive-url= |archive-date= |dead-url= |via= |layurl= |laysource= |laydate= |quote= |postscript= |ref= }} © TDR, gratisOA.
* {{cite web |url=https://www.deviolines.com/10-reglas-para-estudiantes-y-profesores-corita-kent-john-cage/ |others= |title='''10 Reglas para estudiantes y profesores - Corita Kent - John Cage''' |last=<span style="font-variant: small-caps;">Fernández</span> |first=Jesús |date=2017 |website=Deviolines |publisher= |access-date= |quote= }} © TDR, gratisOA. (En inglés: [https://www.brainpickings.org/2012/08/10/10-rules-for-students-and-teachers-john-cage-corita-kent/ Maria Popova: «10 Rules for Students, Teachers, and Life by John Cage and Sister Corita Kent». 2012. ''Brain Picking''. © TDR, gratisOA.])
* {{cite web |url=https://www.youtube.com/watch?v=Zh3Yz3PiXZw |others= |title='''Alternative Math''' |last=<span style="font-variant: small-caps;">[[David Maddox|Maddox]]</span> |first=[[David Maddox|David]] (Director) |date=2017 |website= |publisher= |access-date= |quote= }} (Cortometraje). Producido por Ideaman Studios. © TDR, gratisOA. (En inglés, con subtítulos en varios idiomas, incluidos español e inglés).
* {{cite web |url=http://www.news.uwa.edu.au/201309176069/alumni/tim-minchin-stars-uwa-graduation-ceremony |others= |title='''Tim Minchin UWA Address 2013''' |last=<span style="font-variant: small-caps;">[[Tim Minchin|Minchin]]</span> |first=[[Tim Minchin|Tim]] |date=2013 |website= |publisher= |access-date= |quote= }} © TDR, gratisOA. (En inglés, con subtítulos en inglés).] (Otro vídeo en YouTube [https://www.youtube.com/watch?v=-1QnC8Ii8Bg] incorpora una traducción independiente al español). (Existe, además, una [http://web.uwa.edu.au/?a=2386333 transcripción] [en inglés] del discurso de Tim Minchin).
* {{cite web |url=https://www.youtube.com/watch?v=4ic7RNS4Dfo |others= |title='''Katelyn<span style="font-variant: small-caps;">Ohashi</span> - 10.0 Floor (1-12-19)'''. [El significado de un 10: esfuerzo, sacrificio, disciplina, trabajo, perseverancia, técnica, seguridad, confianza, innovación, improvisación, felicidad, emoción, pasión, perfección, excelencia]. |last=<span style="font-variant: small-caps;">[[UCLA Bruins|UCLA Athletics]]</span> |first= |date= |website= |publisher= |access-date= |quote= }} (© TDR, gratisOA). (Para ver un vídeo sobre la vida deportiva de [[Katelyn Ohashi|Katelyn ]]<span style="font-variant: small-caps;">[[Katelyn Ohashi|Ohashi]]</span>, [https://www.youtube.com/watch?v=z9b1KAoYz9s pulse aquí] (© TDR, gratisOA), [en inglés]).
:---
* Seguimos recogiendo bayas... —{{cite web |url=https://pages.gseis.ucla.edu/faculty/bates/berrypicking.html |others= |title='''The design of browsing and berrypicking techniques for the online search interface''' [El diseño de las técnicas de exploración y recogida de bayas para los interfaces de búsqueda en línea] |last=<span style="font-variant: small-caps;">[[Marcia J. Bates|Bates]]</span> |first=[[Marcia J. Bates|Marcia J.]] <sup>([[:en:Marcia J. Bates|en]])</sup> |date=2017 |website= |publisher= |access-date= |quote= }} © TDR, gratisOA. (En inglés).—.

=== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Ex ante VI: Motivación específica</span> ===
* {{cite web |url=http://www.ted.com/talks/hannah_fry_the_mathematics_of_love |others= |title='''The mathematics of love''' |last=<span style="font-variant: small-caps;">[[Hannah Fry|Fry]]</span> |first=[[Hannah Fry|Hannah]] <sup>([[:en:Hannah Fry|en]])</sup> |date=2014 |website= |publisher= |access-date= |quote= }} © CC BY-NC-SA. (En inglés, con subtítulos en español).
* {{cite web |url=https://www.medialab-prado.es/busqueda?s=jugando%20con%20n%C3%BAmeros |others= |title='''Jugando con números''' |last=<span style="font-variant: small-caps;">[[Medialab-Prado]]</span> |first= |date=2010-2011 |website= |publisher= |access-date= |quote= }} © TDR, gratisOA. (Principalmente, en español).
* {{cite web |url=https://www.ted.com/talks/eduardo_saenz_de_cabezon_math_is_forever |others= |title='''Math is forever''' |last=<span style="font-variant: small-caps;">[[Eduardo Sáenz de Cabezón|Sáenz de Cabezón]]</span> |first=[[Eduardo Sáenz de Cabezón|Eduardo]] |date=2014 |website= |publisher= |access-date= |quote= }} © CC BY-NC-SA. (En español, con subtítulos en inglés).
* {{cite web |url=https://etereaestudios.com/works/nature-by-numbers/ |others= |title='''Nature by numbers''' |last=<span style="font-variant: small-caps;">[[Cristóbal Vila|Vila]]</span> |first=[[Cristóbal Vila|Cristóbal]] |date=2010 |website= |publisher= |access-date= |quote= }} © TDR, gratisOA. Cortometraje inspirado en los números, la geometría y la naturaleza; en la misma página web, encontramos información sobre la teoría lógico-matemática tras la película y de su confección. (Podemos ver más trabajos de Cristóbal Vila en su galería en línea [https://etereaestudios.com/ Etérea]).
* {{cite journal |last1=<span style="font-variant: small-caps;">[[Dylan Selterman|Selterman]]</span> |first1=[[Dylan Selterman|Dylan]] |author-link1= |last2= |first2= |author-link2= |last3= |first3= |author-link3= |last4= |first4= |author-link4= |last5= |first5= |author-link5= |display-authors= |author-mask= |name-list-format= |last-author-amp= |date= |year=2017 |orig-year= |editor1-last= |editor1-first= |editor1-link= |editor2-last= |editor2-first= |editor2-link= |editor3-last= |editor3-first= |editor3-link= |editor4-last= |editor4-first= |editor4-link= |editor5-last= |editor5-first= |editor5-link= |display-editors= |others= |title='''Why I give my students a ‘tragedy of the commons’ extra credit challenge''' |script-title= |trans-title= |url=https://www.washingtonpost.com/posteverything/wp/2015/07/20/why-i-give-my-students-a-tragedy-of-the-commons-extra-credit-challenge/?utm_term=.b53c18b6f4c1 |access-date= |url-access= |format= |department= |journal=The Washington Post |type= |series= |language= |edition= |location= |publisher= |publication-place= |publication-date=2015 |volume= |issue= |page= |pages= |at= |nopp= |arxiv= |asin= |bibcode= |bibcode-access= |biorxiv= |citeseerx= |doi= |doi-access= |doi-broken-date= |isbn= |issn= |jfm= |jstor= |jstor-access= |lccn= |mr= |oclc= |ol= |ol-access= |osti= |osti-access= |pmc= |pmid= |rfc= |ssrn= |zbl= |id= |archive-url= |archive-date= |dead-url= |via= |layurl= |laysource= |laydate= |quote= |postscript= |ref= }} © TDR, gratisOA. (En inglés / In English). Relativo a esta noticia, en español, por ejemplo, en / Related to this news, in Spanish, for example, at: [http://www.europapress.es/desconecta/curiosity/noticia-pregunta-extra-ganar-puntos-examen-profesor-te-hara-pensar-20150716104226.html Europa Press: La pregunta extra para ganar puntos en un examen de este profesor te hará pensar.
* {{cite web
 |url=ftp://ftp.aduni.org/videos/02_lect_01.rm
 |others=(URL alternativa: https://www.youtube.com/watch?v=h_9WjWENWV8)
 |title='''What kinds of problems are solved in discrete math?'''
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">[[Shai Simonson|Simonson]]</span>
 |first=[[Shai Simonson|Shai]]
 |format=Vídeo
 |publisher=[[ArsDigita University]] <sup>([[:en:ArsDigita University|en]])</sup>
 |date=
 |website=
 |access-date=15 de noviembre de 2017
 |quote= }}
<strong>— Demostrar por qué es así</strong>
* [[Los Payasos de la Tele]] (1973), [https://www.youtube.com/watch?v=QAqEuSi1cq8&t=4m25s «La tabla del 9»] (fragmento —del 4:25 al 7:25— de «Un día en el colegio», ''Las Aventuras de los Payasos'').
* {{cita web |url=https://www.guiainfantil.com/articulos/educacion/aprendizaje/truco-para-multiplicar-con-las-manos-con-las-tablas-del-678-y-9/ |título=Truco para multiplicar con las manos con las tablas del 6,7,8 y 9 |fechaacceso=25 de septiembre de 2021 |apellido=Esteban |nombre=Estefanía |fecha=2019 |formato= |obra=guiainfantil.com |editorial=Guía Infantil S.L. |ubicación= |idioma= |cita= }}
* Theresa, Rubi (Rubi Ma'am) (2016), [https://www.youtube.com/watch?v=SSaLk8M55bs ''(11-15)Multiplication Using hands''] (Tablas de multiplicar del 11 al 15, con las manos; explicación en inglés en los comentarios).
<strong>— Documentales</strong>
* [https://www.youtube.com/watch?v=44fb3tI2Cak <span style="font-variant: small-caps;">García</span>, Pablo (dir.), «'''Great ideas of philosophy. Logic: the structure of reason [Grandes ideas de la Filosofía. Lógica: la estructura de la razón]'''» (v. doblada en español), Films for the Humanities and Sciences (Princeton, NJ), Tranquilo Producciones, 2004]
<strong>— Películas</strong>
* [[Morgan Mathews|<span style="font-variant: small-caps;">Matthews</span>, Morgan]] <sup>([[:en:Morgan Mathews|en]])</sup> (dir.) (2014), [[X+Y|«'''X+Y'''»]] (distribuida en los Estados Unidos como ''A Brilliant Young Mind'') —se encuentran disponibles: la escena en inglés [https://www.youtube.com/watch?v=mYAahN1G8Y8 X+Y (''Nathan solves math problem''] en la que Nathan resuelve un problema de terminación mediante codificación binaria; la misma escena [https://www.youtube.com/watch?v=A_-gDrXy6V0 subtitulada en español], y la misma escena, [https://www.youtube.com/watch?v=ZnhHpr_ipgE X+Y doblada a español].
* [[Robert Luketic|<span style="font-variant: small-caps;">Luketic</span>, Robert]] (dir.) (2008). [[21 blackjack|«'''21'''»]]; se encuentra disponible esta [https://www.youtube.com/watch?v=8DMnAAvakh0 escena de la película (en inglés)] en la que Ben Campbell resuelve el [[Problema de Monty Hall]] (la misma escena [https://www.youtube.com/watch?v=BzAhrFrnpGM en español]).
* [[Detlev Buck|<span style="font-variant: small-caps;">Buck</span>, Detlev]] <sup>([[:en:Detlev Buck|en]])</sup> (dir.) (2012), [[:de:Die Vermessung der Welt (Film)|«'''Die Vermessung der Welt'''»]], basada en la [[:de:Die Vermessung der Welt|novela homónima]] de [[Daniel Kehlmann]] (traducida al inglés por [[Carol Brown Janeway]] <sup>[[:en:Carol Brown Janeway|en]]</sup>, con título «Measuring the World» —Midiendo el Mundo—), sobre la vida de [[Carl Friedrich Gauss]], [[Alexander von Humboldt]] y [[Aimé Bonpland]]; se encuentra disponible una escena de interés, [https://www.youtube.com/watch?v=bKZJVcNManE&t=4m00s en español del minuto 4:00 al 7:35] (la misma escena, [https://www.youtube.com/watch?v=n2E_lfc2Bvc en alemán]).
* [[Álex de la Iglesia|<span style="font-variant: small-caps;">de la Iglesia</span>, Álex]] (dir.) (2008), «<b>[[Los crímenes de Oxford]]</b>»; se encuentra disponible una escena de interés, [https://www.youtube.com/watch?v=n2E_lfc2Bvc&t=14m15s en español (14:15-18:33)] (la misma escena [https://www.youtube.com/watch?v=z5T31UjmPME en inglés]).
* [[Sam Buntrock|<span style="font-variant: small-caps;">Buntrock</span>, Sam]] <sup>([[:en:Sam Buntrock|en]])</sup> (dir.) (2014), [https://es-la.facebook.com/recursionfilm/ «'''ReCURSION'''»].
* Más:  [http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/ «'''Mathematics in Movies'''»] (página web de Oliver <span style="font-variant: small-caps;">Knill</span>, del departamento de matemáticas de la universidad de Harvard).
<strong>— Concepciones conectadas</strong>
* [[New England Science Fiction Association|New England Science Fiction Association]] <sup>([[:en:New England Science Fiction Association|en]])</sup>, [https://data.nesfa.org/Recursion/ Recursive Science Fiction].
<!--
<strong>— Vídeos
* [https://www.youtube.com/channel/UC2AXB2-VLUGx3HMTMKbgomQ MatemáticasTV, vídeos de matemáticas]
-->
...
|-
<!--          INFORMACIÓN GENERAL          -->
| style="padding:2px;" | <h2 id="pamdan-ede-h2" style="margin:3px; background:#deecc8; font-family:inherit; font-size:110%; font-weight:bold; border:1px solid #deecc8; text-align:left; color:rgb(0, 0, 0); padding:0.2em 0.4em;">Información general<hr style="width: 100%; height: 4px; background-color: rgb(0, 102, 0);" /></h2>

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Universidades</span> ====

=====— Internacional =====
* [[Asociación de Universidades Europeas]] (EUA: ''European University Association'')
* [[Asociación Internacional de Asuntos y Servicios Estudiantiles]] <sup>([http://iasas.global/ ref0], [https://twitter.com/iasasglobal ref1])</sup> (IASAS: ''International Association of Student Affairs and Services'')
* [[Asociación Internacional de Universidades]] (IAU: ''International Association of Universities'')
* [[AEGEE|Foro de Estudiantes Europeos]] (AEGEE: ''Association des États Généraux des Étudiants de l'Europe'')
* [[Consejo de Estudiantes Europeos de Tecnología]] (BEST: ''Board of European Students of Technology'')
* [[Red de Estudiantes Erasmus]] <sup>([[:en:Erasmus Student Network|en]])</sup> (ESN: ''Erasmus Student Network'')
* [[Unión de Estudiantes Europeos (ESU: European Student's Union)]] <sup>([[:en:European Students' Union|en]])</sup>
* [[Unión Internacional de Estudiantes]] (IUS: ''International Union of Students'')
* Más: [[:Categoría:Organizaciones estudiantiles|Organizaciones estudiantiles]] &nbsp; · &nbsp; [[:Categoría:Redes universitarias|Redes universitarias]]

=====— España: Instituciones, organizaciones, asociaciones, discapacidad =====
* [[Asociación para la Transparencia Universitaria]] <sup>([http://atuspain.es/ ref])</sup> (ATU)
* [[Confederación Española de Junior Empresas]] (CEJE)
* [[Confederación Estatal de Asociaciones de Estudiantes]] <sup>([http://www.canae.org/ ref])</sup> (CANAE)
* [[Conferencia de Consejos Sociales]] <sup>([https://ccsu.es/ ref])</sup> (CCS)
* [[Conferencia de Rectores de las Universidades Españolas]] (CRUE)
* [[Consejo de la Juventud de España]] (CJE)
* [[Coordinadora de Representantes de Universidades Públicas]] <sup>([http://www.creup.es/ ref])</sup> (CREUP)
* [[Federación de Asociaciones de Estudiantes Progresistas del Estado Español «Ginés de los Ríos»]] <sup>([http://faest.org/ ref])</sup> (FAEST)
* [[Ministerio de Ciencia e Innovación]] (MICINN)
* [[Ministerio de Educación y Formación Profesional]]
* [[Ministerio de Universidades]] (MU)
* [http://www.runae.org/Runae/ Red Universitaria de Asuntos Estudiantiles.] (RUNAE) (© gratisOA)
* [[Red Vives de Universidades]] (XVU: Xarxa Vives d’Universitats)
* [[Servicios de Atención a Personas con Discapacidad en las Universidades]] <sup>([http://sapdu.unizar.es/ ref])</sup> (SAPDU)
** [https://guiauniversitaria.fundaciononce.es/la-guia Guía Universitaria para Estudiantes con Discapacidad] (© gratisOA)
** [[CERMI|Comité Español de Representantes de Personas con Discapacidad]] (CERMI)
* [[Sindicato de Estudiantes]] (SE)

=====— España: Legislación, intercambio =====
* [[Consejo Social]]
* [[Defensor universitario]]
* [[Enseñanza universitaria en España]]
* [https://www.boe.es/buscar/doc.php?id=BOE-A-2010-20147 Estatuto del Estudiante Universitario. © gratisOA.]
* [[Ley Orgánica de Universidades]] (LOE)
* [https://www.boe.es/buscar/act.php?id=BOE-A-1985-11578 Régimen del Profesorado Universitario. © gratisOA.] ([https://web.ua.es/es/ugt/documentos/informacion-pdi/borrador-estatuto.pdf Estatuto del Profesorado Universitario (borrador). © gratisOA.])
* [[SICUE|Sistema de Intercambio entre Centros Universitarios Españoles]] (SICUE)

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Universidad de Extremadura (UEX) (España)</span> ====
* [https://www.unex.es/organizacion/gobierno/sec_gral/documentos-1/calendario-academico Calendario académico de la UEX] (© gratis OA)
** ([https://www.juntaex.es/documents/77055/621637/PUBLICACI%C3%93N+CALENDARIO+LABORAL+A%C3%91O+2023.pdf/3e9569d2-6434-6425-d9f1-6486ee0a5800?t=1669119352220 Calendario laboral oficial de fiestas para la Comunidad Autónoma de Extremadura, año 2023]) (© gratis OA)
* [https://www.unex.es/estudiar-en-la-uex/estudios-oficiales Estudios oficiales] (© gratis OA)
* [https://www.unex.es/estudiar-en-la-uex/becas Becas] (© gratis OA)
* [https://www.unex.es/conoce-la-uex/centros/enfermeria/unidad-de-atencion-al-estudiante Unidad de Atención al Estudiante] (© gratis OA)
* [https://www.unex.es/organizacion/servicios-universitarios/servicios/siue/funciones/servicio_usuario/cau Centro de Atención al Usuario (CAU)]
* [https://biblioteca.unex.es/ Biblioteca] (© gratis OA)
* [https://www.unex.es/organizacion/gobierno/vicerrectorados/vicealumn/normativas Normativas generales de la UEX] (© gratis OA)
* [http://www.unex.es/organizacion/defensor_universitario Oficina del Defensor Universitario de la UEX] (© gratis OA)
* [http://www.unex.es/organizacion/gobierno/vicerrectorados/vicealumn/funciones/consejo_estudiantes/index__html Consejo de Estudiantes de la UEX] (© gratis OA)
* [https://www.unex.es/organizacion/servicios-universitarios/oficinas/cooperacion Oficina de Cooperación y Acción Solidaria] (© gratis OA)
* [https://www.unex.es/organizacion/servicios-universitarios/servicios/saruex Servicio de Asistencia Religiosa] (Católica) (© gratis OA)
* [https://www.unex.es/organizacion/servicios-universitarios Otros servicios universitarios]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Escuela Politécnica (EPCC)</span> ====
* [https://www.unex.es/conoce-la-uex/centros/epcc Página web oficial. © gratisOA.]
* [http://escuelapolitecnicacc.blogspot.com.es/ Blog oficial. © gratisOA.]
* [https://twitter.com/EPCC_Unex Twitter oficial. © gratisOA.]
* [http://www.unex.es/conoce-la-uex/centros/epcc/consejo_alumnos Consejo de Estudiantes de la EPCC. © gratisOA.]
|-
<!--          INFORMACIÓN ESPECÍFICA          -->
| style="padding:2px;" | <h2 id="pamdan-ede-h2" style="margin:3px; background:#deecc8; font-family:inherit; font-size:110%; font-weight:bold; border:1px solid #deecc8; text-align:left; color:rgb(0, 0, 0); padding:0.2em 0.4em;">Información específica<hr style="width: 100%; height: 4px; background-color: rgb(0, 102, 0);" /></h2>

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Profesor</span> ====
<blockquote style="margin-top: 0em; margin-bottom: 0em;">
Juan Miguel León Rojas
<p>
Despacho n.º 40 en la 1.ª planta del edificio de Ingeniería Civil (puede consultar el [https://epcc.unex.es/informacion-academica/programas-asignaturas/ plan docente (ficha12a)] para su localización).
<p>
Correo electrónico: <tt>jm<!--despam-->leon&#x40;<span>unex</span>.es</tt>.
<p>
[https://epcc.unex.es/centro/pdi/ Horas de tutorías].
</blockquote>

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Descripción de la asignatura</span> ====
<blockquote style="margin-top: 0em; margin-bottom: 0em;">
Esta asignatura es una introducción a la matemática discreta y sus aplicaciones, incluyendo además unas muy breves pinceladas sobre algunos métodos numéricos.
<p>
Código UEX: 501272.
</blockquote>

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Fundamentación</span> ====
<blockquote style="margin-top: 0em; margin-bottom: 0em;">
A diferencia de lo que ocurre en otras universidades, en la UEX, en los grados en [[Ingeniería Informática]] en [[Ingeniería en computadores|Ingeniería de Computadores]] y en [[Ingeniería de Software]], aunque sí existe una asignatura dedicada al [[análisis de algoritmos]] y a su [[Diseño de algoritmos|diseño]] y otra a las [[Estructura de datos|estructuras de datos]], dedicando esta última un tema a la estructura de [[grafo]], no existe ninguna asignatura dedicada a la [[Lógica]], ni niguna dedicada a la [[Teoría de Números]], ni una de [[Combinatoria]] ni una de [[Teoría de Grafos]]. Esto ya hace que tenga sentido una asignatura dedicada prácticamente en su totalidad a la Matemática Discreta.

(Digresión: Quienes disfruten de las unificaciones podrían consultar, con respecto al espacio de diseño de las estructuras de datos, la siguiente publicación: Stratos Idreos, et al., The Periodic Table of Data Structures, ''Bulletin of the IEEE Computer Society Technical Committee on Data Engineering'', vol. 41, no. 3, pp. 64-75, 2018 —disponible en: https://stratos.seas.harvard.edu/publications/periodic-table-data-structures —).

Para el plan docente de esta asignatura se han tenido en cuenta, entre otras y principalmente, las recomendaciones presentes en el informe ''Computing Curricula'' 2020<sup>*</sup> (31 de diciembre) y particularmente en el ''Computer Engineering Curricula'' 2016<sup>†</sup> y en el ''Computer Science Curricula'' 2013<sup>‡</sup>, sin olvidar las ya clásicas de Bertziss (1987)<sup>§</sup>.

En cuanto a '''Matemática Discreta''', este último informe CSC identifica los siguientes temas como esenciales para las estructuras discretas (pp.76-81):
* '''DS1)''' Funciones, relaciones y conjuntos;
* '''DS2)''' Lógica básica,
* '''DS3)''' Técnicas de demostración,
* '''DS4)''' Principios de recuento,
* DS5) Grafos y árboles, y
* DS6) Probabilidad discreta, 
a los cuales añadiríamos:
* '''MD1)''' Estructuras algebraicas,
* MD2) Matrices,
* MD3) Algoritmos y complejidad, y
* '''MD4)''' Teoría básica de números.
Si bien hemos de tener en cuenta que parte de algunos de estos temas se trabajan en otras asignaturas impartidas en la Escuela Politécnica (de ahí que no los destaquemos): DS5, en Estructuras de Datos y de la Información (UEX 501271, semestre 2.º) y en Análisis y Diseño de Algoritmos (UEX 501273, semestre 3.º); DS6, en Estadística (UEX 501270, semestre 2.º); MD2, en Álgebra Lineal (UEX 502382, semestre 1.º); MD3, en Introducción a la Programación (UEX 502304, semestre 1.º) y en Análisis y Diseño de Algoritmos (UEX 501273, semestre 3.º).

Por otro lado, el ''Computing Curricula'' 2020<sup>*</sup> propone (pág. 111) como competencia (DS-Discrete Structure, E): «Analizar un problema industrial para determinar las relaciones de recurrencia subyacentes y presentar la solución al equipo profesional utilizando una variedad de relaciones de recurrencia básicas». De aquí que incluyamos específicamente el estudio de las ecuaciones en diferencias.
* '''DS-E)''' Ecuaciones en diferencias.

En cuanto a '''Cálculo Numérico''' y de cara a proporcionar al estudiantado una introducción suficiente a los algoritmos y métodos para la computación de aproximaciones discretas usados para resolver problemas continuos, tanto en el ámbito de lo lineal como de lo no lineal, identificamos como contenidos esenciales:
* '''CN1)''' Raíces de Ecuaciones,
* CN2) Ecuaciones Algebraicas Lineales, y
* CN3) Ajuste de Curvas (regresión e interpolación).
Si bien hemos de tener en cuenta que parte de algunos de estos temas se trabajan en otras asignaturas impartidas en la Escuela Politécnica (de ahí que no los destaquemos): CN2, en Álgebra Lineal (UEX 502382, semestre 1.º); CN3, en lo tocante a regresión, en Estadística (UEX 501270, semestre 2.º).

Con todo esto en mente y cumpliendo con todos los requerimientos esenciales del [https://epcc.unex.es/informacion-academica/programas-asignaturas/ plan docente (ficha12a)], se programan 60 h presenciales como puede verse de manera sintética en el [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Esquema de la asignatura|esquema de la asignatura]] y calendarizada en el [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Plan de estudios tentativo (cronograma para el año académico 2022-2023)|plan de estudios tentativo (cronograma para el año académico 2022-2023)]].
<hr style="width:25%;">
<sup>*</sup> <small>https://www.acm.org/binaries/content/assets/education/curricula-recommendations/cc2020.pdf</small>
<br>
<sup>†</sup> <small>https://www.computer.org/cms/Computer.org/professional-education/curricula/ComputerEngineeringCurricula2016.pdf</small>
<br>
<sup>‡</sup> <small>https://www.acm.org/education/CS2013-final-report.pdf</small>
<br>
<sup>§</sup> <small>Bertziss, A. (1987). A mathematically focused curriculum for computer science. ''Communications of the ACM'', ''30'', 356-365.</small>
</blockquote>

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Objetivos de la asignatura</span> ====
<blockquote style="margin-top: 0em; margin-bottom: 0em;">
Todas las personas, tras haber cursado y estudiado esta asignatura, deberían haber alcanzado los siguientes objetivos:

* '''Dianas''': Representación, formulación, abstracción, modelización, verificación y generalización.

* '''Generales''': Adquirir cultura científica y cultura matemática en particular. Potenciar las actitudes reflexivas y creativas. Potenciar habilidades y destrezas de análisis, búsqueda, descubrimiento, verificación y generalización. Promoción del desarrollo y mejora de las habilidades de resolución de problemas y de las actitudes positivas hacia el pensamiento matemático, analítico, crítico concreto y creativo. Mejorar su preparación para el estudio independiente y crítico y para la valoración de publicaciones académicas elementales y divulgativas sobre los contenidos tratados en la asignatura. Desarrollar la capacidad de aprendizaje permanente.

* '''Comunes''': Potenciar la habilidad para elaborar estrategias de resolución de problemas y de toma de decisiones. Incrementar la capacidad de interpretación de los resultados obtenidos. Aumentar el rigor en las argumentaciones y desarrollar las habilidades para usar la información y para la lectura y escritura y para la exposición oral o escrita de ideas y razonamientos.

* '''Específicos de los temas 1 (Fundamentos I), 2 (Fundamentos II) y 3 (Teoría de números)''': Potenciar la habilidad para comprender y usar el lenguaje lógico-matemático. Desarrollar la capacidad de abstracción mediante la construcción y reconstrucción de argumentaciones lógico-matemáticas. Potenciar la capacidad de razonamiento lógico-matemático en sus tipos deductivo, inductivo, abductivo y algorítmico.

* '''Específicos de los temas 4 (Razonamiento combinatorio) y 5 (Combinatoria avanzada: ecuaciones en diferencias)''': Potenciar la capacidad de razonamiento lógico-matemático en sus tipos inductivo, algorítmico y recursivo. Potenciar la habilidad para el recuento.
<p>
</blockquote>

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Prerrequisitos</span> ====
<blockquote style="margin-top: 0em; margin-bottom: 0em;">
Aunque, en cuanto al conocimiento científico, '''no tiene ningún requisito previo especial''', se agradece cierto conocimiento previo de matemáticas (principalmente de álgebra, cálculo, estadística y probabilidad) y de computación (principalmente de programación), aunque en ningún caso se presupondrá. Con respecto a la '''lengua española''', sería conveniente, como mínimo, tener un nivel intermedio de conversación, lo correspondiente a la definición de nivel de usuario independiente (autosuficiente) ('''nivel B''') según el [[Marco Común Europeo de Referencia para las lenguas]]. Puede '''comprobar su grado de dominio de la lengua española''' con la [https://examendemo.siele.org/ práctica de examen del Servicio Internacional de Evaluación de la Lengua Española (SIELE)] o más directamente con [https://www.practicaespanol.com/AgenciaEFE-InstitutoCervantes/noticias/nivel-b/ estas noticias de la Agencia EFE, en nivel intermedio (B) de español]* y si así lo desea puede '''mejorar su conocimiento de la lengua española''' con esta última iniciativa, [https://www.practicaespanol.com/ Practica Español], de la Agencia EFE y el Instituto Cervantes ([http://www.fpa.es/es/premios-princesa-de-asturias/premiados/2005-alliance-franaise-societa-dante-alighieri-british-council-goethe-institut-instituto-cervantes-e-instituto-cames.html Premio Príncipe de Asturias de Comunicación y Humanidades 2005]).
<p>
<sup>*</sup> <small>Por favor, tenga en cuenta que basta con conocer la lengua española con un nivel CEFR A2 [https://examenes.cervantes.es/es/dele/que-es para solicitar la nacionalidad española] y para estudios universitarios, en general, con un nivel CEFR B1 para estudios de grado y CEFR B2 para estudios de posgrado.</small>
</blockquote>

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Plan docente de la asignatura</span> ====
<blockquote style="margin-top: 0em; margin-bottom: 0em;">
===== Año académico 2024-2025 =====
* [https://epcc.unex.es/informacion-academica/programas-asignaturas/ Pulse aquí.]
<!--* [[:Archivo:POLI1617 GII 2 AMPMAT-FURMATH 501272-BILINGUAL 2x1.pdf|Versión bilingüe, en español e inglés.]]-->
</blockquote>

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Horarios</span> ====
<blockquote style="margin-top: 0em; margin-bottom: 0em;">
* [https://epcc.unex.es/informacion-academica/horarios/ Horarios y agendas.]
</blockquote>

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Texto básico</span> ====

<div style="background-color:fafaff;">
<div style="border: 2px solid red; padding: 10px; border-radius: 25px; background-color: transparent;">
<span id="notas-incompletas-de-clase"></span>
'''<span style="color: rgb(184, 138, 0);">Libro de texto esencial (Notas Incompletas de Clase) (NCI)</span>'''

Como apoyo teórico y práctico, se ofrecen las siguientes notas incompletas de clase (NCI):
* [https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2024-cuestiones-de-matematicas-discretas.-volumen-0 <u>Matemáticas Discretas. Volumen 0.</u>]

<br />
Estas NCI son una republicación corregida y aumentada de materiales que vieron primero la luz como notas de clase, exámenes y sus soluciones.<br />
<br />
'''<u>Son la guía esencial para estudiar la asignatura</u>'''.<br />
<br />
(Les quedaré muy agradecido ante cualquier comunicación de erratas o errores que detecten en ellas o cualquier sugerencia que estimen hacer).

</div>
</div>

<small>

'''<span style="color: rgb(184, 138, 0);">Textos complementarios</span>'''

<blockquote style="margin-top: 0em; margin-bottom: 0em;">
===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Matemática discreta</span> =====

[[File:Discrete tomography.png|center|200px]]

<blockquote style="margin-top: 0em; margin-bottom: 0em;">
====== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Libro de texto complementario</span> ======
Para la parte dedicada a la matemática discreta, se recomienda adoptar como <strong>libro de texto complementario</strong>:

* Kenneth H. Rosen (2010) <i>Matemática discreta y sus aplicaciones</i> (5.ª edición). Madrid: McGraw-Hill/Interamericana de España, S. A. U. {{ISBN|84-481-4073-7|invalid1=yes}}. © TDR. http://www.mheducation.es/9788448140731-spain-matematica-discreta-y-aplicaciones

Como este libro incluye la amplia mayoría del material de la asignatura —que, dicho sea de paso, se corresponde con los contenidos que se enseñan en la actualidad en cientos de universidades en el campo de la matemática discreta—, se recomienda su adopción y estudio. El libro de Rosen es, a la vez, un <i>libro de texto</i> y un <i>libro de ejercicios</i> con multitud de ejercicios y casos prácticos (ejercicios de programación, cálculo y experimentación). Puede, asimismo, ser considerado un <i>libro guía</i> al incluir múltiples lecturas sugeridas. A pesar de su espíritu enciclopédico, también es un manual al incluir listas de términos claves y resultados y cuestiones de repaso.

Por favor, tenga en cuenta que la anterior es una traducción de la quinta edición en inglés de <i>Discrete Mathematics and Its Applications</i>, 2003, {{ISBN|978-0-07-242434-8|0-07-242434-6|invalid1=yes|invalid2=yes}}, © TDR (última edición traducida al español, por: José Manuel Pérez Morales, Julio Moro Carreño, Ana Isabel Lías Quintero y Pedro Antonio Ramos Alonc) (página web de ayuda: http://www.mhhe.com/math/advmath/rosen/r5/).

: <i>Importante:</i> Aunque dicho libro, en Estados Unidos, está en la octava edición (2019, http://highered.mheducation.com/sites/125967651x/information_center_view0/index.html), en el desarrollo en inglés de la asignatura, utilizaremos la séptima:
:*Kenneth H. Rosen (2012) <i>Discrete Mathematics and Its Applications</i>, 7th edition (edición estadounidense), {{ISBN|978-0-07-338309-5|0-07-338309-0|invalid1=yes|invalid2=yes}}, © TDR (página web de ayuda: http://www.mhhe.com/rosen).<br>(Desde aquí puede descargar un conjunto completo de ''transparencias'' [en inglés]: http://highered.mheducation.com/sites/0073383090/student_view0/lecture_powerpoint_slides.html).

: Existe también una edición 7.ª internacional, posterior, la Edición Global, en inglés, adaptada por Kamala Krithivasan, 2013, {{ISBN|978-0-07-1315012|0-07-242434-6|invalid1=yes|invalid2=yes}}, © TDR  (página web de ayuda: http://www.mhhe.com/rosenGE), que, aunque también es una séptima edición, difiere de la estadounidense en incluir nuevos temas y en que los ejercicios están en diferente orden.

: Como sabe, las nuevas ediciones actualizan y mejoran las anteriores, incluyendo eventualmente nuevo contenido, por lo que es muy recomendable que, dentro de lo posible (principalmente por cuestiones de tiempo y conocimiento de otros idiomas), lea y estudie las nuevas versiones de las secciones y ejercicios, por tanto, tenga principalmente en cuenta estas ediciones (aunque aparezca destacada la última en español):
:* quinta (en inglés) (2003, {{ISBN|978-0-07-242434-8|0-07-242434-6|invalid1=yes|invalid2=yes}}, © TDR, página web de ayuda: http://www.mhhe.com/math/advmath/rosen/r5/);
:* ''quinta'' (2010, {{ISBN|84-481-4073-7|invalid1=yes|invalid2=yes}}, © TDR, página web de ayuda (en inglés): http://www.mhhe.com/math/advmath/rosen/r5/);
:* sexta (en inglés) (2006, {{ISBN|978-0-07-288008-3|0-07-288008-2|invalid1=yes|invalid2=yes}}, © TDR, página web de ayuda: http://highered.mheducation.com/sites/0072880082/information_center_view0/index.html),
:* séptima (en inglés) (2012, {{ISBN|978-0-07-338309-5|0-07-338309-0|invalid1=yes|invalid2=yes}}, © TDR, página web de ayuda: http://www.mhhe.com/rosen),
:* séptima global (en inglés) (2013, {{ISBN|978-0-07-1315012|invalid1=yes|invalid2=yes}}, © TDR, página web de ayuda: http://www.mhhe.com/rosenGE),
:* octava (en inglés) (2019, {{ISBN|978-1-259-67651-2|invalid1=yes|invalid2=yes}}, © TDR, página web de ayuda: http://highered.mheducation.com/sites/125967651x/information_center_view0/index.html).
: En estas páginas web, además, puede encontrarse, en inglés, entre otros materiales y recursos, ''demostraciones interactivas'', ''formularios de autoevaluación'' y ''ejemplos extra''.

====== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Rosen: libros de soluciones de todos los ejercicios propuestos</span> ======
Por otro lado, este libro está acompañado por <i>libros de soluciones de todos los ejercicios propuestos</i>, en inglés, para la 5.ª y 7.ª ediciones estadounidenses:
* Kenneth H. Rosen, Jerrold Grossman, <i>Student's Solutions Guide</i> (ejercicios impares) (5.ª ed., 2003, {{ISBN|0-07-247477-7|invalid1=yes}}) (7.ª ed., 2012, {{ISBN|978-0-07-735350-6|0-07-735350-1|invalid1=yes|invalid2=yes}}), © TDR.
* Kenneth H. Rosen, Jerrold Grossman, <i>Instructor's Resource Guide</i> (ejercicios pares) (5.ª ed., 2003, {{ISBN|0-07-247480-7|invalid1=yes}}) (7.ª ed., 2012, {{ISBN|978-0-07-735349-0|0-07-735349-8|invalid1=yes|invalid2=yes}}), © TDR.

====== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Rosen: libros complementarios</span> ======
Y también por los <i>libros complementarios</i>, en inglés, de exploración de los contenidos y de soluciones a lo propuesto en los epígrafes «ejercicios de programación» (<i>computer projects</i>) y «cálculo y experimentación» (<i>computations and explorations</i>), de la 7.ª edición estadounidense:
* Daniel R. Jordan, <i>Exploring Discrete Mathematics using Maple</i>, 2.ª edición, http://highered.mheducation.com/sites/0073383090/student_view0/exploring_discrete_mathematics_using_maple.html, © TDR.
* Daniel R. Jordan, <i>Exploring Discrete Mathematics using Mathematica</i>, 1.ª edición, http://highered.mheducation.com/sites/0073383090/student_view0/exploring_discrete_mathematics_using_mathematica.html, © TDR.
: (Una versión libre, aunque ligera (subconjunto), de Mathematica es [https://mathics.github.io/ Mathics], © GNU GPL).

====== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Rosen: libro de aplicaciones de la matemática discreta</span> ======
Finalmente, desde las páginas web de ayuda mencionadas, puede llegarse y descargar el siguiente <i>libro de aplicaciones de la matemática discreta</i>, última edición pareada con la 6.ª edición del de Rosen, en inglés, y en cualquier caso, para su estudio posterior una vez terminada esta asignatura, salvo los capítulos que se indiquen de interés para la misma.
* John G. Michaels, Kenneth H. Rosen <i>Applications of Discrete Mathematics</i>, 2007, http://highered.mheducation.com/sites/0072880082/student_view0/applications_of_discrete_mathematics.html, http://highered.mheducation.com/sites/0073383090/student_view0/applications_of_discrete_mathematics.html, http://highered.mheducation.com/sites/0071315012/student_view0/applications_of_discrete_mathematics.html, {{ISBN|978-0-07-041823-3}}.
<!--
El siguiente cuadro le será de ayuda para emparejar las correspondientes secciones entre algunos de los textos recomendados en el plan docente de la asignatura, incluyendo cuatro de las diferentes ediciones del libro de Rosen, desde la quinta a la séptima y la séptima global / The following table will help you match up corresponding sections among some of the recommended texts in the course program, including four of the different editions of Rosen’s book, from the fifth to the seventh and the seventh global ([[:Archivo:KDEM.DA.HD.703-0A.pdf|descargar / download]]).
-->

====== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Otra bibliografía recomendable</span> ======

* <span style="font-variant:small-caps">García Merayo</span>, Félix. ''Matemática discreta''. Tercera edición. Paraninfo. © TDR. http://www.paraninfo.es/catalogo/9788428335683/matematica-discreta
* <span style="font-variant:small-caps">Johnsonbaugh</span>, Richard. ''Matemáticas discretas''. Sexta edición. Pearson - Prentice Hall. © TDR. http://www.mypearsonshop.com.mx/mexico/catalogo/matematicas-discretas-johnsonbaugh-6ed-libro (en inglés, la 8.ª ed.)

En inglés:
* {{cite book |last=<span style="font-variant:small-caps">Epp</span> |first=Susanna S. |author-link= |date=2019 |title=Discrete Mathematics with Applications |language=inglés |trans-title=Matemáticas discretas con aplicaciones |format= |location=Andover, Hampshire (GB-HAM), Inglaterra (GB-ENG), RU |publisher=Cengage Learning |edition= 5.ª |isbn=978-1337694193 |url=}} © TDR;
* <span style="font-variant:small-caps">Grassl</span>, Richard y <span style="font-variant:small-caps">Levin</span>, Oscar. <i>Exploring Combinatorial Mathematics</i> (GFDL), http://www.openmathbooks.org/ecm/ecm.html
* <span style="font-variant:small-caps">Hammack</span>, Richard. <i>Book of Proof</i> (CC BY-ND), https://www.people.vcu.edu/%7Erhammack/BookOfProof/BookOfProof.pdf
* <span style="font-variant:small-caps">Levin</span>, Oscar. <i>Discrete Mathematics: an Open Introduction</i> (CC BY-SA), http://discrete.openmathbooks.org

Y toda la biliografía y multimedia que aparecen en los temas, más adelante, y todos los libros y documentos que están referenciados o recomendados en el esquema de la asignatura, en las selecciones de cuestiones y en el [https://epcc.unex.es/informacion-academica/programas-asignaturas/ plan docente (ficha12a)].

</blockquote>

===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Cálculo numérico</span> =====

[[File:MonteCarloIntegrationCircle.svg|center|200px]]

<blockquote style="margin-top: 0em; margin-bottom: 0em;">
Para la breve parte de cálculo numérico, se recomienda adoptar como '''libro de texto''':

* Chapra, Steven C., & Canale, Raymond P. (2007) <i>Métodos numéricos para ingenieros</i> (5.ª edición internacional). México: McGraw-Hill/Interamericana editores, S.A. de C.V. ISBN-13: 978-970-10-6114-5. © TDR.

Si bien usaremos la quinta edición internacional, este libro actualmente está en su séptima edición http://www.mheducation.com/highered/product/numerical-methods-engineers-chapra-canale/M007339792X.html), también traducida al español (http://www.mheducation.es/9786071512949-spain-metodos-numericos-para-ingenieria). Página web de ayuda: http://www.mhhe.com/engcs/general/chapra/

En la biblioteca de la UEX, usted dispone de acceso electrónico a la 6.ª edición, en español: http://0-www.ingebook.com.lope.unex.es/ib/NPcd/IB_BooksVis?cod_primaria=1000187&codigo_libro=4250

</small>

<div style="clear: both;"></div>
</blockquote>

</blockquote>

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Para saber más, a la par o una vez finalizada la asignatura</span> ====
<blockquote style="margin-top: 0em; margin-bottom: 0em;">
Además de las referencias que aparecen en el [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Esquema de la asignatura|esquema de la asignatura]] y en el [https://epcc.unex.es/informacion-academica/programas-asignaturas/ plan docente (ficha12a)], y de aquellas que puedan mencionarse en las clases (de grupo grande y de seminario/laboratorio) y de las que se publican en la [[Wikipedia discusión:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje|página de discusión del plan de aprendizaje]] o en el [https://campusvirtual.unex.es/zonauex/avuex/ campus virtual de la UEX] en el foro privado de la asignatura, y de aquellas referenciadas en las [https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab 13 selecciones de cuestiones] que se usan a lo largo de la asignatura, debería tener en cuenta:
* a medida que se desarrolla la asignatura:
** [[#WP+:_Caminos_en_Wikipedia,_bibliograf%C3%ADa_(teor%C3%ADa_y_ejercicios,_propuestos_y_resueltos),_multimedia_y_m%C3%A1s_a%C3%BAn|WP+: Caminos en Wikipedia, bibliografía (teoría y ejercicios, propuestos y resueltos), multimedia y más aún]];
** Grimaldi, Ralph P. Matemáticas discreta y combinatoria. Una introducción con aplicaciones. Tercera edición. Pearson - Addison Wesley Longman. © TDR.

* una vez finalizada la asignatura:
** John G. Michaels, Kenneth H. Rosen <i>Applications of Discrete Mathematics</i>, 2007, http://highered.mheducation.com/sites/0072880082/student_view0/applications_of_discrete_mathematics.html, http://highered.mheducation.com/sites/0073383090/student_view0/applications_of_discrete_mathematics.html, http://highered.mheducation.com/sites/0071315012/student_view0/applications_of_discrete_mathematics.html, {{ISBN|978-0-07-041823-3}}.
** {{cite book |last=<span style="font-variant:small-caps">Wolfram</span> |first=Stephen |author-link=Stephen Wolfram |date=2002 |title=A New Kind of Science |language=inglés |trans-title=Una nueva clase de ciencia |format=HTML/PDF |location=Champaign, Illinois (US-IL), EUA |publisher=Wolfram Media, Inc. |isbn=1-57955-008-8 |url=http://blog.stephenwolfram.com/2017/05/a-new-kind-of-science-a-15-year-view/}} © gratisOA.
<div style="clear: both;"></div>
</blockquote>

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Comunicación</span> ====
<blockquote style="margin-top: 0em; margin-bottom: 0em;">
* Foro privado de la asignatura en el [https://campusvirtual.unex.es/portal/ campus virtual de la UEX]
* [[Wikipedia discusión:{{PAGENAME}}|Página de discusión del plan de aprendizaje]]
|-
<!--          PROYECTOS EDUCATIVOS EN WIKIPEDIA          -->
| style="padding:2px;" | <h2 id="pamdan-intro-h2" style="margin:3px; background:#deecc8; font-family:inherit; font-size:110%; font-weight:bold; border:1px solid #deecc8; text-align:left; color:rgb(0, 0, 0); padding:0.2em 0.4em;">Proyecto educativo en la Wikipedia en español<hr style="width: 100%; height: 4px; background-color: rgb(0, 102, 0);" /></h2>
{| id="mp-topbanner" style="width:100%; background:Honeydew; margin-top:0em; border:1px solid Honeydew;"
| style="width:20%; color:#000;" |
<!--  Title on left-hand side -->
{| style="width:275px; border:none; background:Honeydew;"
| style="width:275px; text-align:left; white-space:nowrap; color:#000;" |
<div style="font-size:162%; border:none; margin:0; padding:.1em; color:#000; text-align:center;"><b>MATDIN</b></div>
<div style="top:+0.2em; font-size:80%; text-align:center;">desde [[File:Twenty sided dice.svg|17px|link=]] 2016</div>
|}
<!--  Topics on right-hand side -->
| style="width:77%; font-size:90%; vertical-align:top;" |
<span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: normal;">
Participar en MATDIN (MATemática DIscreta y Numérica) es una actividad <b>optativa</b>, práctica, de evaluación continua y no presencial, que además de merecer la pena por contribuir a su <b>desarrollo personal</b>, podría ayudarle a <b>mejorar su calificación final en la asignatura</b>; además, es <b>del todo recomendable</b> si piensa en la obtención de la mención de «matrícula de honor».
</span>
|}
</blockquote>
<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align: left; color: rgb(0, 0, 0); background-color: #c6dbf7; background-image: none; padding: 0px; border-top: 4px solid #c6dbf7; border-bottom: 4px solid #c6dbf7; vertical-align: middle;">
{|
| Es '''importante''' que usted tome conciencia de que unirse al proyecto «Matemática discreta y numérica» es optativo; hacerlo depende por entero de usted. Pero si lo hace, recuerde, '''usted acepta''':
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>a) '''usar su verdadera identidad en páginas web de acceso público, abierto y libre''' (Wikipedia) —aunque usted puede usar un alias como nombre para la cuenta de uso que registre en Wikipedia, usted debe informar de su identidad real (nombre y apellidos) en su página de persona usuaria de la Wikipedia en español—;</li>
<li>b) '''mostrar educación y respetar la diversidad''' (por favor, recuerde, la diversidad es una riqueza, no es ni un problema ni una amenaza);</li>
<li>c) '''cumplir las normas y obligaciones establecidas''' por la coordinación de este proyecto ([[:es:Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica|pulse y léalas aquí]]), en particular, los compromisos dinámicos ([[:es:Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica#Compromisos dinámicos|pulse y léalos aquí]]);</li>
<li>d) '''ayudar a las personas participantes''' en el proyecto en todo lo posible;</li>
<li>e) sobre todo, '''comprometerse con usted'''.</li>
</ul>
|}
</div>

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Información en la Wikipedia en español</span> ====
:* [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica|Pagina web descriptiva de MATDIN]], y
:* [[Wikipedia_discusi%C3%B3n:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Bienvenida_a_la_asignatura_y_a_su_plan_de_aprendizaje_apoyado_en_la_Wikipedia_en_espa%C3%B1ol_(a%C3%B1o_acad%C3%A9mico_2022-2023)|Bienvenida a la asignatura y a su plan de aprendizaje apoyado en la Wikipedia en español (año académico 2022-2023)]] (sobre todo en lo concerniente a la evaluación de su trabajo en la asignatura).

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Comunicación</span> ====
<blockquote style="margin-top: 0em; margin-bottom: 0em;">
Para estar al tanto, siga las recomendaciones dadas en la [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica|página del proyecto en la Wikipedia en español]], en particular, en la subsección [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica#Lo básico|«Lo básico»]].
</blockquote>
<!--
==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Proyecto equivalente en la Wikipedia en inglés</span> ====
:<span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">(Solo si usted cursa la asignatura en inglés).</span>
:* [[:en:Wikipedia:School and university projects/Discrete and numerical mathematics|Wikipedia:School and university projects/Discrete and numerical mathematics]], y
:* [[:en:Wikipedia talk:School and university projects/Discrete and numerical mathematics/Learning plan#Welcome to the course and to its learning plan strengthened by the English Wikipedia (academic year 2019-2020)|Welcome to the course and to its learning plan strengthened by the English Wikipedia (academic year 2019-2020)]] (sobre todo en lo concerniente a la evaluación de su trabajo en la asignatura).
-->
</div>
|-
<!--          CONTENIDOS / CONTENTS          -->
| style="padding:2px;" | <h2 id="pamdan-ede-h2" style="margin:3px; background:#deecc8; font-family:inherit; font-size:110%; font-weight:bold; border:1px solid #deecc8; text-align:left; color:rgb(0, 0, 0); padding:0.2em 0.4em;">Contenidos y caminos de aprendizaje en Wikipedia<hr style="width: 100%; height: 4px; background-color: rgb(0, 102, 0);" /></h2>
|-
| <div style="margin-left: 48%; text-align: right; color: rgb(0, 102, 0); background-color: rgb(255, 255, 223); background-image: none; padding: 0px; border-top: 4px solid rgb(0, 102, 0); border-bottom: 4px solid rgb(0, 102, 0); vertical-align: middle;">
¿Me contradigo? <br />Muy bien, entonces me contradigo,<br />(Soy grande, contengo multitudes.)»<br>
<small>[http://es.wikipedia.org/wiki/Walt_Whitman Walt <span style="font-variant: small-caps;">Whitmann</span>] (1819-1892): <em>Song of Myself</em> (en <em>Leaves of Grass</em>, 1855)</small>
</div>
|-
| style="color:#000; padding:2px 5px 5px;" | <div id="pamdan-c">
<div style="clear: both;"></div>

=== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Consideraciones</span> ===
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Help:Using_Wikipedia_for_mathematics_self-study ''Using Wikipedia for mathematics self-study'' (Usando Wikipedia para el autoaprendizaje de las matemáticas)] (en inglés)
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:WikiProject_Mathematics/Proofs ''Proofs'' (Demostraciones)] (en inglés)

{| style="clear:both;"
|-
| colspan="2" style="padding:1em 1em 1em 1em; border:1px solid #dfdfdf; background-color:#C4D8E2" valign="top"|
=== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Esquema de la asignatura</span> ===

<div style="background-color:fafaff;">
<div style="border: 2px solid red; padding: 10px; border-radius: 25px; background-color: transparent;">
El '''texto esencial''' son las notas incompletas de clase (NCI):
* [https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2024-cuestiones-de-matematicas-discretas.-volumen-0 <u>Matemáticas Discretas. Volumen 0.</u>]
<br />
'''<u>Estas NCI son la guía esencial para estudiar la asignatura</u>'''.
<br />
Estas NCI son una republicación corregida y aumentada de materiales que vieron primero la luz como notas de clase, exámenes y sus soluciones.
<br /><br />
'''Importante''': las resoluciones que aparecen en esta página web o en otros archivos PDF anteriores están obsoletas pues aparecen revisadas y posiblemente corregidas y aumentadas en el texto esencial [https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2024-cuestiones-de-matematicas-discretas.-volumen-0 Matemáticas Discretas. Volumen 0].
<br /><br />
'''Estudiemos''' en este libro los capítulos correspondientes y '''hagamos''' todos los ejemplos y actividades que aparecen en ellos:
* temas 0 y 1 (fundamentos): capítulos del 0 al 17;
* tema 2 (teoría de números): capítulo 18;
* tema 3 (razonamiento combinatorio): capítulo 19;
* tema 4 (ecuaciones en diferencias): capítulo 20.
<br />
Otros textos que aparecen a continuación son complementarios. 
</div>
</div>

<!--background-color:#fafaff"-->
<blockquote>
<small>
* <span style="color:SteelBlue"><u>'''Temas 0 y 1:'''</u> '''[[Wikipedia:{{PAGENAME}}#Temas 0 y 1.- Fundamentos I y II|FUNDAMENTOS]]'''</span> (16 h GG y 5 h SL)<div class="dablink"><u>Debería estudiarse</u>:
::*<span style="color:Black">Libro de Rosen 5.ª ed. en español (§ 1.1-1.8, 7.1, 7.3, 7.5, 7.6, 3.2.5, 3.3-3.4);</span>
::*<span style="color:Black">Libro de Rosen 7.ª ed. Global (§ 1.7, 12.1-12.4);</span>
::*<span style="color:Black">Capítulos correspondientes al tema 1 en las NCI [https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2024-cuestiones-de-matematicas-discretas.-volumen-0 <span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., ''Matemáticas Discretas. Volumen 0'']</span></div>
<div class="dablink"><div class="dablink"><u>Debería hacerse</u>:
* Todo ejercicio recomendado en cada sección correspondiente a este tema en la [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Agenda_de_actividades|agenda de actividades]];
* [https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab Selecciones de cuestiones n. 1 a la 5];
* [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Temas_0_y_1.-_Fundamentos|Ejemplos de cuestiones de examen correspondientes a los temas 0 y 1]];
* [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Ejemplos_de_ex%C3%A1menes_preparatorios|Cuestiones de exámenes preparatorios correspondientes a los temas 0 y 1]], y
* [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Actividades_de_cualificaci%C3%B3n_y_ex%C3%A1menes_reales_anteriores_con_algunas_soluciones|Cuestiones de exámenes reales correspondientes a los temas 0 y 1]].</div></div>
<div class="dablink"><div class="dablink">Debería verse también: [[iarchive:KDEM.DA.HD.70301|<span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., KDEM DA/HD – 703-01]]; [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Lógica|WP+ (Lógica)]]; [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Conjuntos, relaciones y funciones|WP+ (Conjuntos, relaciones y funciones)]]; [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Cardinalidad|WP+ (Cardinalidad)]]; y [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Estructuras algebraicas|WP+ (Estructuras algebraicas)]].<br/>Pueden encontrarse más detalles en la [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Agenda_de_actividades|Agenda de actividades]].</div></div>
:*<span style="color:SteelBlue"><u>'''Tema 0:'''</u> '''[[Wikipedia:{{PAGENAME}}#Temas 0 y 1.- Fundamentos I y II|FUNDAMENTOS I: LÓGICA, CONJUNTOS Y CORRESPONDENCIAS]]'''</span> (8 h GG y 3 h SL)
::::*<span style="color:Sienna"><u>'''Contenidos'''</u>: ► '''[[Wikipedia:{{PAGENAME}}#L.C3.B3gica|Lógica]]''': proposiciones, equivalencias proposicionales, predicados y cuantificadores, cuantificadores anidados, traducción lengua española (LES) - lenguaje lógico (LEL), directa (LEL → LES) e inversa (LES → LEL), argumentos válidos y reglas de inferencia; demostraciones directas e indirectas, procedimientos de verificación o de refutación (tablas de verdad, contraposición, reducción al absurdo, formas normales, deducción natural, tablas semánticas). ► '''[[Wikipedia:{{PAGENAME}}#Conjuntos, relaciones y funciones|Conjuntos]]''': conceptos y definiciones, cardinal y conjunto potencia; relaciones (pertenencia, inclusión e igualdad), operaciones (unión, intersección, complementación, diferencia y diferencia simétrica) y propiedades, partición, cardinal de la unión, producto cartesiano. ► '''[[#Funciones| Correspondencias, funciones y aplicaciones]]''': tipos destacados (inyectiva, sobreyectiva y biyectiva), monotonía, representación (cartesiana, sagitaria, matricial y mediante grafos), composición, inversa; multiconjunto; métrica.</span>
::::*<span style="color:DarkGreen"><u>'''Actividades prácticas'''</u> (seminarios/laboratorios): ► '''[1]''': Pruebas y refutaciones, I; ► '''[2]''': Pruebas y refutaciones, II; ► '''[3]''': Pruebas y refutaciones, III. ([https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab Selecciones de cuestiones n.º 1 a la 3]).</span>
:*<span style="color:SteelBlue"><u>'''Tema 1:'''</u> '''[[Wikipedia:{{PAGENAME}}#Temas 0 y 1.- Fundamentos I y II|FUNDAMENTOS II: RELACIONES, INDUCCIÓN, CARDINALIDAD Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS]]'''</span> (8 h GG y 2 h SL)
::::*<span style="color:Sienna"><u>'''Contenidos'''</u>: ► '''[[#Relaciones| Relaciones]]''': propiedades, representación mediante matrices y grafos, equivalencias, clases de equivalencia y particiones, relaciones de tolerancia, ordenaciones, diagramas de Hasse, relaciones de preferencia. ► '''[[#Inducción| Inducción]]''': débil, fuerte y estructural; buen orden. ► '''[[Wikipedia:{{PAGENAME}}#Cardinalidad, inducción y recursión|Cardinalidad]]''': conjuntos infinitos, numerabilidad, argumento diagonal de Cantor, el teorema de Cantor y la hipótesis del continuo. ► '''[[Wikipedia:{{PAGENAME}}#Estructuras algebraicas|Estructuras algebraicas]]''': magma, semigrupo, monoide, grupo, anillo, dominio de integridad, cuerpo; homomorfismo; espacio métrico (estructura métrica).</span>
::::*<span style="color:DarkGreen"><u>'''Actividades prácticas'''</u> (seminarios/laboratorios): ► '''[4]''': Inducción y recursión; ► '''[5]''': Cardinalidad y estructuras algebraicas. ([https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab Selecciones de cuestiones n.º 4 a la 5]).</span>

:: Ensambles (más allá de esta asignatura):
:::<div class="dablink"><u>Un  clásico</u> en el campo del [[Razonamiento diagramático]]: [[Gráficos existenciales|Grafo existencial]]; ver, en particular, [http://www.jfsowa.com/peirce/ms514.htm ''Existential Graphs''] (MS 514, por [[Charles Sanders Peirce]] —con comentario de [[John F. Sowa]]—).</div>
:::<div class="dablink"><u>Una conexión</u> con la [[Ciencia de la información]], en el área de la [[Búsqueda y recuperación de información|Recuperación de información]] (RI): ► [[Modelo booleano]] (MBRI) y ► [[Modelo Booleano Extendido]].</div>
:::<div class="dablink"><u>Una conexión</u> con la [[Estadística]], en el área del [[Análisis de datos]], en particular en [[Clasificación estadística]], [[Macrodatos]], [[Minería de datos]] y [[Aprendizaje automático]]: ► [[Agrupamiento jerárquico|Clasificaciones jerárquicas]] y ► [[Análisis de grupos|Análisis de conglomerados]].</div>
:::<div class="dablink"><u>Vínculos</u>: [[:Categoría:Lógicas no clásicas|Lógicas no clásicas]]; [[Resolución de problemas]]; [[Problema de satisfacibilidad booleana]]; [[Programación en lenguaje natural]] <sup>([[:en:Natural-language programming|en]])</sup>; [[Comprensión del lenguaje natural]]; [[Búsqueda y recuperación de información]]; [[Representación del conocimiento]]; [[Razonamiento automático]]; [[Aprendizaje automático]]; {{noredirect|Computabilidad|<span style="color:
#BA0000">Computabilidad</span>}} <sup>([[:en:Computability|en]])</sup>; [[Complejidad]]; [[Teoría de categorías]].</div>
<!--
conexión, enlace, vínculo, unión, atadura, trabazón, juntura, engarce, enchufe, ensamble, nexo, enganche, concatenación, acoplamiento, empalme (trenes)
-->
* <span style="color:SteelBlue"><u>'''Tema 2:'''</u> '''[[Wikipedia:{{PAGENAME}}#Teoría de números|TEORÍA DE NÚMEROS]]'''</span> (8 h GG y 3 h SL)<div class="dablink"><u>Debería estudiarse</u>: Libro de Rosen 5.ª ed. en español (§ 2.4.1-2.4.7, 2.5.5, 2.6.2-2.6.10); [http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1711003/Apuntes/apuntes.htm UCA (lecciones 10-13)]; [http://ocw.upm.es/matematica-aplicada/matematica-discreta/contenidos/material-de-clase UPM (tema 3)], y los capítulos correspondientes al tema 2 en las NCI [https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2024-cuestiones-de-matematicas-discretas.-volumen-0 <span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., ''Matemáticas Discretas. Volumen 0''].<br/><u>Debería hacerse</u>: Todo ejercicio recomendado en cada sección correspondiente a este tema en la [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Agenda_de_actividades|agenda de actividades]]; [https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab Selecciones de cuestiones n. 6 a la 8]; [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Tema_2.-_Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros_2|Ejemplos de cuestiones de examen correspondientes al tema 2]]; [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Ejemplos_de_ex%C3%A1menes_preparatorios|Cuestiones de exámenes preparatorios correspondientes al tema 2]]; y [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Actividades_de_cualificaci%C3%B3n_y_ex%C3%A1menes_reales_anteriores_con_algunas_soluciones|Cuestiones de exámenes reales correspondientes al tema 2]].<br/>Véase también: [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros|WP+ (Teoría de números)]].<br/>Pueden encontrarse más detalles en la [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Agenda_de_actividades|Agenda de actividades]].</div>
::::*<span style="color:Sienna"><u>'''Contenidos'''</u>: ► '''[[#Divisibilidadyaritméticamodular| Divisibilidad y aritmética modular]]''': divisibilidad, algoritmo de la división, aritmética modular. ► '''[[#Primosymáximocomúndivisor| Primos y máximo común divisor]]''': representaciones de enteros, números primos y sus propiedades, el teorema fundamental de la aritmética, conjeturas y problemas abiertos sobre primos, máximo común divisor y mínimo común múltiplo, algoritmo de Euclides, teorema de Bézout y el algoritmo extendido de Euclides. ► '''[[#Resolucióndecongruencias| Resolución de congruencias]]''': congruencias lineales, función φ de Euler, teorema chino del resto, teorema de Euler-Fermat, teorema pequeño de Fermat, teorema de Wilson y teorema de Wolstenholme. ► '''[[#Aplicacionesdelascongruencias| Aplicaciones de las congruencias]]''': funciones de dispersión, números pseudoaleatorios, criptografía. ► '''[[#Criteriosdedivisibilidad| Criterios de divisibilidad]]''': restos potenciales, criterios de divisibilidad. ► '''[[#Ecuacionesdiofánticas| Ecuaciones diofánticas]]''': ecuaciones lineales, sistemas.</span>
::::*<span style="color:DarkGreen"><u>'''Actividades prácticas'''</u> (seminarios/laboratorios): ► '''[6]''': Divisibilidad, aritmética modular, primos, mcd y congruencias; ► '''[7]''': Ecuaciones diofánticas y en congruencias, I; ► '''[8]''': Ecuaciones diofánticas y en congruencias, II. ([https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab Selecciones de cuestiones n. 6 a la 8]).</span>
:: Ensambles (más allá de esta asignatura):
:::<div class="dablink"><u>Una conexión</u> con la [[Seguridad informática]]: ► [[Criptología]] y ► [[Criptografía]]: • [[RSA|Sistema criptográfico de clave pública RSA]] y • [[Competición de factorización RSA]].</div>
:::<div class="dablink"><u>Vínculos</u>: [[Programación en enteros]]; [[Geometría diofántica]] <sup>([[:en:Diophantine geometry|en]])</sup>.</div>
* <span style="color:SteelBlue"><u>'''Tema 3:'''</u> '''[[Wikipedia:{{PAGENAME}}#Combinatoria|RAZONAMIENTO COMBINATORIO]]'''</span> (8 h GG y 3 h SL)<div class="dablink"><u>Debería estudiarse</u>: Libro de Rosen 5.ª ed. en español (§ 4.1-4.5); [https://dialnet.unirioja.es/servlet/libro?codigo=250473 <span style="font-variant: small-caps;">Franco Brañas</span>, J. R., <span style="font-variant: small-caps;">Espinel Febles</span>, M. C., <span style="font-variant: small-caps;">Almeida Benítez</span>, P. R. ''Manual de Combinatoria''], y los capítulos correspondientes al tema 3 en las NCI [https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2024-cuestiones-de-matematicas-discretas.-volumen-0 <span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., ''Matemáticas Discretas. Volumen 0''].<br/><u>Debería hacerse</u>: Todo ejercicio recomendado en cada sección correspondiente a este tema en la [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Agenda_de_actividades|agenda de actividades]]; [https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab Selecciones de cuestiones n. 9 a la 11]; [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Tema_3.-_Combinatoria_2|Ejemplos de cuestiones de examen correspondientes al tema 3]]; [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Ejemplos_de_ex%C3%A1menes_preparatorios|Cuestiones de exámenes preparatorios correspondientes al tema 3]]; y [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Actividades_de_cualificaci%C3%B3n_y_ex%C3%A1menes_reales_anteriores_con_algunas_soluciones|Cuestiones de exámenes reales correspondientes al tema 3]].<br/>Véase también: [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Tema_3.-_Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].<br/>Pueden encontrarse más detalles en la [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Agenda_de_actividades|Agenda de actividades]].</div>
::::*<span style="color:Sienna"><u>'''Contenidos'''</u>: ► '''[[#ConceptospreviosCOMB| Conceptos previos]]''': funciones suelo y techo, factorial, factorial descendente y ascendente, coeficientes binomial y multinomial e identidades. ► '''[[#Principiosbásicosdelconteo| Principios fundamentales de recuento]]''': principio de la adición, principio del complementario, principio de la multiplicación, principio de la división; principios restringido y generalizado de los cajones de Dirichlet; principio de inclusión-exclusión. ► '''[[#Operacionescombinatoriasbasicas| Operaciones combinatorias básicas]]''': variaciones, permutaciones y combinaciones, con y sin repetición y el cálculo de sus números totales. ► '''[[#Demostracionescombinatorias| Demostraciones combinatorias]]''': 1.ª, por biyección; 2.ª, por doble cuenta; 3.ª por elemento distinguido, y 4.ª, basadas en el principio de inclusión-exclusión. ► '''[[#Modelizacióncombinatoria| Modelización de cuatro problemas combinatorios de recuento simples y otras operaciones combinatorias]]''': 1.º, selección de muestras y etiquetado de unidades con y sin repetición; 2.º, agrupamiento de unidades (distribución, almacenamiento o colocación de objetos en recipientes); 3.º, partición de conjuntos y de multiconjuntos, y 4.º, partición (descomposición aditiva) de un entero positivo. Interpretación intermodal.</span>
::::*<span style="color:DarkGreen"><u>'''Actividades prácticas'''</u> (seminarios/laboratorios): ► '''[9]''': Combinatoria, I; ► '''[10]''': Combinatoria, II; ► '''[11]''': Combinatoria, III. ([https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab Selecciones de cuestiones n. 9 a la 11]).</span>
:: Ensambles (más allá de esta asignatura):
:::<div class="dablink"><u>Un ingrediente</u> y <u>una conexión</u> con la [[Ciencia de redes]]: ► [[Teoría de grafos]] y ► [[Red social|Redes sociales]].</div>
:::<div class="dablink"><u>Una conexión</u> con la [[Teoría de la probabilidad]], en el área de las [[:Categoría:Distribuciones discretas|Distribuciones discretas]]: ► [[Ley de Zipf]].</div>
:::<div class="dablink"><u>Vínculos</u>: [[Teoría de juegos]]; [[Teoría de números]]; [[Topología]].</div>
* <span style="color:SteelBlue"><u>'''Tema 4:'''</u> '''[[Wikipedia:{{PAGENAME}}#Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes)|RAZONAMIENTO COMBINATORIO II: ECUACIONES EN DIFERENCIAS]]'''</span> (8 h GG y 2 h SL)<div class="dablink"><u>Debería estudiarse</u>: Libro de Rosen 5.ª ed. en español (§ 3.2, 6.1-6.3); [http://matema.ujaen.es/jnavas/web_modelos/pdf_mmb08_09/sistemas%20dinamicos.pdf <span style="font-variant: small-caps;">Navas Ureña</span>, J., <span style="font-variant: small-caps;">Esteban Ruiz</span>, F. J., <span style="font-variant: small-caps;">Quesada Teruel</span>, J. M. 'Tema 9: Ecuaciones y sistemas en diferencias'] (en: [http://matema.ujaen.es/jnavas/web_modelos/pdf_mmb08_09/texto%20completo.pdf ''Modelos matemáticos en biología. Teoría'']), y los capítulos correspondientes al tema 4 en las NCI [https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2024-cuestiones-de-matematicas-discretas.-volumen-0 <span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., ''Matemática Discreta. Volumen 0''].<br/><u>Debería hacerse</u>: Todo ejercicio recomendado en cada sección correspondiente a este tema en la [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Agenda_de_actividades|agenda de actividades]] —también algunos ejercicios de [http://matema.ujaen.es/jnavas/web_modelos/problemas/ptema2.pdf <span style="font-variant: small-caps;">Navas Ureña</span>, J., <span style="font-variant: small-caps;">Esteban Ruiz</span>, F. J., <span style="font-variant: small-caps;">Quesada Teruel</span>, J. M. 'Tema 2: Modelos discretos II'] [en: [http://matema.ujaen.es/jnavas/web_modelos/problemas/problemas%20completo.pdf ''Modelos matemáticos en biología. Ejercicios resueltos y propuestos'']]—; [https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab Selecciones de cuestiones n. 12 a la 13]; [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Tema_4.-_Ecuaciones_en_diferencias_2|Ejemplos de cuestiones de examen correspondientes al tema 4]]; [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Ejemplos_de_ex%C3%A1menes_preparatorios|Cuestiones de exámenes preparatorios correspondientes al tema 4]]; y [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Actividades_de_cualificaci%C3%B3n_y_ex%C3%A1menes_reales_anteriores_con_algunas_soluciones|Cuestiones de exámenes reales correspondientes al tema 4]].<br/>Véase también: [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Ecuaciones_en_diferencias_finitas_(relaciones_recurrentes)|WP+ (Ecuaciones en diferencias finitas [relaciones recurrentes])]].<br/>Pueden encontrarse más detalles en la [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Agenda_de_actividades|Agenda de actividades]].</div>
::::*<span style="color:Sienna"><u>'''Contenidos'''</u>: ► '''[[#GeneralidadesEDL| Generalidades]]''': sucesión de elementos de un conjunto; ecuación en diferencias, ecuación en diferencias lineal general de grado k: homogéneas y no homogéneas, homogénea asociada, con coeficientes constantes. ► '''[[#Ecuacionesendiferenciaslineales| Resolución de ecuaciones en diferencias lineales y de problemas de valores iniciales]]''': sustitución hacia adelante (iteración), sustitución hacia atrás, estrategia telescópica, coeficientes indeterminados (ecuación característica, unicidad de la solución, principio de superposición), procedimiento quíntuple sistemático, funciones generatrices. ► '''[[#Sistemasdinámicoslinealesdiscretos| Sistemas dinámicos lineales discretos]]''': sistemas de ecuaciones en diferencias lineales, dinámica poblacional, modelos dinámicos discretos lineales, modelos BIDE. ► '''[[#Resoluciónnuméricadeecuaciones| Resolución numérica de ecuaciones]]''': método de las aproximaciones sucesivas (iteración de punto fijo); método de la secante.</span>
::::*<span style="color:DarkGreen"><u>'''Actividades prácticas'''</u> (seminarios/laboratorios): ► '''[12]''': Ecuaciones en diferencias, I; ► '''[13]''': Ecuaciones en diferencias, II. ([https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab Selecciones de cuestiones n. 12 a la 13]).</span>
:: Ensambles (más allá de esta asignatura):
:::<div class="dablink"><u>Una conexión</u> con la [[Teoría de la probabilidad]]: ► [[Cadena de Márkov|Cadenas de Márkov]] (un tipo particular de [[proceso estocástico]]).</div>
:::<div class="dablink"><u>Una conexión</u> con la [[Teoría de la complejidad computacional]]: ► [[Análisis de algoritmos]].</div>
:::<div class="dablink"><u>Vínculos</u>: [[Red bayesiana|Redes bayesianas]]; [[Causalidad (filosofía)|Causalidad]]; [[Ecuación diferencial|Ecuaciones diferenciales]].</div>
* [[File:High-contrast-input-keyboard.svg|17px|link=]] <span style="color:ForestGreen">Seminarios/Laboratorios optativos, dos [[Wikipedia:Editatón|editatones]] (siempre que haya tiempo, el primero a mediados del cuatrimestre y el segundo, a finales; en cualquier caso, los contenidos concretos de estas actividades de desarrollo personal no serán parte obligatoria de ningún examen): ► '''[14]''': Inicio de la lectura y redacción optativa de un breve análisis matemático y computacional, reflexivo, crítico y analítico, sobre el texto [https://archive.org/details/tinkertoycomputer00dewd A. K. <span style="font-variant: small-caps;">Dewdney</span> (1993) ''The Tinkertoy Computer and other machinations. Chapter 17: Automated Math''. Nueva York: W. H. Freeman.] (En inglés). (Juegos de ordenador. De cómo un par de programas obtusos pasan por genios en los tests de inteligencia. <i>Investigación y Ciencia</i>, N. 116, mayo 1986, pp. 94-98, Prensa Científica, S. A.<!--,https://issuu.com/joshidelhampfert/docs/niyc116--> [En español]). ► '''[15]''': Inicio de la búsqueda de información y redacción optativa de un breve análisis matemático y computacional, reflexivo, crítico y analítico, sobre la [[Conjetura de Collatz|Conjetura de <span style="font-variant: small-caps;">Collatz</span>]] y sobre su «visualización» (por ejemplo: [https://www.jasondavies.com/collatz-graph/ <i>Collatz Graph: All Numbers Lead to One</i>, de Jason <span style="font-variant: small-caps;">Davies</span>]). (Véase también el [[/Taller#Conjetura de Collatz|taller del plan de aprendizaje]]).</span>
* <span style="color:SteelBlue">[[Wikipedia:{{PAGENAME}}#Ap%C3%A9ndices|Apéndices (optativos)]]</span> (algunas cuestiones suplementarias o curiosas fuera del programa, aunque relacionadas con él)
::<span style="color:Sienna">Contenidos: ► [[Wikipedia:{{PAGENAME}}#Grafos|Grafos]]; [[Wikipedia:{{PAGENAME}}#Cálculo numérico 2|Cálculo numérico]]; [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#P.C3.ADldoras_complementarias_de_conocimiento|Píldoras complementarias de conocimiento]]; [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#Editatones_.28miniencuentros_intensivos_de_aprendizaje_en_colaboraci.C3.B3n.29|Editatones]].</span>
:<div class="dablink">Vínculos: ...</div>
</small>
</blockquote>

|}

<div style="clear: both;"></div>

=== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">WP+: Caminos en Wikipedia, bibliografía (teoría y ejercicios, propuestos y resueltos), multimedia y más aún </span> ===
{| style="margin:auto; width:90%; padding:1em 1em 1em 1em; text-align:left; background-color:#f2eecb;"
 | <span style="font-family:cursive;">
El uso de Wikipedia, bibliografía, multimedia y otras, estimula y potencia el aprendizaje a través del '''aprendizaje cruzado''' (''[[:w:Nonformal_learning#Contested_definitions|crossover learning]]'', en inglés), '''aprendizaje accidental''' (''[[:w:Learning#Incidental_learning|incidental learning]]'', en inglés), del '''aprender haciendo''' (''[[:w:Learning-by-doing|learning by doing]]'', en inglés), del '''aprendizaje a través de la enseñanza''' (''[[:w:Learning by teaching|learning by teaching]]'', en inglés) y del '''[[microlearning|microaprendizaje]]''', dejando sabores renovados de '''[[aprendizaje semipresencial|aprendizaje mixto]]''' como, por ejemplo, el '''[[aula invertida]]'''.
|}

==== Advertencia muy importante ====

{{Metaplantilla de avisos | Wikipedia en español es una obra voluntaria y colectiva que, como toda obra, como toda, '''contiene inexactitudes'''<sup>(1)</sup>, si bien, «la perfección es una pulida colección de errores» (frase atribuida en la red a [[Mario Benedetti]] y a [[Mario Satz]]).

Anímense a corregirlos, a aportar todo lo que vayan aprendiendo sobre los temas que tratemos, a contrastar con Wikipedia en otros idiomas si los conocen, a recoger información de otros textos. En resumen, beban en buenas fuentes. Y escriban nuevos artículos en Wikipedia en español. A fin de cuentas, '''contribuyan a mejorar esta enciclopedia libre, al paso que estudian y aprenden'''.

A modo de ejemplo, algunas '''fuentes de calidad''' en la red son:
: en español:
:* [http://www.enciclonet.com/ Enciclonet]
:* [http://vps280516.ovh.net/divulgamat15/index.php Divulgamat]
:* {{cite web|url=https://www.ugr.es/~eaznar/matematicos.htm|title=Biografías de algunos matemáticos|last=<span style="font-variant: small-caps;">Aznar</span>|first=Enrique R.}}
:* [http://www.filosofia.org/pcero.htm Proyecto Filosofía en español (Fundación Gustavo Bueno)]
:* [https://encyclopaedia.herdereditorial.com/wiki Encyclopaedia Herder]
:* [https://proyectodescartes.org/Un_100/ Un_100]
:* [https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/ Tecnológico de Costa Rica: material didáctico]
: en inglés:
:* [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page Encyclopedia of Mathematics]
:* [https://math.libretexts.org/ Mathematics LibreTexts] (© CC BY-NC-SA, salvo que se explicite otra)
:* [https://open.umn.edu/opentextbooks/ Open Textbook Library] (© CC BY, salvo que se explicite otra)
:* [https://aimath.org/textbooks/approved-textbooks/ American Institute of Mathematics]
:* [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ MacTutor History of Mathematics archive]
:* [https://plato.stanford.edu/index.html Stanford Encyclopedia of Philosophy]
:* [https://planetmath.org/ PlanetMath] (© CC BY-SA)
:* [https://www.britannica.com/ Encyclopædia Britannica]
:* [https://arxiv.org/ arXiv.org]
:* [https://philarchive.org/ PhilArchive]
:* [https://oeis.org/ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®)] (© CC BY-NC)
: en múltiples idiomas:
:* [https://www.oercommons.org/ OER Commons] (© CC BY-NC-SA, salvo que se explicite otra)
: más en:
:* [[Libro de texto abierto]]
: y en proyectos como:
:* [https://proofwiki.org ProofWiki] (© CC BY-SA)
:* [https://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
:* [http://mathworld.wolfram.com/ MathWorld]
<!-- * [https://courses.csail.mit.edu/6.042/fall17/mcs.pdf Lehman, Eric; Leighton, F. Thomson; Meyer , Albert R. Mathematics for Computer Science. Rev. November 10, 2017. © CC BYSA.] -->
: o como:
:* [http://enccre.academie-sciences.fr/encyclopedie/ Édition Numérique, Collaborative et CRitique de l’Encyclopédie (ENCCRE)]

En general, básicamente, las recomendadas,
* en la Wikipedia en español, por:
** '''Wikiproyecto Matemáticas''': «[[Wikiproyecto:Matemáticas#Enlaces útiles|Enlaces útiles]]» (así como el propio [[Portal:Matemática|Portal de Matemática]]) y
** '''Wikiproyecto Filosofía''': «[[Wikiproyecto:Filosof%C3%ADa/tareas#Sitios_de_referencia|Sitios de referencia]]» (así como el propio [[Portal:Filosofía|Portal de Filosofía]]), y
* en la Wikipedia en inglés, por:
** '''WikiProject Mathematics''': «[[:en:Wikipedia:WikiProject_Mathematics/Reference_resources|Reference resources]]» (así como el propio [[:en:Wikipedia:Portal:Mathematics|The Mathematics Portal]]) y
** '''WikiProject Philosophy''': «[[:en:Wikipedia:WikiProject_Philosophy/Reference_resources|Reference resources]]» (así como el propio [[:en:Wikipedia:Portal:Philosophy|The Philosophy Portal]]).

Y en particular, '''temas adecuados''' en el contexto de [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica|MATDIN]],
* de matemática discreta:
** [[Matemáticas_discretas#Tópicos_en_la_matemática_discreta|Tópicos en la matemática discreta]] (WP en español)
** [[:en:Discrete_mathematics#Topics_in_discrete_mathematics|Topics in discrete mathematics]] (y también: [[:en:Outline_of_discrete_mathematics|Outline of discrete mathematics]]) (WP en inglés)
* de álgebra numérica y cálculo numérico:
** [[Análisis_numérico#Áreas_de_estudio|Áreas de estudio]] (WP en español)
** [[:en:Numerical_analysis#Areas_of_study|Areas of study]] (WP en inglés)

todo ello sin olvidar ciertas áreas afines como, por ejemplo, [[:Categoría:Teoría de la decisión|Teoría de la decisión]] (en particular, [https://en.wikipedia.org/wiki/Category:Optimal_decisions Decisiones óptimas]) o [https://en.wikipedia.org/wiki/Category:Sequential_methods Métodos secuenciales].
<p><hr>
<sup>(1)</sup> <small>Para saber más: [[Confiabilidad de Wikipedia]] <sup>([[:pt:Confiabilidade da Wikipédia|pt]]; [[:fr:Fiabilité de Wikipédia en anglais|fr]]; [[:en:Reliability of Wikipedia|en]])</sup></small>
}}

'''Además de la bibliografía y multimedia que aparecen en los temas''', a continuación, destacamos:
* Curso CIT-IT01. Matemáticas Discretas. Profesor Alfredo Jose Bolt Iriondo. Facultad de Ingeniería. Universidad Finis Terrae. Disponible en: [https://www.youtube.com/playlist?list=PLi3QhHCBLRa32I9CjLD8CETPnsu8vr6W2 https://www.youtube.com/playlist?list=PLi3QhHCBLRa32I9CjLD8CETPnsu8vr6W2] (Este curso se basa en el curso 6.042J Mathematics for Computer Science impartido en el MIT —disponible en:<br/>[https://openlearninglibrary.mit.edu/courses/course-v1:OCW+6.042J+2T2019/course/ https://openlearninglibrary.mit.edu/courses/course-v1:OCW+6.042J+2T2019/course/] — (URL alternativa: [https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-042j-mathematics-for-computer-science-spring-2015/ https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-042j-mathematics-for-computer-science-spring-2015/])).
** Ambos cursos se basan en el libro de texto: http://ocw2.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-042j-mathematics-for-computer-science-spring-2015/readings/MIT6_042JS15_textbook.pdf
<!-- Otros:
* ¿Cuál es el gran poder de las matemáticas? Adrián Paenza, matemático, https://www.youtube.com/watch?v=fzfMGn56hvc
* Versión Completa. Matemáticas para la vida real. Adrián Paenza, matemático, https://www.youtube.com/watch?v=V33U1OsFVnQ&t=3329s
* V. completa. “Las matemáticas nos hacen más libres y menos manipulables”. Eduardo Sáenz de Cabezón, https://www.youtube.com/watch?v=BbA5dpS4CcI&t=2635s
* Canal: Derivando. https://www.youtube.com/channel/UCH-Z8ya93m7_RD02WsCSZYA

* Cuentos para pensar: Triangulo de Pascal, https://www.youtube.com/watch?v=hqjejJpGM00
* Coloquio de los Viernes: Adrián Paenza. https://www.youtube.com/watch?v=wlhjTdXsJuw
* Clase abierta: Adrián Paenza - Canal encuentro HD, https://www.youtube.com/watch?v=8r13b5S5YXc

* TECtv La Señal de la Ciencia, https://www.youtube.com/c/TECtvCanal
** Grandes temas de la matemática. Adrián Paenza. https://www.youtube.com/playlist?list=PLmZ4WP5IsCKH1ZmsuJZ2usnLB0mucrUOY
** Matemática y sufragio. https://www.youtube.com/playlist?list=PLmZ4WP5IsCKEuN29vixvBmv56DDeYDlhB

* Los secretos del TRIÁNGULO DE PASCAL, https://www.youtube.com/watch?v=DPxIbJ-Rbf4

* Curso: https://www.youtube.com/playlist?list=PLi3X2PHYk7zSWZ8kuhR_5jcYMmCAf7Sw0
* Curso UNED: https://www.youtube.com/playlist?list=PLyUZvvSosTMAMIIMc7KNnSbTP4GeYHqDy
* Curso: https://www.youtube.com/watch?v=fIZ_cHcHfo4&list=RDCMUCDDKAwWbw7V-XQCgtJrUUwQ
* Canal: https://www.youtube.com/watch?v=1lgzA_vGclQ
... https://www.youtube.com/results?search_query=matem%C3%A1tica+discreta+introducci%C3%B3n
-->

<div style="column-count:1;-moz-column-count:1;-webkit-column-count:1; font-size:85%;">

<br>
{| style="background: #eee; text-align: center; font-size:88%; border: 1px solid #aaa" align=center width=100%
| '''[[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Lógica|Lógica]]'''
| '''[[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Conjuntos, relaciones y funciones|Conjuntos, relaciones y funciones]]'''
| '''[[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Cardinalidad, inducción y recursión|Cardinalidad, inducción y recursión]]'''
| '''[[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Estructuras algebraicas|Estructuras algebraicas]]'''
| '''[[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Teoría de números|Teoría de números]]'''
| '''[[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Combinatoria|Combinatoria]]'''
| '''[[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes)|Ecuaciones en diferencias]]'''
| '''[[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Grafos|Apéndice: Grafos]]'''
| '''[[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Cálculo numérico|Apéndice: Cálculo numérico]]'''
| '''[[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Más píldoras complementarias de conocimiento|Apéndice: Más píldoras de conocimiento]]'''
|}
<br>

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0);">Temas 0 y 1.- Fundamentos I y II</span> ====

{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|no}}}|sí|mw-collapsed|}}" width="100%" style="text-align:left; padding:0px; background-color:#F9F9F9;"
| align="left"   |
{|
|<div id="toc_fundamentos" class="toc">
<div class="toctitle">
'''Índice'''
</div>
# [[#Lógica|Lógica]]
# [[#Conjuntos, relaciones y funciones|Conjuntos]]
# [[#Relaciones|Relaciones]]
# [[#Funciones|Funciones y aplicaciones]]
# [[#Cardinalidad, inducción y recursión|Cardinalidad]]
# [[#Inducción|Inducción]]
# [[#Estructuras algebraicas|Estructuras algebraicas]]
# [[#Fundamentos_Ensambles|Ensambles (más allá de esta asignatura)]]
</div>
|}

{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|no}}}|sí|mw-collapsed|}}" width="100%" style="text-align:left; padding:0px; background-color:#F9F9F9;"
| align="left"   |

===== Lógica =====
|-
| style="background-color:#F9F9F9; text-align:left; font-size:100%; padding:6px" |
{|
|[[File:The-impossibility-of-intent.png|200px]]
|<div id="toc_logica" class="toc">
<div class="toctitle">
'''Índice'''
</div>
# [[#Logica_Conceptos_claves|Conceptos claves]]
# [[#Logica_Conexiones|Conexiones]]
# [[#Logica_Bibliografia|Bibliografía]]
# [[#Logica_Programas|Programas]]
# [[#Logica_Multimedia|Multimedia]]
# [[#Logica_Vease_tambien|Véase también]]
# [[#Logica_Personas|Personas]]
</div>
|}
====== <span id="Logica_Conceptos_claves"></span>Conceptos claves ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
<!-- {{columns-list|colwidth=50%|style=width:100%;font-style:normal;| -->
{{main|Lógica matemática}}
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Categoría principal:</span> ''[[:Categoría:Lógica matemática]]''</div>
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Véanse también:</span> ''[[Anexo:Esbozo de la lógica]] <sup>([[:en:Outline of logic|en]])</sup>'', ''[[:Categoría:Conceptos en lógica]]'', ''[[Anexo:Índice de artículos sobre lógica]] <sup>([[:en:Index of logic articles|en]])</sup>'', ''[[Anexo:Personalidades de la lógica]] <sup>([[:en:List of logicians|en]])</sup>'', ''[[Wikiproyecto:Lógica]] <sup>([[:fr:Projet:Logique|fr]]; [[:en:Wikipedia:WikiProject Logic|en]])</sup>'', ''[[Lógica clásica]]'', ''[[Lógica]]'', ''[[Formalismo matemático]]'', ''[[Anexo:Símbolos lógicos]]'', ''[[:Categoría:Lógica]]''<span style="font-size:88%"> y </span>''[[Logicismo]]''.</div>
'''— Proposiciones'''
{{main|Lógica de juntores}}
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Categoría principal:</span> <i>[[:Categoría:Lógica proposicional|Lógica proposicional]]</i></div>
* [[Proposición]]
* [[Conectiva lógica]]
* [[Fórmula bien formada]]
* [[Fórmula proposicional]] <sup>([[:en:Propositional formula|en]])</sup>
* [[Valor de verdad]]
** [[Verdad lógica]]
** [[Falso (lógica)]] <sup>([[:pt:Falso (lógica)|pt]]; [[:en:False (logic)|en]])</sup>
* [[Consistencia (lógica)|Consistencia]]
* [[Función de verdad]]
** [[Función de verdad#Cuadro de funciones veritativas bivalentes|<span style="color:
#BA0000">Cuadro de funciones veritativas bivalentes</span>]] <sup>([[:en:Truth function#Table of binary truth functions|en]])</sup> (sección de [[Función de verdad]])
* [[Completitud funcional#Conjunto mínimo de operadores funcionalmente completos|Conjunto funcionalmente completo de conectivas]] (Conjunto adecuado de conectivas)

'''— Equivalencias proposicionales'''
* [[Equivalencia lógica]]
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Véanse también:</span> ''[[Disyunción condicionada]]'', ''[[condicional indicativo]] <sup>([[:pt:Condicional indicativo|pt]]; [[:en:Indicative conditional|en]])</sup>''<span style="font-size:88%"> y </span>''[[Constante lógica]]''.
</div>
'''— Estrategias de verificación o de refutación, I'''
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Véase también:</span> ''[[:Categoría:Teoremas de la lógica proposicional|Teoremas de la lógica proposicional]]''.</div>
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">En relación:</span> [[Álgebra de Boole]]: <div class="hlist inline">
* [[Puerta lógica]]
* [[Función booleana]]
* [[Formas canónicas (álgebra de Boole)|Forma normal canónica]]
* Simplificación de funciones booleanas
** [[Mapa de Karnaugh]]
** [[Algoritmo Quine–McCluskey]]
</div></ul>
</div>
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Una curiosidad:</span> [[Alfabeto lógico]].
</div>
* [[Tabla de verdad]]
* [[Contraposición lógica]]
* [[Reductio ad absurdum]] (véase también: [[Prueba por contradicción]])
<ul>
<li> Formas normales, I: <div class="hlist inline">
* [[Forma normal conjuntiva]]
* [[Forma normal disyuntiva]]
</div></li></ul>
<ul>
<li> Formas normales, II: <div class="hlist inline">
* [[Forma normal de negación]]
* [[Forma normal algebraica]]
</div></li></ul>

'''— Predicados y cuantificadores'''
{{main|Lógica de primer orden}}
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Categoría principal:</span> <i>[[:Categoría:Lógica de predicados|Lógica de predicados]]</i></div>
* [[Cuantificador (lingüística)]] <sup>([[:en:Quantifier (linguistics)|en]])</sup>
* [[Cuantificador]]
* [[Variable libre]] <sup>([[:pt:Variáveis livres e ligadas|pt]]; [[:fr:Variable libre|fr]]; [[:it:Variabile libera|it]]; [[:en:Free variables and bound variables|en]])</sup>
* [[Variable ligada]] <sup>([[:pt:Variáveis livres e ligadas|pt]]; [[:fr:Variable libre|fr]]; [[:it:Variabile libera|it]]; [[:en:Free variables and bound variables|en]])</sup>
* [[Cuantificador universal]]
* [[Cuantificador existencial]]
* [[Cuantificador de existencia única]] <sup>([[:pt:Quantificação de singularidade|pt]]; [[:fr:Unicité (mathématiques)|fr]]; [[:it:Unicità|it]]; [[:en:Uniqueness quantification|en]])</sup>
<!-- * [[Cuantificador#Distribución de los cuantificadores respecto de las conectivas lógicas|Distribución de los cuantificadores respecto de las conectivas lógicas]] <span style="color:#BA0000;">(¡Alguien tiene que escribirlo!)</span> -->

'''— Cuantificadores anidados'''
* [[Anidamiento de cuantificadores]] <sup>([[:en:Quantifier_(logic)#Order_of_quantifiers_(nesting)|en]])</sup>
* [[Rango de un cuantificador]] <sup>([[:en:Quantifier rank|en]])</sup>
* [[Eliminación de cuantificadores]]
{{see also|Completitud (lógica)}}

'''— Traducción lengua española (LES) - lenguaje lógico (LEL), directa (LEL → LES) e inversa (LES → LEL)'''
* [[Silogismo]]
* [[Cálculo lógico]]
* [[Cuadro de oposición de los juicios|Cuadrado de oposición]]
* [[Oración burro]] <sup>([[:en:Donkey sentence|en]]; [[:de:Eselssatz|de]])</sup>

'''— Argumentos válidos y reglas de inferencia'''
* [[Principio de identidad]]
* [[Principio de no contradicción]]
* [[Principio del tercero excluido]]
* [[Argumento]]
* [[Premisa]]
* [[Conclusión]]
* [[:Categoría:Consecuencia lógica]]
* [[Clausura deductiva]] <sup>([[:en:Deductive closure|en]])</sup>
* [[Validez (lógica)|Validez]]
* [[Contraargumento]]
* [[Solidez]]
* [[Razonamiento lógico]] <sup>([[:pt:Raciocínio lógico|pt]]; [[:en:Logical reasoning|en]])</sup>
* [[Razonamiento deductivo]]
* [[Problema de la justificación de la deducción]]
* [[Dilema]]
* [[Anexo:Reglas de inferencia]]
* [[Razonamiento inductivo]]
* [[Problema de la inducción]]
* [[Razonamiento abductivo]]
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Véanse también:</span>
* ''[[Métodos de razonamiento]]''<span style="font-size:88%"> y </span>''[[Cogencia]]'';
<!-- * ''[[Teoría de la argumentación]]'', ''[[Falacia]]'', ''[[Entimema]]'', ''[[Paralogismo]]''<span style="font-size:88%">, </span>''{{ill|pt|{{noredirect|Sofisma|{{sust:color|#BA0000|Sofisma}}}}|Sofisma}}'' y ''[[Antinomia]]''. -->
* ''[[Figura retórica]]'', ''[[Modos de persuasión]] <sup>([[:en:Modes of persuasion|en]])</sup>'', ''[[Teoría de la argumentación]]'', ''[[Falacia]]'', ''[[Entimema]]'', ''[[Paralogismo]]'', ''{{noredirect|Sofisma|<span style="color:
#BA0000">Sofisma</span>}} <sup>([[:pt:Sofisma|pt]]; [[:fr:Sophisme|fr]]; [[:it:Sofisma|it]])</sup>'' y ''[[Antinomia]]'';
* ''[[Paradoja]]'';
* ''[[:Categoría:Razón]].
</div>
'''— Demostraciones directas e indirectas'''
* [[Teoría de la demostración]]
* [[Demostración en matemática#Métodos de demostración|Métodos de demostración]] (véase también: [[Demostración constructiva]] <sup>([[:pt:Demonstração construtiva|pt]]; [[:fr:Démonstration constructive|fr]]; [[:en:Constructive proof|en]])</sup>, [[Demostración por casos]], [[Contraejemplo]] y [[Descenso infinito]])
* [[Historia del álgebra#Álgebra geométrica griega|Álgebra geométrica griega]] (sección de [[Historia del álgebra]]) <sup>([[:en:History_of_algebra#Greek_geometric_algebra|en]])</sup> (p. ej., [[:File:Illustration of distributive property with rectangles.svg|Propiedad distributiva con rectángulos (imagen)]], [[:File:Pvs.svg|Producto de dos binomios con rectángulos (imagen)]], [[Diferencia de dos cuadrados]] <sup>([[:en:Difference of two squares|en]])</sup>, [[Producto notable]] y [[Factorización]]; véanse también el [[Método PIES]] <sup>([[:en:FOIL method|en]])</sup> y la [[Completar el cuadrado|Compleción del cuadrado]])
* [[Demostración sin palabras]] <div class="dablink"><span style="font-size:88%">Véase también:</span> ''[[Cuadrados de números triangulares|Teorema de Nicómaco]]''</div>
* [[Demostración inválida]]
{{see also|Categoría:Demostradores de teoremas|Resolución de problemas|Teoría de la justificación}}
'''— Estrategias de verificación o de refutación, II'''
* [[Deducción natural]]
* [[Rompecabezas lógico]] <sup>([[:pt:Problemas lógicos|pt]]; [[:en:Logic puzzle|en]])</sup>
* [[Rompecabezas MU]] <sup>([[:en:MU puzzle|en]]; [[:ca:Trencaclosques MU|ca]])</sup>
* [[Caballeros y escuderos]] (cuestiones sobre personas veraces y falaces) (enlace externo: [http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=15720&directory=67 Población, Alfonso J. (2014). Porcia y los tres cofres, y otros apuntes lógico-cinematográficos, ''DivulgaMAT'', Real Sociedad Matemática Española])
* [[Porcia (El mercader de Venecia)]] <sup>([[:en:Portia (The Merchant of Venice)|en]])</sup> (enlace externo: [http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=15720&directory=67 Población, Alfonso J. (2014). Porcia y los tres cofres, y otros apuntes lógico-cinematográficos, ''DivulgaMAT'', Real Sociedad Matemática Española])
'''— Estrategias de verificación o de refutación, III'''
<ul>
<li> Formas normales, III: <div class="hlist inline">
* [[Forma normal prenexa]]
* [[Forma normal de Skolem]]
</div></li></ul>
* [[Árbol semántico]] (Tabla semántica)
'''— Algunas situaciones insólitas en Lógica'''
* [[Regresión infinita]]
* [[Trilema de Münchhausen]]
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Véase también, en esta página:</span> [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Más píldoras complementarias de conocimiento|Más píldoras complementarias de conocimiento]]</div>
<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Paradojas'''
{{AP|Paradoja}}
{{AP|Categoría:Paradojas}}
* [[Paradoja del mentiroso]]
* [[Paradoja de Epiménides]]
* [[Paradoja "Actual rey de Francia"|Paradoja del actual rey de Francia]]
* [[Paradoja de Curry]]
* En general: [[Anexo:Paradojas]] <sup>([[:pt:Lista de paradoxos|pt]]; [[:fr:Liste de paradoxes|fr]]; [[:w:List_of_paradoxes|en]])</sup> (compendio de paradojas, por campos de conocimiento)
</div>

====== <span id="Logica_Conexiones"></span>Conexiones ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
* [http://us.metamath.org/ Metamath]. [http://us.metamath.org/copyright.html#pd © Dominio público (con excepciones)] (En inglés)
* [[Lógica ecuacional]] <sup>([[:en:Equational logic|en]]; también, el capítulo 5 (Equational Logic: Part 1), de <span style="font-variant: small-caps;">Backhouse</span>, Roland, ''Program Construction. The Correct Way'', 2002)</sup>
<!-- }} -->
<!--
{| border=0 align=center cellspacing=20
|-
| <center>{{pp-book-cover
 |title=
 |subtitle=
 |cover-image=The-impossibility-of-intent.png
 |cover-color=#ffffff
}} Libro wiki (itinerario en Wikipedia)<br>¡Pulse en el título, no en la imagen de portada!</center>
|}
-->

====== <span id="Logica_Bibliografia"></span>Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
* —¤— Amador <span style="font-variant: small-caps;">Antón</span> Antón y Pascual <span style="font-variant: small-caps;">Casañ</span> Muñoz, <i>Lógica Matemática. Ejercicios. I. Lógica de enunciados</i>. Valencia, Comunidad Valenciana (ES-VC), España: NAU llibres, 3.ª edición, 1987. {{ISBN|84-85630-42-4}}
* —¤— Manuel <span style="font-variant: small-caps;">Garrido</span> Giménez, <i>Lógica simbólica</i>. Madrid, Comunidad de Madrid (ES-MD), España: Tecnos, 1989 (8.ª reimpresión). {{ISBN|84-309-0394-1}}
* —¤— María Gracia <span style="font-variant: small-caps;">Manzano</span> Arjona y Antonia <span style="font-variant: small-caps;">Huertas</span>, <i>Lógica para principiantes</i>. Humanes de Madrid, Madrid, Comunidad de Madrid (ES-MD), España: Alianza, 2006. {{ISBN|84-206-4570-2}}.
* —¤— Kenneth Howard <span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span>. <i>Matemática discreta y sus aplicaciones</i>. Aravaca, Madrid, Comunidad de Madrid (ES-MD), España: McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., 5.ª edición, 2004. {{ISBN|84-481-4073-7}}. (Secciones 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 3.1 y ejercicios correspondientes).
* —¤— Luis Manuel <span style="font-variant: small-caps;">Valdés</span> Villanueva, «Lógica elemental». En: Manuel <span style="font-variant: small-caps;">Garrido</span> (coord.), <i>Lógica y lenguaje</i>. Madrid, Comunidad de Madrid (ES-MD), España: Tecnos, 1989. {{ISBN|84-309-1788-8}}.
| style="width: 50%;" |
* —¤— Kenneth Howard <span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span>. <i>Discrete mathematics and its applications</i>. Nueva York, Estado de Nueva York (US-NY), Estados Unidos: McGraw-Hill, 7.ª edición, 2012. {{ISBN|978-0-07-338309-5}}. (Capítulo 1 y ejercicios correspondientes).
|}

====== <span id="Logica_Programas"></span>Programas ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
* [http://www.cburch.com/logisim/es/index.html Logisim] (una herramienta gráfica para el diseño y simulación de circuitos lógicos)] (en español, inglés y más lenguas). © GNU GPL.
| style="width: 50%;" |

Tablas de verdad
* <strike>—¤— [http://turner.faculty.swau.edu/mathematics/materialslibrary/truth/ Calculadora de tablas de verdad ''Truth Tables'']. © gratisOA.</strike>
* [https://mrieppel.net/prog/truthtable.html Generador de tablas de verdad ('''''Truth Table Generator''''')], por [https://mrieppel.net/ Michael Rieppel]. © gratisOA.
* '''—¤—''' Puerta a la Lógica ('''''Gateway to Logic'''''), por [https://www.erpelstolz.at/christian/homepage-uk.html Christian Gottschall] (© gratisOA) ([https://www.erpelstolz.at/christian/logic.html Gateway to Logic]): [https://www.erpelstolz.at/gateway/formular-uk-zentral.html «calculadora lógica» para la lógica de juntores clásica bivalente (''Logic calculator: Server-side Processing'')] (véanse: [https://www.erpelstolz.at/gateway/server-taskhelp.html acerca de lo que puede hacer la calculadora] y [https://www.erpelstolz.at/gateway/server-languagehelp.html acerca de la sintaxis de la calculadora]): para hacer la tabla de verdad de una proposición en lógica de juntores, elíjase «Detailed truth table (showing intermediate results)» en «Task to be performed»;
* Códigos: [https://rosettacode.org/wiki/Truth_table Truth table], en [https://rosettacode.org/wiki/Rosetta_Code Rosetta Code];

Formas normales
* [http://formal.cs.utah.edu:8080/pbl/PBL.php PBL (una biblioteca sobre álgebra de Boole/lógica de juntores escrita en Python)], por [https://github.com/tyler-utah Tyler Sorensen]. © Licencia BSD. (Calcula la fórmula en [[forma normal conjuntiva]] y en [[forma normal negativa]] de una fórmula dada)
* —¤— [https://www.mathematik.uni-marburg.de/~thormae/lectures/ti1/code/normalform/index.html FNC y FND a partir de tabla de verdad], por [https://www.uni-marburg.de/en/fb12/research-groups/grafikmultimedia/thormae Thorsten Thormählen] (Universidad de Marburg)]. © gratisOA. (Calcula la fórmula en [[forma normal conjuntiva]] y en [[forma normal disyuntiva]] a partir de la tabla de verdad de una fórmula dada) —[https://www.uni-marburg.de/de/fb12/arbeitsgruppen/grafikmultimedia/lehre/ti más demostraciones: (notación posicional, diagramas de Karnaugh, algoritmo de Quine-McCluskey, simulador de circuitos, etc. (''Interaktive Demonstrationen''])—.

Derivación formal
* '''—¤—''' Puerta a la Lógica ('''''Gateway to Logic'''''), por [https://www.erpelstolz.at/christian/homepage-uk.html Christian Gottschall] (© gratisOA) ([https://www.erpelstolz.at/christian/logic.html Gateway to Logic]): [https://www.erpelstolz.at/gateway/formular-uk-zentral.html «calculadora lógica» para la lógica de juntores clásica bivalente (''Logic calculator: Server-side Processing'')] (véanse: [https://www.erpelstolz.at/gateway/server-taskhelp.html acerca de lo que puede hacer la calculadora] y [https://www.erpelstolz.at/gateway/server-languagehelp.html acerca de la sintaxis de la calculadora]): para demostrar un teorema en cálculo de juntores por derivación formal, elíjase «Prove the proposition» en «Task to be performed»;

Tablas semánticas
* '''—¤—''' [https://ixjf.github.io/logic-rs/ '''logic-rs'''], de [https://github.com/ixjf ixjf (Pedro Fanha)] (© gratisOA)
* '''—¤—''' [http://www.formallogic.com/en/truth-tree-solver '''The Truth Tree Solver''' (calculadora gráfica de tablas semánticas cerradas y abiertas)], de [https://github.com/gablem Gabriel Lemonde-Labrecque] (© gratisOA)
* '''—¤—''' [https://logic.dougowings.net/ '''pytableaux'''], de Doug Owins (© GNU Affero General Public License)
* ''Tree Proof Generator'' (generador de árboles de demostración), por [https://www.umsu.de/ Wolfgang Schwarz] (© gratisOA):
** [http://www.umsu.de/logik/trees/ calculadora gráfica de tablas semánticas cerradas (para las abiertas, proporciona un contramodelo)];
** <strike>[https://www.umsu.de/logik/oldtrees/ calculadora gráfica de tablas semánticas cerradas y abiertas].</strike>
* [https://creativeandcritical.net/prooftools/comparison-of-proof-tree-semantic-tableau-software ''A feature comparison of free proof tree aka semantic tableau software''];
* Códigos: [https://github.com/ixjf/logic-rs logic-rs], de [https://github.com/ixjf ixjf (Pedro Fanha)], en [https://github.com/ GitHub]; [http://voidmainargs.blogspot.com/2011/09/semantic-tableaux-in-less-than-90-lines.html Semantic Tableaux in Less than 90 Lines of Scala], de [https://www.blogger.com/profile/00911109433888554531 voidmainargs], en [http://voidmainargs.blogspot.com/ void-main-args].

Lógica de Primer Orden
* [https://www.erpelstolz.at/gateway/formular-uk-ableitung.html Demostrador automático de teoremas en lógica de cuantores (''Automated Theorem Prover for Classical Predicate Logic'')] ([https://www.erpelstolz.at/gateway/pl-examples.html ejemplos de la sintaxis del demostrador]);
* [https://www.erpelstolz.at/gateway/formular-uk-beweis.html Comprobador automático de demostraciones para la lógica de primer orden] ([https://www.erpelstolz.at/gateway/proof-syntax.html acerca de la sintaxis del comprobador]).<!-- Ejemplo en el segundo: (P and (P -> (Q or ~P))) -> (Q or ~P) ; EN EL PRIMERO, CON «Prove the proposition» -->

Otros artefactos en línea
* [https://www.joachim-breitner.de/blog/682-The_Incredible_Proof_Machine ''The Incredible Proof Machine'' (La increíble máquina de demostraciones)], de [https://www.joachim-breitner.de/about Joachim Breitner]
* [https://github.com/LonamiWebs/Py-Utils/tree/master/logicmind Logicmind (calculadora de modelos, en línea de comandos)], de [https://github.com/LonamiWebs Lonami] (© Licencia MIT).
* '''—¤—''' [https://www.wolframalpha.com '''WolframAlpha'''], de [[Stephen Wolfram]]; (en inglés) (© gratisOA).
** [https://www.wolframalpha.com/examples/LogicSetTheory.html Ejemplos en Lógica y Teoría de conjuntos (álgebra de Boole, teoría de conjuntos, números transfinitos)].
|}

====== <span id="Logica_Multimedia"></span>[[File:Multimedia-icon.svg|32px|link=]] Multimedia ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
'''— Proposiciones'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=¿Usamos la Lógica en la vida cotidiana? |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=7qCGT0DDEpE |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Lógica, ¿para qué? |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=YHM51NfUJBU |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Hervás Jorge</span> |first=Antonio |title=Lógica proposicional |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=qg_TKXAiuGc |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Si y sólo si |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=Tt5FFtU1OMk |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Condición necesaria y suficiente |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=ETkN5UtrcPc |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Bustince Sola</span> |first=Nicanor Humberto |title=Lógica proposicional (Máster universitario en investigación en inteligencia artificial: Técnicas avanzadas de representación del conocimiento y razonamiento, Módulo 2,  Introducción, Tema 1) |format=Vídeo |publisher=Universidad Pública de Navarra (UPNA) |url=https://www.youtube.com/watch?v=6Q7evuBaP1Q |access-date=}}

'''— Estrategias de verificación o de refutación. Demostraciones directas e indirectas'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=¿Cuándo un razonamiento es correcto? |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=qzPfqpN00b8 |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Hervás Jorge</span> |first=Antonio |title=Demostración por contradicción aplicando tablas de verdad |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=em97usrGIHk |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Hervás Jorge</span> |first=Antonio |title=Proposiciones: métodos de demostración |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=O7LOh4Sa5qE |access-date=}}

'''— Predicados y cuantificadores'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Bustince Sola</span> |first=Nicanor Humberto |title=Lógica de primer orden (Máster universitario en investigación en inteligencia artificial: Técnicas avanzadas de representación del conocimiento y razonamiento, Módulo 2,  Introducción, Tema 2) |format=Vídeo |publisher=Universidad Pública de Navarra (UPNA) |url=https://www.youtube.com/watch?v=fvO6HSL6up0 |access-date=}}
| style="width: 50%;" |
'''— Proposiciones'''
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=gX1bh7A96DE
 |title=Section 1.1 Intro to Propositional Logic
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Baugher</span>
 |first=Greg A.
 |department=Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University
 |location=Georgia (US-GA), EUA
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=rMV6pMntwaw
 |title=Section 1.2 Applications of Propositional Logic
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Baugher</span>
 |first=Greg A.
 |department=Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University
 |location=Georgia (US-GA), EUA
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=xlUFkMKSB3Y
 |title=Lecture 1 - Propositional Logic
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=0uTE24o3q-o
 |title=Lecture 2 - Propositional Logic (Contd.)
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=ftp://ftp.aduni.org/videos/02_lect_02.rm
 |others=(Alternate URL: https://www.youtube.com/watch?v=BrDto0heyaQ)
 |title=Lecture 2 - Boolean Algebra and formal logic
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Simonson</span>
 |first=Shai
 |format=Vídeo
 |publisher=ArsDigita University
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}

'''— Equivalencias proposicionales. Predicados y cuantificadores'''
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=KfQ0U1WJ7sM
 |title=Sections 1.3-1.4 Prop Equivalences and Quantifiers
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Baugher</span>
 |first=Greg A.
 |department=Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University
 |location=Georgia (US-GA), EUA
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}

'''— Predicados y cuantificadores'''
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=DmCltf8ypks
 |title=Lecture 3 - Predicates & Quantifiers
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=jNeISigUCo0
 |title=Lecture 4 - Predicates & Quantifiers (Contd.)
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}

'''— Argumentos válidos y reglas de inferencia'''
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=V2I5Ak9z3aE
 |title=Section 1.6 Rules of Inference
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Baugher</span>
 |first=Greg A.
 |department=Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University
 |location=Georgia (US-GA), EUA
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=kZ6UqFm8lnw
 |title=Lecture 5 - Logical Inference
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=ruwZxR2YRpE
 |title=Lecture 6 - Resolution Principles & Application to PROLOG
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}

'''— Estrategias de verificación y de refutación. Demostraciones directas e indirectas'''
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=k-NgRZ0nHKk
 |title=Section 1.7 Introduction to Proofs
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Baugher</span>
 |first=Greg A.
 |department=Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University
 |location=Georgia (US-GA), EUA
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=K71pGliDL1g
 |title=Section 1.8 Proof Methods and Strategy
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Baugher</span>
 |first=Greg A.
 |department=Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University
 |location=Georgia (US-GA), EUA
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=0gflLmuhHOg
 |title=Lecture 7 - Methods of Proof
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=rzxJ1nN_J4g
 |title=Lecture 8 - Normal Forms
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=WoPuWLNdtOY
 |title=Lecture 9 - Proving programs correct
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
|}

====== <span id="Logica_Vease_tambien"></span>Véase también ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
* {{cite web |first=Juan Miguel |last=León-Rojas |title=Cuadros de emparejamiento para los ejercicios de las ediciones 5.ª, 6.ª, 7.ª y 7.ª global del libro Matemáticas discretas y sus aplicaciones, de Rosen, Capítulo 1 sobre Los Fundamentos: Lógica y Demostraciones (Edición bilingüe, español/inglés) |type=Informe técnico |at=DA/HD – 703-01 |institution=KDEM (Knowledge Discovery Engineering and Management) |date=2017-01-31 |year=2017 |url=https://archive.org/details/KDEM.DA.HD.70301}}
* [https://drive.google.com/file/d/153aGCMeJnY_Tgu24s9h4f53347QSz-xk/view?usp=sharing León-Rojas, J. M. (2022). Notas incompletas de clase. Sintaxis, semántica y pragmática. © CGL, CC0, CC BY.]
* [https://drive.google.com/file/d/1ZK1hkMQVD-Vq8XpFZdSEKwzVXoPBr7Pb/view?usp=sharing León-Rojas, J. M. (2022). Notas incompletas de clase. Tablas analíticas/semánticas. © CGL, CC0, CC BY.]
* [https://drive.google.com/file/d/12C_neqWKuToxHkx-kNLogOql5_tzSiB9/view?usp=sharing León-Rojas, J. M. (2022). Notas incompletas de clase. Cadenas de equivalencias a la Kleene y derivaciones formales. © CGL, CC0, CC BY.]
* [https://drive.google.com/file/d/1oA7RHGS3JbEKx70rWtOmm5_t5RVZ1l1U/view?usp=sharing León-Rojas, J. M. (2022). Notas incompletas de clase. Lógica de predicados: un ejemplo. © CGL, CC0, CC BY.]
* [http://logicae.usal.es/mambo/index.php?option=com_summalogicaexxi&menu_task=Principal Summa Logicae] ([[María Manzano Arjona|María Manzano]], Gustavo Santos, Belén Pérez Lancho, José Meseguer, Enrique Alonso, Huberto Marraud, Antonia Huertas, Dick de Jongh, Giovanna D’Agostino, Alberto Policriti)
* [http://sigma-fmo.blogspot.com.es/search?q=sofismas Sigma (2008) Los sofismas. En: Sigma, blog del Departamento de Matemática de la Facultad Multidisciplinaria de Occidente de la Universidad de El Salvador. (© gratisOA).]
| style="width: 50%;" |
* {{cite web |first=Juan Miguel |last=León-Rojas |title=Matching tables for corresponding exercises from the 5th, 6th, 7th and 7th global editions of Rosen's book Discrete Mathematics and its Applications, Chapter 1 on The Foundations: Logic and Proofs (Bilingual edition, Spanish/English) |type=Technical report |at=DA/HD – 703-01 |institution=KDEM (Knowledge Discovery Engineering and Management) |date=2017-01-31 |year=2017 |url=https://archive.org/details/KDEM.DA.HD.70301}}
* [https://www.nsa.gov/news-features/puzzles-activities/puzzle-periodical/ ''NSA's Puzzle Periodical'']
|}

====== <span id="Logica_Personas"></span>Personas ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
* [[:Categoría:Lógicos|Personas ligadas a la lógica]]
|}
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|no}}}|sí|mw-collapsed|}}" width="100%" style="text-align:left; padding:0px; background-color:#F9F9F9;"
| align="left"   |

===== Conjuntos, relaciones y funciones =====
|-
| style="background-color:#F9F9F9; text-align:left; font-size:100%; padding:6px" |
{|
|[[File:Set partitions 4; Hasse; matrices.svg|200px]]
|<div id="toc_ConjuntosRelacionesFunciones" class="toc">
<div class="toctitle">
'''Índice'''
</div>
# [[#ConjuntosRelacionesFunciones_Conceptos_claves|Conceptos claves]]
# [[#ConjuntosRelacionesFunciones_Conexiones|Conexiones]]
# [[#ConjuntosRelacionesFunciones_Bibliografia|Bibliografía]]
# [[#ConjuntosRelacionesFunciones_Programas|Programas]]
# [[#ConjuntosRelacionesFunciones_Multimedia|Multimedia]]
# [[#ConjuntosRelacionesFunciones_Personas|Personas]]
</div>
|}

====== <span id="ConjuntosRelacionesFunciones_Conceptos_claves"></span>Conceptos claves ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
'''— Conjuntos'''
{{main|Conjunto}}
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Categoría principal:</span> <i>[[:Categoría:Teoría de conjuntos|Teoría de conjuntos]]</i></div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Conceptos y definiciones'''
* [[Teoría informal de conjuntos|Teoría ingenua de conjuntos]]
* [[Elemento de un conjunto]]
* [[Definición intensional]]
* [[Paradoja de Berry]]
* [[Definición extensional]]
* [[Conjunto universal]]
* [[Conjunto vacío]]
</div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Cardinal y conjunto potencia'''
* [[Número cardinal]]
* [[Conjunto potencia]]
</div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Clase'''
'''— Paradojas'''
* [[Paradoja de Russell]]
* [[Clase (teoría de conjuntos)]]
* [[Universo (matemáticas)]] <sup>([[:en:Universe (mathematics)|en]])</sup>
</div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Relaciones'''
* [[Relación de pertenencia]]
* [[Función indicatriz]]
* [[Subconjunto]] (Relación de inclusión)
* [[Conjunto#Igualdad de conjuntos|Igualdad de conjuntos]]
</div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Operaciones y representación'''
* [[Álgebra de conjuntos]]
* [[Diagrama de Carroll]]
* [[Diagrama de Euler]]
* [[Diagrama de Venn]]
* [[Unión de conjuntos]]
* [[Intersección de conjuntos]]
* [[Conjuntos disjuntos]]
* [[Unión disjunta]]
* [[Complemento de un conjunto]]
* [[Diferencia de conjuntos]]
* [[Diferencia simétrica]]
</div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Propiedades'''
* [[Unión de conjuntos#Propiedades|De la unión]]
* [[Intersección de conjuntos#Propiedades|De la intersección]]
* [[Unión de conjuntos|De la unión]]
* [[Complemento de un conjunto#Propiedades|Del complementario]]
* [[Diferencia de conjuntos#Propiedades|De la diferencia]]
* [[Diferencia simétrica#Propiedades|De la diferencia simétrica]]
* [[Leyes de De Morgan#Teoría de conjuntos y el álgebra de Boole|Leyes de De Morgan]]
</div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Partición y recubrimiento'''
* [[Partición de un conjunto]]
* [[Recubrimiento (matemática)]]
</div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Cardinal de la unión'''
* [[Unión de conjuntos#Cardinalidad|Cardinal de la unión (principio de inclusión-exclusión)]]
</div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Producto cartesiano'''
* [[Producto cartesiano]]
* [[Potencia de un conjunto]]
* [[Par ordenado]]
* [[Tupla]]
</div>

'''<div id="Relaciones">— Relaciones</div>'''
{{main|Relación binaria}}
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Categoría principal:</span> <i>[[:Categoría:Relaciones|Relaciones]]</i></div>
{{see also|Relación matemática}}

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Conceptos y definiciones'''
* [[Aridad]]
* [[Relación n-aria]]
* [[Matriz binaria]]
* [[Relación inversa]] <sup>([[:en:Converse relation|en]]; [[:pt:Relação inversa|pt]])</sup>
* [[Relación complementaria]] <sup>([[:en:Complement (set theory)#Complementary relation|en]])</sup>
* [[Relación ancestral]] <sup>([[:en:Ancestral relation|en]])</sup>
</div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Representación'''
* [[Coordenadas cartesianas]]
* [[Correspondencia matemática]] (representación sagitaria)
* [[Matriz de adyacencia]]
* [[Matriz de incidencia]]
* [[Grafo dirigido]]
</div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Propiedades destacadas'''
* [[Relación reflexiva]]
* [[Relación irreflexiva]] (antirreflexiva)
* [[Relación correflexiva]]
* [[Relación cuasirreflexiva]]
* [[Relación simétrica]]
* [[Relación asimétrica]]
* [[Relación antisimétrica]]
* [[Relación transitiva]]
* [[Relación intransitiva]]
* [[Relación antitransitiva]]
* [[Relación cuasitransitiva]] <sup>([[:en:Quasitransitive relation|en]])</sup>
* [[Relación euclidea]] <sup>([[:en:Euclidean relation|en]])</sup>
* [[Relación serial]] <sup>([[:fr:Relation sérielle|fr]]; [[:en:Serial relation|en]])</sup>
* [[Ley de tricotomía|Relación tricótoma]]
* [[Relación completa]] <sup>([[:en:Connex relation|en]])</sup> (Relación semiconexa)
* [[Relación fuertemente completa]] <sup>([[:en:Connex relation|en]])</sup> (Relación conexa, lineal o total)
* [[Relación circular]]
</div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Clausuras destacadas'''
* [[Clausura (matemática)]] <sup>([[:pt:Fechamento|pt]]; [[:fr:Clôture (mathématiques)|fr]]; [[:en:Closure (mathematics)|en]])</sup>
* [[Clausura de relación]]
* [[Clausura reflexiva]]
* [[Clausura simétrica]]
* [[Clausura transitiva]]
</div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Operaciones'''
* [[Unión de relaciones]]
* [[Intersección de relaciones]]
* [[Composición de relaciones]] <sup>([[:en:Composition of relations|en]])</sup>
</div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Tipos destacados'''

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Relaciones de equivalencia'''
* [[Relación de equivalencia parcial]] <sup>([[:en:Partial equivalence relation|en]])</sup>
* [[Relación de equivalencia]]
</div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Relaciones de tolerancia'''
* [[Relación de dependencia]]
* [[Relación de tolerancia]] <sup>([[:fr:Relation de tolérance|fr]]; [[:en:Tolerance relation|en]])</sup>
<!--; por ejemplo, en: <span style="font-variant: small-caps;">Klir</span>, George J.,<span style="font-variant: small-caps;"> St. Clair</span>, Ute H. y Yuan, <span style="font-variant: small-caps;">Bo</span>, ''Fuzzy set theory: foundations and applications'' [Teoría de conjuntos borrosos: cimientos y aplicaciones], 1.<sup>a</sup> edición. (Capítulo 6: Classical relations [Relaciones clásicas], 5.2 Equivalence and compatibility relations [Relaciones de equivalencia y compatibilidad], pp. 128-132 y Ejercicio 6.5 [p. 141]). Upper Saddle River, Nueva Jersey (US-NJ), Estados Unidos de América: Prentice Hall PTR, 1997.-->
</div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Ordenaciones'''
* [[Conjunto preordenado]]
* [[Preorden total]] (consúltese: ''[[:en:Weak ordering|Weak ordering]]'')
* [[Conjunto parcialmente ordenado]]
* [[Orden total#Cadenas|Cadena]]
* [[Condición de la cadena ascendente|Condiciones de la cadena ascendente y descendente]]
* [[Anticadena]]
* [[Orden lexicográfico]]
* [[Orden producto]] <sup>([[:en:Product order|en]])</sup>
* [[Relación de cobertura]]
* [[Reducción transitiva]] <sup>([[:en:Transitive reduction|en]])</sup>
* [[Diagrama de Hasse]]
* [[Orden total]]
* [[Orden denso]]

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Elementos destacados'''
* [[Elemento mayor y menor]]
* [[Elemento maximal y minimal]]
* [[Elemento mayorante y minorante]]
* [[Elemento supremo e ínfimo]]
* [[Elemento máximo y mínimo]]
* [[Anexo:Extremos de conjunto acotado]]
</div>
* [[Conjunto contorno]]
* [[Orden total acotado]]
* [[Retículo (matemáticas)]]
* [[Teoría del orden]]
</div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Relaciones de preferencia e indiferencia'''
* [[Preferencia]]
</div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Buen orden'''
* [[Conjunto bien ordenado]]
* [[Relación bien fundada]]
* [[Axioma de elección]]
* [[Teorema del buen orden|Teorema de Zermelo]] (Nota: Este hecho, que todo conjunto admite una buena ordenación, es el que, aparentemente, una mayoría denomina también como «Principio del buen orden» (PBO); ref., p. ej.: Bagaria, Joan, "Set Theory", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2019 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = <https://plato.stanford.edu/archives/fall2019/entries/set-theory/>, y tantísimas otras; lo que WP o Wolfram MathWorld y otros denominan PBO es el caso particular de ser < un buen orden en <math>\mathbb{N}</math>; en definitiva, la situación actual en la literatura es que por PBO tiene dos significados, bien Teorema de Zermelo, bien que < es un buen orden en <math>\mathbb{N}</math>).
* [[Lema de Zorn]]
* [[Paradoja de los números interesantes]]
</div>

</div>

'''<div id="Funciones">— Funciones</div>'''
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Artículos principales:</span> ''[[Función matemática]]''<span style="font-size:88%"> y </span>''[[Aplicación (matemática)]] <sup>([[:fr:Application (mathématiques)|fr]]; [[:pt:Mapa (matemática)|pt]]; [[:it:Mappa (matematica)|it]]; [[:en:Map (mathematics)|en]])</sup>''</div>
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Categoría principal:</span> <i>[[:Categoría:Funciones|Funciones]]</i></div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Conceptos y definiciones'''
* [[Correspondencia matemática|Correspondencia]]
* [[Dominio de definición]]
* [[Función parcial]]
* [[Función parcial|Función total]] (aplicación [«mapping» o «map», en inglés]; vea: [[Aplicación (matemática)]] <sup>([[:fr:Application (mathématiques)|fr]]; [[:pt:Mapa (matemática)|pt]]; [[:it:Mappa (matematica)|it]]; [[:en:Map (mathematics)|en]])</sup>)
* [[Codominio]]
* [[Imagen (matemática)]]
* [[Rango (matemáticas)]]
* [[Restricción (matemáticas)]]
* [[Función identidad]]
* [[Función discreta]]
* [[Funciones de parte entera|Funciones suelo y techo]]
* [[Gráfica de una función]]
</div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Tipos destacados'''
* [[Biyección, inyección y sobreyección]]
* [[Función inyectiva]]
* [[Función sobreyectiva]]
* [[Función biyectiva]]
* [[Galería de correspondencias matemáticas]]
</div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Operaciones'''
* [[Composición de funciones]]
* [[Función inversa]]
* [[Imagen inversa]]
</div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Multiconjuntos'''
* [[Multiconjunto]]
* [[Multiplicidad]]
</div>

<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Métricas'''
* [[Distancia]]
* [[Distancia de Hamming]]
* [[Geometría del taxista|Distancia del taxi]]
</div>

====== <span id="ConjuntosRelacionesFunciones_Conexiones"></span>Conexiones ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
'''— Mereología'''
{{Main|Mereología}}

'''— Sistemas extensivos'''
{{Main|Sistema extensivo}}
{{see also|Sistema comparativo|Escala ordinal|Escala proporcional}}
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Artículo interesante:</span> [[Jesús Mosterín|Mosterín, Jesús]] (1978, enero). [https://www.investigacionyciencia.es/revistas/investigacion-y-ciencia/riego-gota-a-gota-16/la-estructura-de-los-conceptos-cientficos-747 La estructura de los conceptos científicos. Investigación y Ciencia, 16, 82-93].</div>
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Capítulo interesante:</span> [[Jesús Mosterín|Mosterín, Jesús]] (1993). Los conceptos científicos. En: Ulises Moulines, Carlos (ed.). La ciencia: estructura y desarrollo. Madrid:Trota, Consejo Superior de Investigaciones Científicas y Sociedad Estatal Quinto Centenario. Págs. 15-30. ISBN 84-87699-72-3.</div>

'''— Modelo entidad-relación'''
{{Main|Modelo entidad-relación}}
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Véanse también:</span> ''[[Base de datos relacional|Bases de datos relacionales]]'', ''[[Modelo relacional]]'', ''[[Álgebra relacional]]'', ''[[Cálculo relacional]]''<span style="font-size:88%"> y </span>''[[Teorema de Codd]] <sup>([[:fr:Théorème de Codd|fr]]; [[:en:Codd's theorem|en]])</sup>''.</div>
<!--
{| border=0 align=center cellspacing=20
|-
| <center>{{pp-book-cover
 |title=
 |subtitle=
 |cover-image=Set partitions 4; Hasse; matrices.svg
 |cover-color=#76b3df
}} Libro wiki (itinerario en Wikipedia)<br>¡Pulse en el título, no en la imagen de portada!</center>
|}
-->

====== <span id="ConjuntosRelacionesFunciones_Bibliografia"></span>Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
* A. M. <span style="font-variant: small-caps;">Díaz Hernández</span> Material de «Curso 0: Matemáticas». Parte: Conjuntos, correspondencias y relaciones. OCW UNED. (Teoría y ejercicios). 2010. © CC BY-NC-ND. http://ocw.innova.uned.es/matematicas-industriales/contenidos/pdf/tema6.pdf
* P. J. <span style="font-variant: small-caps;">Herrero Piñeyro</span> Material de «Topología de Espacios Métricos». Parte: Conjuntos, aplicaciones y números. OCW UM. 2010. © CC BY-NC-SA. http://ocw.um.es/ciencias/topologia-de-espacios-metricos/material-de-clase-1/cap-0-conj-apl.pdf
* —¤— [https://drive.google.com/file/d/1eBun2-iJyAqAojy0RpOSMSjxeGFew7LC/view?usp=sharing J. M. <span style="font-variant: small-caps;">León Rojas</span> (2022). Notas incompletas de clase. Lógica de relaciones. © CGL, CC0, CC BY.]
* —¤— [https://drive.google.com/file/d/1LHb9-_eTg2MEgSMm_42mjzXfiH9YKT-D/view?usp=sharing J. M. <span style="font-variant: small-caps;">León Rojas</span> (2022). Notas incompletas de clase. Lógica de relaciones. Clausuras. © CGL, CC0, CC BY.]
* —¤— [https://drive.google.com/file/d/1XjNSbnE5gXzoJabIQ_aCBu297e8kIDM-/view?usp=sharing J. M. <span style="font-variant: small-caps;">León Rojas</span> (2022). Notas incompletas de clase. Lógica de relaciones. Preferencias. © CGL, CC0, CC BY.]
* —¤— Kenneth A. <span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span>. <i>Matemática discreta y sus aplicaciones</i>. 5.ª edición. (Secciones 1.6, 1.7, 1.8, Capítulo 7 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7
| style="width: 50%;" |
* —¤— Kenneth A. <span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span>. <i>Discrete mathematics and its applications</i>. 7.ª edición. (Secciones 2.1, 2.2, 2.3, Capítulo 9 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5
|}

====== <span id="ConjuntosRelacionesFunciones_Programas"></span>Programas ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
| style="width: 50%;" |
* [https://www.wolframalpha.com/examples/SetTheory.html WolframAlpha (Ejemplos, Matemáticas, Teoría de conjuntos)]
|}

====== <span id="ConjuntosRelacionesFunciones_Multimedia"></span>[[File:Multimedia-icon.svg|32px|link=]] Multimedia ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
'''— Conjuntos'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Conjuntos y notación |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=bVFRSpBrkAU |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Diagramas de Venn e igualdad de conjuntos |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=mKg6AkUJD7s |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Subconjuntos de conjuntos |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=DiVLOZe7aFk |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Conjunto de partes de un conjunto |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=_--0y8lWheY |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Unión de conjuntos |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=7eTEeQ3eA-s |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Intersección de conjuntos |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=O3fa1DqknQQ |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Diferencia de conjuntos |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=HCwXfCGV7TI |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Complementario de un conjunto |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=e9SjaS_Wgq8 |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Diferencia simétrica de conjuntos |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=414ZK_Lf12w |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Propiedades booleanas de la teoría de conjuntos |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=d8PMEjjwFxg |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Teorema de inclusión - exclusión en teoría de conjuntos |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=FXsnnS7KgvQ |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Simplificación de expresiones en teoría de conjuntos |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=5tA8zHlsor4 |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=¿Cómo justifico que una igualdad de conjuntos no es valida? |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=eHWOfjm2slw |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Recubrimiento y partición de un conjunto |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=cNus6wILCvQ |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Producto cartesiano de conjuntos |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=4roKSnLxIgc |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Conjuntos finitos |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=wrpAuwh8wuo&index=59&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ejercicios |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=GnF0-N--ckI&index=67&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}} (► Ejercicio 1: Estudio directo de la igualdad de conjuntos).
'''— Relaciones'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=¿Por qué estudiar relaciones binarias? |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=eZfytGhk5kY |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Relaciones binarias. Notación |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=xch45chcp7s |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Propiedades reflexiva y simétrica de relaciones binarias. Definiciones y caracterización |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=BLoPz12Jq_0 |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Operaciones entre relaciones binarias: Unión, intersección, diferencia, complementario |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=brTNWYGSlaE |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Operaciones entre relaciones binarias. Ejemplo en forma implícita |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=uA5o-IXKckg |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Relaciones binarias. Representación gráfica |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=d3gw322Dj0g |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Relaciones binarias. Representación matricial |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=eceQOOOhQZY |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Inversa de una relacion binaria |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=w_5KS7okLEs |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Relaciones binarias de equivalencia |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=IJFhuwNWzCM |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Ejemplos sencillos de relaciones binarias de equivalencia |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=zY8Lhm09T2A |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Cotas superiores e inferiores de una relacion binaria |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=MKOC0pT-FOU |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Maximos, minimos, maximales, minimales de una relacion binaria de orden |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=u3kkrV53s7Q |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Operaciones entre relaciones binarias: Ejemplos en contexto real |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=14jU_veyJ4E |access-date=}}
'''— Funciones'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Aplicaciones entre conjuntos finitos |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=HPynhpbEzjw&index=58&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}} (► Aplicaciones: conceptos, tipos y propiedades).
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ejercicios |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=GnF0-N--ckI&index=67&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}} (► Ejercicio 2: Estudiar la inyectividad, sobreyectividad y biyectividad de una aplicación natural de variable natural).
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Aplicaciones. Ejercicio 1 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=5fvoXlavFSY |access-date=}} (► Estudiar la inyectividad, sobreyectividad y biyectividad de una aplicación entera de variable matricial real).
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Aplicaciones. Ejercicio 2 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=86wGtnflQBk |access-date=}} (► Estudiar la inyectividad, sobreyectividad y biyectividad de una aplicación real de variable matricial real).
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Aplicaciones. Ejercicio 3 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=z8Ojz1j_hL8 |access-date=}} (► Estudiar la inyectividad, sobreyectividad y biyectividad de una aplicación natural de variable entera, definida por casos).
| style="width: 50%;" |
'''— Conjuntos'''
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=fdm2e0loOfI
 |title=Section 2.1 The Basics of Sets
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Baugher</span>
 |first=Greg A.
 |department=Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University
 |location=Georgia (US-GA), EUA
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=E4AtYIM8HB0
 |title=Section 2.2 Set Operations
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Baugher</span>
 |first=Greg A.
 |department=Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University
 |location=Georgia (US-GA), EUA
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=9AUCdsmBGmA
 |title=Lecture 10 - Sets
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=7k4Di5u-oUU
 |title=Lecture 12 - Set operations on strings over an alphabet
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=ftp://ftp.aduni.org/videos/02_lect_03.rm
 |others=(Alternate URL: https://www.youtube.com/watch?v=t3XdRbPNtdg)
 |title=Sets
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Simonson</span>
 |first=Shai
 |format=Vídeo
 |publisher=ArsDigita University
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
'''— Relaciones'''
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=_BIKq9Xo_5A
 |title=Lecture 13 - Relations
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=6WGWFwgXhd4
 |title=Lecture 18 - Special properties of relations
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=xuhZSt4Rw0k
 |title=Lecture 19 - Closure of relations
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=EN0JhX7phZo
 |title=Lecture 20 - Closure of relations (contd.)
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=buXrxLfaF94
 |title=Lecture 21 - Order relations
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=Fk8nJjzohr8
 |title=Lecture 22 - Order relations and equivalence relations
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=uOE7rSKTDbo
 |title=Lecture 23 - Equivalence relations and partitions
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=ftp://ftp.aduni.org/videos/02_lect_17.rm
 |others=(Otra URL: https://www.youtube.com/watch?v=xiwFOcGGFPs&index=17&list=PL__5ik6vMY50HNfWppaGxQydlSMTGQWzC)
 |title=Equivalence Relations and Partial Orders
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Simonson</span>
 |first=Shai
 |format=Vídeo
 |publisher=ArsDigita University
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
'''— Funciones'''
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=dmRoKI3R9ic
 |title=Section 2.3 Functions
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Baugher</span>
 |first=Greg A.
 |department=Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University
 |location=Georgia (US-GA), EUA
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=7cTWea9YAJE
 |title=Lecture 24 - Functions
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=695iAm935cY
 |title=Lecture 25 - Functions (Contd.)
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=ZECJHfsf4Vs
 |title=Lecture 26 - Functions (Contd.)
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
|}

====== <span id="ConjuntosRelacionesFunciones_Personas"></span>Personas ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
* [[:Categoría:Analistas matemáticos|Personas ligadas al análisis matemático]]
| style="width: 50%;" |
* [[:en:Category:Set theorists|Set theorists]]
* [[:en:Category:Mathematical analysts|Mathematical analysts]]
|}
|}
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|no}}}|sí|mw-collapsed|}}" width="100%" style="text-align:left; padding:0px; background-color:#F9F9F9;"
| align="left"   |

===== Cardinalidad, inducción y recursión =====
|-
| style="background-color:#F9F9F9; text-align:left; font-size:100%; padding:6px" |
{|
|[[File:Von Neumann Hierarchy.svg|200px]]
|<div id="toc_Cardinalidad" class="toc">
<div class="toctitle">
'''Índice'''
</div>
# [[#Cardinalidad_Conceptos_claves|Conceptos claves]]
# [[#Cardinalidad_Conexiones|Conexiones]]
# [[#Cardinalidad_Bibliografia|Bibliografía]]
# [[#Cardinalidad_Programas|Programas]]
# [[#Cardinalidad_Multimedia|Multimedia]]
# [[#Cardinalidad_Vease_tambien|Véase también]]
# [[#Cardinalidad_Para_saber_mas|Para saber más]]
</div>
|}

====== <span id="Cardinalidad_Conceptos_claves"></span>Conceptos claves ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
'''— Cardinalidad'''
{{main|Cardinalidad|Número cardinal (teoría de conjuntos)}}
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Categoría principal:</span> <i>[[:Categoría:Números cardinales|Números cardinales]]</i></div>
<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Conjuntos infinitos'''
* [[Infinito potencial e infinito actual]]
* [[Infinito]]
* [[Paradoja#Paradojas sobre el infinito|«Paradojas» sobre el infinito]]
** [[Paradoja de Galileo]]
** [[El hotel infinito de Hilbert]]
** [[Paradoja de Ross-Littlewood]] (véase: [[Supertarea]] y [[#Cardinalidad_Conexiones|Conexiones: Hipercomputabilidad]])
* [[Equipotencia]]
* [[Conjunto finito]]
* [[Conjunto infinito]]
'''- <math>\mathbb{N}</math>, <math>\mathbb{Z}</math> y <math>\mathbb{Q}</math> son conjuntos numerables'''
* [[Axiomas de Peano]]
* [[Conjunto numerable|Conjunto (infinito) numerable]]
* [[Enumeración]]
* [[Álef_(cardinales)#Ejemplos de números álef|Álef-sub-cero]]
'''- <math>\mathbb{R}</math> no es un conjunto numerable'''
* [[Argumento de la diagonal de Cantor|Argumento diagonal de Cantor]]
* [[Conjunto no numerable]]
'''- El Teorema de Cantor y la Hipótesis del Continuo'''
* [[Teorema de Cantor]]
* [[Álef (cardinales)]]
* [[Número cardinal (teoría de conjuntos)]]
* [[Número transfinito]]
* [[Hipótesis del continuo]]
</div>
'''<div id="Inducción">— Inducción</div>'''
* [[Inducción matemática|Inducción débil]] (o restringida; cuando ciertos textos refieren «inducción» o «inducción matemática», sin especificar, se entiende esta) 
* [[Inducción matemática#Inducción_fuerte|Inducción fuerte o completa]]
* [[Inducción estructural]]
* [[Relación bien fundada#Inducción_bien_fundada|<span style="color:
#BA0000">Inducción bien fundada (inducción de Noether)</span>]] <sup>([[:en:Well-founded_relation#Induction_and_recursion|en]])</sup>
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Véanse también:</span> ''[[Paradoja del cuervo]]'', ''[[Problema de la inducción]]''<span style="font-size:88%"> y </span>''[[:en:Goodman's paradox|Goodman's paradox]]'' (Paradoja de Goodman, en inglés).</div>

'''— Recursión'''
* [[Recursión]]
* [[Recursión (ciencias de computación)]]
* [[Inducción estructural y definiciones recursivas]]

====== <span id="Cardinalidad_Conexiones"></span>Conexiones ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
'''— Hipercomputabilidad'''
{{Main|Hipercomputación}}
* [[Supertarea]]
* [[Lámpara de Thomson]]
* [[Máquina de Zenón]]
{{see also|Problema transcomputacional|Computación cuántica|Cerebro Matrioshka}}
<!--
{| border=0 align=center cellspacing=20
|-
| <center>{{pp-book-cover
 |title=
 |subtitle=
 |cover-image=Von Neumann Hierarchy.svg
 |cover-color=#76b3df
}} Libro wiki (itinerario en Wikipedia)<br>¡Pulse en el título, no en la imagen de portada!</center>
|}
-->

====== <span id="Cardinalidad_Bibliografia"></span>Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
* A. M. <span style="font-variant: small-caps;">Díaz Hernández</span> Material de «Curso 0: Matemáticas». Parte: Conjuntos, correspondencias y relaciones. OCW UNED. (Teoría y ejercicios). 2010. © CC BY-NC-ND. http://ocw.innova.uned.es/matematicas-industriales/contenidos/pdf/tema6.pdf
* P. J. <span style="font-variant: small-caps;">Herrero Piñeyro</span> Material de «Topología de Espacios Métricos». Parte: Conjuntos, aplicaciones y números. OCW UM. 2010. © CC BY-NC-SA. http://ocw.um.es/ciencias/topologia-de-espacios-metricos/material-de-clase-1/cap-0-conj-apl.pdf
* —¤— [https://drive.google.com/file/d/1wDw5SQWlBdDxkMNON1mN6_cydGu0D4yG/view?usp=sharing J. M. <span style="font-variant: small-caps;">León Rojas</span> (2001). Notas incompletas de clase. Cardinalidad, v. 1.0-alpha2, rev. 24-02-2014. © CGL, CC0, CC BY.]
* —¤— Kenneth A. <span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span>. <i>Matemática discreta y sus aplicaciones</i>. 5.ª edición. (Secciones 3.2.5, 3.3, 3.4 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7
| style="width: 50%;" |
* —¤— Kenneth A. <span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span>. <i>Discrete mathematics and its applications</i>. 7.ª edición. (Secciones 2.5, 5.1, 5.2, 5.3 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5
|}

====== <span id="Cardinalidad_Programas"></span>Programas ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
| style="width: 50%;" |
* [https://www.wolframalpha.com/examples/TransfiniteNumbers.html WolframAlpha (Ejemplos, Matemáticas, Números transfinitos)]
|}

====== <span id="Cardinalidad_Multimedia"></span>[[File:Multimedia-icon.svg|32px|link=]] Multimedia ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
'''— Cardinalidad'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=¿Qué se entiende por cardinal de un conjunto? |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=R3CDl4eIZjE |access-date=}}

'''— Inducción'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Principio de inducción |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=jKFSivPZQYo |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Ejercicios de inducción |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=g7kJEnKo-IQ |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=La inducción como método para demostrar desigualdades |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=u4UvxQvnkKU |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Ejemplo de desigualdad demostrada por inducción |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=YtfXYDac_To |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |title=Una conocida igualdad demostrada por inducción |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=n7G_IiH6iz0 |access-date=}}
| style="width: 50%;" |
'''— Cardinalidad'''
* {{cite web
 |url=ftp://ftp.aduni.org/videos/02_lect_05.rm
 |others=(Otra URL: https://www.youtube.com/watch?v=ZnGnuyRQU-M)
 |title=Lecture 5 - Diagonalization, functions and sums review
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Simonson</span>
 |first=Shai
 |format=Vídeo
 |publisher=ArsDigita University
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}

'''— Inducción'''
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=Z-QJfMV2a94
 |title=Sections 5.1-5.2 Mathematical Induction and Strong Induction
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Baugher</span>
 |first=Greg A.
 |department=Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University
 |location=Georgia (US-GA), EUA
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=oU60TuGHxe0
 |title=Lecture 11 - Induction
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=ftp://ftp.aduni.org/videos/02_lect_10.rm
 |others=(Otra URL: https://www.youtube.com/watch?v=QuOq50pB_yI&index=10&list=PL__5ik6vMY50HNfWppaGxQydlSMTGQWzC)
 |title=Lecture 10 - Mathematical induction
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Simonson</span>
 |first=Shai
 |format=Vídeo
 |publisher=ArsDigita University
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}

'''— Recursión'''
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=vTjUPrkD6_8
 |title=Sections 5.3-5.4 Recursive Definitions and Recursive Algorithms
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Baugher</span>
 |first=Greg A.
 |department=Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University
 |location=Georgia (US-GA), EUA
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
|}
<!-- ====== <span id="Cardinalidad_Vease_tambien"></span>Véase también ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
* <del>[http://cala.unex.es/cala/epistemowikia/index.php/Ejercicios_propuestos_sobre_cardinalidad_y_algunas_soluciones Ejercicios propuestos sobre cardinalidad y algunas soluciones] (En Epistemowikia, por el momento)</del> -->

====== <span id="Cardinalidad_Para_saber_mas"></span>Para saber más ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
<ol style="list-style-type:circle;">
  <li> Manuel José González Ortiz (2000). La hipótesis del continuo. ''Números 43-44'', artículo n. 63 (pp. 315-318). Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas y Nivola Libros y Ediciones S.L. Disponible en: http://www.sinewton.org/numeros/index.php?option=com_content&view=article&id=72:volumen-43-septiembre-2000&catid=35:sumarios-webs&Itemid=66</li>
<!--  <li>Gaussianos. La hipótesis del continuo: del susto de Cantor a la prueba de Cohen. https://www.gaussianos.com/la-hipotesis-del-continuo-del-susto-de-cantor-a-la-prueba-de-cohen/</li> -->
  <li>Continuum hypothesis. ''Encyclopedia of Mathematics''. Disponible en: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Continuum_hypothesis</li>
  <li>Koellner, Peter, "The Continuum Hypothesis", ''The Stanford Encyclopedia of Philosophy'' (Winter 2016 Edition), Edward N. Zalta (ed.). Disponible en: https://plato.stanford.edu/archives/win2016/entries/continuum-hypothesis/.</li>
  <li>The Continuum Hypothesis (la página web «oficial» de la hipótesis del continuo, en ''Infinity Ink'' [Nancy McGough, 1992]). Disponible en: http://www.ii.com/math/ch/</li>
  <li>Y más:</li>
  <ol style="list-style-type:circle;">
    <li>[[:Categoría:Teoría de conjuntos]]</li>
  </ol>
</ol>
|}
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|no}}}|sí|mw-collapsed|}}" width="100%" style="text-align:left; padding:0px; background-color:#F9F9F9;"
| align="left"   |

===== Estructuras algebraicas =====
|-
| style="background-color:#F9F9F9; text-align:left; font-size:100%; padding:6px" |
{|
|[[File:Associativity of binary operations (without question marks).svg|200px]]
|<div id="toc_EstructurasAlgebraicas" class="toc">
<div class="toctitle">
'''Índice'''
</div>
# [[#EstructurasAlgebraicas_Conceptos_claves|Conceptos claves]]
# [[#EstructurasAlgebraicas_Conexiones|Conexiones]]
# [[#EstructurasAlgebraicas_Bibliografia|Bibliografía]]
# [[#EstructurasAlgebraicas_Programas|Programas]]
# [[#EstructurasAlgebraicas_Multimedia|Multimedia]]
</div>
|}

====== <span id="EstructurasAlgebraicas_Conceptos_claves"></span>Conceptos claves ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
'''— Estructura algebraica'''
{{AP|Estructura algebraica}}
{{AP|Categoría:Estructuras algebraicas}}
<!--<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Categoría principal:</span> <i>[[:Categoría:Estructuras algebraicas|Estructuras algebraicas]]</i></div>-->
* [[Ley de composición]]
* [[Operación binaria]]
* [[Externa (matemáticas)]] <sup>([[:en:External (mathematics)|en]])</sup>
* [[Estructura matemática]]
* [[Elemento neutro]]
* [[Elemento absorbente]]
* [[Elemento simétrico]]
** [[Elemento opuesto]] (inverso aditivo)
** [[Inverso multiplicativo|Elemento recíproco]] (inverso multiplicativo)
* [[Tabla de Cayley]]
'''— Magma, semigrupo y monoide, cuasigrupo y bucle'''
* [[Magma (álgebra)|Magma]]
* [[Semigrupo]] y [[Monoide]]
* [[Cuasigrupo]] y [[Bucle (matemática)|Bucle]]
'''— Grupo'''
{{AP|Teoría de grupos}}
* [[Grupo (matemática)|Grupo]]
* [[Grupo abeliano]]
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Véanse también:</span> ''[[Permutación cíclica]] (Ciclo)'', ''[[Grupo simétrico]]'', ''{{noredirect|Grupo de permutaciones|<span style="color:
#BA0000">Grupo de permutaciones</span>}} <sup>([[:pt:Grupo de permutação|pt]]; [[:fr:Groupe de permutations|fr]]; [[:ca:Grup de permutacions|ca]]; [[:en:Permutation group|en]])</sup>'', ''[[Grupo de isometría]]'', ''{{noredirect|Números de Stirling de primera especie|<span style="color:
#BA0000">Números de Stirling de primera especie</span>}} <sup>([[:en:Stirling numbers of the first kind|en]]; véase también la sección: [[Números de Stirling#Números de Stirling de primera clase|Números de Stirling de primera clase]])</sup>''<span style="font-size:88%"> y </span>''[[Anexo:Grupos finitos de orden bajo]]''.</div>
'''— Anillo, dominio de integridad y cuerpo'''
* [[Anillo (matemática)|Anillo]]
* [[Anillo unitario]]
* [[Anillo conmutativo]]
* [[Anillo de conjuntos]]
* [[Anillo primo]]
* [[Anillo booleano]]
* [[Anillo ordenado]]
* [[Dominio (álgebra)|Dominio]]
* [[Dominio de integridad]]
* [[Dominio de factorización única]]
* [[Cuerpo]]
* [[Cuerpo ordenado]]
* [[Espacio vectorial]], [[Módulo (matemáticas)|Módulo]] y [[Álgebra sobre un cuerpo]]
'''— Homomorfismo'''
* [[Homomorfismo]]
* [[Homomorfismo de grupos]]
* [[Isomorfismo]]
* [[Isomorfismo de grupos]]
* [[Homomorfismo de anillos]]
'''— Espacio métrico (estructura métrica)'''
* [[Espacio métrico]]

====== <span id="EstructurasAlgebraicas_Conexiones"></span>Conexiones ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
'''— Teoría de categorías'''
{{main|Teoría de categorías}}
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Artículo de actualidad:</span> [[John Baez|Baez, John]] (2019, 8 noviembre). [https://elpais.com/elpais/2019/11/06/ciencia/1573042148_224789.html Qué es la teoría de categorías y cómo se ha convertido en tendencia. El País (en: Café y Teoremas)].</div>
* [[Olog]]
'''— Teoría de códigos'''
{{Main|Teoría de códigos}}
* [[Códigos lineales]]
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Véase también:</span> ''[[Códigos de bloque]]'', ''[[Código de grupo]]  <sup>([[:en:Group code|en]])</sup>''<span style="font-size:88%"> y </span>''[[Código Hamming]]''.</div>
<!--
{| border=0 align=center cellspacing=20
|-
| <center>{{pp-book-cover
 |title=
 |subtitle=
 |cover-image=Associativity of binary operations (without question marks).svg
 |cover-color=#76b3df
}} Libro wiki (itinerario en Wikipedia)<br>¡Pulse en el título, no en la imagen de portada!</center>
|}
-->

====== <span id="EstructurasAlgebraicas_Bibliografia"></span>Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos  ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
* —¤— Máximo <span style="font-variant: small-caps;">Anzola</span> y José <span style="font-variant: small-caps;">Caruncho</span>. <i>Problemas de Álgebra. Tomo 1. Conjuntos-Grupos</i>. 3.ª edición. Primer Ciclo, Madrid, España. (Capítulo 9 «Operaciones», 24 ejercicios resueltos; Capítulo 10 «Grupos-Estructura», 154 ejercicios resueltos), 1981. ISBN: 84-300-4073-0.
* —¤— Máximo <span style="font-variant: small-caps;">Anzola</span> y José <span style="font-variant: small-caps;">Caruncho</span>. <i>Problemas de Álgebra. Tomo 2. Anillos - Polinomios - Ecuaciones</i>. 3.ª edición. Primer Ciclo, Madrid, España. (Capítulo 1 «Estructura de anillo», 40 ejercicios resueltos; Capítulo 4 «Estructura de cuerpo», 32 ejercicios resueltos), 1982. ISBN: 84-300-6417-6.
* Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla. <i>Álgebra básica. Notas de teoría</i>. http://www.algebra.us.es/Documentos/AB_1011_Teoria
* —¤— José <span style="font-variant: small-caps;">García García</span> y Manuel <span style="font-variant: small-caps;">López Pellicer</span>. <i>Álgebra lineal y geometría. Curso teórico-práctico</i>. 7.ª edición. Marfil, Alcoy, España. ISBN: 84-268-0269-9.
* [https://drive.google.com/file/d/1Z-X3fr8ocP9NpRi-FRTlD8bdoD9hZXFG/view?usp=sharing J. M. <span style="font-variant: small-caps;">León Rojas</span> (2022). Notas incompletas de clase. Estructuras algebraicas.. © CGL, CC0, CC BY.]
* [https://drive.google.com/file/d/1hlmLjrreL4G5HvzxRtJ1lEwbepHPDp_Y/view?usp=sharing J. M. <span style="font-variant: small-caps;">León Rojas</span>. (2014). Notas incompletas de clase. Estructuras mixtas, v. 0.1.1-alpha0. © CGL, CC0, CC BY.]
| style="width: 50%;" |
* —¤— Ben <span style="font-variant: small-caps;">Brubaker</span>. <i>The Very Basics of Groups, Rings, and Fields</i>. 2006. http://www-users.math.umn.edu/~brubaker/docs/152/152groups.pdf
* —¤— Peter J. <span style="font-variant: small-caps;">Cameron</span>. <i>Introduction to Algebra</i>. 2.ª edición. Oxford University Press, Nueva York, Estados Unidos. 2008. ISBN: 978–0–19–856913–8.
* —¤— Peter J. <span style="font-variant: small-caps;">Cameron</span>. <i>Notes on Algebraic Structures</i>. 2006. http://www.maths.qmul.ac.uk/~pjc/notes/algstr.pdf
* Kenneth H. <span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span>. <i>Discrete Mathematics and its Applications</i>. Edición global en inglés / English Global Edition, 2013, 7.ª / 7th Ed., ISBN-13: 978-0-07-131501-2 (adaptada por / adapted by: Kamala Krithivasan). (Capítulo 12: «Algebraic Structures and Coding Theory»; diapositivas: <http://highered.mheducation.com/sites/0071315012/student_view0/lecture_powerpoint_slides.html>).
|}

====== <span id="EstructurasAlgebraicas_Programas"></span>Programas ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
| style="width: 50%;" |
* [https://www.wolframalpha.com/examples/FiniteGroups.html WolframAlpha (Ejemplos, Matemáticas, Grupos finitos)]
|}

====== <span id="EstructurasAlgebraicas_Multimedia"></span>[[File:Multimedia-icon.svg|32px|link=]] Multimedia ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
'''— Grupos'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Grupos |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=s1dawM-Bc0E |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Ovalle Rodríguez</span> |first=Janinna |title=El grupo simétrico |format=Vídeo |publisher=Universidad Abierta y a Distancia de México (UnADM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=s1dawM-Bc0E |access-date=}}
* {{cite web |author=<span style="font-variant: small-caps;">RTVE</span> |title=«La aventura del saber». Serie: «Más por menos». Capítulo: «La geometría se hace arte» (Guión + presentación = Antonio Pérez) (Minuto 5,22, la Alhambra, sus mosaicos y la teoría de grupos; recomendación: ver el capítulo completo) |format=Vídeo |publisher=Radio televisión española (RTVE) |url=http://www.rtve.es/alacarta/videos/mas-por-menos/aventura-del-saber-serie-mas-menos-geometria-se-hace-arte/1291007/ |access-date=}} © gratisOA.

'''— Ejemplos de grupos'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Grupos. Ejemplo 1. El grupo abeliano aditivo de las aplicaciones lineales reales de variable real |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=y1QsPdVlNO0 |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Grupos. Ejercicio 2. El grupo aditivo de las matrices reales de orden 2 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=_o8ET5sTiog |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Grupos. Ejercicio 3. El grupo abeliano <math>(\mathbb{R}; \ast)</math>, con <math>x \ast y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}</math> |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=h2odbGPBDKc |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Ovalle Rodríguez</span> |first=Janinna |title=El grupo aditivo de los enteros módulo n |format=Vídeo |publisher=Universidad Abierta y a Distancia de México (UnADM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=Z2B7AeMzmY0 |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Ovalle Rodríguez</span> |first=Janinna |title=Grupo de simetrías del cuadrado I. El grupo simétrico |format=Vídeo |publisher=Universidad Abierta y a Distancia de México (UnADM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=tM7lCNp_-1Y |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Ovalle Rodríguez</span> |first=Janinna |title=Grupo de simetrías del cuadrado II. El grupo simétrico |format=Vídeo |publisher=Universidad Abierta y a Distancia de México (UnADM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=onT343PebWc |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Ovalle Rodríguez</span> |first=Janinna |title=Ciclos y órbitas |format=Vídeo |publisher=Universidad Abierta y a Distancia de México (UnADM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=OQ-QrFCNWSQ |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Ovalle Rodríguez</span> |first=Janinna |title=Grupos de permutaciones. El grupo simétrico <math>(\mathrm{S}_n; \circ)</math> |format=Vídeo |publisher=Universidad Abierta y a Distancia de México (UnADM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=4yLEW3neP2s |access-date=}}

'''— Homomorfismo de grupos'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Homomorfismo de grupos. Inyectividad. Sobreyectividad |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=_vU4K5iEjDA |access-date=}}

'''— Anillos'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Anillo |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=7xFE_-LM7iA |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=El anillo conmutativo unitario <math>(\mathbb{Z}_n; +, \cdot)</math>. Congruencias |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=nQrF0YayFlM |access-date=}}

'''— Dominio de integridad'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Dominio de integridad |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=lX2dejAl0j8 |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Unidad en un dominio de integridad |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=_seRzMTFQmw |access-date=}}
| style="width: 50%;" |
'''— Álgebras'''
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=dQ4wU0k7JKI
 |title=Lecture 35 - Algebras
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=urd468CJCcU
 |title=Lecture 36 - Algebras (contd.)
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=YB6CP1RUvgk
 |title=Lecture 37 - Algebras (contd.)
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}

'''— Retículos'''
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=qPtGlrb_sXg
 |title=Lecture 40 - Lattices
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
|}

|}


'''<div id="Fundamentos_Ensambles">— Ensambles (más allá de esta asignatura)</div>'''
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
* <div class="dablink"><u>Un  clásico</u> en el campo del [[Razonamiento diagramático]]: [[Gráficos existenciales|Grafo existencial]]; ver, en particular, [http://www.jfsowa.com/peirce/ms514.htm ''Existential Graphs''] (MS 514, por [[Charles Sanders Peirce]] —con comentario de [[John F. Sowa]]—).</div>
* <div class="dablink"><u>Una conexión</u> con la [[Ciencia de la información]], en el área de la [[Búsqueda y recuperación de información|Recuperación de información]] (RI): ► [[Modelo booleano]] (MBRI) y ► [[Modelo Booleano Extendido]].</div>
* <div class="dablink"><u>Una conexión</u> con la [[Estadística]], en el área del [[Análisis de datos]], en particular en [[Clasificación estadística]], [[Macrodatos]], [[Minería de datos]] y [[Aprendizaje automático]]: ► [[Agrupamiento jerárquico|Clasificaciones jerárquicas]] y ► [[Análisis de grupos|Análisis de conglomerados]].</div>
* <div class="dablink"><u>Vínculos</u>: [[:Categoría:Lógicas no clásicas|Lógicas no clásicas]]; [[Resolución de problemas]]; [[Problema de satisfacibilidad booleana]]; [[Programación en lenguaje natural]] <sup>([[:en:Natural-language programming|en]])</sup>; [[Comprensión del lenguaje natural]]; [[Búsqueda y recuperación de información]]; [[Representación del conocimiento]]; [[Razonamiento automático]]; [[Aprendizaje automático]]; {{noredirect|Computabilidad|<span style="color:
#BA0000">Computabilidad</span>}} <sup>([[:en:Computability|en]])</sup>; [[Complejidad]]; [[Teoría de categorías]].</div>
* <div class="dablink">[[Constante de Chaitin]].</div>
|} <!-- FIN TEMA 1 FUNDAMENTOS -->

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0);">Tema 2.- Teoría de números</span> ====

{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|no}}}|sí|mw-collapsed|}}" width="100%" style="text-align:left; padding:0px; background-color:#F9F9F9;"
| align="left"   |

===== Teoría de números =====
|-
| style="background-color:#F9F9F9; text-align:left; font-size:100%; padding:6px" |
{|
|[[File:Symmetrical 5-set Venn diagram LCM 2 3 4 5 7.svg|200px]]
|<div id="toc_TeoriaNumeros" class="toc">
<div class="toctitle">
'''Índice'''
</div>
# [[#TeoriaNumeros_Conceptos_claves|Conceptos claves]]
# [[#TeoriaNumeros_Bibliografia|Bibliografía]]
# [[#TeoriaNumeros_Programas|Programas]]
# [[#TeoriaNumeros_Multimedia|Multimedia]]
# [[#TeoriaNumeros_Personas|Personas]]
# [[#TeoriaNumeros_Ensambles|Ensambles (más allá de esta asignatura)]]
</div>
|}

====== <span id="TeoriaNumeros_Conceptos_claves"></span>Conceptos claves ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{{AP|Teoría de números}}
{{AP|Categoría:Teoría de números}}

'''<div id="Divisibilidadyaritméticamodular">— Divisibilidad y aritmética modular</div>'''
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Véanse también:</span> ''[[División (matemática)]]''<span style="font-size:88%"> y </span>''[[:Categoría:División (matemática)|Categoría:División (matemática)]] <sup>([[:fr:Catégorie:Divisibilité et factorisation|fr]]; [[:en:Category:Division (mathematics)|en]])</sup>''</div>
* [[Aritmética]]
* [[Divisibilidad]]
* [[Algoritmo de la división]]
* [[Algoritmo para la división]] <sup>([[:en:Division algorithm|en]])</sup>
* [[Aritmética modular]]

'''<div id="Primosymáximocomúndivisor">— Primos y máximo común divisor</div>'''
* [[Número primo]]
* [[Teorema de Euclides]]
* [[Primorial]]
* [[Lema de Euclides]]
* [[Teorema fundamental de la aritmética]]
* [[Número compuesto]]
* [[Número perfecto]]
* [[Número sublime]]
* [[Factorización de enteros]]
* [[:Categoría:Conjeturas sobre números primos|Conjeturas sobre números primos]]
* [[Máximo común divisor]]
* [[Números primos entre sí]]
* [[Sucesión de Weyl]] <sup>([[:en:Weyl sequence|en]])</sup>
* [[Mínimo común múltiplo]]
* [[Algoritmo de Euclides]]
* [[Identidad de Bézout]]
* [[Algoritmo de Euclides#Algoritmo de Euclides extendido|Algoritmo extendido de Euclides]]
<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Primalidad'''
* [[Residuo cuadrático]]
* [[Ley de reciprocidad cuadrática]]
* [[Test de primalidad]]
* [[Anexo:Números primos]]
</div>
'''<div id="Resolucióndecongruencias">— Resolución de congruencias</div>'''
* [[Teorema chino del resto|Teorema chino de los restos]]
* [[Aritmética_modular#Resolución_de_congruencias|Aritmética modular: Resolución de congruencias]]
* [[Inverso multiplicativo (aritmética modular)|Inverso módulo ''m'' de un entero]]
* [[Teorema de congruencia lineal]]
* [[Método de substituciones sucesivas]] <sup>([[:en:Method of successive substitution|en]])</sup>
* [[Función φ de Euler|Totalizador, indicador o función φ de Euler]]
* [[Grupo multiplicativo de enteros módulo n]]
* [[Teorema de Euler|Teorema de Euler-Fermat]]
* [[Pequeño teorema de Fermat|Teorema pequeño de Fermat]]
* [[Número pseudoprimo]]
* [[Número de Carmichael]]
* [[Número de Poulet]]
* [[Teorema de Wilson]]
* [[Teorema de Wolstenholme]]
* [[Tabla de congruencias]] <sup>([[:en:Table of congruences|en]])</sup>
* [[Problema de Flavio Josefo|Problema de Josefo]] (toma de contacto)

'''<div id="Aplicacionesdelascongruencias">— Aplicaciones de las congruencias</div>'''
<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Funciones de dispersión'''
* [[Función de dispersión]]
* [[Función de dispersión perfecta]] <sup>([[:en:Perfect hash function|en]])</sup>
* [[MinHash]]
* [[SimHash]] <sup>([[:en:SimHash|en]])</sup>
'''- Números aleatorios'''
* [[Número aleatorio]]
* [[Generación de números aleatorios]] <sup>([[:ca:Generació de nombres aleatoris|ca]], [[:en:Random number generation|en]])</sup>
* [[Número pseudoaleatorio]]
* [[Generador de números pseudoaleatorios]]
* [[Anexo: Generadores de números aleatorios]] <sup>([[:en:List of random number generators|en]])</sup>
* [[Generador congruencial lineal]]
* [[Generador congruencial lineal combinado]] <sup>([[:en:Combined linear congruential generator|en]])</sup>
* [[Generador congruencial inversor]] <sup>([[:en:Inversive congruential generator|en]])</sup> (no lineal)
* [[Generador congruencial inversor]] <sup>([[:en:Inversive congruential generator|en]])</sup> (no lineal)
* [[Generador congruencial inversor generalizado]] <sup>([[:en:Generalized inversive congruential pseudorandom numbers|en]])</sup> (no lineal)
'''- Criptología'''
* [[Criptología]]
* [[Criptografía]]
** [[RSA|Sistema criptográfico de clave pública RSA]]
** [[Competición de factorización RSA]]
** [[Número altamente indicador]] <sup>([[:fr:Nombre hautement indicateur|fr]]; [[:it:Numero altamente totiente|it]]; [[:en:Highly totient number|en]])</sup>
** [[Número altamente compuesto]]
** [[Número liso]]
** [[Número aproximado]] <sup>([[:en:Rough number|en]])</sup>
** [[Número semiprimo|Semiprimos]]
** [[Criptografía de curva elíptica]]
** [[Criptografía basada en emparejamientos]]
</div>

'''<div id="Criteriosdedivisibilidad">— Criterios de divisibilidad</div>'''
* [[Sistema de numeración]]
** [[Sistema octal#Uso|<span style="color:#BA0000;">Uso del sistema octal</span>]] (sección sin redactar aún en [[Sistema octal]]) <sup>([[:en:Octal#Usage|en]])</sup>
** [[Anexo:Sistemas de numeración]] <sup>([[:it:Lista di sistemi di numerazione|it]]; [[:en:List of numeral systems|en]])</sup>
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">En relación:</span> ''[[Numeración en base no entera]] <sup>([[:fr:Numération en base non entière|fr]]; [[:en:Non-integer base of numeration|en]])</sup>''</div>
* [[Resto potencial]] <sup>([https://encyclopediaofmath.org/wiki/Power_residue ref0], [https://books.google.sm/books?id=nMht4BN9h3gC&printsec=frontcover&hl=it#v=onepage&q&f=false ref1], [https://web.cs.elte.hu/~csaba/bboard/20112012/BSM/Fun.pdf ref2])</sup> <!-- (kth (higher) power residue: def. 1.7.4, p. 78 de Primality Testing and Integer Satisfactorio in Public-Key Cryptography  escrito por Song Y. Yan) -->
* [[Cinta de Pascal]] <!--(En francés: [[:fr:Ruban de Pascal|Ruban de Pascal]]) https://fr.wikipedia.org/wiki/Crit%C3%A8re_de_divisibilit%C3%A9#Ruban_de_Pascal--><!--https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00772613/document--><!--https://ca.wikipedia.org/wiki/Criteri_de_divisibilitat-->
* [[Criterio de divisibilidad]] <sup>([[:en:Divisibility rule|en]])</sup> <span style="color:#BA0000;">(¡Rev. Wikidata!)</span>

'''<div id="Ecuacionesdiofánticas">— Ecuaciones diofánticas</div>'''
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Algunos conceptos previos útiles:</span> ◦ [[Ecuación algebraica]] ◦ [[Sistema de ecuaciones algebraicas]] ◦ [[Relaciones de Cardano-Vieta]] ◦ [[Regla de Ruffini]]</div>
* [[Ecuación diofántica]]
* [[Sistema de ecuaciones diofánticas lineales]] <sup>([[:en:Diophantine_equation#System_of_linear_Diophantine_equations|en]])</sup>
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">En relación:</span> ◦ [[Congruum]] <sup>([[:en:Congruum|en]])</sup> ◦ [[Número congruente]] <sup>([[:en:Congruent number|en]], [http://pimedios.jesussoto.es/2009/09/23/numeros-congruentes/ ref0], [https://www.uncg.edu/mat/faculty/d_yasaki/publications/debbie-white-congruent-numbers-2018.pdf ref1])</sup></div>

'''— Números'''
{{AP|Número entero}}
{{AP|Categoría:Números enteros}}
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Anexo principal:</span> ''[[Anexo:Números|Números]]''</div>
* [[5040 (número)]]
* [[Cuarenta y dos]]
* [[Número de Platón]]
* [[Mil setecientos veintinueve|1729 (número)]]
* [[Veinticuatro]]
* En general:
** [[Anexo:Números#Relevancia_matemática|<span style="color:#BA0000;">Números naturales: relevancia matemática</span>]] (sección «Números naturales», subsección «Relevancia matemática», aún sin redactar en [[Anexo:Números]]) <sup>([[:en:List_of_numbers#Mathematical_significance|en]])</sup>
** [[Anexo:Números#Relevancia_cultural_o_práctica|<span style="color:#BA0000;">Números naturales: relevancia cultural o práctica</span>]] (sección «Números naturales», subsección «Relevancia cultural o práctica», aún sin redactar en [[Anexo:Números]]) <sup>([[:en:List_of_numbers#Cultural_or_practical_significance|en]])</sup>

'''— Algunos conceptos y ejemplos más relacionados con la teoría de números'''
* [[Cuadrado mágico]]
* [[Cuadrado latino]]
* [[Triángulo de Dudley]]

'''— Paradojas'''
* [[Fenómeno Will Rogers]]
<!--
{| border=0 align=center cellspacing=20
|-
| <center>{{pp-book-cover
 |title=
 |subtitle=
 |cover-image=Symmetrical 5-set Venn diagram LCM 2 3 4 5 7.svg
 |cover-color=#76b3df
}} Libro wiki (itinerario en Wikipedia)<br>¡Pulse en el título, no en la imagen de portada!</center>
|}
-->

====== <span id="TeoriaNumeros_Bibliografia"></span>Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos  ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
* —¤— Máximo <span style="font-variant: small-caps;">Anzola</span> y José <span style="font-variant: small-caps;">Caruncho</span>. <i>Problemas de Álgebra. Tomo 2. Anillos - Polinomios - Ecuaciones</i>. 3.ª edición. Primer Ciclo, Madrid, España. (Capítulo 7 «Divisibilidad en <math>\mathbb{N}</math> y <math>\mathbb{Z}</math>», 94 ejercicios resueltos; Capítulo 8 «Ecuaciones diofánticas», 27 ejercicios resueltos; Capítulo 9 «Sistemas de numeración», 25 ejercicios resueltos), 1982. {{ISBN|84-300-6417-6}}.
* —¤— {{cite web
 |url=http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1710003/Apuntes/Leccion10.pdf
 |title=Apuntes de matemática discreta. 10. Divisibilidad. Algoritmo de la División
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">González Gutiérrez</span>
 |first=Francisco José
 |date=2004a
 |website=
 |location=Cádiz, Andalucía (ES-AN), España
 |publisher=Universidad de Cádiz (UCA)
 |access-date=
 |language=español
 |format=PDF }}
* —¤— {{cite web
 |url=http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1710003/Apuntes/Leccion11.pdf
 |title=Apuntes de matemática discreta. 11. Teorema Fundamental de la Aritmética
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">González Gutiérrez</span>
 |first=Francisco José
 |date=2004b
 |website=
 |location=Cádiz, Andalucía (ES-AN), España
 |publisher=Universidad de Cádiz (UCA)
 |access-date=
 |language=español
 |format=PDF }}
* —¤— {{cite web
 |url=http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1710003/Apuntes/Leccion12.pdf
 |title=Apuntes de matemática discreta. 12. Ecuaciones diofánticas
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">González Gutiérrez</span>
 |first=Francisco José
 |date=2004c
 |website=
 |location=Cádiz, Andalucía (ES-AN), España
 |publisher=Universidad de Cádiz (UCA)
 |access-date=
 |language=español
 |format=PDF }}
* —¤— {{cite web
 |url=http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1710003/Apuntes/Leccion13.pdf
 |title=Apuntes de matemática discreta. 13. Clases de restos módulo m
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">González Gutiérrez</span>
 |first=Francisco José
 |date=2004d
 |website=
 |location=Cádiz, Andalucía (ES-AN), España
 |publisher=Universidad de Cádiz (UCA)
 |access-date=
 |language=español
 |format=PDF }}
* —¤— Walter F. <span style="font-variant: small-caps;">Mora</span>. <i>Introducción a la teoría de números. Ejemplos y algoritmos</i>. Revista digital de Matemática, Educación e Internet: Textos Universitarios. Última revisión. Disponible en: https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/WMora_TeoriaNumeros/W_Mora_TeoriaNumeros.pdf © CC BY-NC-ND.
* —¤— Kenneth A. <span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span>. <i>Matemática discreta y sus aplicaciones</i>. 5.ª edición. (Secciones 2.4, 2.5, 2.6 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7
* —¤— {{cite web
 |url=http://ocw.upm.es/matematica-aplicada/matematica-discreta/contenidos/material-de-clase/tema-3
 |title=Tema 3: Ecuaciones diofánticas, congruencias y criterios de divisibilidad
 |last1=<span style="font-variant: small-caps;">Sendra</span>
 |first1=J.
 |last2=<span style="font-variant: small-caps;">Martín</span>
 |first2=E.
 |last3=<span style="font-variant: small-caps;">Méndez</span>
 |first3=A.
 |last4=<span style="font-variant: small-caps;">Ortiz</span>
 |first4=C.
 |date=2011
 |website=
 |location=Madrid, Madird (ES-MD), España
 |publisher=Universidad Politécnica de Madrid (UPM)
 |access-date=
 |language=español
 |format=PDF }}
| style="width: 50%;" |
* —¤— Thomas <span style="font-variant: small-caps;">Koshy</span>. <i>Elementary number theory with applications</i>. Academic Press (marca de Elsevier Inc.), Nueva York, Estados Unidos, 2.ª edición, 2007, ISBN: 978-0-12-372487-8
* —¤— Kenneth A. <span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span>. <i>Discrete mathematics and its applications</i>. 7th edition. (Capítulo 4 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5
* Kenneth A. <span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span>. <i>Elementary number theory and its applications</i>. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, Estados Unidos, 1986, {{ISBN|0-201-06561}}
|}

====== <span id="TeoriaNumeros_Programas"></span>Programas ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
| style="width: 50%;" |
* [https://www.wolframalpha.com/examples/NumberTheory.html WolframAlpha (Examples, Mathematics, Number Theory)]
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=rsa+encryption WolframAlpha (RSA encryption)]
|}

====== <span id="TeoriaNumeros_Multimedia"></span>[[File:Multimedia-icon.svg|32px|link=]] Multimedia ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
'''— Divisibilidad'''
* [https://www.youtube.com/watch?v=4BmqFuebG9A <span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span>, Jesús. Divisibilidad. Ejemplo 1. UCAM]
* [https://www.youtube.com/watch?v=GXvUP-dUjww <span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span>, Jesús. Divisibilidad. Ejemplo 2. UCAM]
* [https://www.youtube.com/watch?v=5H8hirvHQKI <span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span>, Jesús. Divisibilidad. Ejemplo 3. UCAM]
* [https://www.youtube.com/watch?v=lHA6c0d-jCc <span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span>, Jesús. Divisibilidad. Ejemplo 3+. UCAM]
* [https://www.youtube.com/watch?v=w3ZmXWswCM8 <span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span>, Jesús. Divisibilidad. Ejemplo 4. UCAM]
* [https://www.youtube.com/watch?v=gtpXda-tPL0 <span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span>, Jesús. Divisibilidad. Ejemplo 5. UCAM]
* [https://www.youtube.com/watch?v=QZiFMtV9x_s <span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span>, Jesús. Divisibilidad. Ejemplo 6 (inducción). UCAM]
* [https://www.youtube.com/watch?v=3dXEdIMX58w <span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span>, Jesús. Divisibilidad. Ejemplo 4 (inducción). UCAM]
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Algoritmo de la división |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=WXAcjGvQaLA&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur&index=117 |access-date=}}
* [https://www.youtube.com/watch?v=L70xLQzqBew <span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span>, Jesús. Algoritmo de la división. Ejemplo 1. UCAM]
* [https://www.youtube.com/watch?v=lz3k1v4D16U <span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span>, Jesús. Algoritmo de la división. Ejemplo 2. UCAM]
* [https://www.youtube.com/watch?v=xaOINn4p-Fs <span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span>, Jesús. Algoritmo de la división. Ejercicio 3. UCAM]

'''— Primos y MCD'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Números primos, ejemplo 1 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=TW8-Dl4wdbw&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur&index=108 |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Números primos, ejemplo 2 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=aWCkrzf4U-s&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur&index=110 |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Números primos, ejemplo 3 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=4gL7Roz36go&index=21&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Números primos, ejemplo 5 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=fjcXDNs2HLA&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur&index=124 |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Infinitud de los números primos |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=cdlBaHUovAM&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur&index=118 |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Teorema fundamental de la aritmética |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=KGaM0gnttSA&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur&index=119 |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Máximo común divisor |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=fBPHE9BcCy8&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur&index=121 |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Máximo común divisor, ejemplo 1 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=5OVyb2Pskyc&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur&index=107 |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Máximo común divisor, ejemplo 2 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=5mIdOjTtgus&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur&index=106 |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Máximo común divisor, ejemplo 3 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=PwuR86QogX4&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur&index=105 |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Máximo Común Divisor, ejemplo 4 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=Dgqejj59Hw0&index=20&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Algoritmo de Euclides |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=Yih7esYC6u8 |access-date=}}

'''— Identidad de Bézout'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Identidad de Bézout |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=F_Rx5zD7cUU |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Identidad de Bézout, ejemplo 1 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=hPtmpQa89G8&index=18&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Identidad de Bézout, ejemplo 2 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=2i5FberlJwg&index=17&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}

'''— Aritmética modular. Función φ de Euler'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Función φ de Euler |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=S6GC63Yxi-U |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Función φ de Euler, propiedad 1 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=RMZJScqGbX8&index=11&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Función φ de Euler, propiedad 2 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=XqWkVFkqssw&index=10&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}

'''— Ecuaciones diofánticas'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Hervás Jorge</span> |first=Antonio |title=Ecuaciones diofánticas |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=RGovvYZV7Eo |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ecuación diofántica |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=Z8m0vfnkYQw |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ecuación diofántica de dos variables |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=554vSoZE1dM |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ecuación diofántica, Ejemplo 1 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=yz4lva2EIGw |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ecuación diofántica, Ejemplo 2 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=Q_IZVN9SvKc |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ecuación diofántica, Ejemplo 3 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=0T1HrBu03BA |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ecuación diofántica, Ejemplo 4 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=NUkn1PkxkKQ |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ecuación diofántica, Ejemplo 5 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=8MAoz998T9Y |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ecuación diofántica de tres variables, Ejercicio 1 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=_ZgAnTUvaYI |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ecuación diofántica de tres variables, Ejercicio 2 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=tSl1VjVCpq4 |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Sistemas de ecuaciones diofánticas |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=eI9ZQ8l8BUQ |access-date=}}

'''— Congruencias'''
* [https://www.youtube.com/watch?v=RGRrMsL0DqM Congruencias. TurboOpenFing]
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Congruencias |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=0VYrajHNVJE |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Congruencias: relación de equivalencia |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=QMhoJgIls2A |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Congruencias. Propiedad 1 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=EcBNusrX0pQ |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Congruencias. Propiedad 2 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=d7diZgK8nHs |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Congruencias. Propiedad 3 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=CIPLnJhrHUI |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Congruencias. Ejercicio 1 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=XqfNbmOHNHQ |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Congruencias. Ejercicio 2 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=5BiPKyLv9y8 |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Congruencias. Ejercicio 3 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=C2eOqjzFgOs |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Congruencias. Ejercicio 4 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=CsUcHJS824Q |access-date=}}
: Ecuaciones
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ecuación de congruencias |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=mKv3uqeC_Gc |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ecuación de congruencias. Ejemplo 1 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=aa8dRPJkzA0 |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ecuación de congruencias. Ejemplo 2 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=JmiJiUR9lFo |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ecuación de congruencias. Ejercicio 3 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=ArFzf-33lrM |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ecuación de congruencias. Ejercicio 4 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=Z0OqUzq46pI |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ecuación de congruencias. Ejercicio 7 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=1fCbvGwqAzA |access-date=}}
: Sistemas
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Sistemas de congruencias |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=RGcCAjnwslg |access-date=}}

'''— Congruencias de números enteros: La prueba del 9'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Hervás Jorge</span> |first=Antonio |title=Congruencias de números enteros: La prueba del 9 |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=foX4YlHEht4 |access-date=}}

'''— Los falsos positivos: La prueba del 11'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Hervás Jorge</span> |first=Antonio |title=Los falsos positivos: La prueba del 11 |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |url=https://www.youtube.com/watch?v=xPkkOCmbSI0 |access-date=}}

'''— Restos potenciales'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Restos potenciales |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=H_OPU-I7Qhk |access-date=}} (► Restos potenciales, propiedades y ejercicios).
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Restos potenciales. Ejercicio 1 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=GjaS5Semo-8 |access-date=}} (► Cálculo del resto de la división de un número en forma de potencia por otro número).
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Restos potenciales. Ejercicio 2 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=154W6fvgUks |access-date=}} (► Cálculo del resto de la división de un número enorme en forma de potencia por otro número).
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Restos potenciales. Ejercicio 3 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=P_qvXqVYeb4 |access-date=}} (► Cálculo del resto de la división de un número enorme en forma de potencia por otro número).
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Restos potenciales. Ejercicio 4 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=6WXsshalnIA |access-date=}} (► Cálculo de las dos últimas cifras de un número enorme expresado en forma de potencia).

'''— Criterios de divisibilidad'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Criterios de divisibilidad |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=PgECRJqDpoY |access-date=}} (► Criterio general de divisibilidad, ejemplos y ejercicios).
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Criterios de divisibilidad. Ejercicio 1 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=F1VdUk4M_Ak |access-date=}} (► Obtención de un criterio de divisibilidad por 5 en base 9).
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Criterios de divisibilidad. Ejercicio 2 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=9BTaEC2hRHk |access-date=}} (► Obtención de un criterio de divisibilidad por 12 en base 10).
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Criterios de divisibilidad. Ejercicio 3 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=mbZZwfpZQKk |access-date=}} (► Obtención de un criterio de divisibilidad por 6 en base 10).
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Criterios de divisibilidad. Ejercicio 4 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=hZJyv9uQ2Dg |access-date=}} (► Obtención de un criterio de divisibilidad por 6 en base 8).
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Criterios de divisibilidad. Ejercicio 5 |format=Vídeo |publisher=Universidad Católica de Murcia (UCAM) |url=https://www.youtube.com/watch?v=LVfOS2TLwGc |access-date=}} (► Cálculo del resto de la división de un número enorme en forma de potencia por otro número).
| style="width: 50%;" |
'''— Divisibilidad y aritmética modular'''
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=_FKSIpoajbs
 |title=Section 4.1 Divisibility and Modular Arithmetic
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Baugher</span>
 |first=Greg A.
 |department=Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |location=Georgia (US-GA), EUA
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
'''— Primos y MCD'''
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=n4T5p1-vhco
 |title=Section 4.3 Primes and Greatest Common Divisors
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Baugher</span>
 |first=Greg A.
 |department=Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |location=Georgia (US-GA), EUA
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=ftp://ftp.aduni.org/videos/02_lect_18.rm
 |others=(Otra URL: https://www.youtube.com/watch?v=HEMny6FyVnA&index=18&list=PL__5ik6vMY50HNfWppaGxQydlSMTGQWzC)
 |title=Euclid's algorithm
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Simonson</span>
 |first=Shai
 |format=Vídeo
 |publisher=ArsDigita University
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=O6DNWMxG_tk&index=79&list=PLr3WmPgPWZfX1HUpeyKkP6ir2wOFhqXMO
 |title=P1--Gear Problem and LCM
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Olson</span>
 |first=Glenn R.
 |department=Maine East High School
 |location=Park Ridge, Illinois (US-IL), EUA
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
'''— Solucionando congruencias y sus aplicaciones'''
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=75rjaZeWkF4
 |title=Sections 4.4-4.5 Solving Congruences and Applications
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Baugher</span>
 |first=Greg A.
 |department=Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |location=Georgia (US-GA), EUA
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
'''— Ecuaciones diofánticas'''
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=zTXGPq0Bfb4&index=7&list=PLH83nnRMSIe4LOzMQc4jzeDbAXe9-2jrR
 |title=Number Theory 7 - Diophantine Equations
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Olavsku</span>
 |first=
 |department=
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |location=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=TIk3ujphMfk&index=63&list=PLr3WmPgPWZfX1HUpeyKkP6ir2wOFhqXMO
 |title=N1--Introduction to Linear Diophantine Equations
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Olson</span>
 |first=Glenn R.
 |department=Maine East High School
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |location=Park Ridge, Illinois (US-IL), EUA
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=5DcoG69NyO0&index=64&list=PLr3WmPgPWZfX1HUpeyKkP6ir2wOFhqXMO
 |title=N2--Solve Basic Linear Diophantine Equation
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Olson</span>
 |first=Glenn R.
 |department=Maine East High School
 |location=Park Ridge, Illinois (US-IL), EUA
 |format=Colección de vídeos
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=B-0ahK4jJUM&index=65&list=PLr3WmPgPWZfX1HUpeyKkP6ir2wOFhqXMO
 |title=N3--Simplify and Solve Linear Diophantine Equation
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Olson</span>
 |first=Glenn R.
 |department=Maine East High School
 |location=Park Ridge, Illinois (US-IL), EUA
 |format=Colección de vídeos
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=K29OtjQg35s&index=66&list=PLr3WmPgPWZfX1HUpeyKkP6ir2wOFhqXMO
 |title=N4--Solve Linear Diophantine Equation with Right Hand Side Not Equal to 1
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Olson</span>
 |first=Glenn R.
 |department=Maine East High School
 |location=Park Ridge, Illinois (US-IL), EUA
 |format=Colección de vídeos
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=b0Z845maIuw
 |title=Linear Diophantine Equations - Ex 1
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Olver</span>
 |first=Brandon
 |department=Ballarat Grammar
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |location=Wendouree, Ballarat, Victoria (AU-VIC), Commonwealth of Australia
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=Dt2-_XEj2uI
 |title=Linear Diophantine Equations - Ex 2
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Olver</span>
 |first=Brandon
 |department=Ballarat Grammar
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |location=Wendouree, Ballarat, Victoria (AU-VIC), Commonwealth of Australia
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
'''— Criptografía'''
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=WKFRdeU52eQ
 |title=Section 4.6 Cryptography
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Baugher</span>
 |first=Greg A.
 |department=Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |location=Georgia (US-GA), EUA
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=ftp://ftp.aduni.org/videos/02_lect_19.rm
 |others=(Otra URL: https://www.youtube.com/watch?v=ZHL4esYKhek&index=20&list=PL__5ik6vMY50HNfWppaGxQydlSMTGQWzC)
 |title=Cryptography
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Simonson</span>
 |first=Shai
 |format=Vídeo
 |publisher=ArsDigita University
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
|}

====== <span id="TeoriaNumeros_Personas"></span>Personas ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
* [[:Categoría:Teóricos de números|Personas ligadas a la teoría de números]]

====== <span id="TeoriaNumeros_Ensambles">Ensambles (más allá de esta asignatura) ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
* <div class="dablink"><u>Una conexión</u> con la [[Seguridad informática]]: ► [[Criptología]] y ► [[Criptografía]]: • [[RSA|Sistema criptográfico de clave pública RSA]] y • [[Competición de factorización RSA]].</div>
* <div class="dablink"><u>Vínculos</u>: [[Programación en enteros]]; [[Geometría diofántica]] <sup>([[:en:Diophantine geometry|en]])</sup>.</div>
|}

==== Tema 3.- Combinatoria ====

{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|no}}}|sí|mw-collapsed|}}" width="100%" style="text-align:left; padding:0px; background-color:#F9F9F9;"
| align="left"   |

===== Combinatoria =====
|-
| style="background-color:#F9F9F9; text-align:left; font-size:100%; padding:6px" |
{|
|[[File:Proofs-of-Fermats-Little-Theorem-bracelet1.svg|200px]]
|<div id="toc_Combinatoria" class="toc">
<div class="toctitle">
'''Índice'''
</div>
# [[#Combinatoria_Conceptos_claves|Conceptos claves]]
# [[#Combinatoria_Bibliografia|Bibliografía]]
# [[#Combinatoria_Software|Software]]
# [[#Combinatoria_Multimedia|Multimedia]]
# [[#Combinatoria_Ensambles|Ensambles (más allá de esta asignatura)]]
</div>
|}

====== <span id="Combinatoria_Conceptos_claves"></span>Conceptos claves ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
:*{{AP|Combinatoria}}
{{AP|Categoría:Combinatoria}}

'''<div id="ConceptospreviosCOMB">— Conceptos previos</div>'''
<div class="dablink" style="font-style: normal;">
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Véase también:</span> ''[[:Categoría:Temas factoriales y binomiales]] <sup>([[:en:Category:Factorial and binomial topics|en]])</sup>''</div>
* [[Funciones de parte entera]] (funciones suelo y techo)
* [[Factorial]]
* [[Factoriales descendente y ascendente]]
* [[Coeficiente binomial]]
* [[Teorema del binomio]] (estúdiese la [[Teorema del binomio#Explicación_geométrica|<span style="color:
#BA0000">explicación geométrica</span>]] <sup>([[:en:Binomial_theorem#Geometric_explanation|en]])</sup> (sección de [[Teorema del binomio]] aún sin redactar en la Wikipedia en español)
* [[Triángulo de Pascal|Triángulo de Tartaglia-Pascal]] (véase: [https://www.geogebra.org/m/usruvfhg Triángulo de Tartaglia-Pascal (recurso de Geogebra)])
* [[Teorema del trinomio]] <sup>([[:fr:Formule du trinôme de Newton|fr]]; [[:en:Trinomial expansion|en]])</sup>
* [[Teorema multinomial]] (y coeficiente multinomial)
* [[Regla de Pascal|Identidad de Pascal y su generalización]]
* [[Identidad del palo de hockey]]
</div>
</div>

'''<div id="Principiosbásicosdelconteo">— Principios fundamentales de recuento</div>'''
:*{{AP|Principios combinatorios}}

<div class="dablink" style="font-style: normal;">

'''- Reglas de la suma, producto, resta y división'''
* [[Principio de la suma]] (principio de la adición o regla de la suma)
* [[Principio del producto]] (principio de la multiplicación o regla del producto)
* [[Principio de inclusión-exclusión]] (principio de la criba o regla de la resta)
* [[Principio del complementario]]
* [[Principio de la división]]

'''- El principio de los cajones de Dirichlet y su generalización'''
* [[Principio del palomar|Principio de los cajones de Dirichlet]] (simple o restringido, y generalizado)
</div>

'''<div id="Operacionescombinatoriasbasicas">— Operaciones combinatorias básicas</div>'''
* [[Variación (combinatoria)|Variaciones simples u ordinarias]] ([[permutación parcial|permutaciones parciales restringidas]] <sup>([[:en:Partial permutation#Restricted partial permutations|en]])</sup>)
* [[Variación (combinatoria)|Variaciones con repetición]]
* [[Permutación|Permutaciones simples u ordinarias]] (variaciones de ''n'' elementos de orden ''n'')
* [[Permutación circular|Permutaciones circulares]]
* [[Permutaciones con repetición]] <sup>([[:en:Permutation#Permutations with repetition|en]])</sup>
* [[Coeficiente binomial|Combinaciones simples u ordinarias]]
* [[Combinaciones con repetición]]
</div>

'''<div id="Demostracionescombinatorias">— Demostraciones combinatorias</div>'''
:* <div class="dablink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> ''[[Demostración combinatoria]] <sup>([[:en:Combinatorial proof|en]])</sup>''</div>
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Categoría principal:</span> <i>[[:Categoría:Combinatoria enumerativa|Categoría:Combinatoria enumerativa]] <sup>([[:en:Category:Enumerative combinatorics|en]])</sup></i></div>
* [[Demostración por biyección]] <sup>([[:fr:Preuve bijective|fr]]; [[:en:Bijective proof|en]])</sup>
* [[Demostración por doble cuenta]] <sup>([[:fr:Preuve par double dénombrement|fr]]; [[:en:Double counting (proof technique)|en]])</sup>
* [[Método del elemento distinguido]] <sup>([[:en:Method of distinguished element|en]])</sup>
* [[Subfactorial|Desorden]] (o desarreglo) (demostración basada en el principio de inclusión-exclusión; puede verse este ejemplo, en inglés: [[:en:Random permutation statistics#Number of permutations that are derangements|''Number of permutations that are derangements'']])

'''<div id="Modelizacióncombinatoria">— Modelización de cuatro problemas combinatorios de recuento simples y otras operaciones combinatorias</div>'''
* [[Modelo matemático]]
* [[Modelización combinatoria]] <sup>([[:en:Combinatorial modelling|en]])</sup>
* [[Al modo duodécuple]] <sup>([[:en:Twelvefold way|en]])</sup>
<div class="dablink" style="font-style: normal;">

'''- I: Selección de muestras y etiquetado de unidades con y sin repetición'''
* [[Selección de muestras y etiquetado de unidades (combinatoria)]]

'''- II: Agrupamiento de unidades (distribución, almacenamiento o colocación de objetos en recipientes)'''<br>(Cuestiones de ocupación de recipientes por objetos)
* [[Distribución de objetos en recipientes|Distribuciones de objetos en recipientes]]
* [[Estrellas y barras (combinatoria)]] <sup>([[:en:Stars and bars (combinatorics)|en]])</sup>

'''- III: Partición de conjuntos'''
* [[Partición de un conjunto|Particiones de un conjunto]]
* [[Números de Stirling de segunda especie]]
* [[Número de Bell|Números de Bell]]
* [[Números de Lah]] <sup>([[:fr:Nombre de Lah|fr]]; [[:en:Lah number|en]])</sup>
<div class="dablink" style="font-style: normal;">

'''· Números de Catalan y Narayana. Particiones sin cruces'''
* [[Partición sin cruces]] <sup>([[:en:Noncrossing partition|en]])</sup>
* [[Números de Catalan]]
* [[Números de Narayana]] <sup>([[:fr:Nombre de Narayana|fr]]; [[:en:Narayana number|en]])</sup>
</div>

'''- IV: Descomposición aditiva de números'''
* [[Partición (teoría de números)|Particiones de enteros (descomposiciones aditivas)]]

'''- Interpretación intermodal'''
* [[Modelización combinatoria#Interpretación intermodal|<span style="color:
#BA0000">Interpretación intermodal</span>]] (sección de [[Modelización combinatoria]] aún sin redactar)
</div>

'''— Algunos ejemplos más de combinatoria'''
* [[Coeficiente fibonomial]] <sup>([[:fr:Coefficient fibonomial|fr]], [[:en:Fibonomial coefficient|en]])</sup>
* [[Conjetura de Singmaster]] <sup>([[:ca:Conjectura de Singmaster|ca]], [[:fr:Conjecture de Singmaster|fr]], [[:en:Singmaster's conjecture|en]])</sup>
* [[Desorden parcial]] <sup>([[:fr:Dérangement partiel|fr]], [[:en:Rencontres numbers|en]])</sup>
* [[Matriz de Pascal]] <sup>([[:fr:Matrice de Pascal|fr]], [[:en:Pascal matrix|en]])</sup>
* [[Métodos de generación de permutaciones]] <sup>([[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje/Taller#Métodos de generación de permutaciones|ref]])</sup>
** [[Algoritmo de Heap]]
** [[Algoritmo de Steinhaus–Johnson–Trotter]] <sup>([[:en:Steinhaus–Johnson–Trotter algorithm|en]])</sup> (y su relación con el toque inglés de campanas —<i>[[:en:Change ringing|change ringing]]</i>—)
* [[Número de Dedekind]]
* [[Número euleriano]] <sup>([[:fr:Nombre eulérien|fr]], [[:it:Numeri euleriani|it]], [[:en:Eulerian number|en]])</sup>
* [[:Categoría:Patrones de permutación]] <sup>([[:en:Category:Permutation patterns|en]])</sup>
** [[Patrón de permutación]] <sup>([[:en:Permutation pattern|en]])</sup>
** [[(p,q) barajados]] (permutación de barajado rápido —<i>riffle shuffle permutation</i>, en inglés—)
* [[Pirámide de Pascal]] <sup>([[:pt:Pirâmide de Pascal|pt]], [[:fr:Pyramide de Pascal|fr]], [[:it:Tetraedro di Tartaglia|it]], [[:en:Pascal's pyramid|en]])</sup>
* [[Polinomio de torre]] (un ejemplo de recuento con restricciones)
* [[Problema de las colegialas de Kirkman]]
* [[Triángulo armónico de Leibniz]] <sup>([[:fr:Triangle harmonique de Leibniz|fr]], [[:en:Leibniz harmonic triangle|en]])</sup>
* [[Triángulo de Bell]] <sup>([[:fr:Triangle de Bell|fr]], [[:en:Bell triangle|en]])</sup>
* [[Triángulo de Bernoulli]] <sup>([[:fr:Triangle de Bernoulli|fr]], [[:en:Bernoulli's triangle|en]])</sup>
* [[Triángulo de Catalan]] <sup>([[:fr:Triangle de Catalan|fr]], [[:en:Catalan's triangle|en]])</sup>
* [[Triángulo de Catalan]] <sup>([[:en:Lozanić's triangle|en]])</sup>
* [[Triángulo de Pascal (2,1)]] <sup>([[:fr:Triangle de Pascal (2,1)|fr]], [[:en:(2,1)-Pascal triangle|en]])</sup>
* [[Triángulo trinomial]]

'''— Paradojas'''
* [[Paradoja de Ellsberg]]
* [[Paradoja del cumpleaños]]
* [[Paradoja del falso positivo]]
* [[Problema de Monty Hall]]
* [[Paradoja de Simpson]]
<!--
{| border=0 align=center cellspacing=20
|-
| <center>{{pp-book-cover
 |title=
 |subtitle=
 |cover-image=Proofs-of-Fermats-Little-Theorem-bracelet1.svg
 |cover-color=#76b3df
}} Libro wiki (itinerario en Wikipedia)<br>¡Pulse en el título, no en la imagen de portada!</center>
|}
-->

====== <span id="Combinatoria_Bibliografia"></span>Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos  ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
* —¤— Máximo <span style="font-variant: small-caps;">Anzola</span> y José <span style="font-variant: small-caps;">Caruncho</span>. <i>Problemas de Álgebra. Tomo 1. Conjuntos-Grupos</i>. 3.ª edición. Primer Ciclo, Madrid, España. (Capítulo 8 «Combinatoria», 31 ejercicios resueltos), 1981. ISBN: 84-300-4073-0.
* L. <span style="font-variant: small-caps;">Barrios Calmaestra</span>. Combinatoria. En: <i>Proyecto Descartes</i>. Ministerio de Educación. Gobierno de España. 2007. (Acceso abierto). http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Combinatoria/combinatoria.htm
* M. <span style="font-variant: small-caps;">Delgado Pineda</span>. Material de «Curso 0: Matemáticas». Parte: Combinatoria: Variaciones, Permutaciones y Combinaciones. Potencias de un binomio. OCW UNED. (Teoría y ejercicios). 2010. (CC by-nc-nd). http://ocw.innova.uned.es/matematicas-industriales/contenidos/pdf/tema5.pdf
* I. <span style="font-variant: small-caps;">Espejo Miranda</span>, F. <span style="font-variant: small-caps;">Fernández Palacín</span>, M. A. <span style="font-variant: small-caps;">López Sánchez</span>, M. <span style="font-variant: small-caps;">Muñoz Márquez</span>, A. M. <span style="font-variant: small-caps;">Rodríguez Chía</span>, A. <span style="font-variant: small-caps;">Sánchez Navas</span> and <span style="font-variant: small-caps;">C. Valero Franco</span>. Estadística Descriptiva y Probabilidad. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz (Apéndice 1: Combinatoria). 2006. (GNU FDL). http://knuth.uca.es/repos/l_edyp/pdf/febrero06/lib_edyp.apendices.pdf
* <cite id="FrancoBranas2008" style="font-style: normal;">[[#FrancoBranas2008|—¤—]]</cite> {{cite book |last1=<span style="font-variant: small-caps;">Franco Brañas</span> |first1=José Ramón |last2=<span style="font-variant: small-caps;">Espinel Febles</span> |first2=María Candelaria |last3=<span style="font-variant: small-caps;">Almeida Benítez</span> |first3=Pedro Ramón |title=Manual de combinatoria |year=2008 |publisher=@becedario |location=Badajoz, Extremadura (ES-EX), España |isbn=978-84-96560-73-4}} © TDR.
* —¤— Kenneth A. <span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span>. <i>Matemática discreta y sus aplicaciones</i>. 5.ª edición. (Capítulos 4 y 6 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7
| style="width: 50%;" |
* —¤— Kenneth P. <span style="font-variant: small-caps;">Bogart</span>. <i>Combinatorics through guided discovery</i>. 2004. https://math.dartmouth.edu/news-resources/electronic/kpbogart/
* —¤— Kenneth A. <span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span>. <i>Discrete mathematics and its applications</i>. 7.ª edición. (Capítulos 6 y 8 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5
* <cite id="Sedgewick1977" style="font-style: normal;">[[#Sedgewick1977|—¤—]]</cite> {{cite journal |last=<span style="font-variant: small-caps;">Sedgewick</span> |first=Robert |title=Permutation Generation Methods |date=junio de 1977 |journal=Computing Surveys |volume=9 |issue=2 |pages=137-164 |url=http://homepage.math.uiowa.edu/~goodman/22m150.dir/2007/Permutation%20Generation%20Methods.pdf |isbn=}} © TDR.
|}

======  <span id="Combinatoria_Software"></span>Software ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
| style="width: 50%;" |
* [https://www.wolframalpha.com/examples/Combinatorics.html WolframAlpha (Ejemplos, Matemáticas, Combinatoria)]
|}

====== <span id="Combinatoria_Multimedia"></span>[[File:Multimedia-icon.svg|32px|link=]] Multimedia ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
'''— Conceptos previos'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Número binomial |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=KL19bVBoz1U&index=61&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Número binomial, ejercicio 2 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=Tjj7IWXj4Vw&index=28&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Número binomial, ejercicio 3 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=SW_SXZZDffc&index=29&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Número binomial, ejercicio 5 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=ez6fJnnD2e4&index=5&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Número binomial, fórmula de Stifel |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=FSlJdLTXeAU&index=43&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Coeficiente Multinomial, ejercicio 1 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=RfVTNR0oFY4&index=2&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Teorema del binomio |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=FmOWznaXJtM&index=42&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Fórmula de Leibniz |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=4yTx8T-1yVY&index=41&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ejercicios |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=5B5nrFu0704&index=69&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}

'''— Principios fundamentales de recuento'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Principios básicos de conteo |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=Kl62fUnnzT8&index=62&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ejercicios |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=GnF0-N--ckI&index=67&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}} (Ejercicio 3).

'''— Operaciones combinatorias básicas'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Variaciones |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=SWaYLSpGnXc&index=57&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Variaciones con repetición |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=kp5sZ8SF9pQ&index=56&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Permutaciones |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=7UhetaiTlXs&index=55&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Permutaciones, ejemplo 1 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=xqL4VY0GV0Q&index=64&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Permutaciones circulares |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=-Mp0I3LtGHI&index=54&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Permutaciones con repetición |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=sqIp8xPYWio&index=53&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Combinaciones |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=8eV8DR3TKvE&index=52&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Combinaciones con repetición |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=nAiblNllCOI&index=51&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ejercicios |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=ggG26wurw3U&index=60&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Combinatoria, ejemplo 6 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=5t_EDHqmG-g&index=66&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Combinatoria, ejemplo 7 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=UxIFACqHi9k&index=65&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Combinatoria, ejemplo 8 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=BmN4ID8JhxQ&index=9&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Combinatoria, ejemplo 9 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=BSyBoX-Kyv8&index=8&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Combinatoria, ejemplo 10 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=Da9fiqcB6LI&index=7&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Combinatoria, ejemplo 11 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=k5kgrTeRVjA&index=6&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}

'''— Principio de inclusión-exclusión'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Principio de inclusión-exclusión |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=ulWUfA1v1Yg&index=35&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Generalización del principio de inclusión-exclusión |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=nugR2mChJYU&index=34&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Principio de inclusión-exclusión - Ejemplo 1 |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=cx-zcOhmBcY&index=36&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Desarreglos |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=lCMuk0aVzUI&index=40&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Contando desarreglos |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=jsODf-yfTEc&index=39&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ejercicios |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=92LBS423qhQ&index=68&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}

'''— Particiones de conjuntos (modelización 3.ª)'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Particiones. Número de Bell |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=Sx6xpCcyECE&index=37&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Número de Stirling de segunda clase |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=UKQLyrM6dZg&index=38&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Ejercicios |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=WizhEPApP7I&index=63&list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
| style="width: 50%;" |
'''— Principios fundamentales de recuento'''
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=JI6f0Gg1Uyo
 |title=Section 6.1 The Basics of Counting
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Baugher</span>
 |first=Greg A.
 |department=Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University
 |location=Georgia (US-GA), EUA
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=Eick163K5Eo&list=PL0862D1A947252D20&index=27
 |title=Lecture 27 - Pigeonhole Principle 
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |location=Adyar, Chennay (ant. Madrás), Tamil Nadu (IN-TN), India
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}

'''— Operaciones combinatorias básicas'''
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=oEBUQVLLSdI
 |title=Sections 6.3 & 6.5 Permutations and Combinations
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Baugher</span>
 |first=Greg A.
 |department=Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University
 |location=Georgia (US-GA), EUA
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=7SWK8lPOkEE
 |title=Section 6.6 Generating Permutations and Combinations
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Baugher</span>
 |first=Greg A.
 |department=Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University
 |location=Georgia (US-GA), EUA
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=Dsi7x-A89Mw&list=PL0862D1A947252D20&index=28
 |title=Lecture 28 - Permutations and combinations
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |location=Adyar, Chennay (ant. Madrás), Tamil Nadu (IN-TN), India
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=74l6t4_4pDg&list=PL0862D1A947252D20&index=29
 |title=Lecture 29 - Permutations and Combinations (cont.) 
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |location=Adyar, Chennay (ant. Madrás), Tamil Nadu (IN-TN), India
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=ftp://ftp.aduni.org/videos/02_lect_11.rm
 |others=(Otra URL: https://www.youtube.com/watch?v=GODDuoQr3wI&index=11&list=PL__5ik6vMY50HNfWppaGxQydlSMTGQWzC)
 |title=Lecture 11 - Combinations and permutations
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Simonson</span>
 |first=Shai
 |format=Vídeo
 |publisher=ArsDigita University
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=ftp://ftp.aduni.org/videos/02_lect_12.rm
 |others=(Otra URL: https://www.youtube.com/watch?v=lSuu0AOh6Ig&index=12&list=PL__5ik6vMY50HNfWppaGxQydlSMTGQWzC)
 |title=Lecture 12 - Counting
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Simonson</span>
 |first=Shai
 |format=Vídeo
 |publisher=ArsDigita University
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }} (► Permutaciones generalizadas; Combinaciones generalizadas).

'''— Principio de inclusión-exclusión. Principio de los cajones'''
* {{cite web
 |url=ftp://ftp.aduni.org/videos/02_lect_13.rm
 |others=(Otra URL: https://www.youtube.com/watch?v=vDW8rs8bVjU&index=13&list=PL__5ik6vMY50HNfWppaGxQydlSMTGQWzC)
 |title=Lecture 13 - Counting (cont.)
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Simonson</span>
 |first=Shai
 |format=Vídeo
 |publisher=ArsDigita University
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }} (► Principio de inclusión-exclusión; Desorden; Principio de los cajones).

'''— Algunos ejemplos más de combinatoria'''
* {{cite web
 |url=ftp://ftp.aduni.org/videos/02_lect_14.rm
 |others=(Otra URL: https://www.youtube.com/watch?v=RdHdBRm1TCY&index=14&list=PL__5ik6vMY50HNfWppaGxQydlSMTGQWzC)
 |title=Lecture 14 - Counting problems using combinations, distributions
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Simonson</span>
 |first=Shai
 |format=Vídeo
 |publisher=ArsDigita University
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }} (► Problemas de palabras; Paréntesis balanceados).
* {{cite web
 |url=ftp://ftp.aduni.org/videos/02_lect_15.rm
 |others=(Otra URL: https://www.youtube.com/watch?v=q8nVXCqDeZU&index=15&list=PL__5ik6vMY50HNfWppaGxQydlSMTGQWzC)
 |title=Lecture 15 - Counting problems using combinations, distributions (cont.)
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Simonson</span>
 |first=Shai
 |format=Vídeo
 |publisher=ArsDigita University
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }} (► Número de subconjuntos; Número de permutaciones; Problemas de palabras; Probabilidad discreta; Paradoja del cumpleaños).
* {{cite web
 |url=ftp://ftp.aduni.org/videos/02_reci_01.rm
 |others=(Otra URL: https://www.youtube.com/watch?v=P2PmyHoG89w&index=19&list=PL__5ik6vMY50HNfWppaGxQydlSMTGQWzC)
 |title=Recitation 1 - A combinatorial card trick
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Simonson</span>
 |first=Shai
 |format=Vídeo
 |publisher=ArsDigita University
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}

'''— Funciones generatrices'''
* {{cite web
 |url=ftp://ftp.aduni.org/videos/02_lect_16.rm
 |others=(Otra URL: https://www.youtube.com/watch?v=owVusG8FXsg&index=16&list=PL__5ik6vMY50HNfWppaGxQydlSMTGQWzC)
 |title=Lecture 16 - The pigeonhole principle and examples. The inclusion/exclusion theorem and advanced examples. A combinatorial card trick
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Simonson</span>
 |first=Shai
 |format=Vídeo
 |publisher=ArsDigita University
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }} (► Árboles binarios; Paréntesis balanceados; Multiplicación de matrices; Funciones generatrices).
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=4d2XEn1j_q4&list=PL0862D1A947252D20&index=30
 |title=Lecture 30 - Generating Functions 
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |location=Adyar, Chennay (ant. Madrás), Tamil Nadu (IN-TN), India
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=FDKXPDK8ZhQ&list=PL0862D1A947252D20&index=31
 |title=Lecture 31 - Generating Functions (cont.)
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |location=Adyar, Chennay (ant. Madrás), Tamil Nadu (IN-TN), India
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
|}


'''<div id="Combinatoria_Ensambles">— Ensambles (más allá de esta asignatura)</div>'''
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
* <div class="dablink"><u>Un ingrediente</u> y <u>una conexión</u> con la [[Ciencia de redes]]: ► [[Teoría de grafos]] y ► [[Red social|Redes sociales]].</div>
* <div class="dablink"><u>Una conexión</u> con la [[Teoría de la probabilidad]], en el área de las [[:Categoría:Distribuciones discretas|Distribuciones discretas]]: ► [[Ley de Zipf]].</div>
* <div class="dablink"><u>Vínculos</u>: [[Teoría de juegos]]; [[Teoría de números]]; [[Topología]].</div>
|}

==== Tema 4.- Ecuaciones en diferencias ====
<!-- LLAMADA A LIBRO **************************************************
{{Usuario:Jmleonrojas/Libros/Ecuaciones en diferencias finitas}}
************************************************** -->
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|no}}}|sí|mw-collapsed|}}" width="100%" style="text-align:left; padding:0px; background-color:#F9F9F9;"
| align="left"   |
===== Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes) =====
|-
| style="background-color:#F9F9F9; text-align:left; font-size:100%; padding:6px" |
{|
|[[File:ADI-stencil.svg|200px]]
|<div id="toc_EcuacionesRecurrentes" class="toc">
<div class="toctitle">
'''Índice'''
</div>
# [[#EcuacionesRecurrentes_Conceptos_claves|Conceptos claves]]
# [[#EcuacionesRecurrentes_Bibliografia|Bibliografía]]
# [[#EcuacionesRecurrentes_Programas|Programas]]
# [[#EcuacionesRecurrentes_Multimedia|Multimedia]]
# [[#EcuacionesRecurrentes_Ensambles|Ensambles (más allá de esta asignatura)]]
</div>
|}

====== <span id="EcuacionesRecurrentes_Conceptos_claves"></span>Conceptos claves ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
:*{{main|Relación de recurrencia}}
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Categoría principal:</span> <i>[[:Categoría:Relaciones de recurrencia|Relaciones de recurrencia]]</i></div>
<div class="dablink"><span style="font-size:88%;">Véanse también (algunos conceptos previos útiles):</span> ''[[Definición recursiva]]'', ''[[Recursión]]''<span style="font-size:88%;"> y </span>''[[Recursión (ciencias de computación)]]''.</div>
'''<div id="GeneralidadesEDL">— Generalidades</div>'''
<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Sucesiones de elementos de un conjunto'''
* [[Sucesión (matemática)]]
* [[Sucesión de números enteros]]
* [[Progresión aritmética]] <!-- (ejemplo: https://oeis.org/A017569) -->
* [[Progresión geométrica]]
* [[Sucesión aritmético-geométrica]] <sup>([[:en:Arithmetico–geometric sequence|en]])</sup>
* [[Progresión armónica (matemática)|Progresión armónica]] <!-- (ejemplo: 1 / A017569) -->
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Véanse también:</span><div class="hlist inline">
* [[:Categoría:Sucesiones de números enteros]]
* [[Anexo: Sucesiones en la OEIS]] <sup>([[:en:List of OEIS sequences|en]], [http://oeis.org/wiki/Index_to_OEIS:_Section_Rec ref])</sup> (compendio de [[sucesión entera|sucesiones de enteros]] de la [[OEIS|Enciclopedia electrónica de sucesiones de enteros (''On-Line Encyclopedia of Integer Sequences'')]] que tienen su propia entrada en la [[Wikipedia en español]])
</div></ul>
</div>
</div>
<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Operadores de diferencias''' (Cálculo Numérico)
* [[Diferencia finita]]
* [[Diferencia finita#Cálculo del término general de una sucesión|<span style="color:#BA0000;">Cálculo del término general de una sucesión</span>]] (sección aún no redactada en [[Diferencia finita]])
</div>
<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Ecuaciones en diferencias'''
* [[Relación_de_recurrencia#Definición|Ecuación en diferencias]]
* [[Relación_de_recurrencia#Recurrencias_Lineales|Ecuación en diferencias lineal general de grado k]]
</div>
'''<div id="Ecuacionesendiferenciaslineales">— Resolución de ecuaciones en diferencias lineales y de problemas de valores iniciales</div>'''
<div class="dablink"><span style="font-size:88%;">Artículo principal:</span> ''[[Ecuación en diferencias lineal]] <sup>([[:ca:Successió recurrent lineal|ca]]; [[:fr:Suite récurrente linéaire|fr]]; [[:en:Linear difference equation|en]])</sup>''</div>
<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Ecuación en diferencias lineal homogénea con coeficientes constantes'''
* [[Relación de recurrencia#Ecuación de Recurrencia lineal homogénea con coeficientes constantes|Ecuación en diferencias lineal homogénea con coeficientes constantes]]
* [[Número de Fibonacci]]
* [[Número de Lucas]]
* [[Número de Jacobsthal]]
* [[Número de Pell]]
</div>
<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Ecuación en diferencias lineal no homogénea con coeficientes constantes'''
* [[Relación de recurrencia#Ecuación de Recurrencia lineal no homogénea con coeficientes constantes|Ecuación en diferencias lineal no homogénea con coeficientes constantes]]
* [[Teorema del cortador perezoso|Número poligonal central]] (Problema del proveedor de alimentos perezoso)
* [[Número triangular]]
* [[Triángulo de Floyd]]
* [[Número tetraédrico]]
</div>
<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Funciones generatrices'''
* [[Función generadora|Función generatriz]]
* [[Ejemplos de funciones generadoras|Ejemplos de funciones generatrices]]
</div>
'''<div id="Sistemasdinámicoslinealesdiscretos">— Sistemas dinámicos lineales discretos</div>'''
<div class="dablink" style="font-style: normal;">
'''- Dinámica poblacional'''
* [[Dinámica de poblaciones]]
'''- Modelos dinámicos discretos lineales'''
* [[Sistema dinámico]]
'''- Modelos BIDE'''
* [[Modelos matriciales de población]] <sup>([[:fr:Modèle matriciel de population|fr]]; [[:en:Matrix population models|en]])</sup>
</div>

'''<div id="GeneralidadesEDL">— Algunos ejemplos más</div>'''
* [[Conjetura de Gilbreath]] <sup>([[:fr:Conjecture de Gilbreath|fr]], [[:it:Congettura di Gilbreath|it]], [[:en:Gilbreath's conjecture|en]])</sup>
* [[Factorial exponencial]]
* [[Función de Ackermann]]
* [[Función 91 de McCarthy]]
* [[Matriz Wythoff]]
* [[Torres de Hanói]]
* [[Triángulo de Hosoya]] <sup>([[:it:Triangolo di Hosoya|it]], [[:en:Hosoya's triangle|en]])</sup>
* [[Problema de Flavio Josefo|Problema de Josefo]]

<div id="Resoluciónnuméricadeecuaciones">'''— Resolución numérica de ecuaciones''' (Cálculo Numérico)</div>
:*{{main|Resolución numérica de ecuaciones no lineales}}
<div class="dablink"><span style="font-size:88%;">Categoría principal:</span> ''[[:Categoría:Algoritmos de búsqueda de raíces|Algoritmos de búsqueda de raíces]]''</div>
{{see also|Análisis numérico}}
* [[Método del punto fijo]]
* [[Método de la secante]]
<!--
{| border=0 align=center cellspacing=20
|-
| <center>{{pp-book-cover
 |title=[[Usuario:Jmleonrojas/Libros/Ecuaciones_en_diferencias_finitas|Ecuaciones en diferencias finitas]]
 |subtitle=
 |cover-image=ADI-stencil.svg
 |cover-color=#76b3df
}} Libro wiki (itinerario en Wikipedia)<br>¡Pulse en el título, no en la imagen de portada!</center>
|}
-->

====== <span id="EcuacionesRecurrentes_Bibliografia"></span>Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos  ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
* Javier <span style="font-variant: small-caps;">Cobos Gavala</span>. <i>Apuntes de introducción a la matemática discreta</i>. (E.T.S. de ingeniería informática, Universidad de Sevilla). http://ma1.eii.us.es/material/IMD_ii_Ap.pdf
* Colaboradores de Wikilibros. Matemática Discreta/Relaciones de Recurrencia. <i>Wikilibros</i>. https://es.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_Discreta/Relaciones_de_Recurrencia
* —¤— Richard <span style="font-variant: small-caps;">Johnsonbaugh</span>. <i>Matemáticas discretas</i>. 6.ª edición. (Capítulo 7 y ejercicios correspondientes). Pearson Educación de México, S.A. de C.V., Naucalpan de Juárez, Edo. de México, México, 2005, ISBN 970-26-0637-3
* Alfredo <span style="font-variant: small-caps;">Méndez Alonso</span>, Eduardo <span style="font-variant: small-caps;">Martín Novo</span>, Carmen <span style="font-variant: small-caps;">Ortiz Martínez</span> y Juana <span style="font-variant: small-caps;">Sendra Pons</span>. <i>Tema 4: Relaciones de recurrencia</i>. OCW-UPM, 2011. CC BY-NC-SA. http://ocw.upm.es/matematica-aplicada/matematica-discreta/contenidos/material-de-clase/tema-4
* <cite id="NavasEstebanQuesada2009a" style="font-style: normal;">[[#NavasEstebanQuesada2009a|—¤—]]</cite> {{cite book |last1=<span style="font-variant: small-caps;">Navas Ureña</span> |first1=Juan |last2=<span style="font-variant: small-caps;">Esteban Ruiz</span> |first2=Francisco José |last3=<span style="font-variant: small-caps;">Quesada Teruel</span> |first3=José María |title=Modelos matemáticos en biología. Teoría |year=2009a |chapter=Tema 9. Ecuaciones y sistemas en diferencias |publisher=Universidad de Jaén. Departamento de Matemáticas |location=Jaén, Andalucía (ES-AN), España |url=http://matema.ujaen.es/jnavas/web_modelos/pdf_mmb08_09/texto%20completo.pdf |chapter-url=http://matema.ujaen.es/jnavas/web_modelos/pdf_mmb08_09/sistemas%20dinamicos.pdf |isbn=}} © TDR.
* <cite id="NavasEstebanQuesada2009b" style="font-style: normal;">[[#NavasEstebanQuesada2009b|—¤—]]</cite> {{cite book |last1=<span style="font-variant: small-caps;">Navas Ureña</span> |first1=Juan |last2=<span style="font-variant: small-caps;">Esteban Ruiz</span> |first2=Francisco José |last3=<span style="font-variant: small-caps;">Quesada Teruel</span> |first3=José María |title=Modelos matemáticos en biología. Ejercicios resueltos y propuestos |year=2009b |chapter=Tema 2. Modelos discretos II |publisher=Universidad de Jaén. Departamento de Matemáticas |location=Jaén, Andalucía (ES-AN), España |url=http://matema.ujaen.es/jnavas/web_modelos/problemas/problemas%20completo.pdf |chapter-url=http://matema.ujaen.es/jnavas/web_modelos/problemas/ptema2.pdf |isbn=}} © TDR.
* —¤— Kenneth A. <span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span>. <i>Matemática discreta y sus aplicaciones</i>. 5.ª edición. (Capítulos 4 y 6 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7
* Enrique <span style="font-variant: small-caps;">Vílchez Quesada</span>. Resolución de relaciones de recurrencia lineales no homogéneas con coeficientes constantes a través de valores y vectores propios. <i>Uniciencia</i>, <i>24</i>, 2010, pp. 121-132. https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=5381351
* Álex <span style="font-variant: small-caps;">Zeballos</span>. Solución a Ecuaciones de Recurrencia Online - Usando Wolfram Alpha. http://wolframalpha0.blogspot.com.es/2012/01/solucion-ecuaciones-de-recurrencia.html
| style="width: 50%;" |
* Richard <span style="font-variant: small-caps;">Johnsonbaugh</span>. <i>Discrete mathematics</i>. 6.ª edición. (Capítulo 7 y ejercicios correspondientes). Prentice Hall Inc., Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2005, ISBN 0-13-117686-2
* —¤— Eric <span style="font-variant: small-caps;">Lehman</span>, F. Thomson <span style="font-variant: small-caps;">Leighton</span>, Albert R. <span style="font-variant: small-caps;">Meyer</span>. Mathematics for Computer Science. (Capítulo V). 2017 (2 de mayo). CC BY-SA. https://courses.csail.mit.edu/6.042/spring17/mcs.pdf
* —¤— Kenneth A. <span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span>. <i>Discrete mathematics and its applications</i>. 7.ª edición. (Capítulos 5 y 8 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5
* Wikibooks contributors. Discrete Mathematics/Recursion. <i>Wikibooks</i>. https://en.wikibooks.org/wiki/Discrete_Mathematics/Recursion
|}

====== <span id="EcuacionesRecurrentes_Programas"></span>Programas ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
| style="width: 50%;" |
* [https://www.wolframalpha.com/examples/Recurrences.html WolframAlpha (Ejemplos, Matemáticas, Recurrencias)]
|}

====== <span id="EcuacionesRecurrentes_Multimedia"></span>[[File:Multimedia-icon.svg|32px|link=]] Multimedia ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Rodríguez Álvarez</span> |first=María José |department=Departamento de Matemática Aplicada, Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática |title=Método de la ecuación característica para recurrencias homogéneas lineales de segundo orden con coeficientes constantes (raíces reales) |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |location=Valencia, Comunidad Valenciana (ES-VC), España |url=https://media.upv.es/#/portal/video/25060ec1-3934-b74a-bb81-4c146afc0e75 |others=(Otra URL: https://www.youtube.com/watch?v=JHeVpfXyaB4) |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Rodríguez Álvarez</span> |first=María José |department=Departamento de Matemática Aplicada, Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática |title=Recurrencias lineales de segundo orden con coeficientes constantes no homogénea (constante) |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |location=Valencia, Comunidad Valenciana (ES-VC), España |url=https://media.upv.es/#/portal/video/a30514ee-d1fc-4c47-aa04-082249a47eaa |others=(Otra URL: https://www.youtube.com/watch?v=GNUzf3EAGuY) |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Rodríguez Álvarez</span> |first=María José |department=Departamento de Matemática Aplicada, Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática |title=Recurrencias no homogéneas lineales de segundo orden con coeficientes constantes |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |location=Valencia, Comunidad Valenciana (ES-VC), España |url=https://media.upv.es/#/portal/video/c617011e-c399-be43-b316-33c6b53d9385 |others=(Otra URL: https://www.youtube.com/watch?v=muRVDIhumBQ) |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Rodríguez Álvarez</span> |first=María José |department=Departamento de Matemática Aplicada, Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática |title=Resolución de recurrencias con Mathematica |format=Vídeo |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |location=Valencia, Comunidad Valenciana (ES-VC), España |url=https://media.upv.es/#/portal/video/b40afff0-30f5-11e7-9247-516e3f451f9f |others=(Otra URL: https://www.youtube.com/watch?v=WVDXJ_QvVK4) |access-date=}}
| style="width: 50%;" |
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=qvw1GX93JSY
 |title=Lecture 32 - Recurrence relations
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |location=Adyar, Chennay (ant. Madrás), Tamil Nadu (IN-TN), India
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=ImLM1Vsr35c
 |title=Lecture 33 - Recurrence relations (cont.)
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |location=Adyar, Chennay (ant. Madrás), Tamil Nadu (IN-TN), India
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=vNf_XY7G0uo
 |title=Lecture 34 - Recurrence relations (cont.)
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |location=Adyar, Chennay (ant. Madrás), Tamil Nadu (IN-TN), India
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=ftp://ftp.aduni.org/videos/02_lect_06.rm
 |others=(Otra URL: https://www.youtube.com/watch?v=492OmzjIsw8&index=6&list=PL__5ik6vMY50HNfWppaGxQydlSMTGQWzC)
 |title=Lecture 6 - Basic arithmetic and geometric sums, closed forms.
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Simonson</span>
 |first=Shai
 |format=Vídeo
 |publisher=ArsDigita University
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=ftp://ftp.aduni.org/videos/02_lect_07.rm
 |others=(Otra URL: https://www.youtube.com/watch?v=hupn2J8Wvys&index=7&list=PL__5ik6vMY50HNfWppaGxQydlSMTGQWzC)
 |title=Lecture 7 - Chinese rings puzzle
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Simonson</span>
 |first=Shai
 |format=Vídeo
 |publisher=ArsDigita University
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=ftp://ftp.aduni.org/videos/02_lect_08.rm
 |others=(Otra URL: https://www.youtube.com/watch?v=s2f15X4-GDU&index=8&list=PL__5ik6vMY50HNfWppaGxQydlSMTGQWzC)
 |title=Lecture 8 - Solving recurrence equations
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Simonson</span>
 |first=Shai
 |format=Vídeo
 |publisher=ArsDigita University
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=ftp://ftp.aduni.org/videos/02_lect_09.rm
 |others=(Otra URL: https://www.youtube.com/watch?v=TPb_gnCczpY&index=9&list=PL__5ik6vMY50HNfWppaGxQydlSMTGQWzC)
 |title=Lecture 9 - Solving recurrence equations (cont.)
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Simonson</span>
 |first=Shai
 |format=Vídeo
 |publisher=ArsDigita University
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
|}

'''<div id="EcuacionesRecurrentes_Ensambles">— Ensambles (más allá de esta asignatura)</div>'''
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
* <div class="dablink"><u>Una conexión</u> con la [[Teoría de la probabilidad]]: ► [[Cadena de Márkov|Cadenas de Márkov]] (un tipo particular de [[proceso estocástico]]).</div>
* <div class="dablink"><u>Una conexión</u> con la [[Teoría de la complejidad computacional]]: ► [[Análisis de algoritmos]].</div>
* <div class="dablink"><u>Vínculos</u>: [[Red bayesiana|Redes bayesianas]]; [[Causalidad (filosofía)|Causalidad]]; [[Ecuación diferencial|Ecuaciones diferenciales]].</div>
|}

==== Apéndices ====

{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|no}}}|sí|mw-collapsed|}}" width="100%" style="text-align:left; padding:0px; background-color:#F9F9F9;"
| align="left"   |

===== Grafos =====
|-
| style="background-color:#F9F9F9; text-align:left; font-size:100%; padding:6px" |
{|
|[[File:Graph isomorphism.svg|172px]]
|<div id="toc_Grafos" class="toc">
<div class="toctitle">
'''Índice'''
</div>
# [[#Grafos_Conceptos_claves|Conceptos claves]]
# [[#Grafos_Bibliografia|Bibliografía]]
# [[#Grafos_Programas|Programas]]
# [[#Grafos_Multimedia|Multimedia]]
# [[#Grafos_Vease_tambien|Véase también]]
# [[#Grafos_Para_saber_mas|Para saber más]]
</div>
|}

====== <span id="Grafos_Conceptos_claves"></span>Conceptos claves ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
'''— Árboles'''
{{AP|Árbol (teoría de grafos)|Árbol (informática)}}
* [[Árbol k-ario]]
* [[Árbol binario]]
'''— Grafos'''
{{main|Teoría de grafos}}
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Categorías principales:</span> ''[[:Categoría:Teoría de grafos]]'', ''[[:Categoría:Grafos]]'', ''[[:Categoría:Familias de grafos]]''</div>
<!-- <div class="dablink"><span style="font-size:88%">Véanse también:</span> ''[[Lógica clásica]]'', ''[[Lógica]]'', ''[[Formalismo matemático]]'', ''[[Anexo:Símbolos lógicos]]'', ''[[:Categoría:Lógica]]''<span style="font-size:88%"> y </span>''[[Logicismo]]''.</div> -->
* [[Grafo]]
* [[Grafo dirigido]]
* [[Grafo no dirigido]]
* [[Grafo ponderado]]
* [[Bucle (teoría de grafos)]]
* [[Multigrafo]]
* [[Hipergrafo]]
* [[Densidad (teoría de grafos)]]
* [[Problema de los puentes de Königsberg]]
* [[Rompecabezas de las cinco habitaciones]] <sup>([[:en:Five room puzzle|en]])</sup>
* [[Camino euleriano]]
* [[Camino hamiltoniano]]
* [[Problema del camino Hamiltoniano]]
* [[Isomorfismo de grafos]]
* [[Problema del isomorfismo de grafos]]
* [[Grafo conexo]]
* [[Apareamiento (teoría de grafos)|Emparejamiento]]
* [[Problema de la asignación]]
* [[:Categoría:Algoritmos de grafos|Algoritmos de grafos]]
<!--
{| border=0 align=center cellspacing=20
|-
| <center>{{pp-book-cover
 |title=[[Usuario:Jmleonrojas/Libros/Ecuaciones_en_diferencias_finitas|Ecuaciones en diferencias finitas]]
 |subtitle=
 |cover-image=Graph isomorphism.svg
 |cover-color=#76b3df
}} Libro wiki (itinerario en Wikipedia)<br>¡Pulse en el título, no en la imagen de portada!</center>
|}
-->

====== <span id="Grafos_Bibliografia"></span>Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos  ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
* —¤— Kenneth A. <span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span>. <i>Matemática discreta y sus aplicaciones</i>. 5.ª edición. (Capítulos 8 y 9 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7
| style="width: 50%;" |
* —¤— Kenneth A. <span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span>. <i>Discrete mathematics and its applications</i>. 7.ª edición. (Capítulos 10 y 11 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5
|}

====== <span id="Grafos_Programas"></span>Programas ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
| style="width: 50%;" |
* [https://www.wolframalpha.com/examples/GraphTheory.html WolframAlpha (Ejemplos, Matemáticas, Teoría de grafos)]
|}

====== <span id="Grafos_Multimedia"></span>[[File:Multimedia-icon.svg|32px|link=]] Multimedia ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">UPV</span> |first= |title=Teoría básica de grafos y análisis de 4 conocidos problemas |format=Curso |publisher=Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática, Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |location=Valencia, Comunidad Valenciana (ES-VC), España |url=https://www.youtube.com/playlist?list=PL5098BF5A01819B3B |access-date=}} © gratis OA.
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">UPV</span> |first= |title=Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real I |format=CEMA |publisher=Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática, Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |location=Valencia, Comunidad Valenciana (ES-VC), España |url=https://www.youtube.com/playlist?list=PL6kQim6ljTJu44dsVeZifHHiuDC1MEZ7q |access-date=}} © gratis OA.
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">UPV</span> |first= |title=Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real II |format=CEMA |publisher=Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática, Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |location=Valencia, Comunidad Valenciana (ES-VC), España |url=https://www.youtube.com/playlist?list=PL6kQim6ljTJs2p7W1xMPhelLR-xPuhtJj |access-date=}} © gratis OA.
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Matemática discreta |format=Colección de vídeos |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/playlist?list=PL2qtqrBO8xujlH2bo2UPMQ3m9Hj9yEBur |access-date=}}
| style="width: 50%;" |
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/user/DrSaradaHerke
 |title=Sarada Herke's Youtube channel focused on graph theory and discrete mathematics
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Herke</span>
 |first=Sarada
 |format=Vídeo
 |publisher=
 |location=Brisbane, Queensland (AU-QLD), Mancomunidad de Australia
 |date=
 |department=School of Mathematics and Physics, Universidad de Queensland
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=RMLR2JHHeWo
 |title=Lecture 14 - Graphs
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |location=Adyar, Chennay (ant. Madrás), Tamil Nadu (IN-TN), India
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/watch?v=nf9e0_ylGdc
 |title=Lecture 15 - Graphs (cont.)
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Vídeo
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |location=Adyar, Chennay (ant. Madrás), Tamil Nadu (IN-TN), India
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
|}

====== <span id="Grafos_Vease_tambien"></span>Véase también ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
* [[Lema del apretón de manos]] <sup>([[:pt:Lema do aperto de mão|pt]]; [[:fr:Lemme des poignées de main|fr]]; [[:w:Handshaking lemma|en]])</sup>
* [[Problema del cartero chino]]

====== <span id="Grafos_Para_saber_mas"></span>Para saber más ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
<ol style="list-style-type:circle;">
  <li>[[Anexo:Galería de grafos]]</li>
  <li>[[Portal:Matemáticas]]
  <li>[[Red en malla]]</li>
</ol>
|}

{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|no}}}|sí|mw-collapsed|}}" width="100%" style="text-align:left; padding:0px; background-color:#F9F9F9;"
| align="left"   |

===== Cálculo numérico =====
|-
| style="background-color:#F9F9F9; text-align:left; font-size:100%; padding:6px" |
{|
|[[File:BilinearInterpolExample2.png|200px]]
|<div id="toc_CalculoNumerico" class="toc">
<div class="toctitle">
'''Índice'''
</div>
# [[#CalculoNumerico_Conceptos_claves|Conceptos claves]]
# [[#CalculoNumerico_Bibliografia|Bibliografía]]
# [[#CalculoNumerico_Programas|Programas]]
# [[#CalculoNumerico_Multimedia|Multimedia]]
# [[#CalculoNumerico_Para_saber_mas|Para saber más]]
</div>
|}

====== <span id="CalculoNumerico_Conceptos_claves"></span>Conceptos claves ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Artículos principales:</span> ''[[Álgebra lineal numérica]]'' <span style="font-size:88%;"> y </span>''[[Análisis numérico]]''</div>
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">Categorías principales:</span> ''[[:Categoría:Álgebra lineal numérica|Álgebra lineal numérica]]'' <span style="font-size:88%;"> y </span>''[[:Categoría:Análisis numérico|Análisis numérico]]''</div>
'''— Interpolación'''
* [[Interpolación polinómica]]
** [[Interpolación polinómica de Newton|Interpolación polinomial de Newton en diferencias divididas]]
** [[Interpolación polinómica de Lagrange]]
<!--
** [[Polinomio de Bernstein]]
* [[Resolución numérica de ecuaciones no lineales|Búsqueda de raíces]]
** [[Método de bisección]]
** [[Método de la regla falsa]]
** [[Método de Newton|Método de Newton-Raphson]]
** [[Método de la secante]]
* [[Álgebra lineal numérica]]
<ol style="list-style-type:circle;">
  <li>[[Fracción continua|Fracciones continuas]]</li>
  <li>[[Constantes matemáticas ordenadas según sus representaciones como fracciones continuas]] (en inglés: [[w:Mathematical constants by continued fraction representation|Mathematical constants by continued fraction representation]])</li>
  <li>[[Número_π|π (pi)]]</li>
  <li>[[:Categoría:Algoritmos de cálculo de π|Algoritmos de cálculo de π]]</li>
</ol>
-->
<!--
{| border=0 align=center cellspacing=20
|-
| <center>{{pp-book-cover
 |title=[[Usuario:Jmleonrojas/Libros/Ecuaciones_en_diferencias_finitas|Ecuaciones en diferencias finitas]]
 |subtitle=
 |cover-image=BilinearInterpolExample2.png
 |cover-color=#76b3df
}} Libro wiki (itinerario en Wikipedia)<br>¡Pulse en el título, no en la imagen de portada!</center>
|}
-->

====== <span id="CalculoNumerico_Bibliografia"></span>Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos  ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
* —¤— Steven C. <span style="font-variant: small-caps;">Chapra</span> y Raymond P. <span style="font-variant: small-caps;">Canale</span>. <i>Métodos numéricos para ingenieros</i>. 5.ª edición, 2007.
* María José <span style="font-variant: small-caps;">Ibáñez Pérez</span>. <i>Notas sobre Interpolación polinómica</i>. http://www.ugr.es/~mibanez/ejemplos/interpolacion.pdf
* —¤— Walter <span style="font-variant: small-caps;">Mora</span>. <i>Introducción a los métodos numéricos</i>. 2016. https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/WMora_MetodosNumericos/WMora-ITCR-MetodosNumericos.pdf
| style="width: 50%;" |
* —¤— Leon Q. <span style="font-variant: small-caps;">Brin</span>. <i>Tea Time Numerical Analysis. Experiences in Mathematics</i>. 2.ª edición, 2016, CC BY-SA. http://lqbrin.github.io/tea-time-numerical/
* —¤— Steven C. <span style="font-variant: small-caps;">Chapra</span> y Raymond P. <span style="font-variant: small-caps;">Canale</span>. <i>Numerical methods for Engineers</i>. McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 6.ª edición, 2010, ISBN: 9780072918731. http://openlibrary.org/books/OL7305712M/Numerical_Methods_for_Engineers
|}

====== <span id="CalculoNumerico_Programas"></span>Programas  ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
| style="width: 50%;" |
* [https://www.wolframalpha.com/examples/Polynomials.html WolframAlpha (Examples, Mathematics, Polynomials)]
|}

====== <span id="CalculoNumerico_Multimedia"></span>[[File:Multimedia-icon.svg|32px|link=]] Multimedia ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
'''— Interpolación'''
<!--* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Polinomio Interpolador |format=Vídeo |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/watch?v=GnD3JqYDSWk |access-date=}}-->
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Martín Barreiro</span> |first=Carlos |title=El problema de la interpolación lineal |format=Vídeo |publisher=Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL) |location=Santiago de Guayaquil, Provincia del Guayas (EC-G), Ecuador |url=https://www.youtube.com/watch?v=Er8DRO1mea8&t=11s |access-date=}}
'''— Interpolación polinomial de Newton en diferencias divididas'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Martín Barreiro</span> |first=Carlos |title=Polinomio de Lagrange |format=Vídeo |publisher=Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL) |location=Santiago de Guayaquil, Provincia del Guayas (EC-G), Ecuador |url=https://www.youtube.com/watch?v=Er8DRO1mea8&t=1160s |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Martín Barreiro</span> |first=Carlos |title=Polinomio de Lagrange. Ejemplo |format=Vídeo |publisher=Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL) |location=Santiago de Guayaquil, Provincia del Guayas (EC-G), Ecuador |url=https://www.youtube.com/watch?v=tMV3HfxKQKc&t=1706s |access-date=}}
'''— Interpolación polinómica de Lagrange'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Martín Barreiro</span> |first=Carlos |title=Polinomio de Newton |format=Vídeo |publisher=Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL) |location=Santiago de Guayaquil, Provincia del Guayas (EC-G), Ecuador |url=https://www.youtube.com/watch?v=uJzzqnbnKRg&t=305s |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Martín Barreiro</span> |first=Carlos |title=Polinomio de Newton. Ejemplo |format=Vídeo |publisher=Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL) |location=Santiago de Guayaquil, Provincia del Guayas (EC-G), Ecuador |url=https://www.youtube.com/watch?v=uJzzqnbnKRg&t=1810s |access-date=}}
| style="width: 50%;" |
'''— Interpolación'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Kaw</span> |first=Autar |title=Primer on interpolation |format=Vídeo |publisher=University of South Florida (USF) |location=Tampa, Florida (US-FL), EUA |url=http://nm.mathforcollege.com/topics/primer_interpolation.html |access-date=}}
'''— Interpolación polinomial de Newton en diferencias divididas'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Kaw</span> |first=Autar |title=Newton's divided difference polynomial interpolation. Linear interpolation: Theory |format=Vídeo |publisher=University of South Florida (USF) |location=Tampa, Florida (US-FL), EUA |url=http://mathforcollege.com/nm/videos/youtube/05inp/newton/newton_05inp_lineartheory.html |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Kaw</span> |first=Autar |title=Newton's divided difference polynomial interpolation. Linear interpolation: Example |format=Vídeo |publisher=University of South Florida (USF) |location=Tampa, Florida (US-FL), EUA |url=http://mathforcollege.com/nm/videos/youtube/05inp/newton/newton_05inp_linearexample.html |access-date=}}
'''— Interpolación polinómica de Lagrange'''
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Kaw</span> |first=Autar |title=Lagrangian Interpolation: Theory |format=Vídeo |publisher=University of South Florida (USF) |location=Tampa, Florida (US-FL), EUA |url=http://mathforcollege.com/nm/videos/youtube/05inp/lagrangian/lagrangian_05inp_theory.html |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Kaw</span> |first=Autar |title=Lagrangian Interpolation: Linear Interpolation: Example |format=Vídeo |publisher=University of South Florida (USF) |location=Tampa, Florida (US-FL), EUA |url=http://mathforcollege.com/nm/videos/youtube/05inp/lagrangian/lagrangian_05inp_linear.html |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Kaw</span> |first=Autar |title=Lagrangian Interpolation: Theory |format=Vídeo |publisher=University of South Florida (USF) |location=Tampa, Florida (US-FL), EUA |url=http://mathforcollege.com/nm/videos/youtube/05inp/lagrangian/lagrangian_05inp_theory.html |access-date=}}
|}

====== <span id="CalculoNumerico_Para_saber_mas"></span>Para saber más ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
<ol style="list-style-type:circle;">
  <li>{{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Martín Barreiro</span> |first=Carlos |title=Análisis numérico |format=Vídeo |publisher=Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL) |location=Santiago de Guayaquil, Provincia del Guayas (EC-G), Ecuador |url=https://www.youtube.com/playlist?list=PLKoPE99M_ulXtxS00hFRpnpOth1lXk0uL |access-date=}}</li>
</ol>
| style="width: 50%;" |
<ol style="list-style-type:circle;">
  <li>[http://mathworld.wolfram.com/topics/Archer.html <span style="font-variant: small-caps;">Archer</span>, Branden] and [http://mathworld.wolfram.com/about/author.html <span style="font-variant: small-caps;">Weisstein</span>, Eric W.] &quot;Lagrange Interpolating Polynomial.&quot; De [http://mathworld.wolfram.com/ ''MathWorld'']--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/LagrangeInterpolatingPolynomial.html</li>
  <li>[http://mathworld.wolfram.com/about/author.html <span style="font-variant: small-caps;">Weisstein</span>, Eric W.] &quot;Newton's Divided Difference Interpolation Formula.&quot; De [http://mathworld.wolfram.com/ ''MathWorld'']--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/NewtonsDividedDifferenceInterpolationFormula.html</li>
  <li>{{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Kaw</span> |first=Autar |title=Holistic Numerical Methods |format=Vídeo |publisher=University of South Florida (USF) |location=Tampa, Florida (US-FL), EUA |url=http://mathforcollege.com/nm |access-date=}}</li>
  <li>[[Portal:Matemática]]</li>
</ol>
|}
|}

{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|no}}}|sí|mw-collapsed|}}" width="100%" style="text-align:left; padding:0px; background-color:#F9F9F9;"
| align="left"   |

===== Más píldoras complementarias de conocimiento =====
|-
| style="background-color:#F9F9F9; text-align:left; font-size:100%; padding:6px" |<!--
====== Macrodatos ====== 
* [[Computacional X]] (En inglés: [https://en.wikipedia.org/wiki/Computational_X Computational X])
-->
* [[Píldora roja y píldora azul]]
====== Conjeturas ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{{AP|Conjetura}}
{{AP|Categoría:Conjeturas matemáticas}}
* [[Anexo: Conjeturas matemáticas]] <sup>([[:fr:Liste de conjectures mathématiques|fr]]; [[:it:Congetture matematiche|it]]; [[:en:List of conjectures|en]])</sup>
* [[Independencia (lógica matemática)#Ejemplos_de_independencia|Conjeturas no decidibles]]

====== Problemas abiertos ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{{AP|Problema abierto|l1=Problema abierto (problema no resuelto)}}
{{AP|Categoría:Problemas no resueltos}}
* [[Anexo:Problemas no resueltos de la Matemática]]
* [[:Categoría:Problemas matemáticos no resueltos]]
* [[Anexo:Problemas no resueltos de las ciencias de la computación]]
* [[:Categoría:Problemas no resueltos de las ciencias de la computación]]
* [[Anexo:Problemas no resueltos]] <sup>([[:en:Lists of unsolved problems|en]]; [[:fr:Liste des problèmes non résolus|fr]])</sup>
* Véase también: [[:en:Category:Lists of unsolved problems|Category:Lists of unsolved problems]] en la Wikipedia en inglés

====== Paradojas ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{{AP|Paradoja}}
{{AP|Categoría:Paradojas}}
* [[Anexo:Paradojas]] <sup>([[:pt:Lista de paradoxos|pt]]; [[:fr:Liste de paradoxes|fr]]; [[:w:List_of_paradoxes|en]])</sup> (compendio de paradojas, por campo de conocimiento)

====== Algunos problemas más, no resueltos o sí ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
* [[:Categoría:Hipótesis]] <sup>([[:fr:Catégorie:Hypothèse|fr]]; [[:en:Category:Hypotheses|en]])</sup>
* [[:Categoría:Problemas filosóficos]]
* [[:Categoría:Problemas matemáticos]]
* [[:Categoría:Problemas computacionales]]
* [[:Categoría:Matemática recreativa]]
* [[:Categoría:Anexos:Matemáticas|Categoría:Anexos:Matemáticas]], por ejemplo:
** [[Anexo:Enunciados matemáticos]]
** [[Anexo:Teoremas]] <sup>([[:pt:Lista de teoremas matemáticos|pt]]; [[:fr:Liste de théorèmes|fr]]; [[:en:List of theorems|en]])</sup>
** [[Anexo:Lemas]] <sup>([[:fr:Liste de lemmes|fr]]; [[:en:List of lemmas|en]])</sup>
** [[Anexo:Demostraciones matemáticas]] <sup>([[:en:List of mathematical proofs|en]])</sup>
** [[Anexo:Desigualdades]] <sup>([[:en:List of inequalities|en]])</sup>
** [[Anexo:Ideas matemáticas refutadas]] <sup>([[:en:List of disproved mathematical ideas|en]]; [[:it:Progetto:Matematica/Elenco di dimostrazioni matematiche|it]])</sup>
** [[Anexo:Demostraciones incompletas]] <sup>([[:en:List of incomplete proofs|en]])</sup>
** [[Anexo:Problemas indecidibles]] <sup>([[:pt:Lista de problemas indecidíveis|pt]]; [[:en:List of undecidable problems|en]])</sup>
* [[:Categoría:Anexos:Problemas no resueltos]] <sup>([[:en:Category:Lists of unsolved problems|en]])</sup>
* [[:Categoría:Anexos:Estadística|Categoría:Anexos:Estadística]] <sup>([[:en:Category:Statistics-related lists|en]])</sup>
* [[:Categoría:Anexos:Informática|Categoría:Anexos:Informática]]
* [[:Categoría:Anexos:Filosofía|Categoría:Anexos:Filosofía]]

====== Filosofía ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
* [[Filosofía de la lógica]]
* [[Filosofía del lenguaje]]
* [[Filosofía de la aritmética (1891)]]
* [[Filosofía de la estadística]] <sup>([[:en:Philosophy of statistics|en]])</sup>
* [[Filosofía de las matemáticas]]
* [[Filosofía de la ciencia de la computación]]
* [[Filosofía de la ciencia]]
* [[Filosofía de la tecnología]]
* [[Filosofía de la técnica]]
* [[Filosofía de la mente]]
* [[Filosofía de la inteligencia artificial]] <sup>([[:pt:Filosofia da inteligência artificial|pt]]; [[:fr:Philosophie de l'intelligence artificielle|fr]]; [[:ca:Filosofia de la intel·ligència artificial|ca]]; [[:en:Philosophy of artificial intelligence|en]])</sup>
* [[Filosofía de la información]]
* [[Filosofía de las ciencias sociales]]
* [[Estudios de ciencia, tecnología y sociedad]]
* [[Tecnociencia]]
{{see also|Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Ex post I: Aula de Humanidades Juanelo Turriano (Segunda edición)|l1=Aula de Humanidades Juanelo Turriano (Segunda edición)}}

====== Historia ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
* [[Historia de la lógica]]
* [[Lingüística histórica]]
* [[Historia del álgebra]] <sup>([[:pt:História da álgebra|pt]]; [[:en:History of algebra|en]])</sup>
* [[Historia de la aritmética]] <sup>([[:pt:História da aritmética|pt]]; [[:en:History of arithmetic|en]])</sup>
* [[Número#Historia del concepto de número|Historia de los números]]
* [[Teoría de números#Historia|Historia de la teoría de números]]
* [[Historia de la teoría de números (1920)]] <sup>([[:en:History of the Theory of Numbers|en]])</sup> (obra en tres volúmenes de [[Leonard Eugene Dickson]] <sup>([[:pt:Leonard Eugene Dickson|pt]]; [[:fr:Leonard Eugene Dickson|fr]]; [[:it:Leonard Eugene Dickson|it]]; [[:en:Leonard Eugene Dickson|en]])</sup> que resume el trabajo en teoría de números hasta 1920)
* [[Historia de la combinatoria]] <sup>([[:it:Storia della combinatoria|it]]; [[:en:History of combinatorics|en]])</sup>
* [[Historia de la estadística]]
* [[Historia de la probabilidad]] <sup>([[:pt:História da teoria das probabilidades|pt]]; [[:fr:Histoire des probabilités|fr]]; [[:ca:Història de la probabilitat|ca]]; [[:en:History of probability|en]])</sup>
* [[Historia de la matemática]]
* [[Historia de las ciencias de la computación]]
* [[Historia de la ciencia]]
* [[Historia de la tecnología]]
* [[Historia de la ciencia y tecnología]] <sup>([[:en:History of science and technology|en]])</sup>
* [[Anexo:Historia de la computación]]
* [[Historia de la inteligencia artificial]]
* [[Filosofía#Historia|Historia de la filosofía]]
* [[Historia de la sociología]]
* [[Historia de las ideas]]

====== Imaginación ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
* [[:Categoría:Imaginación]]
* [[Computadora analógica|Computador analógico]]
* [[Futuro de la matemática]] <sup>([[:en:Future of mathematics|en]])</sup>
* [[:Categoría:Futuro]] <sup>([[:en:Category:Future|en]])</sup>

====== Lenguajes ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
* {{noredirect|Lenguaje matemático|<span style="color:
#BA0000">Lenguaje matemático</span>}} <sup>([[:fr:Langage mathématique|fr]]; [[:en:Language of mathematics|en]])</sup>
* [[Notación matemática]]
* [[:Categoría:Anexos:Glosarios]], por ejemplo:
** [[:Categoría:Anexos:Glosarios de matemáticas]]
*** De interés particular: [[Forma cerrada (matemática)|Forma cerrada]] • ...
* [[:Categoría:Terminología]], por ejemplo:
** [[:Categoría:Terminología matemática]]
** [[:Categoría:Terminología informática]]
** [[:Categoría:Terminología filosófica]]
** [[:Categoría:Terminología de las ciencias sociales]]

====== [[File:Multimedia-icon.svg|32px|link=]] Multimedia ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |title=Momentos de ciencia |format=Colección de vídeos |publisher=Escuela Politécnica Superior, Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/playlist?list=PL2qtqrBO8xugdaQMPvm7AmV78kgKnNE91 |access-date=}}
| style="width: 50%;" |
* ...
|}

====== Para saber más ======
<hr style="margin-left: 0px; width:50%;">
* [http://mathematics-in-europe.eu/?p=334 Richard Elwes (2016) The top 10 mathematical achievements of the last 5ish years, maybe. En: www.mathematics-in-europe.eu, European Mathematical Society (EMS)]
|}

{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|no}}}|sí|mw-collapsed|}}" width="100%" style="text-align:left; padding:0px; background-color:#F9F9F9;"
| align="left"   |

===== Editatones (miniencuentros intensivos de aprendizaje en colaboración) =====
|-
| style="background-color:#F9F9F9; text-align:left; font-size:100%; padding:6px" |
* [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje/Taller#Editatones|Aquí]].
|}

{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|no}}}|sí|mw-collapsed|}}" width="100%" style="text-align:left; padding:0px; background-color:#F9F9F9;"
| align="left"   |

===== [[File:Multimedia-icon.svg|32px|link=]] Más multimedia de los autores referidos y de otros =====
|-
| style="background-color:#F9F9F9; text-align:left; font-size:100%; padding:6px" |
{| style="width: 100%;"
|En español: || En inglés:
|- style="vertical-align:top;"
| style="width: 50%;" |
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Hervás Jorge</span> |first=Antonio |department=Departamento de Matemática Aplicada, Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática |title=Colección de vídeos |format= |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |location=Valencia, Comunidad Valenciana (ES-VC), España |url=https://media.upv.es/#/portal/user/d68676eb-232c-4527-9365-a14b74a594ed/videos |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Jordán Lluch</span> |first=Cristina |department=Departamento de Matemática Aplicada, Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática |title=Colección de vídeos |format= |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |location=Valencia, Comunidad Valenciana (ES-VC), España |url=https://media.upv.es/#/portal/user/58cc4c2a-6459-4311-b124-23658c85b778/videos |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Martín Barreiro</span> |first=Carlos |title=Análisis numérico |format=Curso |publisher=Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL) |location=Santiago de Guayaquil, Provincia del Guayas (EC-G), Ecuador |url=https://www.youtube.com/playlist?list=PLKoPE99M_ulXtxS00hFRpnpOth1lXk0uL |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Rodríguez Álvarez</span> |first=María José |department=Departamento de Matemática Aplicada, Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática |title=Colección de vídeos |format= |publisher=Universidad Politécnica de Valencia (UPV) |location=Valencia, Comunidad Valenciana (ES-VC), España |url=https://media.upv.es/#/portal/user/ce4531fd-7c85-4292-b7a8-4b69b3761354/videos |access-date=}}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Soto Espinosa</span> |first=Jesús |department=Unidad Central de Informática / Escuela Politécnica Superior |title=Colección de vídeos |format= |publisher=Universidad Católica San Antonio de Murcia (UCAM) |location=Guadalupe, Murcia, Región de Murcia (ES-MC), España |url=https://www.youtube.com/channel/UC2SGcUXrGzJwKO_sMNzZXMA |access-date=}}
| style="width: 50%;" |
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/channel/UCZrFqXWKZZIXiBE4A8oQToA/videos
 |title=Canal de YouTube de Greg A. Baugher
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Baugher</span>
 |first=Greg A.
 |department=Department of Math/Science/Informatics, Penfield College, Mercer University
 |location=Georgia (US-GA), EUA
 |format= Colección de videos
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/user/DrSaradaHerke
 |title=Sarada Herke's Youtube channel focused on graph theory and discrete mathematics
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Herke</span>
 |first=Sarada
 |format=Colección de videos
 |publisher=
 |location=Brisbane, Queensland (AU-QLD), Mancomunidad de Australia
 |date=
 |department=School of Mathematics and Physics, Universidad de Queensland
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/channel/UCxx5xjd5O36gSnt-GEAVAJQ
 |title=Spoonful of Maths
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Herke</span>
 |first=Sarada
 |format=Collección de vídeos
 |publisher=
 |location=Brisbane, Queensland (AU-QLD), Mancomunidad de Australia
 |date=
 |department=School of Mathematics and Physics, Universidad de Queensland
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web |last=<span style="font-variant: small-caps;">Kaw</span> |first=Autar |title=The Numerical Methods Guy |format= |publisher= |location= |url=https://autarkaw.org/author/autarkaw/ |access-date=}}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/playlist?list=PL0862D1A947252D20
 |title=Computer Sc - Discrete Mathematical Structures
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Krithivasan</span>
 |first=Kamala
 |format=Curso
 |publisher=Indian Institute of Technology Madras
 |location=Adyar, Chennay (ant. Madrás), Tamil Nadu (IN-TN), India
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/playlist?list=PLH83nnRMSIe4LOzMQc4jzeDbAXe9-2jrR
 |title=Number Theory
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Olavsku</span>
 |first=
 |department=
 |format=Colección de vídeos
 |publisher=
 |location=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/playlist?list=PLr3WmPgPWZfX1HUpeyKkP6ir2wOFhqXMO
 |title=Number Theory
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Olson</span>
 |first=Glenn R.
 |department=Maine East High School
 |location=Park Ridge, Illinois (US-IL), EUA
 |format=Colección de vídeos
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/channel/UCTx0ZsgYgrXJ-i-Nhx0WX-g/videos
 |title=Canal de YouTube de Brandon Olver
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Olver</span>
 |first=Brandon
 |department=Ballarat Grammar
 |location=Wendouree, Ballarat, Victoria (AU-VIC), Mancomunidad de Australia
 |format=Colección de vídeos
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=https://www.youtube.com/channel/UC1_uAIS3r8Vu6JjXWvastJg
 |title=Mathologer
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Polster</span>
 |first=Burkard
 |department=Monash University
 |location=Melbourne, Victoria (AU-VIC), Mancomunidad de Australia
 |format=Colección de vídeos
 |publisher=
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* {{cite web
 |url=http://www.aduni.org/courses/discrete/
 |others=(Otra URL: https://www.youtube.com/playlist?list=PL__5ik6vMY50HNfWppaGxQydlSMTGQWzC [solo vídeos])
 |title=Discrete Mathematics
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Simonson</span>
 |first=Shai
 |format=Curso
 |publisher=ArsDigita University
 |date=
 |website=
 |access-date=
 |quote= }}
* https://www.youtube.com/playlist?list=PLbMVogVj5nJQ-tIzyygzzLLxomzlbIiE4
* https://www.professorserna.com/videos/#discrete-math
* https://www.youtube.com/playlist?list=PLHjOMouVJ7UXITXJPhN6lzKyYaLapsAxK (https://www.maths.unsw.edu.au/sites/default/files/math1081-2017s1.pdf)
* https://www.youtube.com/user/CosmoLearning/search?query=LSU+Number+Theory+Lecture (https://www.youtube.com/watch?v=tUNjx2kgj_M)
* https://www.youtube.com/playlist?list=PL018X5Hlr4RnB78091B1SghJNb98T-XUs
* https://www.youtube.com/playlist?list=PL71FE85723FD414D7
* https://www.youtube.com/playlist?list=PLbMVogVj5nJTA6ZeVkqHEiUup_3ccdg_C
* https://www.youtube.com/playlist?list=PLbMVogVj5nJSxFihV-ec4A3z_FOGPRCo-
* https://www.youtube.com/watch?v=2esURv_dtBk
|}
|}
</div>
|-
<!--          EJEMPLOS DE EXAMEN / EXAMPLES OF EXAM          -->
| style="padding:2px;" | <h2 id="pamdan-ede-h2" style="margin:3px; background:#deecc8; font-family:inherit; font-size:110%; font-weight:bold; border:1px solid #deecc8; text-align:left; color:rgb(0, 0, 0); padding:0.2em 0.4em;">Ejemplos de cuestiones de examen, instrumentales y relacionales<ref>Richard R. <span style="font-variant: small-caps;">Skemp</span> (1976). Relational understanding and instrumental understanding. <i>Mathematics Teaching</i>, 77, 20-26. https://www.atm.org.uk/write/MediaUploads/Resources/Richard_Skemp.pdf</ref>, y algunas soluciones<hr style="width: 100%; height: 4px; background-color: rgb(0, 102, 0);" /></h2>
<span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">(Ejemplos ilustrativos, casos, ejercicios, problemas).</span>
<div style="margin-left: 48%; text-align: right; color: rgb(0, 102, 0); background-color: rgb(255, 255, 223); background-image: none; padding: 0px; border-top: 4px solid rgb(0, 102, 0); border-bottom: 4px solid rgb(0, 102, 0); vertical-align: middle;">
«Es indiscutible que cuanto más se esfuerce individualmente el estudiantado, más a fondo aprenderá lo estudiado».<br>
<small>[[Timothy J. Fitikides]]: ''Common mistakes in English'', Longmans, 6.ª edición, 2000, p. vii.</small>
</div>
|-
| style="color:#000; padding:2px 5px 5px;" | <div id="pamdan-ede">

==== Advertencia muy importante ====

{{Metaplantilla de avisos |
* Los siguientes '''ejercicios con solución''' son ejemplos de <strong>posibles cuestiones de examen</strong>.
** Usted debería poder resolver cualquiera de ellos en un <strong>máximo de 30 minutos</strong>.
** Es muy importante que tenga en cuenta que en un examen pueden plantearse cuestiones sobre cualquiera de los diferentes temas trabajados en clase, teóricas (incluyendo demostraciones vistas de teoremas) o prácticas.
** La concreción de las cuestiones que aparecen en los ejemplos siguientes, <strong>no implica, en ningún caso, un recorte de los contenidos a estudiar</strong>.
* A la hora de solucionarlas, el rigor debe ser el centro de atención.
** <strong>Muestre qué hace y cómo lo hace</strong>.
** No simplifique sus respuestas, exponga su trabajo en forma legible, ''mostrando todos los pasos intermedios'', procurando asegurar que sus argumentos sean claros y lógicamente sólidos.
** Identifique o defina, cualesquiera variables y notación que emplee; explique también cómo resuelve cada cuestión a la par que lo hace, por ejemplo, ''enunciando claramente cualquier teorema o resultado que use''; la claridad, la limpieza y la organización cuentan.
* Una vez considere que ha resuelto un ejercicio, puede '''contrastar su trabajo''' con nuestra resolución (no obstante, tenga en cuenta la posibilidad de que la solución pueda alcanzarse por caminos alternativos correctos).
* '''Importante si usted participa en MATDIN ([[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica|el proyecto de aprendizaje en Wikipedia]]):''' Considere también que estos ejercicios le pueden ayudar a encontrar ejemplos o casos de uso para <strong>ilustrar sus contribuciones al proyecto</strong>.
}}

<div style="background-color:fafaff;">
<div style="border: 2px solid red; padding: 10px; border-radius: 25px; background-color: transparent;">
Las resoluciones de estos ejercicios aparecen revisadas y posiblemente corregidas y aumentadas en el texto básico, las notas incompletas de clase (NCI):
* [https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2024-cuestiones-de-matematicas-discretas.-volumen-0 <u>Matemáticas Discretas. Volumen 0.</u>]
<br />
'''<u>Estas NCI son la guía esencial para estudiar la asignatura</u>'''.<br />
<br />
</div>
</div>

==== Temas 0 y 1.- Fundamentos ====

===== Lógica =====

====== Lógica de juntores ======

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(153, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión L1.</strong> (2,5 puntos).<br/>
En la isla de la personas [[veraces y falaces]] <sup>([[w:Knights_and_Knaves|en]])</sup> hay dos clases de habitantes, las personas «veraces», que siempre dicen la verdad y las «falaces», que siempre mienten. Se supone que cualquier habitante de la isla es, o bien una persona veraz, o bien una persona falaz. Sean ahora dos habitantes, <math>A</math> y <math>B</math>, de pie en el jardín delantero de una casa. Usted, que pasaba por allí, les preguntó: «¿Son ustedes personas veraces o falaces?»
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>a) <math>A</math> contestó: «Si <math>B</math> es una persona veraz, entonces yo soy falaz». ¿Puede determinar si <math>A</math> y <math>B</math> eran personas veraces o falaces? (1.25 p.)</li>
<li>b) Seguidamente, <math>B</math> dijo: «No crea a <math>A</math>; <math>A</math> miente». Con esta nueva información, ¿puede determinar si <math>A</math> y <math>B</math> eran personas veraces o falaces? (1.25 p.)</li>
</ul>
</div>
<!---
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | Usemos <math>X</math> en vez de «<math>X</math> es una persona veraz» ---por tanto, <math>\neg X</math> significa «<math>X</math> es una persona falaz»---.
	<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
        <li>a) La afirmación de <math>A</math>, «Si <math>B</math> es una persona veraz, entonces yo soy falaz», se formaliza como <math>B \rightarrow \neg A</math> y el hecho de que <math>A</math> lo diga, como <math>A \leftrightarrow (B \rightarrow \neg A)</math>. A la vista de la [[tabla de verdad]]:
		<math display=block>
		\begin{array}{cc|cccccc}
			A & B & A & \leftrightarrow & (B & \rightarrow & \neg & A) \\
			\hline
			1 & 1 & 1 & \mathbf{0} & 1 & 0 & 0 & 1 \\
			1 & 0 & 1 & \mathbf{1} & 0 & 1 & 0 & 1 \\
			0 & 1 & 0 & \mathbf{0} & 1 & 1 & 1 & 0 \\
			0 & 0 & 0 & \mathbf{0} & 0 & 1 & 1 & 0
		\end{array}
		</math>
		el único modelo para <math>A \leftrightarrow (B \rightarrow A)</math> es la 2.ª [[Interpretación (lógica)|interpretación]], por tanto puede determinarse que <math>A</math> es una persona veraz y <math>B</math> falaz.</li>
		<li>b) La afirmación de <math>B</math>, «No crea a <math>A</math>; <math>A</math> miente», es equivalente a «<math>A</math> es una persona falaz», que se formaliza como <math>\neg A</math> y el hecho de que <math>B</math> lo diga como <math>B \leftrightarrow \neg A</math>, que lo único que dice es que <math>A</math> y <math>B</math> no pueden ser ambas veraces ni ambas falaces, lo que no nos aporta nada nuevo, como era de esperar al estar ya determinado. En efecto, a la vista de la tabla de verdad:
		<math display=block>
		\begin{array}{cc|ccccccccccc}
			A & B & (A & \leftrightarrow & (B & \rightarrow & \neg & A)) & \wedge & (B & \leftrightarrow & \neg & A) \\
			\hline
			1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & \mathbf{0} & 1 & 0 & 0 & 1 \\
			1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & \mathbf{1} & 0 & 1 & 0 & 1 \\
			0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & \mathbf{0} & 1 & 1 & 1 & 0 \\
			0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & \mathbf{0} & 0 & 0 & 1 & 0
		\end{array}
		</math>
		observamos que todo sigue igual, de nuevo la 2.ª interpretación es un modelo, ahora para <math>(A \leftrightarrow (B \rightarrow \neg A)) \wedge (B \leftrightarrow \neg A)</math>.</li>
	</ul>
|}
--->
<br/>

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(0, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión L2.</strong> (2,5 puntos).<br/>
Con la ayuda de la [[Lógica proposicional|lógica de juntores]], demuestre si el siguiente [[Argumento|argumento]] es o no [[Validez (lógica)|válido]]: «Este programa compilará siempre que hayamos declarado las variables. Eso sí, declararemos las variables precisamente si no se nos olvida hacerlo. Resulta que el programa no ha compilado. Entonces es que hemos olvidado declarar las variables».<br/>Importante: No lo haga por el método de las [[Tabla de verdad|tablas de verdad]].
</div>
<!--
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | Puede consultarse la solución completa mediante [[Árbol semántico|tablas semánticas]] de varios ejemplos en [https://zurbaran.unex.es/cloud/index.php/s/FS2Jh9svKdY0Oup este documento] (en concreto, véase el ejercicio 7).
|}
-->
<br/>

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(153, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión L3.</strong> (2,5 puntos).<br/>
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>a) Defina conjunto adecuado de conectivas (cac), también llamado conjunto completamente expresivo o funcionalmente completo de conectivas.</li>
<li>b) Proporcione dos ejemplos de cac de cardinal dos, razonando por qué lo son, suponiendo conocido el cac de las cinco conectivas más usuales <math>\left\lbrace \neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow \right\rbrace</math>.</li>
</ul>
</div>
<!--
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | <ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>a) En Lógica de juntores, un conjunto adecuado de conectivas (cac) es cualquier conjunto de conectivas tal que todas las conectivas de la lógica puedan representarse en función, únicamente, de las del conjunto.</li>
<li>b) Como dice el enunciado de la cuestión, suponemos conocido que el conjunto de las conectivas más usuales, <math> \lbrace \neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow \rbrace </math> es un cac. Dos ejemplos, de cardinal dos, de cac son los conjuntos <math> \lbrace \neg, \wedge \rbrace </math> y <math> \lbrace \neg, \vee \rbrace </math>. En efecto, y para su demostración basta ver que de las cinco conectivas del cac conocido, las que faltan en cada uno de los cac de cardinal dos pueden representarse solamente con ellas:
<math display="block">
\begin{align}
\lbrace \neg, \wedge \rbrace: p \vee q & \equiv \neg (\neg p \wedge \neg q)\\
p \rightarrow q & \equiv \neg (p \wedge \neg q)\\
p \leftrightarrow q & \equiv \neg (p \wedge \neg q) \wedge \neg (\neg p \wedge q)\\
\lbrace \neg, \vee \rbrace: p \wedge q & \equiv \neg (\neg p \vee \neg q)\\
p \rightarrow q & \equiv \neg p \vee q\\
p \leftrightarrow q & \equiv \neg (\neg (\neg p \vee q) \vee \neg (p \vee \neg q))
\end{align}
</math>
</li>
</ul>
|}
-->
<br/>

====== Lógica de cuantores ======

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(0, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión L4.</strong> (2,5 puntos).<br/>
En un monte hay <math display="inline">77</math> animales, los cuales tienen o dos o cuatro patas. Una persona del lugar le dice: «Al menos uno de los animales tiene dos patas, y dado cualquier par de animales, al menos uno de los dos tiene cuatro patas».
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
        <li>a) Formalice en el lenguaje de la lógica de cuantores lo que le han dicho.</li>
        <li>b) ¿Cuántos animales hay de dos y de cuatro patas?</li>
</ul>
</div>
<!--
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | Considerando como universo de discurso el conjunto de los animales en dicho monte, sean: <math display="block">\begin{aligned}
Dx &\leftarrow \text{«} x \text{ tiene dos patas»}, \\
Cx &\leftarrow \text{«} x \text{ tiene cuatro patas»}.\end{aligned}</math>
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
        <li>a) <math display="inline">\exists x Dx \wedge \forall xy \left( Cx \vee Cy \right)</math>;</li>
        <li>b) <br>
<math>
\begin{array}{ll}
\mathbf{Paso} & \mathbf{Raz\acute{o}n} \\
0. \; \exists x Dx & \text{Premisa} \\
1. \; \forall xy \left( Cx \vee Cy \right) & \text{Premisa} \\
2. \; Ca \vee Cb & \text{EG 1 }\mathrm{(eliminaci\acute{o}n}\text{ del generalizador)} \\
3. \; \forall x \left( Cx \leftrightarrow \neg Dx \right) & \text{Premisa} \\
4. \; Ca \leftrightarrow \neg Da & \text{EG 3 }\mathrm{(eliminaci\acute{o}n}\text{ del generalizador)} \\
5. \; Ca \rightarrow \neg Da & \mathrm{ECO_{1}\text{ 4 }}\mathrm{(eliminaci\acute{o}n}\text{ del coimplicador)} \\
6. \; Cb \leftrightarrow \neg Db & \text{EG 3 }\mathrm{(eliminaci\acute{o}n}\text{ del generalizador)} \\
7. \; Cb \rightarrow \neg Db & \mathrm{ECO_{1}\text{ 6 }}\mathrm{(eliminaci\acute{o}n}\text{ del coimplicador)} \\
8. \; \neg Da \vee \neg Db & \mathrm{Dil_{3}\text{ 2, 5, 7 }}\text{(dilema constructivo complejo: }\{A \vee B, A \rightarrow C, B \rightarrow D\} \vdash C \vee D\text{ )} \\
9. \; \neg \left( Da \wedge Db \right) & \mathrm{DM_{1}\text{ 8 }}\mathrm{\text{(ley de De Morgan de }negaci\acute{o}n}\text{ del conjuntor)} \\
10. \; \forall x \forall y \neg \left( Dx \wedge Dy \right) & \mathrm{IG^{2}\text{ 9 }}\mathrm{(introducci\acute{o}n}\text{ }\mathrm{m\acute{u}ltiple}\text{ del generalizador)} \\
11. \; \forall y \neg \left( Da \wedge Dy \right) & \text{EG 10 }\mathrm{(eliminaci\acute{o}n}\text{ del generalizador)} \\
12. \; \neg \exists y \left( Da \wedge Dy \right) & \text{NP 11 }\mathrm{(negaci\acute{o}n}\text{ del particularizador)} \\
13. \; \forall x \neg \exists y \left( Dx \wedge Dy \right) & \text{IG 12 }\mathrm{(introducci\acute{o}n}\text{ del generalizador)} \\
14. \; \neg \exists x \exists y \left( Dx \wedge Dy \right) & \text{NP 13 }\mathrm{(negaci\acute{o}n}\text{ del particularizador)} \\
\end{array}
</math>
-->
<!-- 16. \; \neg \exists x \exists y \left( Dx \wedge Dy \right) & \text{I DN 15 }\mathrm{\text{(regla de intercambio cuantificacional: }}\{A \leftrightarrow B, C_A\} \vdash C_B \mathrm{\text{ y regla de doble }negaci\acute{o}n}\text{)} -->
<!--
<br>
La traducción de (0) y (14) al español es: (0) existe un animal de dos patas y (14) no existe ninguna pareja en la que ambos tengan dos patas. Esto implica que solo hay un animal de dos patas y, por tanto, 76 de cuatro patas.</li>
</ul>
|}
-->
<br/>

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(0, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión L5.</strong> (2,5 puntos).<br/>
Traducido de: Lewis Carroll, ''Symbolic Logic: Part I''. Elementary (Macmillan, 1896), pág. 118. Dominio Público.<br>
40.<br>
0) Ningún gatito que gusta del pescado es indomesticable;<br>
1) Ningún gatito sin cola jugará con un gorila;<br>
2) A los gatitos con bigotes les gusta el pescado;<br>
3) Ningún gatito domesticable tiene ojos verdes;<br>
4) Ningún gatito tiene cola a menos que tenga bigotes.<br>
Universo = «gatitos»; A = gusta del pescado; B = ojos verdes; C = con cola; D = domesticable; E = con bigotes; H = jugará con un gorila.<br>

Usted debe:
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
        <li>a) Formalizar en lógica de cuantores todas estas afirmaciones.</li>
        <li>b) En el universo de los gatitos y usando lógica de cuantores, deducir la única conclusión que se sigue de estas afirmaciones y que hace que el argumento sea válido.</li>
        <li>c) Traducir su respuesta simbólica a español.</li>
</ul>
</div>
<!--
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | Considerando como universo de discurso el conjunto de los gatitos, sean pues: <math display="block">\begin{aligned}
Dx &\leftarrow \text{«} x \text{ es domesticable»}, \\
Ax &\leftarrow \text{«} x \text{ gusta del pescado»}, \\
Cx &\leftarrow \text{«} x \text{ tiene cola»}, \\
Hx &\leftarrow \text{«} x \text{ juega con un gorila»}, \\
Ex &\leftarrow \text{«} x \text{ tiene bigotes»}, \\
Bx &\leftarrow \text{«} x \text{ tiene ojos verdes»}.\end{aligned}</math>
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
        <li>a) 0) <math>\forall x (\neg Dx \rightarrow \neg Ax)</math>;<br>
1) <math>\forall x (\neg Cx \rightarrow \neg Hx)</math>;<br>
2) <math>\forall x (Ex \rightarrow Ax)</math>;<br>
3) <math>\forall x (Dx \rightarrow \neg Bx)</math>;<br>
4) <math>\forall x (\neg Ex \rightarrow \neg Cx)</math>.<br></li>
        <li>b) <br>
<math>
\begin{array}{ll}
\mathbf{Paso} & \mathbf{Raz\acute{o}n} \\
0. \; \forall x (\neg Dx \rightarrow \neg Ax) & \text{Premisa} \\
1. \; \forall x (\neg Cx \rightarrow \neg Hx) & \text{Premisa} \\
2. \; \forall x (Ex \rightarrow Ax) & \text{Premisa} \\
3. \; \forall x (Dx \rightarrow \neg Bx) & \text{Premisa} \\
4. \; \forall x (\neg Ex \rightarrow \neg Cx) & \text{Premisa} \\
5. \; \neg Da \rightarrow \neg Aa & \text{EG 0 }\mathrm{(eliminaci\acute{o}n}\text{ del generalizador)} \\
6. \; \neg Ca \rightarrow \neg Ha & \text{EG 1 }\mathrm{(eliminaci\acute{o}n}\text{ del generalizador)} \\
7. \; Ea \rightarrow Aa & \text{EG 2 }\mathrm{(eliminaci\acute{o}n}\text{ del generalizador)} \\
8. \; Da \rightarrow \neg Ba & \text{EG 3 }\mathrm{(eliminaci\acute{o}n}\text{ del generalizador)} \\
9. \; \neg Ea \rightarrow \neg Ca & \text{EG 4 }\mathrm{(eliminaci\acute{o}n}\text{ del generalizador)} \\
10. \; \neg Aa \rightarrow \neg Ea & \mathrm{Cp_{1}\text{ 7 }}\text{(ley de }\mathrm{contraposici\acute{o}n}\text{ )} \\
11. \; Ba \rightarrow \neg Da & \mathrm{Cp_{2}\text{ 8 }}\text{(ley de }\mathrm{contraposici\acute{o}n}\text{ )} \\
12. \; (Ba \rightarrow \neg Da) \wedge (\neg Da \rightarrow \neg Aa) & \text{IC 11, 5 }\mathrm{(introducci\acute{o}n}\text{ de la }\mathrm{conjunci\acute{o}n}\text{)} \\
13. \; (Ba \rightarrow \neg Aa) & \text{Sil 12 }\text{(ley del silogismo }\mathrm{hipot\acute{e}tico}\text{)} \\
14. \; (Ba \rightarrow \neg Aa) \wedge (\neg Aa \rightarrow \neg Ea) & \text{IC 13, 10 }\mathrm{(introducci\acute{o}n}\text{ de la }\mathrm{conjunci\acute{o}n}\text{)} \\
15. \; (Ba \rightarrow \neg Ea) & \text{Sil 14 }\text{(ley del silogismo }\mathrm{hipot\acute{e}tico}\text{)} \\
16. \; (Ba \rightarrow \neg Ea) \wedge (\neg Ea \rightarrow \neg Ca) & \text{IC 15, 9 }\mathrm{(introducci\acute{o}n}\text{ de la }\mathrm{conjunci\acute{o}n}\text{)} \\
17. \; (Ba \rightarrow \neg Ca) & \text{Sil 16 }\text{(ley del silogismo }\mathrm{hipot\acute{e}tico}\text{)} \\
18. \; (Ba \rightarrow \neg Ca) \wedge (\neg Ca \rightarrow \neg Ha) & \text{IC 17, 6 }\mathrm{(introducci\acute{o}n}\text{ de la }\mathrm{conjunci\acute{o}n}\text{)} \\
19. \; (Ba \rightarrow \neg Ha) & \text{Sil 18 }\text{(ley del silogismo }\mathrm{hipot\acute{e}tico}\text{)} \\
20 \; \forall x (Bx \rightarrow \neg Hx) & \text{IG 19 }\mathrm{(introducci\acute{o}n}\text{ del generalizador)}
\end{array}
</math></li>
        <li>c) Ningún gatito de ojos verdes jugará con un gorila.</li>
</ul>
|}
--><br/>

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(0, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión L6.</strong> (2,5 puntos).<br/>
Formalice en el lenguaje de la lógica de cuantores:
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
        <li>a) «Todo <math>A</math> que sea <math>B</math>, también es <math>C</math>».</li>
        <li>b) «Si cualquier <math>A</math> es <math>B</math>, entonces también es <math>C</math>».</li>
        <li>c) «No hay nada que sea <math>A</math> o <math>B</math> y no sea <math>C</math>».</li>
</ul>
</div>
<!--
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | <ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
        <li>a) <math>(\forall x)((Ax \wedge Bx) \rightarrow Cx)</math>.</li>
        <li>b) Puede reescribirse como «si cualquier <math>A</math> es <math>B</math>, entonces también cualquier <math>A</math> es <math>C</math>», por tanto, <math>(\forall x (Ax \rightarrow Bx)) \rightarrow (\forall x (Ax \rightarrow Cx))</math>. ¡Cuidado!, <math>(\forall x(Px \rightarrow Qx)) \Rightarrow ((\forall x Px) \rightarrow (\forall x Qx))</math> pero <math>((\forall x Px) \rightarrow (\forall x Qx)) \nRightarrow (\forall x(Px \rightarrow Qx))</math>.</li>
        <li>c) <math>(\neg \exists x)((Ax \vee Bx) \wedge \neg Cx)</math>. O con otras palabras, «si algo es <math>A</math> o <math>B</math> entonces es <math>C</math>», esto es, <math>(\forall x)((Ax \vee Bx) \rightarrow Cx)</math>.</li>
</ul>
|}
-->
<br/>

===== Conjuntos, relaciones y funciones =====

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(153, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión CRF1.</strong> (2,5 puntos).<br/>
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>a) Proponga tres [[Conjunto|conjuntos]] <math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math>, tales que <math>A \in B</math>, <math>B \in C</math> y <math>A \notin C</math>. (0,5 puntos).</li>
<li>b) Según una [[Encuesta|encuesta]] realizada al estudiantado, resulta que ante dos asignaturas igualmente interesantes por sus contenidos, [[Preferencia|prefieren]] una a otra si el tiempo dedicado a su estudio es menor y prevén obtener una calificación mayor en el examen. En el caso de igualdad de tiempos y de previsiones, les son indiferentes. Estudie las propiedades de esta [[Relación binaria|relación binaria]]. (2 puntos).</li>
</ul>
</div><br/>

<!--
<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(153, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión CRF2.</strong> (2,5 puntos).<br/>
Formalice en el lenguaje de la teoría de conjuntos:
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
        <li>a) «Todo <math>A</math> que sea <math>B</math>, también es <math>C</math>».</li>
        <li>b) «Si cualquier <math>A</math> es <math>B</math>, entonces también es <math>C</math>».</li>
        <li>c) «No hay nada que sea <math>A</math> o <math>B</math> y no sea <math>C</math>».</li>
</ul>
</div>
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | <ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
        <li>a) <math>(\forall x) (x \in A \cap B \Rightarrow x \in C)</math>, esto es, <math>A \cap B \subseteq C</math>.</li>
        <li>b) Como puede verse en L6, la expresión puede reescribirse como «si cualquier <math>A</math> es <math>B</math>, entonces también cualquier <math>A</math> es <math>C</math>», lo que en lenguaje de conjuntos es <math>(\forall x) (x \in A \Rightarrow x \in B) \Rightarrow (\forall x) (x \in A \Rightarrow x \in C)</math>, esto es, <math>A \subseteq B \Rightarrow A \subseteq C</math>.</li>
        <li>c) Como puede verse en L6, la expresión puede reescribirse como «si algo es <math>A</math> o <math>B</math> entonces es <math>C</math>», lo que en lenguaje de conjuntos es <math>(\forall x) (x \in A \cup B \Rightarrow x \in C)</math>, esto es, <math>A \cup B \subseteq C</math>.</li>
</ul>
|}<br/>
-->

===== Estructuras algebraicas =====

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(153, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión EA1.</strong> (2,5 puntos).<br/>
En el conjunto <math>A = \left\lbrace 1,3,5,7,9 \right\rbrace</math>, considere la operación binaria: <math>\forall x,y \in A</math>, definida por:
<math display=block>
x \ast y = u
</math>
siendo <math>u</math> la cifra de las unidades del producto habitual <math>x \cdot y</math> entre números naturales (por ejemplo, <math>3 \ast 9 = 7</math>).
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>a) Halle la [[tabla de Cayley]] de la operación <math>\ast</math> sobre <math>A</math>.</li>
<li>b) ¿Tiene <math>(A;\ast)</math> estructura de grupo abeliano? (Puede razonar utilizando la tabla de la operación).</li>
</ul>
</div>
<!--
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | <ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>a) He aquí la <strong>tabla de Cayley</strong> de la operación <math>\ast</math> sobre <math>A</math>:
<math display=block>
\begin{array}{c|ccccc}
\ast & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\
\hline
1 & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\
3 & 3 & 9 & 5 & 1 & 7 \\
5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 \\
7 & 7 & 1 & 5 & 9 & 3 \\
9 & 9 & 7 & 5 & 3 & 1 \\
\end{array}
</math>
</li>
<li>b) Comprobemos si se satisfacen las exigencias para que sea grupo abeliano:
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>a) <math>A</math> es <strong>cerrado</strong> para <math>\ast</math> (también decimos que <math>\ast</math> es una operación o ley de composición interna en <math>A</math>) pues para cualesquiera <math>a</math> y <math>b</math> en <math>A</math>, <math>a \ast b \in A</math>. Razonar a partir de la tabla es sencillo: todos los números que aparecen son elementos de <math>A</math>.</li>
<li>b) <math>\ast</math> es <strong>asociativa</strong> en <math>A</math> —podrían comprobarse todas las tríadas, <math>1 \ast (3 \ast 5) = 1 \ast 5 = 5 = 3 \ast 5 = (1 \ast 3) \ast 5)</math>, etc., pero resulta más fácil razonar a partir de la asociatividad del producto <math>\cdot</math> de números naturales: simplemente, <math>\forall x,y,z \in \mathbb{N}</math>, <math>x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z \Rightarrow x \ast (y \ast z) = (x \ast y) \ast z</math> es cierto ya que en los productos entre naturales, al multiplicar unidad por unidad no hay que sumar ningún acarreo—;</li>
<li>c) <math>\ast</math> es <strong>conmutativa</strong> (la tabla es simétrica respecto de la diagonal principal);</li>
<li>d) el <strong>elemento neutro</strong> para <math>\ast</math> en <math>A</math> es <math>1</math> como se observa al ser la primera fila y la primera columna iguales al encabezamiento horizontal y vertical, respectivamente;</li>
<li>e) <strong>no todo elemento es simetrizable</strong> —en la tabla, para un número determinado, solo hay que buscar qué otro número operado con él da el neutro (p. ej., el inverso de <math>3</math> es <math>7</math> porque <math>3 \ast 7 = 7 \ast 3 = 1</math>)—: el simétrico del <math>1</math> es el <math>1</math>, el del <math>3</math>, el <math>7</math>, el del <math>7</math>, el <math>3</math> y el del <math>9</math>, el <math>9</math>, pero el <math>5</math> no tiene simétrico —cualquiera de los otros números operado con <math>5</math> es <math>5</math> (se dice que <math>5</math> es un elemento <i>absorbente</i> para <math>\ast</math> en <math>A</math> [como el cero para el producto de enteros]) y por tanto es imposible que resulte el neutro—.</li>
</ul>
En definitiva, <math>(A;\ast)</math> <strong>no tiene estructura de grupo abeliano</strong> (la tiene de monoide abeliano).
</li>
</ul>
|}
-->
<br />

===== Cardinalidad, inducción y recursión =====

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(153, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión C1.</strong> (2,5 puntos).<br/>
Demuestre, por definición, que <math>\mathbb{N}</math> es un conjunto infinito.
</div>
<!--
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | Un conjunto es infinito precisamente si existe una biyección entre él y un subconjunto propio suyo (definición de [[Richard Dedekind|Dedekind]]). Sea, por ejemplo, <math>f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\setminus\{0\}</math>, definida por <math>n \mapsto f(n) = n+1</math>. Veamos que es una aplicación biyectiva. En efecto:
* <math>f</math> es aplicación <math>\Leftrightarrow \left( \forall x \in \mathbb{N} \right) \left( \exists y \in \mathbb{N}\setminus\{0\} \right) \left( f(x) = y \right) \wedge \left( \forall x,x' \in \mathbb{N} \right) \left( x = x' \rightarrow f(x) = f(x') \right)</math>, lo cual es trivial, ya que dado <math>x \in \mathbb{N}</math>, por definición de <math>f</math>, existe <math>y_x = x+1 \in \mathbb{N}\setminus\{0\}</math>, siendo este <math>y_x</math> único para cada <math>x</math>, es decir, que si <math>x = x'</math>, por definición de <math>f</math>, <math>f(x) = x+1 = y_x = y_{x'} = x'+1 = f(x')</math>;
* <math>f</math> es inyectiva <math>\Leftrightarrow \left( \forall x,x' \in \mathbb{N} \right) \left( f(x) = f(x') \rightarrow x = x' \right)</math>, lo cual es trivial por definición de <math>f</math>, pues si <math>f(x) = f(x')</math>, es decir, si <math>x+1 = x'+1</math>, entonces, <math>x = x'</math>;
* <math>f</math> es sobreyectiva <math>\Leftrightarrow \left( \forall y \in \mathbb{N}\setminus\{0\} \right) \left( \exists x \in \mathbb{N} \right) \left( f(x) = y \right)</math>, lo cual también es trivial por definición de <math>f</math>, ya que dado <math>y</math>, <math>x = y-1</math> es tal que <math>f(x) = f(y-1) = (y-1) + 1 = y</math>.
|}
-->
<br/>

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(153, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión C2.</strong> (2,5 puntos).<br/>
Sabiendo que <math>\mathbb{Z}</math> (enteros) es un [[conjunto numerable]] y que la unión numerable de conjuntos numerables es numerable, demuestre que <math>\mathbb{Q}</math> (racionales) es numerable.
</div>
<!--
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | <math>\mathbb{Q}</math> es numerable pues lo podemos expresar como la unión numerable <math>\mathbb{Q} = A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n \cup \ldots</math> (por hipótesis, conocemos que la unión numerable de numerables es numerable), donde cada <math>A_i = \left\lbrace 0, \frac{-1}{i}, \frac{1}{i}, \ldots, \frac{-k}{i}, \frac{k}{i}, \ldots \right\rbrace</math> es numerable, ya que <math>f: \mathbb{Z} \rightarrow A_i</math>, definida por <math>f(0) = 0</math> y <math>f(\pm n) = \frac{\pm n}{i}</math> es una biyección, por lo que <math>A_i</math> tiene el mismo cardinal que <math>\mathbb{Z}</math> (y por hipótesis, sabemos que <math>\mathbb{Z}</math> es numerable). Obsérvese que cada conjunto <math>A_i</math> representa todos los números racionales que tienen el mismo denominador <math>i</math>.
|}
-->
<br/>

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(0, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión C3.</strong> (2,5 puntos).<br/>
Sea <math>A</math> un conjunto numerable y sea <math>x \notin A</math>. Demostrar que <math>A \cup \{x\}</math> es un conjunto numerable.
</div>
<!--
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | 
Por definición de conjunto numerable, como <math>A</math> lo es, existe una biyección <math>f: \mathbb{N} \rightarrow A</math>. Sea <math>g: \mathbb{N} \rightarrow A \cup \{x\}</math>, definida por <math>g(n) = x</math>, si <math>n = 0</math> y por <math>g(n) = f(n - 1)</math>, si <math>n \neq 0</math>, esto es, la correspondencia <math>g</math> se define en dos subdominios, en <math>\{0\}</math> como la correspondencia constante <math>x</math>, aplicación biyectiva, y en <math>\mathbb{N}^+</math> como <math>f</math>, también biyectiva, y como dichos subdominios son disjuntos y sus imágenes, <math>A</math> y <math>\{x\}</math>, también, se tiene que <math>g</math> es biyectiva. 
|}
-->
<br/>

==== Tema 2.- Teoría de números ====

===== Congruencias =====

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(153, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión TN1.</strong> (2,5 puntos).<br/>
Use la teoría de relaciones de congruencias para responder.
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>a) Demuestre que <math>21 \cdot 2^{5n+1} - 4 \cdot 3^{3n+1}</math> es divisible por <math>5</math>, para cualquier <math>n \in \mathbb{N}</math>. (1.25 p.)</li>
<li>b) Calcule el resto de dividir <math>3^{6n+1} + 3^{2n+1} \cdot 19^{2n} - 3</math> entre <math>28</math>, para cualquier <math>n \in \mathbb{N}</math>. (1.25 p.)</li>
</ul>
</div>
<!--
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | Usemos la teoría de relaciones de congruencias.
	<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
        <li>a) Por un lado: <br /><math display=block>\left.
            \begin{align}
                2^5 = 32 &\equiv 2 \pmod{5} \\
                3^3 = 27 &\equiv 2 \pmod{5}
            \end{align}
            \right\rbrace</math>
<br /><math display=block>\begin{align}
                &\stackrel{(i)}{\Rightarrow} &2^5 &\equiv 3^3 \pmod{5} \\
                &\stackrel{(ii)}{\Rightarrow} &2^{5n} &\equiv 3^{3n} \pmod{5}   \;\;\;\;\; {\scriptstyle(1)}
            \end{align}</math>
<br />
Por otro: <br /><math display=block>\begin{align}
                &            &7 &\equiv 2 \pmod{5} \\
                &\stackrel{(iii)}{\Rightarrow} &7 \cdot 2 &\equiv 2 \cdot 2 \pmod{5} \\
                &\stackrel{(iv)}{\Rightarrow} &7 \cdot 2 \cdot 3 &\equiv 2 \cdot 2 \cdot 3 \pmod{5}   \;\;\;\;\; {\scriptstyle(2)}
            \end{align}</math>
<br />
Sustituyendo <math>(2)</math> en <math>(1)</math>:
<br /><math display=block>\begin{align}
                &            &7 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2^{5n} &\equiv 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3^{3n} \pmod{5} \\
                &            &21 \cdot 2^{5n+1} &\equiv 4 \cdot 3^{3n+1} \pmod{5}
            \end{align}</math>
<br /> lo que por definición de relación de congruencia, significa que <math>21 \cdot 2^{5n+1} - 4 \cdot 3^{3n+1}</math> es divisible por <math>5</math>.</li>
		<li>b) Por un lado: <br /><math display=block>\begin{align}
                &            &3^3 = 27 &\equiv -1 \pmod{28} \\
                &\stackrel{(v)}{\Rightarrow} &3^{6n} = \left( 3^3 \right)^{2n} &\equiv (-1)^{2n} = 1 \pmod{28} \\
                &\stackrel{(iv)}{\Rightarrow} &3^{6n+1} &\equiv 3 \pmod{28}   \;\;\;\;\; {\scriptstyle(3)}
            \end{align}</math>
<br />
Por otro: <br /><math display=block>\begin{align}
                &            &57 = 3 \cdot 19 &\equiv 1 \pmod{28} \\
                &\stackrel{(v)}{\Rightarrow} &3^{2n} \cdot 19^{2n} &\equiv 1 \pmod{28} \\
                &\stackrel{(iv)}{\Rightarrow} &3^{2n+1} \cdot 19^{2n} &\equiv 3 \pmod{28}   \;\;\;\;\; {\scriptstyle(4)}
            \end{align}</math>
<br />
De <math>(3)</math> y <math>(4)</math>, sumando miembro a miembro:<br /><math display=block>
			\begin{align}
				&            &3^{6n+1} + 3^{2n+1} \cdot 19^{2n} &\equiv 6 \pmod{28} \\
				&\Rightarrow &3^{6n+1} + 3^{2n+1} \cdot 19^{2n} - 3 &\equiv 3 \pmod{28}
			\end{align}
		</math><br />
		En otras palabras, el resto pedido es <math>3</math>.</li>
	</ul>
<br /><hr width=25%/>
<small>(i) Por simétrica y transitiva de la relación de congruencia.<br />(ii) Elevando a <math>n</math> ambos miembros.<br />(iii) Multiplicando por <math>2</math> ambos miembros.<br />(iv) Multiplicando por <math>3</math> cada miembro.<br />(v) Elevando a <math>2n</math> cada miembro.</small>
|}
-->
<br/>

===== Restos potenciales y criterios de divisibilidad =====

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(153, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión TN2.</strong> (2,5 puntos).<br/>
En [[Sistema de numeración decimal|base <math>10</math>]], halle las [[Cifra (matemática)|cifras]] <math>x,y</math> para que el [[Número|número]] <math>12xy567</math> sea [[Divisibilidad|divisible]] por <math>33</math>.
</div>
<!--
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | <math>33 = 3 \times 11</math>.<br />
Un número es divisible por <math>3</math> precisamente si lo es la suma de sus cifras:
<math display="block">
3 \,\vert\, 12xy567 \Leftrightarrow 3 \,\vert\, (7 + 6 + 5 + y + x + 2 + 1)
</math>
esto es:
<math display="block">
\begin{align}
3 \,\vert\, 12xy567 &\Leftrightarrow 3 \,\vert\, (21 + x + y) \\
                    &\Leftrightarrow 21 + x + y = \dot{3} \\
                    &\Leftrightarrow x + y = \dot{3} - 21
\end{align}
</math>
Además:
<math display="block">
x,y \mbox{ son cifras en base } 10 \Rightarrow 0 \leqslant x,y \leqslant 9
</math>
por lo que:
<math display="block">
0 \leqslant x + y \leqslant 18
</math>
Hallamos, por tanto, qué diferencias <math>\dot{3} - 21</math> satisfacen pertenecer a <math>\left[ 0, 18 \right]</math>:
<math display="block">\dot{3} - 21 = \left\lbrace \ldots, 0(=21-21), 3(=24-21), 6(=27-21), 9(=30-21), 12(=33-21), 15(=36-21), 18(=39-21), \ldots \right\rbrace</math>
por lo que pueden suceder <math>7</math> situaciones posibles:
<math display="block">x + y = 0 \veebar x + y = 3 \veebar x + y = 6 \veebar x + y = 9 \veebar x + y = 12 \veebar x + y = 15 \veebar x + y = 18</math>

Un número es divisible por <math>11</math> precisamente si la suma de las cifras de lugar par menos la suma de las cifras de lugar impar es divisible entre <math>11</math>:
<math display="block">
11 \,\vert\, 12xy567 \Leftrightarrow 11 \,\vert\, ((7 + 5 + x + 1) - (6 + y + 2))
</math>
esto es:
<math display="block">
\begin{align}
11 \,\vert\, 12xy567 &\Leftrightarrow 11 \,\vert\, (5 + x - y) \\
                    &\Leftrightarrow 5 + x - y = \dot{11} \\
                    &\Leftrightarrow x - y = \dot{11} - 5
\end{align}
</math>
Además:
<math display="block">
x,y \mbox{ son cifras en base } 10 \Rightarrow 0 \leqslant x,y \leqslant 9
</math>
por lo que:
<math display="block">
-9 \leqslant x - y \leqslant 9
</math>
Hallamos, por tanto, qué diferencias <math>\dot{11} - 5</math> satisfacen pertenecer a <math>\left[ -9, 9 \right]</math>:
<math display="block">\dot{11} - 5 = \left\lbrace \ldots, -5(=0-5), 6(=11-5), \ldots \right\rbrace</math>
por lo que pueden suceder <math>2</math> situaciones posibles:
<math display="block">x - y = -5 \veebar x - y = 6</math>

Tenemos, entonces <math>7 \times 2 = 14</math> situaciones posibles:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+Cuadro de posibles situaciones
|-
! &Lambda; !! <math>x + y = 0</math> !! <math>x + y = 3</math> !! <math>x + y = 6</math> !! <math>x + y = 9</math> !! <math>x + y = 12</math> !! <math>x + y = 15</math> !! <math>x + y = 18</math>
|-
! rowspan="2" | <math>x - y = -5</math>
| <math>2x = -5</math><br/><math>x = \frac{-5}{2}</math> || <math>2x = -2</math><br/><math>x = -1</math> || <math>2x = 1</math><br/><math>x = \frac{1}{2}</math> || <math>2x = 4</math><br/><math>x = 2</math><br/><math>y = 7</math> || <math>2x = 7</math><br/><math>x = \frac{7}{2}</math> || <math>2x = 10</math><br/><math>x = 5</math><br/><math>y = 10</math> || <math>2x = 13</math><br/><math>x = \frac{13}{2}</math>
|-
| <span style="color: Red;">No:</span>{{pad|0.2em}}<math>x</math> no es una cifra<br/>en base 10 || <span style="color: Red;">No:</span>{{pad|0.2em}}<math>x</math> no es una cifra<br/>en base 10 || <span style="color: Red;">No:</span>{{pad|0.2em}}<math>x</math> no es una cifra<br/>en base 10 || <span style="color: Green;">Sí:</span>{{pad|0.2em}}<math>x,y</math> sí son cifras<br/>en base 10 || <span style="color: Red;">No:</span>{{pad|0.2em}}<math>x</math> no es una cifra<br/>en base 10 || <span style="color: Red;">No:</span>{{pad|0.2em}}<math>y</math> no es una cifra<br/>en base 10 || <span style="color: Red;">No:</span>{{pad|0.2em}}<math>x</math> no es una cifra<br/>en base 10
|-
! rowspan="2" | <math>x - y = 6</math>
| <math>2x = 6</math><br/><math>x = 3</math><br/><math>y = -3</math> || <math>2x = 9</math><br/><math>x = \frac{9}{2}</math> || <math>2x = 12</math><br/><math>x = 6</math><br/><math>y = 0</math> || <math>2x = 15</math><br/><math>x = \frac{15}{2}</math> || <math>2x = 18</math><br/><math>x = 9</math><br/><math>y = 3</math> || <math>2x = 21</math><br/><math>x = \frac{21}{2}</math> || <math>2x = 24</math><br/><math>x = 12</math>
|-
| <span style="color: Red;">No:</span>{{pad|0.2em}}<math>y</math> no es una cifra<br/>en base 10 || <span style="color: Red;">No:</span>{{pad|0.2em}}<math>x</math> no es una cifra<br/>en base 10 || <span style="color: Green;">Sí:</span>{{pad|0.2em}}<math>x,y</math> sí son cifras<br/>en base 10 || <span style="color: Red;">No:</span>{{pad|0.2em}}<math>x</math> no es una cifra<br/>en base 10 || <span style="color: Green;">Sí:</span>{{pad|0.2em}}<math>x,y</math> sí son cifras<br/>en base 10 || <span style="color: Red;">No:</span>{{pad|0.2em}}<math>x</math> no es una cifra<br/>en base 10 || <span style="color: Red;">No:</span>{{pad|0.2em}}<math>x</math> no es una cifra<br/>en base 10
|}

Luego hay tres posibles soluciones:
<math>\binom{x}{y} \in \left\lbrace \binom{2}{7}, \binom{6}{0}, \binom{9}{3} \right\rbrace</math>.

Así, los números posibles son:
<math>1227567, 1260567, 1293567</math>,

divisibles entre <math>33</math>, siendo sus cocientes respectivos:
<math>37199, 38199, 39199</math>.
|}
-->
<br/>

===== Ecuaciones diofánticas =====

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(153, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión TN3.</strong> (2,5 puntos).<br/>
Una empresa gastó <math>100000</math> euros en <math>100</math> dispositivos electrónicos, algunos de última generación y máximas prestaciones. Compró teléfonos inteligentes a <math>50</math> euros, tabletas a <math>1000</math> y portátiles a <math>5000</math>. ¿Cuántos dispositivos compró de cada clase, sabiendo que compró al menos uno de cada clase? Encuentre la solución utilizando la teoría de las ecuaciones:
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>a) diofánticas;</li>
<li>b) en congruencias.</li>
</ul>
</div>
<!--
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | Traducida la información del enunciado a un sistema de ecuaciones lineales y simplificado este último:
<math display=block>
\begin{align}
\left\lbrace
\begin{align}
x &+ y &+ z &= 100 \\
50x &+ 1000y &+ 5000z &= 100000
\end{align}
\right.
&\Rightarrow
\left\lbrace
\begin{align}
x &+ y &+ z &= 100 \\
x &+ 20y &+ 100z &= 2000
\end{align}
\right. \\
&\Rightarrow
\left\lbrace
\begin{align}
x + y + z &= 100 \\
x + y + z + 19y + 99z &= 2000
\end{align}
\right. \\
&\Rightarrow
100 + 19y + 99z = 2000 \\
&\Rightarrow
99z + 19y = 1900
\end{align}
</math>
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>a) Una ecuación diofántica lineal <math>ax + by = c</math> tiene solución precisamente si <math>\operatorname{mcd}{(a,b)} \mid c</math>. En tal caso, una solución particular de la ecuación es:
<math display=block>
\left( x_0,y_0 \right) = \left( \frac{cp}{d}, \frac{cq}{d} \right)
</math>
donde <math>d = \operatorname{mcd}{(a,b)}</math> y <math>p</math> y <math>q</math> son los coeficientes de <math>a</math> y <math>b</math> en la combinación lineal igual a <math>d</math> (identidad de Bèzout). La solución general de dicha ecuación es:
<math display=block>
\binom{x}{y} = \binom{x_0}{y_0} + \frac{k}{d} \binom{b}{-a}
</math>
donde <math>\binom{x_0}{y_0}</math> es una solución particular y <math>k \in \mathbb{Z}</math>.
<br \>
El siguiente cuadro muestra la utilización del algoritmo extendido de Euclides para el caso que nos ocupa. La computación para cuando el resto es cero (en color rojo). El resto anterior, <math>2</math> (en color rojo), es el máximo común divisor. Los coeficientes de Bézout son <math>5</math> y <math>-26</math> (en color magenta). Los números en cian, <math>-19</math> y <math>99</math>, sin considerar el signo, son los cocientes de los originales entre el máximo común divisor.
{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:right;"
! índice ''i''!! <span style="color:&#35;0C389E">cociente ''q''<sub>''i''−1</sub> </span>!! {{#if:resto ''r''<sub>''i''</sub>|<span style="color:&#35;467128">resto ''r''<sub>''i''</sub></span>|{{error|No se está usando la plantilla de forma adecuada.}}}}!! <span style="color:brown">''s''<sub>''i''</sub> </span>!! ''t''<sub>''i''</sub>
|-
| 0 || ||<span style="color:&#35;007100">99</span>||<span style="color:brown">1</span> || 0
|-
| 1 || ||<span style="color:&#35;007100">19</span> || <span style="color:brown">0</span> || 1
|-
| 2 ||<span style="color:&#35;007100">99</span> &divide; <span style="color:&#35;007100">19</span> = <span style="color:&#35;0C389E">5</span>
||<span style="color:&#35;007100">99</span> − <span style="color:&#35;0C389E">5</span> × <span style="color:&#35;007100">19</span> = {{#if:4|<span style="color:&#35;467128">4</span>|{{error|No se está usando la plantilla de forma adecuada.}}}}
||<span style="color:brown">1</span> − <span style="color:&#35;0C389E">5</span> × <span style="color:brown">0</span> = <span style="color:brown">1</span>
|| 0 − <span style="color:&#35;0C389E">5</span> × 1 = −5
|-
| 3 ||<span style="color:&#35;007100">19</span> &divide; {{#if:4|<span style="color:&#35;467128">4</span>|{{error|No se está usando la plantilla de forma adecuada.}}}} = <span style="color:&#35;0C389E">4</span>
||<span style="color:&#35;007100">19</span> − <span style="color:&#35;0C389E">4</span> × {{#if:4|<span style="color:&#35;467128">4</span>|{{error|No se está usando la plantilla de forma adecuada.}}}} = {{#if:3|<span style="color:&#35;467128">3</span>|{{error|No se está usando la plantilla de forma adecuada.}}}}
||<span style="color:brown">0</span> − <span style="color:&#35;0C389E">4</span> × <span style="color:brown">1</span> = <span style="color:brown">−4</span>
|| 1 − <span style="color:&#35;0C389E">4</span> × (−5) = 21
|-
| 4 ||{{#if:4|<span style="color:&#35;467128">4</span>|{{error|No se está usando la plantilla de forma adecuada.}}}} &divide; {{#if:3|<span style="color:&#35;467128">3</span>|{{error|No se está usando la plantilla de forma adecuada.}}}} = <span style="color:&#35;0C389E">1</span>
||{{#if:4|<span style="color:&#35;467128">4</span>|{{error|No se está usando la plantilla de forma adecuada.}}}} − <span style="color:&#35;0C389E">1</span> × {{#if:3|<span style="color:&#35;467128">3</span>|{{error|No se está usando la plantilla de forma adecuada.}}}} = {{color|red|1}}
||<span style="color:brown">1</span> − <span style="color:&#35;0C389E">1</span> × (<span style="color:brown">−4</span>) = <span style="color:fuchsia">5</span>
|| −5 − <span style="color:&#35;0C389E">1</span> × 21 = <span style="color:fuchsia">−26</span>
|-
| 5 ||{{#if:3|<span style="color:&#35;467128">3</span>|{{error|No se está usando la plantilla de forma adecuada.}}}} &divide; {{#if:1|<span style="color:&#35;467128">1</span>|{{error|No se está usando la plantilla de forma adecuada.}}}} = <span style="color:&#35;0C389E">3</span>
||{{#if:3|<span style="color:&#35;467128">3</span>|{{error|No se está usando la plantilla de forma adecuada.}}}} − <span style="color:&#35;0C389E">3</span> × {{#if:1|<span style="color:&#35;467128">1</span>|{{error|No se está usando la plantilla de forma adecuada.}}}} = {{color|red|0}}
||<span style="color:brown">−4</span> − <span style="color:&#35;0C389E">3</span> × <span style="color:brown">5</span> = {{#if:-19|<span style="color:&#35;00C9AB">-19</span>|{{error|No se está usando la plantilla de forma adecuada.}}}}
|| 21 − <span style="color:&#35;0C389E">3</span> × (−26) = {{#if:99|<span style="color:&#35;00C9AB">99</span>|{{error|No se está usando la plantilla de forma adecuada.}}}}
|} Por tanto, una solución particular es:
<math display=block>
\left( z_0,y_0 \right) = \left( \frac{1900 \cdot 5}{1}, \frac{1900 \cdot (-26)}{1} \right) = \left( 9500, -49400 \right)
</math>
y la solución general es:
<math display=block>
\binom{z}{y} = \binom{9500}{-49400} + \frac{k}{1} \binom{19}{-99}
</math>
con <math>k \in \mathbb{Z}</math>.
<br \>
Ahora bien, ¿cuántos dispositivos compró de cada clase, sabiendo que compró al menos uno de cada clase? Veamos. Sabemos que <math>z > 0</math> y que <math>y > 0</math>. Por tanto, <math>9500 + 19k > 0</math> y <math>-49400 - 99k > 0</math>, de donde <math>-500 < k</math> y <math>k < -498,9</math>. Como <math>k \in \mathbb{Z}</math>, <math>k = -499</math>. Sustituyendo, obtenemos: <math>z = 19</math>, <math>y = 1</math> y <math>x = 100 - 1 - 19 = 80</math>.
<br \>
<i>Sol.</i>: <math>80</math> teléfonos, <math>1</math> tableta y <math>19</math> portátiles.
</li>
<li>b) Vista como una ecuación en congruencias, puede ser:
<math display=block>
99z \equiv 1900 \pmod{19}
</math>
O lo que es equivalente:
<math display=block>
99z \equiv 0 \pmod{19}
</math>
Como <math>\operatorname{mcd}{(99,19)} = 1</math>, este camino nos lleva a que son posibles soluciones todos los múltiplos positivos de <math>19</math> menores que <math>100</math>: <math>z \in \left\lbrace 19, 38, 57, 76, 95 \right\rbrace</math>.
<br \>
Probemos otro camino. La ecuación diofántica <math>99z + 19y = 1900</math> también tiene otra vista como ecuación en congruencias:
<math display=block>
19y \equiv 1900 \pmod{99}
</math>
O lo que es equivalente:
<math display=block>
19y \equiv 19 \pmod{99}
</math>
Como <math>\operatorname{mcd}{(99,19)} = 1</math>, tiene una solución única <math>\pmod{99}</math>, que es:
<math display=block>
y \equiv 19 \cdot 19^{\phi(99)-1} \pmod{99}
</math>
esto es,
<math display=block>
y \equiv 19^{60} \pmod{99}
</math>
Explorando los residuos potenciales, encontramos que:
<math display=block>
19^{10} \equiv 1 \pmod{99}
</math>
de donde, multiplicando esta congruencia seis veces, miembro a miembro:
<math display=block>
19^{60} \equiv 1 \pmod{99}
</math>
y al ser transitiva la relación de congruencia:
<math display=block>
y \equiv 1 \pmod{99}
</math>
Es decir, <math>y = 1</math> (ya que <math>y < 100</math>).
<br \>
Como <math>99z + 19y = 1900</math>, obtenemos que <math>z = 19</math>.
<br \>
Finalmente, de <math>x + y + z = 100</math>, tenemos que <math>x = 80</math>.
<br \>
<i>Sol.</i>: <math>80</math> teléfonos, <math>1</math> tableta y <math>19</math> portátiles.
</li>
</ul>
|}
-->
<br/>

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(153, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión TN4.</strong> (2,5 puntos).<br/>
¿Cómo podríamos distribuir <math>100</math> litros de agua en un total de <math>40</math> recipientes varios, de <math>1</math>, <math>4</math> y <math>12</math> litros? Responda utilizando la teoría de las ecuaciones diofánticas.
</div>
<!--
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | Representando por <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>, los números de recipientes usados de <math>1</math>, <math>4</math> y <math>12</math> litros, respectivamente, el enunciado se traduce en las ecuaciones: <math>x + y + z = 40</math> y <math>x + 4y + 12z = 100</math>. Restando de la segunda ecuación la primera, se tiene la ecuación diofántica: <math>3y + 11z = 60</math>. Como <math>\operatorname{mcd} (3,11) = 1 \mid 60</math>, dicha ecuación diofántica tiene solución entera. Como <math>1 = 4 \cdot 3 + (-1) \cdot 11</math>, los coeficientes de Bézout son <math>p = 4</math> y <math>q = -1</math>. Una solución particular es: <math>y_0 = 4 \cdot \dfrac{60}{1} = 240</math>, <math>z_0 = (-1) \cdot \dfrac{60}{1} = -60</math>. La solución general es: <math>y = 240 + 11k</math>, <math>z = -60-3k</math>, con <math>k \in \mathbb{Z}</math>. Suponiendo que en la solución interviene al menos un recipiente de cada tipo, se tiene que <math>0 < y,z \leq 40-(1+1) = 38</math>. Sustituyendo en estas últimas la solución general encontrada, se tiene, por un lado, que: <math>0 < 240+11k \leq 38</math>, de donde <math>\dfrac{-240}{11} < k \leq \dfrac{-202}{11}</math>, por lo que <math>-21,82 < k \leq -18,36</math> y, por tanto, <math>k \in \left\lbrace -21, -20, -19 \right\rbrace</math>, y por otro lado, que: <math>0 < -60-3k \leq 38</math>, de donde <math>\dfrac{60}{3} < -k \leq \dfrac{98}{3}</math>, por lo que <math>\dfrac{-98}{3} \leq k < \dfrac{-60}{3}</math>, esto es, <math>-32,67 \leq k < -20</math> y, por tanto, <math>k \in \left\lbrace -32, \ldots, -22, -21 \right\rbrace</math>. Se tiene, pues, que <math>k = -21</math>. Sustituyendo en la solución general, <math>y = 240 + 11 \cdot (-21) = 9</math> y <math>z = -60 - 3 \cdot (-21) = 3</math>, por lo que <math>x = 40 - (9 + 3) = 28</math>.<br />
'''Sol.:''' Suponiendo que al menos debe llenarse un recipiente de cada tipo, se emplean <math>28</math> recipientes de <math>1</math> litro, <math>9</math> de <math>4</math> litros y <math>3</math> de <math>12</math> litros. (Si no se supusiese tal cosa, habría otra solución: <math>20</math> de <math>1</math> litro, <math>20</math> de <math>4</math> litros y <math>0</math> de <math>12</math> litros. [Compruébese]).
|}
-->
<br/>

==== Tema 3.- Combinatoria ====

===== Combinatoria =====

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(153, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión TC1.</strong> (2,5 puntos).<br/>
Sea <math>D</math> el conjunto de los dígitos decimales, esto es, <math>D = \left\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right\rbrace</math>. Calcule:
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>a) El número de subconjuntos de <math>D</math> cuyos elementos son todos números primos.</li>
<li>b) El número de subconjuntos de <math>D</math> que tienen un número primo de elementos.</li>
</ul>
</div>
<!--
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | <ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>a) Siendo <math>P = \left\lbrace 2,3,5,7 \right\rbrace</math>, lo que se pide es en realidad el número de subconjuntos no vacíos de <math>P</math>, esto es, restando uno (el conjunto vacío) al número total de subconjuntos de <math>P</math>:
<math display="block">
\begin{align}
\left\vert{P}\right\vert - 1 &= 2^4 - 1 \\
          &= 15
\end{align}
</math>
<i>Sol.</i>: <math>15</math> subconjuntos.
</li>
<li>b) El número total de subconjuntos de <math>k</math> elementos de un conjunto de <math>n</math> elementos viene dado por <math>C_{n,k} = \binom{n}{k}</math>. Por tanto, recorriendo los elementos de <math>D</math> que son primos:
<math display="block">
\begin{align}
\binom{10}{2} + \binom{10}{3} + \binom{10}{5} + \binom{10}{7} &= \frac{10!}{2! \cdot 8!} \cdot \frac{10!}{3! \cdot 7!} \cdot \frac{10!}{5! \cdot 5!} \cdot \frac{10!}{7! \cdot 3!} \\
          &= 537
\end{align}
</math>
<i>Sol.</i>: <math>537</math> subconjuntos.
</li>
</ul>
|}
-->
<br/>

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(153, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión TC2.</strong> (2,5 puntos).<br/>
Un grupo de doce personas visita un museo. Todas llevan abrigo de lana. Al entrar, los dejan en el guardarropa. Al salir, la persona encargada del guardarropa pone sobre el mostrador los doce abrigos. Completamente distraídas por una conversación muy interesante, cada persona del grupo coge uno al azar. Emplee un razonamiento combinatorio para determinar de cuántas formas puede ocurrir que nadie haya cogido su abrigo.
</div>
<!--
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | Se trata de encontrar el número de desórdenes de <math>12</math> objetos. En vez de para <math>12</math>, vamos a calcularlo para <math>n</math>. Sea <math>\left\lbrace 1,2,\ldots,n \right\rbrace</math>. Siendo <math>P</math> el conjunto de todas las permutaciones y <math>P_k</math> el conjunto de todos los desórdenes que fijan <math>k</math> elementos, entonces, el conjunto de todos los desórdenes es:
<math display="block">
D = P - \left( \bigcup\limits_{i=1}^{n} P_{i} \right)
</math>
Veamos:
* ¿Cuántas permutaciones fijan un número concreto? Pues las permutaciones del resto, <math>n-1</math>, o sea, <math>(n-1)!</math> y como hay <math>n</math> números, son <math>(n-1)! \cdot n</math> las permutaciones que fijan un número cualquiera.
* ¿Cuántas permutaciones fijan dos números concretos? Pues las permutaciones del resto, <math>n-2</math>, o sea, <math>(n-2)!</math> y como hay <math>\binom{n}{2}</math> formas de elegir dos números distintos entre <math>n</math>, son <math>\binom{n}{2} (n-2)!</math> las permutaciones que fijan dos números cualesquiera.
Observemos que en el caso <math>n = 2</math>, esto es, <math>\left\lbrace 1,2 \right\rbrace</math>, al restar las que fijan el <math>1</math>, se resta una vez las que fijan el <math>1</math> y el <math>2</math> y al restar las que fijan el <math>2</math> se resta otra vez las que fijan el <math>1</math> y el <math>2</math>, por lo que hay que sumarlos una vez. Si seguimos este análisis, el número de permutaciones que no conserva ningún número en su lugar (desórdenes) es:
<math display="block">
\begin{align}
\left\vert{D}\right\vert &= \left\vert{P}\right\vert - \left\vert{\left( \bigcup\limits_{i=1}^{n} P_{i} \right)}\right\vert \\
          &= \binom{n}{0} n! - \binom{n}{1} (n-1)! + \binom{n}{2} (n-2)! - \cdots + (-1)^{n+1} \binom{n}{n} 0!
\end{align}
</math>
Así, para el caso de ser <math>n = 12</math>, existen:
<math display="block">
\binom{12}{0} 12! - \binom{12}{1} (12-1)! + \binom{12}{2} (12-2)! - \cdots + (-1)^{12+1} \binom{12}{12} 0! = 176 \ 214 \ 841
</math>
desórdenes.<br/>
<i>Sol.</i>: De <math>176 \ 214 \ 841</math> formas.
|}
-->
<br/>

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(153, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión TC3.</strong> (2,5 puntos).<br/>
Una urna contiene siete bolas numeradas del uno al siete. Las bolas se extraen todas, de una en una y sin reposición. A la par de las extracciones, se escriben las cifras resultantes por orden de salida y de izquierda a derecha. Razone con argumentos combinatorios cuántos números así formados empiezan y terminan por cifra par.
</div>
<!--
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | Hay <math>7</math> posiciones. En los extremos, las hipótesis obligan cifra par. Hay tres cifras pares entre <math>1</math> y <math>7</math>: <math>2</math>, <math>4</math> y <math>6</math>. Guiándonos por los modelos de [[Distribución de objetos en recipientes|distribuciones de objetos en recipientes]], pensemos en estos <math>3</math> números (cajas distinguibles) y en los dos extremos (objetos distinguibles), con la condición de ser inyectiva la aplicación subyacente (como mucho un extremo por número, ya que no hay bolas con el mismo número). Para cada uno de estos casos en los extremos (cada una de las variaciones) hay que tener en cuenta todas las posibilidades en las <math>5</math> posiciones intermedias. Estas posibilidades son las permutaciones de <math>5</math> elementos (una nueva abstracción como <math>5</math> objetos distinguibles [las posiciones intermedias] en <math>5</math> recipientes distinguibles [los números <math>1</math>, <math>3</math> y <math>5</math> y el par no presente en los extremos], esta vez siendo biyectiva la aplicación). Aplicando el [[principio del producto]]:
<math display="block">
\begin{align}
V_{3,2} \cdot P_5 &= 3^{\underline{2}} \cdot 5! \\
          &= (3 \cdot 2) \cdot (5!) \\
          &= 6 \cdot 120 \\
          &= 720
\end{align}
</math>
<i>Sol.</i>: <math>720</math> números.
|}
-->
<br/>

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(153, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión TC4.</strong> (2,5 puntos).<br/>
En una reunión de diecisiete personas se realiza una votación secreta. Dos personas han emitido un voto nulo, tres un voto en blanco, cinco han votado en contra y siete a favor. Razone con argumentos combinatorios de cuántas formas ha podido suceder esto.
</div>
<!--
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | Utilicemos el [[Distribución de objetos en recipientes|modelo de distribuciones no ordenadas de bolas en cajas]], representando las bolas y las cajas a los votos y las personas, respectivamente. Pensemos en las <math>17</math> personas (cajas distinguibles) y los <math>7</math> votos síes (bolas indistinguibles), con la condición de ser inyectiva la aplicación subyacente (no más de un voto por persona) —alternativamente, podemos pensar en el número de subconjuntos de <math>7</math> elementos de un conjunto de <math>17</math> elementos—. De cualquier forma, resultan <math>C_{17,7}</math> maneras de distribuir los votos síes en las cajas. Para cada uno de los casos (cada una de las combinaciones), quedan <math>10</math> cajas vacías. Ahora, razonando similarmente, hay <math>C_{10,5}</math> formas de distribuir los votos noes en las cajas, quedando, para cada uno de los casos, <math>5</math> cajas vacías. Análogamente, hay <math>C_{5,3}</math> maneras de distribuir los votos en blanco en las cajas, quedando, para cada uno de los casos, <math>2</math> cajas vacías, por lo que hay <math>C_{2,2}</math> formas de colocar los votos nulos en las cajas. Aplicando el [[principio del producto]]:
<math display="block">
\begin{align}
C_{17,7} \cdot C_{10,5} \cdot C_{5,3} \cdot C_{2,2} &= \binom{17}{7} \cdot \binom{10}{5} \cdot \binom{5}{3} \cdot \binom{2}{2} \\
          &= \frac{17!}{7! \cdot 10!} \cdot \frac{10!}{5! \cdot 5!} \cdot \frac{5!}{3! \cdot 2!} \cdot \frac{2!}{2! \cdot 0!} \\
          &= \frac{17! \cdot \cancel{10!} \cdot \cancel{5!} \cdot \cancel{2!}}{7! \cdot \cancel{10!} \cdot \cancel{5!} \cdot 5! \cdot 3! \cdot \cancel{2!} \cdot 2! \cdot 0!} \\
          &= 49 \ 008 \ 960
\end{align}
</math>
<i>Sol.</i>: De <math>49 \ 008 \ 960</math> formas.
|}
--><br/>

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(153, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión TC5.</strong> (2,5 puntos).<br/>
Emplee un razonamiento combinatorio para responder.
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>a) Un número es capicúa si se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. En base diez, ¿cuántos números de siete cifras son capicúas? (1.25 p.)</li>
<li>b) Supongamos una red en forma de polígono de <math>n</math> nodos (vértices). Calcule <math>n</math>, sabiendo que el número de aristas (lados + diagonales) es <math>253</math>. (1.25 p.)</li>
</ul>
</div>
<!--
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | <ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>a) Un número capicúa de siete cifras es de la forma <math>abcdcba</math>, con <math>a \neq 0</math>. Para <math>a</math>, hay <math>9</math> posibilidades, para <math>b</math>, <math>10</math>, para <math>c</math>, <math>10</math> y para <math>d</math>, otras <math>10</math>. Por el principio multiplicativo, en total: <math>9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9000</math>.</li>
<li>b) Siendo <math>n</math> el número de nodos, el número de aristas es el número de subconjuntos de dos elementos (cada arista al unir dos nodos, puede abstraerse como un subconjunto de dos elementos) de un conjunto de <math>n</math> elementos (los <math>n</math> nodos), esto es, por definición de combinación, <math>\binom{n}{2}</math>. Entonces: <math>\binom{n}{2} = 253 \Rightarrow \frac{n(n-1)}{2} = 253 \Rightarrow n = -22 \vee n = 23</math>. Por tanto, <math>n = 23</math>.</li>
</ul>
|}
-->
<br/>

==== Tema 4.- Ecuaciones en diferencias ====

===== Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes) =====

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(153, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión RR1.</strong> (2,5 puntos).<br/>
En <math>\mathbb{N}</math>, se define la suma de dos naturales <math>n</math> y <math>m</math>:
<math display=block>
\begin{align}
  S(n,0) &= n \\
  S(n,m) &= S(n,m-1) + 1
\end{align}
</math>
Demuestre que la solución de esta recurrencia es <math>S(n) = n + m</math>.
</div>
<!--
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | Observemos que <math>n</math> es ajena a la recursión. Así, de una manera más sencilla pero equivalente, denotando <math>S(n,m)</math> por <math>f(m)</math>, estamos ante una ecuación recurrente lineal no homogénea con coeficientes constantes, con función constante en el segundo miembro de la igualdad:
<math display=block>
\begin{align}
  f(0) &= n \\
  f(m) - f(m-1) &= 1
\end{align}
</math>
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>a) Solución general de la homogénea:
<br />
El polinomio característico es:
<math display=block>
P(x) = x - 1
</math>
por lo que, <math>1</math> es raíz característica simple.
<br />
La solución general de la homogénea es:
<math display=block>
f(m) = c_1 1^m; \;\; c_1 \in \mathbb{R}
</math>
</li>
<li>b) Solución particular de la no homogénea:
<br />
Como la función del segundo miembro es constante, probamos con una constante cualquiera (número real) como posible solución particular:
<math display=block>
k - k = 1
</math>
pero al ser una contradicción, nos obliga a aumentar el grado. Intentémoslo con el polinomio de grado uno, <math>P(m) = Am</math>. Sustituyendo:
<math display=block>
Am - A(m-1) = 1 \Rightarrow Am - Am + A = 1 \Rightarrow A = 1
</math>
Así:
<math display=block>
f(m) = m
</math>
es una solución particular de la no homogénea.
</li>
<li>c) Solución general de la no homogénea:
<math display=block>
f(m) = c_1 + m; \;\; c_1 \in \mathbb{R} \;\;\;\;\; {\scriptstyle(1)}
</math>
</li>
<li>d) Incorporación de las condiciones iniciales:
Se sabe que <math>f(0) = n</math>. Por tanto:
<math display=block>
n = f(0) = c_1 + 0 \Rightarrow c_1 = n
</math>
Sustituyendo en (1), obtenemos la solución buscada:
<math display=block>
f(m) = n + m
</math>
es decir:
<math display=block>
S(n,m) = n + m
</math>
</li>
</ul>
|}
-->
<br/>

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(153, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión RR2.</strong> (2,5 puntos).<br/>
Sean <math>x(t)</math> e <math>y(t)</math> los números totales de software malicioso pertenecientes a dos tipos de malware, en la hora <math>t</math>, que coexisten en una cierta red de área extensa (<i>wide area network</i>, WAN) sometida a control horario de evolución de malware. Supongamos que las poblaciones iniciales eran <math>x(0)=3</math> e <math>y(0)=7</math> y que la evolución de la coexistencia sigue la regla:
* cada hora, el crecimiento del malware de tipo <math>x</math> es la suma del triple del crecimiento de <math>x</math> en la hora anterior y del crecimiento de <math>y</math> también en hora anterior más siete nuevos malware (que son clasificados como de tipo <math>x</math>),
* y también cada hora, el crecimiento del malware de tipo <math>y</math> es el resultado de restar el crecimiento de <math>x</math> en la hora anterior del crecimiento de <math>y</math> en la hora anterior, más tres nuevos malware (que son clasificados como de tipo <math>y</math>).
Encuentre y resuelva el sistema de ecuaciones de recurrencia correspondiente a la evolución del malware.
</div>
<!--
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | Analicemos la evolución del malware en función del crecimiento del mismo (el enunciado no especifica que sea en función de las poblaciones y así es más sencillo al disminuir en una unidad de tiempo el orden de la relación de recurrencia). Denotemos por <math>X_{t}</math> e <math>Y_{t}</math> los crecimientos desde la hora <math>t</math> a la hora <math>t+1</math>, o sea, <math>X_{t} = x(t+1) - x(t)</math> e <math>Y_{t} = y(t+1) - y(t)</math>. El sistema de ecuaciones recurrentes lineales correspondiente a la situación que se plantea es:
<math display=block>
\left\lbrace
\begin{align}
X_{t+1} &= 3 X_t &+ Y_t &+ 7 \;\;\;\;\; {\scriptstyle(1)} \\
Y_{t+1} &= Y_t &- X_t &+ 3 \;\;\;\;\; {\scriptstyle(2)}
\end{align}
\right.
</math>
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>a) Cálculo de <math>X_t</math>:
<br />
De la primera ecuación:
<math display=block>
\begin{align}
Y_t &= X_{t+1} - 3 X_t - 7 \;\;\;\;\; {\scriptstyle(3)} \\
X_{t+2} &= 3 X_{t+1} + Y_{t+1} + 7 \;\;\;\;\; {\scriptstyle(4)}
\end{align}
</math>
Sustituyendo (2) en (4):
<math display=block>
X_{t+2} = 3 X_{t+1} + Y_t - X_t + 3 + 7
</math>
Sustituyendo (3) en esta última, simplificando, agrupando y ordenando, obtenemos una ecuación recurrente lineal no homogénea con coeficientes constantes y con función constante en el segundo miembro de la igualdad:
<math display=block>
X_{t+2} - 4 X_{t+1} + 4 X_t = 3
</math>
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>a.1) Solución general de la homogénea:
<br />
El polinomio característico es:
<math display=block>
P(X) = X^2 - 4 X + 4
</math>
es decir:
<math display=block>
P(X) = (X - 2)^2
</math>
así, <math>2</math> es raíz característica doble.
<br />
La solución general de la homogénea es:
<math display=block>
X_t = c_1 2^t + c_2 t 2^t; \;\; c_1, c_2 \in \mathbb{R}
</math>
</li>
<li>a.2) Solución particular de la no homogénea:
<br />
Como la función del segundo miembro es constante, probamos con una constante cualquiera (número real) como posible solución particular:
<math display=block>
k - 4k + 4k = 3
</math>
por lo que <math>k = 3</math>. Así:
<math display=block>
X_t = 3
</math>
es una solución particular de la no homogénea.
</li>
<li>a.3) Solución general de la no homogénea:
<math display=block>
X_t = c_1 2^t + c_2 t 2^t + 3; \;\; c_1, c_2 \in \mathbb{R} \;\;\;\;\; {\scriptstyle(5)}
</math>
</li>
</ul>
</li>
<li>b) Cálculo de <math>Y_t</math>:
<br />
Sustituyendo (5) en (1), simplificando, agrupando y ordenando, obtenemos:
<math display=block>
Y_t = \left( 2c_2 - c_1 \right) 2^t - c_2 t 2^t - 13; \;\; c_1, c_2 \in \mathbb{R}
</math>
</li>
<li>c) Incorporación de las condiciones iniciales:
<br />
Se sabe que <math>x_0 = 3</math> y <math>y_0 = 7</math>. Por tanto:
<math display=block>
X_0 = x_1 - x_0 = x_1 - 3 = c_1 2^0 + c_2 \cdot 0 \cdot 2^0 + 3 = c_1 + 3 \Rightarrow c_1 = x_1 - 6  \;\;\;\;\; {\scriptstyle(6)}
</math>
Por otro lado:
<math display=block>
Y_0 = y_1 - y_0 = y_1 - 7 = \left( 2c_2 - c_1 \right) 2^0 - c_2 \cdot 0 \cdot 2^0 - 13 = 2c_2 - c_1 - 13  \;\;\;\;\; {\scriptstyle(7)}
</math>
de donde, sustituyendo (6) en (7):
<math display=block>
y_1 - 7 = 2c_2 - x_1 + 6 - 13 \Rightarrow y_1 = 2c_2 - x_1 \Rightarrow c_2 = \frac{x_1 + y_1}{2}
</math>
</li>
<li>d) <i>Solución</i> del caso planteado (evolución del malware en función del crecimiento del mismo):
<math display=block>
\left\lbrace
\begin{align}
X_t &= \left( x_1 - 6 \right) 2^t + \left( x_1 + y_1 \right) t 2^{t-1} + 3 \\
Y_t &= \left( y_1 + 6 \right) 2^t - \left( x_1 + y_1 \right) t 2^{t-1} - 13
\end{align}
\right.
</math>
donde <math>x_1</math> e <math>y_1</math> son las poblaciones de ambos tipos de malware al finalizar la primera hora (datos no proporcionados en el enunciado).
</li>
</ul>
|}
-->
<br/>

==== Apéndices ====

===== Criptografía =====

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(153, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión TN5.</strong><br/>
Abigail quiere enviar a Balbina el mensaje más simple de llamada: <code>eh</code>. Solo puede transmitir números. Abigail y Balbina usan la posición de las letras en el alfabeto para codificarlas (así, Abigail codifica <code>e</code> como <code>06</code> y <code>h</code> como <code>08</code>). Para cifrar y descifrar el mensaje, utilizarán RSA. Si Abigail elige como base para RSA, los primos <math>p = 3</math> y <math>q = 7</math>:
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>a) póngase en el papel de Abigail y obtenga el mensaje cifrado que debe enviar a Balbina;</li>
<li>b) póngase en el papel de Balbina y descifre el mensaje cifrado que Abigail le ha enviado.</li>
</ul>
</div>
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | Sigamos los pasos del procedimiento RSA:
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>1) <math>p = 3</math>, <math>q = 7</math>.</li>
<li>2) <math>r = p \cdot q = 21</math>.</li>
<li>3) <math>\phi (21) = 12</math> (phi de Euler de <math>21</math>).</li>
<li>4) Hemos de elegir como clave secreta (<math>SK</math>) un número coprimo con <math>12</math> y menor que <math>12</math>; elegimos <math>SK = 5</math>.</li>
<li>5) La relación entre la clave secreta y la pública (<math>PK</math>) es <math>SK \cdot PK \equiv 1 \pmod{\phi(r)}</math>, en este caso: <math>5 \cdot PK \equiv 1 \pmod{12}</math>, por lo que <math>PK = 5</math>.</li>
<li>6) El mensaje (<code>eh</code>) codificado es <code>0608</code>. Se puede demostrar que si el mensaje codificado <math>X</math>, es tal que <math>0 \leq X \leq r-1</math>, entonces el mensaje cifrado <math>Y</math>, también es tal que <math>0 \leq Y \leq r-1</math>. Como interesa codificar, después cifrar, a continuación descifrar y por último, decodificar, hemos de agrupar en bloques tales que su codificación individual sea menor o igual que <math>r-1 = 20</math>. Sean <math>X_1 = 06</math> y <math>X_2 = 08</math> e <math>Y_1</math> e <math>Y_2</math> los respectivos bloques ya cifrados. De acuerdo al método RSA, el cifrado de <math>X_i</math> se lleva a cabo solucionando la ecuación en congruencias <math>X_i^{PK} \equiv Y_i \pmod{r}</math> y el descifrado de <math>Y_j</math> solucionando la ecuación <math>Y_j^{SK} \equiv X_j \pmod{r}</math>.</li>
</ul>
Respondamos ahora a los dos apartados de la cuestión.
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>a) Pongámonos ahora en el papel de Abigail y obtengamos el mensaje cifrado que debemos enviar a Balbina. Cifremos <math>X_1 = 06</math>: la solución de <math>6^{5} \equiv Y_1 \pmod{21}</math> es <math>Y_1 = 6</math>. Cifremos <math>X_2 = 08</math>: la solución de <math>8^5 \equiv Y_2 \pmod{21}</math> es <math>Y_2 = 8</math>. Así, el mensaje que debemos enviar es: <code>0608</code>.</li>
<li>b) Pongámonos ahora en el papel de Balbina y descifremos el mensaje cifrado que Abigail nos ha enviado. Descifremos <math>Y_1 = 06</math>: la solución de <math>6^{5} \equiv X_1 \pmod{21}</math> es <math>X_1 = 6</math>. Descifremos <math>Y_2 = 08</math>: la solución de <math>8^5 \equiv X_2 \pmod{21}</math> es <math>X_2 = 8</math>. Así, el mensaje que acabamos de descifrar es: <code>0608</code>.</li>
</ul>
|}<br/>

===== Grafos =====

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(153, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<table>
<tr>
<td width=66% style="vertical-align:top;">
<strong>Cuestión G1.</strong><br/>
El grafo adjunto representa las conexiones entre cuatro estaciones de tranvía. Se pide que usted:
<ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
<li>a) Escriba la matriz de adyacencia <math>G</math> de dicho grafo.</li>
<li>b) Interprete las matrices <math>G^2</math> y <math>G^3</math> (razone qué situaciones representan).</li>
<li>c) Razone, a partir de tales representaciones matriciales, si dicho grafo es o no fuertemente conexo.</li>
<li>d) Razone, a partir de dichas representaciones matriciales, cuál es la longitud del camino más corto desde <math>A</math> a <math>D</math> y cuántos pueden considerarse los «más cortos».</li>
</ul>
</td>
<td width=33% style="vertical-align:top;">
<!-- https://en.wikipedia.org/wiki/Box-drawing_character -->
<center>
<pre>
+—+       +—+
|D| <———> |C|
+—+       +—+
    \      ⋀
     \     |
      \    |
       \   |
        ╶┘ |
+—+       +—+
|A| <———> |B|
+—+       +—+
</pre>
</center>
</td>
</tr>
</table>
</div>

{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | <ul style = "list-style: none; margin-left: 5; padding-left: 1.35em; text-indent: -1.35em;">
        <li>a) La matriz de adyacencia <math>G</math> de dicho grafo es:
	<math display=block>
	G =
	\begin{pmatrix}
	0 & 1 & 0 & 0 \\
	1 & 0 & 1 & 0 \\
	0 & 0 & 0 & 1 \\
	0 & 1 & 1 & 0
	\end{pmatrix}
	</math>
	Formalizamos la matriz de adyacencia del grafo, haciendo correspoonder los subíndices posicionales <math>1</math>, <math>2</math>, <math>3</math> y <math>4</math> de sus elementos a las etiquetas <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> y <math>D</math>, de forma que, por ejemplo, <math>g_{23}</math> corresponde a una posible trayectoria de <math>B</math> a <math>C</math>, <math>B \rightsquigarrow C</math>. De esta forma, cada elemento <math>g_{ij}</math> de <math>G</math> indica el número de conexiones directas ---sin paradas intermedias (caminos de longitud uno en el grafo)--- entre las estaciones de tranvía correspondientes a <math>i</math> y <math>j</math>, en el sentido <math>i \rightsquigarrow j</math>. Así, <math>g_{23} = 1</math> se interpreta como la existencia de una conexión directa de <math>2</math> a <math>3</math>, <math>2 \rightarrow 3</math>, esto es, <math>B \rightarrow C</math>, mientras que <math>g_{32} = 0</math> corresponde a la no existencia de una conexión directa de <math>3</math> a <math>2</math>, <math>3 \nrightarrow 2</math>, esto es, <math>C \nrightarrow B</math>. </li>
	<li>b) Las potencias <math>2</math> y <math>3</math> de <math>G</math> son:
	<math display=block>
	G^2 =
	\begin{pmatrix}
	1 & 0 & 1 & 0 \\
	0 & 1 & 0 & 1 \\
	0 & 1 & 1 & 0 \\
	1 & 0 & 1 & 1
	\end{pmatrix}
	\quad \quad
	G^3 =
	\begin{pmatrix}
	0 & 1 & 0 & 1 \\
	1 & 1 & 2 & 0 \\
	1 & 0 & 1 & 1 \\
	0 & 2 & 1 & 1
	\end{pmatrix}
	</math>
	Cada elemento <math>g^{(2}_{ij}</math> de <math>G^2</math> indica el número de conexiones con una estación intermedia (caminos de longitud dos en el grafo) desde la estación correspondiente a <math>i</math> a la estación correspondiente a <math>j</math>, según la formalización anterior. Similarmente, cada elemento <math>g^{(3}_{ij}</math> de <math>G^3</math> indica el número de conexiones con dos estaciones intermedias (caminos de longitud tres en el grafo) desde la estación correspondiente a <math>i</math> a la estación correspondiente a <math>j</math>, también según la formalización anterior. </li>
	<li>c) Ser un grafo fuertemente conexo significa que existe un camino desde cualquier vértice a cualquier vértice. Por otro lado, dado un grafo <math>G</math>, con <math>n</math> vértices, puede saberse si existe algún camino desde el vértice <math>i</math> al vértice <math>j</math>, independientemente de la longitud, según sea el término <math>p_{ij}</math> de la matriz <math>P = G + G^2 + G^3 + \cdots + G^{n-1}</math>, ya que este da el número total de caminos desde <math>i</math> a <math>j</math> (si para algún <math>i</math> y <math>j</math> fuese <math>p_{ij} = 0</math>, no existiría ningún camino desde <math>i</math> a <math>j</math> y el grafo no sería fuertemente conexo). <br />El grafo que nos ocupa, <math>G</math>, de <math>4</math> vértices, sí es fuertemente conexo porque <math>P = G + G^2 + G^3</math> no tiene elementos nulos:
	<math display=block>
	P = G + G^2 + G^3
	=
	\begin{pmatrix}
	1 & 2 & 1 & 1 \\
	2 & 2 & 3 & 1 \\
	1 & 1 & 2 & 2 \\
	1 & 3 & 3 & 2
	\end{pmatrix}
	</math>
	lo que significa que dos estaciones cualesquiera están conectadas, sea directamente o indirectamente con una o dos paradas intermedias. De hecho, para este grafo particular, <math>G^2 + G^3</math> tampoco tiene elementos nulos:
	<math display=block>
	G^2 + G^3
	=
	\begin{pmatrix}
	1 & 1 & 1 & 1 \\
	1 & 2 & 2 & 1 \\
	1 & 1 & 2 & 1 \\
	1 & 2 & 2 & 2
	\end{pmatrix}
	</math>
	esto es, cualesquiera dos estaciones están conectadas por trayectorias con una o dos paradas intermedias. </li>
        <li>d) Notando por <math>g_{ij}^{(k)}</math> el término de posición <math>(i,j)</math> de la matriz <math>G^{k}</math>, observamos que <math>g_{14} = g_{14}^{(2)} = 0</math> y <math>g_{14}^{(3)} = 1</math>, siendo este el primero distinto de cero, por lo que, camino más corto, solo hay uno y tiene dos paradas intermedias.
	</ul>
|}<br/>

===== Álgebra y cálculo numéricos =====

<div style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; background: #FAFBFC; border: 1px solid rgb(153, 153, 153); padding: 1em; text-align:left;">
<strong>Cuestión ACN1.</strong><br/>
Halle un posible término general <math>a_n</math> de la [[Sucesión matemática|sucesión]] <math>a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 4, a_4 = 7</math> utilizando la [[Interpolación polinómica de Newton|interpolación polinomial de Newton en diferencias divididas]].
</div>

{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" style="margin-left: 5%; margin-right: 5%; text-align:left; padding:0px; background-color:white;"
| align="left"   | <span style="text-align:left; font-weight:bold;">Solución:</span>
|-
| style="text-align:left; font-size:100%; padding:6px" | Por costumbre de comenzar en <math>n = 0</math>, lo hacemos para <math>b_0 = 1, b_1 = 2, b_2 = 4, b_3 = 7</math> y después ajustamos. Llamando <math>f(n)</math> a <math>b_n</math>, el cuadro de diferencias divididas es el siguiente:
<math display=block>
\begin{array}{cc|ccc|cccc|cc}
i & j & x_i & f(x_i) & f(x_i,x_j) & i & j & k & l & f(x_i,x_j,x_k) & f(x_i,x_j,x_k,x_l) \\
\hline
0 &   & 0 & 1 &   &   &   &   &   &     &   \\
0 & 1 &   &   & 1 &   &   &   &   &     &   \\
1 &   & 1 & 2 &   & 0 & 1 & 2 &   & 1/2 &   \\
1 & 2 &   &   & 2 & 0 & 1 & 2 & 3 &     & 0 \\
2 &   & 2 & 4 &   & 1 & 2 & 3 &   & 1/2 &   \\
2 & 3 &   &   & 3 &   &   &   &   &     &   \\
3 &   & 3 & 7 &   &   &   &   &   &     &   \\
\end{array}
</math>
donde:
<math display=block>
\begin{align}
f(x_i,x_j) &= \frac{f(x_j) - f(x_i)}{x_j - x_i} \\
f(x_i,x_j,x_k) &= \frac{f(x_j,x_k) - f(x_i,x_j)}{x_k - x_i} \\
&\;\;\vdots \\
f(x_0,x_1,\ldots,x_n) &= \frac{f(x_1,x_2,\ldots,x_n) - f(x_0,x_1,\ldots,x_{n-1})}{x_n - x_0}
\end{align}
</math>
siendo la expresión general del polinomio interpolador:
<math display=block>
\begin{align}
f_n(x) = f(x_0) &+ (x - x_0) f(x_0, x_1) \\
                &+ (x - x_0) (x - x_1) f(x_0, x_1, x_2) \\
                &+ \cdots \\
                &+ (x - x_0) (x - x_1) \ldots (x - x_{n-1}) f(x_0, x_1, \dots, x_n)
\end{align}
</math>
o en forma recurrente:
<math display=block>
f_n(x) = f_{n-1}(x) + (x - x_0) (x - x_1) \ldots (x - x_{n-1}) f(x_0, x_1, \dots, x_n)
</math>
Así:

* <math>f_0(x) = f(x_0) = f(0) = 1</math>, propuesta válida para <math>x_0</math>, pero no ya para <math>x_1</math> pues <math>f_0(x_1) = f_0(1) = 1 \neq 2 = f(1)</math>.

* <math>f_1(x) = f_0(x) + (x - x_0) f(x_0, x_1) = 1 + (x - 0) \cdot 1 = 1 + x</math>, válido para <math>x_0</math> y <math>x_1</math> pero no para <math>x_2</math> ya que <math>f_1(x_2) = f_1(2) = 3 \neq 4 = f(2)</math>.

* <math>f_2(x) = f_1(x) + (x - x_0) (x - x_1) f(x_0, x_1, x_2) = 1 + x + (x - 0) (x - 1) \cdot 1/2 = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{2}</math>, que sí es válido ya para todos, incluso para <math>x_3</math>, al ser <math>f_2(x_3) = f_2(3) = 7 = f(3)</math>.

* La siguiente diferencia es cero, lo que confirma que el polinomio interpolador propuesto por este método sea de grado dos:
<math display=block>
f_2(x) = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{2}
</math>

En fin, que comenzando en <math>n = 0</math>, el término general es <math>b_n = 1 + \frac{n}{2} + \frac{n^2}{2}</math>, y ajustando para un comienzo en <math>n = 1</math>, tal como se pide, el término general es:
<math display=block>
a_n = 1 + \frac{n-1}{2} + \frac{(n-1)^2}{2}
</math>
<i>Sol.</i>: <math>a_n = 1 + \frac{n-1}{2} + \frac{(n-1)^2}{2}</math>.
|}<br/>

</div>

==== Ejemplos de exámenes preparatorios ====

{{Metaplantilla de avisos |
Mi intención es que haya '''dos exámenes preparatorios''' para practicar el examen final, '''uno a mitad de curso y otro al final''' —otros dos instrumentos de evaluación—. Dependiendo de la marcha de la asignatura, unos años se podrá, otros no. Estos exámenes serán similares al final en nivel, contenido y formato y se basarán en lo trabajado en clase hasta ese momento. '''Serán realizados en casa''' y deberían hacerse sin ninguna ayuda —libros, apuntes, etc.— y deberían durar dos horas —lo mismo que el examen final—. Esta «autoevaluación controlada» intenta: a) estimular su trabajo personal, b) detectar errores y debilidades y c) que salgan a la luz lagunas de comprensión, y por supuesto, d) corregirlos. '''Se dedicarán dos horas de grupo grande a su corrección, una para cada examen, en las que se compartirán ideas y soluciones'''. Estos exámenes están pensados para la preparación y el estudio. No van a ser calificados por el profesor y '''no se incluyen en el cómputo de la nota final'''. Comoquiera que el examen final es individual, le recomiendo que los haga individualmente y no en grupo, si bien la decisión final le corresponde a usted.
}}

<div style="background-color:fafaff;">
<div style="border: 2px solid red; padding: 10px; border-radius: 25px; background-color: transparent;">
Las cuestiones de exámenes pasados —muchas resueltas— están en las notas incompletas de clase (NIC):
* [https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2024-cuestiones-de-matematicas-discretas.-volumen-0 <u>Cuestiones de Matemática Discreta. Teoría y Práctica. Volumen 0. (2.ª edición, 2025)</u>]
<br />
Podemos localizar dichas cuestiones en estas NIC utilizando abreviaturas en búsquedas, las siguientes:
<br>
<ul dir="ltr">
    <li style="text-align:left;">AIC, actividad intermedia de cualificación; por ejemplo, [AIC 10.4.2019:2b] corresponde al apartado b de la cuestión 2.ª de la AIC de fecha 10 de abril de 2019;</li>
    <li>
        EFE, examen final extraordinario; por ejemplo, [EFE 29.1.2025:2] corresponde a la cuestión 2.ª del EFE de fecha 29 de enero de 2025;</li>
    <li>
        EFEC, examen final extraordinario para coincidencias; por ejemplo, [EFEC 29.1.2025:3] corresponde a la cuestión 3.ª del EFEC de fecha 29 de enero de 2025;</li>
    <li>
        EFO, examen final ordinario; por ejemplo, [EFO 24.5.2023:10] corresponde a la cuestión 10.ª del EFO de fecha 24 de mayo de 2023;</li>
    <li>
        EPF, examen preparatorio final;</li>
    <li>
        PEP, primer examen preparatorio;</li>
    <li>
        SEP, segundo examen preparatorio;</li>
    <li>
        SEL: selección de cuestiones; por ejemplo, [SEL 2:3] corresponde a la cuestión 3.ª de la SEL n.º 2.</li>
</ul>

Todos los enunciados de los exámenes reales y preparatorios se encuentran recopilados en el archivo [https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2016-2025-matematica-discreta-examenes-reales-y-preparatorios <u>León Rojas, J. M. (2016 2025) «Matemática Discreta: exámenes reales y preparatorios»</u>] 
<br /><br />
</div>
</div>

'''Año académico 2016-2017.—'''
<br />
Las cuestiones y sus identificadores son los de la sección «[[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Ejemplos de cuestiones de examen, instrumentales y relacionales%5B1%5D%E2%80%8B, y algunas soluciones|Ejemplos de cuestiones de examen, instrumentales y relacionales, y algunas soluciones]]». Su resolución debe ser individual y a libro cerrado; el tiempo de realización de cada cuestión es de 30 m.

*Parte 1: Fundamentos y Teoría de Números.
**Ejemplo primero de primer examen preparatorio: [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Lógica_2|L2]], [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Conjuntos,_relaciones_y_funciones_2|CRF1]], [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#%C3%81lgebra_y_c%C3%A1lculo_num%C3%A9ricos|ACN1]], [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Tema_2.-_Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros_2|TN1]].
**Ejemplo segundo de primer examen preparatorio: [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Lógica_2|L3]], [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Cardinalidad,_inducci%C3%B3n_y_recursi%C3%B3n_2|C1]], [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Tema_2.-_Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros_2|TN5]], [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Tema_2.-_Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros_2|TN3]].
*Parte 2: Combinatoria y Ecuaciones en Diferencias.
**Ejemplo primero de segundo examen preparatorio: [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Combinatoria_2|TC1]], [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Combinatoria_2|TC2]], [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Tema_4.-_Ecuaciones_en_diferencias_2|RR1]], [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Estructuras_algebraicas_2|EA1]].
**Ejemplo segundo de segundo examen preparatorio: [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Combinatoria_2|TC3]], [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Combinatoria_2|TC4]], [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Tema_4.-_Ecuaciones_en_diferencias_2|RR2]], [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Grafos_2|G1]].

'''Año académico 2017-2018.—'''
* La [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#A%C3%B1o_acad%C3%A9mico_2017-2018_2|actividad intermedia de cualificación de 10 de abril de 2018]], que fue calificada, sirvió a su vez de primer examen preparatorio; basada en ejercicios/problemas, su resolución fue individual, a libro cerrado y supervisada, en un tiempo de 2 h y 30 m.

'''Año académico 2018-2019.—'''
<!--Los siguientes exámenes están basado en ejercicios/problemas, su resolución debe ser individual y a libro cerrado, en un tiempo de 2 h y 30 m.-->
* Primer examen preparatorio —PEP 10.4.2019—
<!---
** [https://drive.google.com/open?id=17g0ewJ58p-OCpbdttvo3-5pM7nIJ73aA Cuestiones]
** [https://drive.google.com/file/d/1xlupu_a5ITvQLtVuMRkArckzh_mmIGsp/view?usp=sharing Esquemas de resolución]
-->
* Examen preparatorio final —EPF 14.5.2019—
<!---
** [https://drive.google.com/open?id=1DZsVWqEl7GH_As9_lOdMn-75dL8_oB0Y Cuestiones]
** [https://drive.google.com/file/d/17-MTKgL5WnYsRtaWs6tAofhW4WbGzYEu/view?usp=sharing Esquemas de resolución]
-->

'''Año académico 2019-2020.—'''
* Se usó como primer examen preparatorio la [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matem%C3%A1tica_discreta_y_num%C3%A9rica/Plan_de_aprendizaje#A%C3%B1o_acad%C3%A9mico_2018-2019_3|actividad intermedia de cualificación de 10 de abril de 2019]] —esto sucedió antes de la [[Pandemia de enfermedad por coronavirus de 2019-2020|pandemia de la COVID-19]]—; está basado en ejercicios/problemas, su resolución debe ser individual y a libro cerrado, en un tiempo de 2 h y 30 m.

'''Año académico 2020-2021.—'''
* Se usaron como exámenes preparatorios el examen final ordinario de 3 de junio de 2019 y el examen final extraordinario de 25 de junio de 2019.

'''Año académico 2021-2022.—'''
<!--El siguiente examen está basado en ejercicios/problemas, su resolución debe ser individual y a libro cerrado.-->
* Primer examen preparatorio, 5 de abril de 2022 —PEP 5.4.2022—
<!--
** [https://drive.google.com/file/d/1KKN6mFhSL0aZAMm5_GooJ0VwB0lNfeqd/view?usp=sharing Cuestiones]
** [https://drive.google.com/file/d/1pA8axfqg_6bl1tQISZ_3N4v_2NiuiGNm/view?usp=sharing Esquemas de resolución]
-->

'''Año académico 2022-2023.—'''
<!--El siguiente examen está basado en ejercicios/problemas, su resolución debe ser individual y a libro cerrado.-->
* Primer examen preparatorio, 14 de abril de 2023 —PEP 14.4.2023—
<!--
** [https://drive.google.com/file/d/1jYeLLKpsi9f19R8nRpY1w_bb4jyToY0p/view?usp=share_link Cuestiones]
-->

== Actividades de cualificación y exámenes reales anteriores con algunas soluciones <!--<span style="font-variant: small-caps; background:yellow;">(nuevo)</span>-->==
Los cuatro primeros años académicos, del 2016-2017 al 2019-2020, impartí la asignatura en español y en inglés, de ahí que los correspondientes a estos años sean '''documentos bilingües''', en un formato de dos columnas, la izquierda con el texto en español y la derecha con el correspondiente texto en inglés.

<div style="background-color:fafaff;">
<div style="border: 2px solid red; padding: 10px; border-radius: 25px; background-color: transparent;">
Las cuestiones de exámenes pasados —muchas resueltas— están en las notas incompletas de clase (NIC):
* [https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2024-cuestiones-de-matematicas-discretas.-volumen-0 <u>Cuestiones de Matemática Discreta. Teoría y Práctica. Volumen 0. (2.ª edición, 2025)</u>]
<br />
Podemos localizar dichas cuestiones en estas NIC utilizando abreviaturas en búsquedas, las siguientes:
<br>
<ul dir="ltr">
    <li style="text-align:left;">AIC, actividad intermedia de cualificación; por ejemplo, [AIC 10.4.2019:2b] corresponde al apartado b de la cuestión 2.ª de la AIC de fecha 10 de abril de 2019;</li>
    <li>
        EFE, examen final extraordinario; por ejemplo, [EFE 29.1.2025:2] corresponde a la cuestión 2.ª del EFE de fecha 29 de enero de 2025;</li>
    <li>
        EFEC, examen final extraordinario para coincidencias; por ejemplo, [EFEC 29.1.2025:3] corresponde a la cuestión 3.ª del EFEC de fecha 29 de enero de 2025;</li>
    <li>
        EFO, examen final ordinario; por ejemplo, [EFO 24.5.2023:10] corresponde a la cuestión 10.ª del EFO de fecha 24 de mayo de 2023;</li>
    <li>
        EPF, examen preparatorio final;</li>
    <li>
        PEP, primer examen preparatorio;</li>
    <li>
        SEP, segundo examen preparatorio;</li>
    <li>
        SEL: selección de cuestiones; por ejemplo, [SEL 2:3] corresponde a la cuestión 3.ª de la SEL n.º 2.</li>
</ul>

Todos los enunciados de los exámenes reales y preparatorios se encuentran recopilados en el archivo [https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2016-2025-matematica-discreta-examenes-reales-y-preparatorios <u>León Rojas, J. M. (2016 2025) «Matemática Discreta: exámenes reales y preparatorios»</u>] 
<br /><br />
</div>
</div>

'''Año académico 2016-2017.—'''
<!--Los siguientes exámenes están basados en ejercicios/problemas, su resolución es individual, a libro cerrado y supervisada, en un tiempo máximo de 2 h y 10 m.-->
* Examen final ordinario, 1 de junio de 2017 —EFO 1.6.2017—
<!--
** [https://drive.google.com/file/d/1NgxiD1uyPX8jRVKVaaulcb4dKvll6KQA/view?usp=sharing Cuestiones]
** Esquemas de  resolución:
*** cuestión 1.ª; [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Lógica_2|L1]], en esta página;
*** [https://drive.google.com/file/d/11rz3uBi3syfebeiqeNwnU9n9stQ-lstR/view?usp=sharing cuestión 4.ª]
-->
* Examen final extraordinario, 7 de julio de 2017 —EFE 7.7.2017— 
<!--** [https://drive.google.com/file/d/17FWV9wiI7w9cRDJy8RKMwBk1UdmLpCvK/view?usp=sharing Cuestiones]-->
<!--
** Esquemas de resolución de la segunda, tercera y quinta cuestiones han sido publicadas en esta página: [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Cardinalidad_2|C2]], [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Teoría de números_2|TN4]] y [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Combinatoria_2|TC5]], respectivamente.
-->

'''Año académico 2017-2018.—'''
<!--La siguiente actividad y exámenes están basados en ejercicios/problemas, su resolución es individual, a libro cerrado y supervisada, en un tiempo máximo de 2 h y 30 m.-->
* Actividad intermedia de cualificación, 10 de abril de 2018 —AIC 10.4.2018—
<!--
** Fila A
*** [https://drive.google.com/file/d/11UU-RW769xpJLR8UfvayViDY_gY0ztHB/view?usp=sharing Cuestiones]
** Fila B
*** [https://drive.google.com/file/d/1Yj-8BVF0eo2AxZyiigr0Ym8POjJVpQlh/view?usp=sharing Cuestiones]
-->
* Examen final ordinario, 24 de mayo de 2018 —EFO 24.5.2018—
<!--
** [https://drive.google.com/file/d/1aOUBslTD1_1UZwO8RhUeZFDzD0LsXmxs/view?usp=sharing Cuestiones]
-->
* Examen final extraordinario, 29 de junio de 2018 —EFE 29.6.2018—
<!--
** [https://drive.google.com/file/d/13sFnK30dtNyn5T-ImTJBWXPkn_qh2amF/view?usp=sharing Cuestiones]
** [https://drive.google.com/file/d/1j7plD77smvzFZhCB46X8eWPLLriHg9MO/view?usp=sharing Esquemas de resolución]
-->

'''Año académico 2018-2019.—'''
<!--La siguiente actividad y exámenes están basados en ejercicios/problemas, su resolución es individual, a libro cerrado y supervisada, en un tiempo máximo de 2 h y 30 m.-->
* Actividad Intermedia de Cualificación, 10 de abril de 2019 —AIC 10.4.2019—
<!-- <div style="column-count:2;-moz-column-count:2;-webkit-column-count:2"> -->
<!-- ** [https://drive.google.com/open?id=1NwfF_gQOfc_It9MO4MEiV-pbC9xQ_Vva Cuestiones]-->
<!--
** [https://drive.google.com/file/d/10u2P1ehX0c2xvUk_Uxc83-IbgpqEI82j Esquemas de resolución]
-->
<!-- </div> -->
* Examen Final Ordinario, 3 de junio de 2019 —EFO 3.6.2019—
<!--
** [https://drive.google.com/open?id=1IuUgVKFNUaooMz4UxLT5mkMJHrlFrbIr Cuestiones]
** [https://drive.google.com/file/d/1wTB-ft-d_txiQEOjUd5AmZxZo0D0JcfE/view?usp=sharing Esquemas de resolución]
-->
* Examen Final Extraordinario, 25 de junio de 2019 —EFE 25.6.2019—
<!--
** [https://drive.google.com/open?id=19nZEH6y3UH1b1DfEPrztDqTG4fFWAux1 Cuestiones]
** [https://drive.google.com/file/d/1m_ipD19vmr9AAZ89wesmKILpwqIkthVS/view?usp=sharing Esquemas de resolución]
-->

'''Año académico 2019-2020.—'''
Debido a la [[Pandemia de enfermedad por coronavirus de 2019-2020|pandemia de la COVID-19]], la evaluación final se sustentó en un examen para hacer en casa, no supervisado, de un tiempo máximo de dos semanas de duración, para cuya resolución pudo accederse libremente a cuantos recursos y material de apoyo necesarios se estimasen convenientes, y basado en el apoyo mutuo, en el que ayudar es aceptable —no así la copia, el engaño, el plagio y cualquier otra forma de deshonestidad académica—, siempre reconociendo nominalmente dicha ayuda.
* Examen Final Ordinario para hacer en casa, plazo desde las 00:00 CEST del 25 de mayo a las 23:59 CEST del 10 de junio, de 2020 —EFO 12.6.2020—
<!--
** [https://drive.google.com/file/d/1zkrAEKjguQOFWx3vzFj7SWxkWGPrz3g3/view?usp=sharing Cuestiones]
** [https://drive.google.com/file/d/1fq6nFWULlIZoV67NBlzoJrtmp5hNlBDP/view?usp=sharing Esquemas de resolución]
-->
* Examen Final Extraordinario para hacer en casa, plazo desde las 00:00 CEST del 29 de junio a las 23:59 CEST del 12 de julio, de 2020 —EFE 14.7.2020—
<!--
** [https://drive.google.com/file/d/1wNHhakR7XiTRuMmoIdRynGuNDwIrWOyT/view?usp=sharing Cuestiones]
** [https://drive.google.com/file/d/1SpxaXbLr4DwiuNgrXVAaE62HeGZiQoG6/view?usp=sharing Esquemas de resolución]
-->

'''Año académico 2020-2021.—'''
<!--Los siguientes exámenes están basados en ejercicios/problemas, su resolución es individual, a libro cerrado y supervisada, en un tiempo máximo de 2 h y 30 m.-->
<!-- (Las fechas oficiales aparecerán primeramente en la [https://www.unex.es/conoce-la-uex/centros/epcc/informacion-academica/examenes página web de la EPCC]). -->
* Examen Final Ordinario, 4 de junio de 2021 —EFO 4.6.2021—
<!--
** [https://drive.google.com/file/d/1IpE7CJr_Iqb3NYhkKUW02G4lDf4_CAAZ/view?usp=sharing Cuestiones]
** [https://drive.google.com/file/d/1CQY3lcfRqg9Olg34X7z1hRcatxqbwJCF/view?usp=sharing Esquemas de resolución]
-->
* Examen Final Extraordinario, 7 de julio de 2021 —EFE 7.7.2021—
<!--
** [https://drive.google.com/file/d/1ZKgwbMUTFLay1ivE2FdLU5iS212u3fsR/view?usp=sharing Cuestiones]
** [https://drive.google.com/file/d/1rcvqXLOf_Zv9ZAOPrHYif0mH4FVVVKZM/view?usp=sharing Esquemas de resolución]
-->
* Examen Final Extraordinario, 17 de enero de 2022 —EFE 17.1.2022—

'''Año académico 2021-2022.—'''
<!--Los siguientes exámenes están basados en ejercicios/problemas, su resolución es individual, a libro cerrado y supervisada, en un tiempo máximo de 2 h y 30 m.-->
* Examen Final Ordinario, 20 de mayo de 2022 —EFO 20.5.2022—
<!--
** [https://drive.google.com/file/d/1wgwCJDP1zVn42WlyOvQnY5DH_exGL303/view?usp=sharing Cuestiones]
** [https://drive.google.com/file/d/1zJwxT9sXZ5KgoV2runjVhivxky_pso2D/view?usp=sharing Esquemas de resolución]
-->
* Examen Final Extraordinario, 22 de junio de 2022 —EFE 22.6.2022—
<!--
** [https://drive.google.com/file/d/150Rf3jH5rz_FTeUrObZds2Mc_gqX6AH7/view?usp=sharing Cuestiones]
** [https://drive.google.com/file/d/1AALO78_Aa8xrQyaBOGv96FxSEDSyWSQc/view?usp=sharing Esquemas de resolución]
-->
* Examen Final Extraordinario, 19 de enero de 2023 —EFE 19.1.2023—
<!--
** [https://drive.google.com/file/d/1FHLnZ1DzSaIPcO9urbNvORoDwvA6nmVj/view?usp=sharing Esquemas de resolución]
-->

'''Año académico 2022-2023.—'''
<!--Los siguientes exámenes están basados en ejercicios/problemas, su resolución es individual, a libro cerrado y supervisada, en un tiempo máximo de 2 h y 30 m.-->
* Examen Final Ordinario, 24 de mayo de 2023 —EFO 24.5.2023—
<!--
** [https://drive.google.com/file/d/10t9T_QNrJXhUybXwA90O3udsBJdX5fbZ/view?usp=sharing Cuestiones]
** [https://drive.google.com/file/d/17GbjdkJODqfBIFWKbvtsS59i3G-gZ6N9/view?usp=sharing Esquemas de resolución]
-->
* Examen Final Extraordinario, 28 de junio de 2023 —EFE 28.6.2023—
<!--
** [https://drive.google.com/file/d/13_2r1BW3GQPEhxNaGuCZhXWYTIF4RRyH/view?usp=sharing Cuestiones]
** [https://drive.google.com/file/d/1FHLnZ1DzSaIPcO9urbNvORoDwvA6nmVj/view?usp=sharing Esquemas de resolución]
-->

'''Año académico 2023-2024.—'''
<!--Los siguientes exámenes de tipo test restativo están basados en ejercicios/problemas, su resolución es individual, a libro cerrado y supervisada, en un tiempo máximo de 160 minutos.-->
* Examen Final Ordinario, 29 de mayo de 2024
* Examen Final Extraordinario, 3 de julio de 2024 —EFE 3.7.2024—
* Examen Final Extraordinario, 29 de enero de 2025 —EFE 29.1.2025—
* Examen Final Extraordinario para Coincidencias, 29 de enero de 2025 —EFEC 29.1.2025—

== Plan de estudios tentativo (cronograma para el año académico 2022-2023) ==

'''Importante:''' Recuerde que los ejercicios del libro de <span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> y los de muchos otros libros están publicados con [[todos los derechos reservados]]. Sin embargo, su estudio y trabajo son fuente inagotable de ideas para elaborar contribuciones a Wikipedia.

<!--
{| style="margin:auto; width:90%; color:black;"
 | style="width:0%; text-align:right; background-color:White;" | [[File:Ambox warning green construction.svg|center|46px]]
 | style="width:100%; text-align:center; background-color:#f1fadf; border-style: solid; border-width: 0px 0px 0px 0px" |
-->
<!-- BEGIN EN CONSTRUCCIÓN -->
<!--
<hr style="border-width: 1px;">Este plan de estudios tentativo corresponde al año académico 2019-2020; con respecto al año académico actual su estado es '''en construcción o revisión''' y por tanto '''sujeto a cambios''', posiblemente hasta unos días antes del comienzo del segundo cuatrimestre académico. Por favor, disculpen las molestias.<hr style="border-width: 1px;">
-->
<!-- END EN CONSTRUCCIÓN -->
<!-- |} -->

{{Metaplantilla de avisos |
Este plan de estudios tentativo, correspondiente al plan docente aprobado (ficha12a) (†), es <strong>orientativo y dinámico</strong> (el desarrollo previsto de la asignatura puede variar en función de las particularidades del estudiantado implicado).
}}
† <small>[https://epcc.unex.es/informacion-academica/programas-asignaturas/ Pulse aquí si desea ver el plan docente aprobado (ficha12a)].</small>
=== Agenda de actividades ===
<!--
+++++ UNESCO +++++
https://www.un.org/es/observances/international-days-and-weeks
-->
<!-- GRAN TABLA -->
<div style="column-count:1;-moz-column-count:1;-webkit-column-count:1; font-size:85%;">
{| class="wikitable"
| colspan="8" style="text-align: center;" |
'''1 de enero'''
<br>
[[Día del Dominio Público]]

[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]

'''4 de enero'''
<br>
[[Día Mundial del Braille]]
Teoría de números
'''14 de enero'''
<br>
[[Día Mundial de la Lógica]]

'''24 de enero'''
<br>
[[Día Internacional de la Educación]]
<br>
[[Día Mundial de la Cultura Africana y de los Afrodescendientes]] <sup>([[:en:World Day for African and Afrodescendant Culture|en]])</sup>

'''27 de enero'''
<br>
[[Día Internacional de Conmemoración en Memoria de las Víctimas del Holocausto]]
|-
! colspan="8" style="text-align: center; background: #4b92db; border-left:solid 1px black;border-right:solid 1px black;border-top:solid 3px black;border-bottom:solid 3px black;" |<span style="font-variant: small-caps; font-size: large;">'''Ampliación de Matemáticas'''</span>

<span style="font-variant: small-caps; font-size: 120%;">'''Año académico 2022-2023'''</span>

<span style="font-variant: small-caps; font-size: 120%;">'''II.º semestre'''</span>

<span style="font-variant: small-caps; font-size: 120%;">'''Clases de grupo grande (48 <span style="font-variant: normal;">h</span>) y de seminario/laboratorio (12 <span style="font-variant: normal;">h</span>)'''</span>
|-
! rowspan="2" style="text-align: center; background: LightSteelBlue; border-left:solid 1px black;border-right:solid 1px black;border-top:solid 1px black;border-bottom:solid 1px black;" |'''Fechas'''
! rowspan="2" style="text-align: center; background: LightSteelBlue; border-left:solid 1px black;border-right:solid 1px black;border-top:solid 1px black;border-bottom:solid 1px black;" |'''Temas y epígrafes'''
! colspan="3" style="text-align: center; background: LightSteelBlue; border-left:solid 1px black;border-right:solid 1px black;border-top:solid 1px black;border-bottom:solid 1px black;" |'''Lectura y estudio de <span style="background:yellow"><span style="font-variant: small-caps;">textos</span></span> básicos'''<br>(Se recomienda su {{fontcolor|green|lectura previa}} a la asistencia a clase)
! colspan="3" style="text-align: center; background: LightSteelBlue; border-left:solid 1px black;border-right:solid 1px black;border-top:solid 1px black;border-bottom:solid 1px black;" |'''Sigue una selección de <span style="background:yellow"><span style="font-variant: small-caps;">ejercicios</span></span>, esencialmente instrumentales, de entrenamiento'''. No han de olvidarse los que se trabajan en las clases de grupo grande y en las de seminario/laboratorio. <!--<br>([http://zurbaran.unex.es Una selección más amplia], en breve).--><small>La concreción de estos ejemplos, no implica, en ningún caso, un recorte de los contenidos a estudiar. Se recomienda encarecidamente {{fontcolor|green|resolver ejercicios y otras cuestiones}}, cuantas más, mejor. Hay una más que suficiente bibliografía donde acudir.</small>
|-
| style="text-align: center; background: LightSteelBlue; border-left:solid 1px black;border-right:solid 1px black;border-top:solid 1px black;border-bottom:solid 1px black;" |'''<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 5.ª ed. España/EUA'''
| style="text-align: center; background: LightSteelBlue; border-left:solid 1px black;border-right:solid 1px black;border-top:solid 1px black;border-bottom:solid 1px black;" |'''<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª ed. EUA'''
| style="text-align: center; background: LightSteelBlue; border-left:solid 1px black;border-right:solid 1px black;border-top:solid 1px black;border-bottom:solid 1px black;" |'''Otros'''
| style="text-align: center; background: LightSteelBlue; border-left:solid 1px black;border-right:solid 1px black;border-top:solid 1px black;border-bottom:solid 1px black;" |'''<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 5.ª ed. España/EUA'''
| style="text-align: center; background: LightSteelBlue; border-left:solid 1px black;border-right:solid 1px black;border-top:solid 1px black;border-bottom:solid 1px black;" |'''<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª ed. EUA'''
| style="text-align: center; background: LightSteelBlue; border-left:solid 1px black;border-right:solid 1px black;border-top:solid 1px black;border-bottom:solid 1px black;" |'''Otros'''
|-
| colspan="8" style="box-sizing: border-box; border-bottom-width: 3px; border-bottom-style: solid; border-bottom-color: rgb(0, 173, 239); border-top-width: 3px; border-top-style: solid; border-top-color: rgb(0, 173, 239); text-align: center; background: #E6ECFF;" |<p style="text-transform: uppercase; font-size: 120%;">'''Clase 0'''</p>
<p>(Presentación de la asignatura y de algunos conceptos iniciales)</p>
<!--  line-height: 1.1; margin-top: 26px; margin-bottom: 9px; padding-left: 1px; padding-bottom: 7px; 
<p style="text-transform: uppercase;">'''De la matemática discreta'''</p>
<p>(16 h GG y 5 h S/L)</p> -->
|-
| style="text-align: center;" |
'''Mar
<br>
31/1
<br>
(Comienzo de las clases)'''
| colspan="7" style="background: none;"| + Presentación de la asignatura y de algunos conceptos iniciales.<br>+ Asimismo, para el inicio de su estudio no presencial optativo, les recomiendo:
* que lean sobre ¿qué es la matemática discreta? (¿qué es y por qué estudiarla?, ¿qué tipo de problemas resuelve?) (por ejemplo: Rosen 5.ª ed. España/EUA —pp. xxi-xxii—; Rosen 7.ª ed. EUA —pp. xviii-xx—);
* que vean el documental (43m): [https://www.youtube.com/watch?v=44fb3tI2Cak <span style="font-variant: small-caps;">García</span>, Pablo (dir.), «'''Great ideas of philosophy. Logic: the structure of reason [Grandes ideas de la Filosofía. Lógica: la estructura de la razón]'''» (v. doblada en español), Films for the Humanities and Sciences (Princeton, NJ), Tranquilo Producciones, 2004] (podrán hacerse una idea general de la lógica y de su relación con la filosofía, la matemática y la computación, de la mano de un maestro de la talla de [[Hilary Putnam|Hilary <span style="font-variant: small-caps;">Putnam</span>]] y de especialistas como [[Kit Fine|Kit <span style="font-variant: small-caps;">Fine</span>]] <sup>[[:en:Kit Fine|en]]</sup>, [[Daniel Garber|Daniel <span style="font-variant: small-caps;">Garber</span>]] <sup>[[:en:Daniel Garber (philosopher)|en]]</sup> y [[Colin McGinn|Colin <span style="font-variant: small-caps;">McGinn</span>]]);'''
* a quienes les atraiga la simulación de la inteligencia, que aparentemente va a estar presente por todas partes, deberían tener en cuenta la importancia de la [[filosofía]] y en particular de la [[ética]], por ejemplo:
** [https://retina.elpais.com/retina/2018/10/30/tendencias/1540906405_872503.html <span style="font-variant: small-caps;">Miranda-Saavedra</span>, Diego, De cuando la filosofía rescató a la inteligencia artificial, El País Retina, 2018];
** [https://www.lavanguardia.com/tecnologia/20200111/472778317152/etica-robots-inteligencia-artificial.html <span style="font-variant: small-caps;">Micó</span>, Josep Lluís, La ética de las máquinas: Kant entre robots, Hegel con inteligencia artificial, La Vanguardia, Tecnología, 2020].
<!--
* {{cite web
 |url=ftp://ftp.aduni.org/videos/02_lect_01.rm
 |others=(URL alternativa: https://www.youtube.com/watch?v=h_9WjWENWV8)
 |title='''What kinds of problems are solved in discrete math?'''
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">[[Shai Simonson|Simonson]]</span>
 |first=[[Shai Simonson|Shai]]
 |format=Vídeo
 |publisher=[[ArsDigita University]] <sup>([[:en:ArsDigita University|en]])</sup>
 |date=
 |website=
 |access-date=15 de noviembre de 2017
 |quote= }}
-->
|-
| colspan="8" style="box-sizing: border-box; border-bottom-width: 3px; border-bottom-style: solid; border-bottom-color: rgb(0, 173, 239); border-top-width: 3px; border-top-style: solid; border-top-color: rgb(0, 173, 239); text-align: center; background: #E6ECFF;" |<p style="text-transform: uppercase; font-size: 120%;">'''Tema 1'''</p>
<!--  line-height: 1.1; margin-top: 26px; margin-bottom: 9px; padding-left: 1px; padding-bottom: 7px; -->
<p style="text-transform: uppercase;">'''FUNDAMENTOS I: LÓGICA, CONJUNTOS Y CORRESPONDENCIAS.'''</p>

<p>(9 h GG y 5 h S/L)</p>
|-
| style="text-align: center;" |
Mié
'''<br>'''
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Semana Mundial de la Armonía Interconfesional]]
|<span style="font-variant: small-caps;">Lógica simbólica, I: Lógica de juntores</span>
* Lógica de juntores;
* El método de las tablas de verdad como estrategia de verificación.
|
* § 1.1.
|
* § 1.1;
* § 1.2;
* <small>Transparencias:
** 1.01.R7US_1.1;
** 1.02.R7US_1.2.</small>
|
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Lógica|WP+ (Lógica)]].
|
* § 1.1 (8, 15, 30, 48, 42, 51-55, 59).
|
* § 1.1 (12, 21, 38);
* § 1.2 (12, 16, 19-23, 35).
|
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Lógica|WP+ (Lógica)]].
|-
| rowspan="2" style="text-align: center;" |
Jue
<br>
2/2
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Mundial de los Humedales]]
|<span style="font-variant: small-caps;">Lógica simbólica, I: Lógica de juntores</span>
* Equivalencias proposicionales;
* Derivación formal.
|
* § 1.2.
|
* § 1.3;
* <small>Transparencias:
** 1.03.R7US_1.3.</small>
|
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Lógica|WP+ (Lógica)]].
|
* § 1.2 (8, 10, 29, 51).
|
* § 1.3 (10, 12, 29, 57).
|
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Lógica|WP+ (Lógica)]].
|- style="vertical-align:top;"
| colspan="7" style="text-align: left; background: #FFF5FA;" |[[Archivo:Twenty_sided_dice.svg|vínculo=|37x37px]] [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica|MATDIN: Proyecto educativo Matemática discreta y numérica (actividad no presencial optativa)]].
:: '''Inicio de la componente académica''' para el 2.º cuatrimestre del curso 2022-2023. Usted,
::# debería leer su página web descriptiva, [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica]];
::# '''una vez leída''' toda la información en dicha página, '''si''' a usted le interesa participar '''y sólo si''' tiene dudas '''o''' necesita ayuda para hacer lo que se dice en esa página web que haga '''o''' quiere ayudar al resto a hacerlo '''o''' quiere compartir cuestiones, inquietudes '''o''' sugerencias sobre el mismo, podría compartirlas en el '''foro de la asignatura en el campus virtual''' de la UEX, en el hilo de conversación dedicado.
|-
|style="text-align: center;"|
'''Grupo B'''
<br>
Vie
<br>
3/2
| rowspan="4" style="text-align: left; background: #EEFFEE;"|<span style="font-variant: small-caps;">'''Seminario/Laboratorio N.º 1''':</span><br><span style="font-variant: small-caps;">Pruebas y refutaciones, I</span>

* Resolución, eventualmente apoyada en software, de [[Argumento|argumentos]], [[Lenguaje formal|formales]] e [[Lenguaje natural|informales]] —[[Problema de enunciado verbal|enunciados verbales]] (''word problems'', en inglés)—, utilizando, esencialmente:
** tablas de verdad,
** reducción al absurdo o
** formas normales.
| rowspan="4" style="text-align: left; background: #EEFFEE;"|
* § 1.1, 1.2;
* § 1.5.7;
* —.
| rowspan="4" style="text-align: left; background: #EEFFEE;"|
* § 1.1, 1.2, 1.3;
* § 1.7.7;
* —;
* <small>Transparencias:</small> 
** <small>1.07.R7US_1.7.</small>
| rowspan="4" style="text-align: left; background: #EEFFEE;"|
* Rosen 7.ª Edición Global: § 1.7 (formas normales);
* [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Lógica|WP+ (Lógica)]].
| rowspan="4" style="text-align: left; background: #EEFFEE;"|León-Rojas, J. M., KDEM DA/HD – 703-01.
| rowspan="4" style="text-align: left; background: #EEFFEE;"|León-Rojas, J. M., KDEM DA/HD – 703-01.
| rowspan="4" style="text-align: left; background: #EEFFEE;"|
* Rosen 7.ª Edición Global: § 1.7 (1, 2, 3, 4, 5, 6);
* [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Plan de aprendizaje#Lógica|WP+ (Lógica)]];
* [https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab <span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, Selección n.º 1 de cuestiones y 1.<sup>er</sup> seminario/laboratorio. Pruebas y refutaciones, I.]
|-
|style="text-align: center;"|
Sáb
<br> 
4/2 
<br>
[[Día Mundial contra el Cáncer]]
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Internacional de la Fraternidad Humana]]
|-
|style="text-align: center;"|
Dom 
<br>
5/2 
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Internacional de Tolerancia Cero con la Mutilación Genital Femenina]]
|-
|style="text-align: center;"|
'''Grupo A'''
<br>
Lun
<br>
6/2
|-
|style="text-align: center;"|
Mar
<br>
7/2
|<span style="font-variant: small-caps;">Lógica simbólica, I: Lógica de juntores</span>
* Reducción al absurdo (demostración por contradicción);
* Formas normales.

<span style="font-variant: small-caps;">Lógica simbólica, II: Lógica de primer orden</span>

* Predicados, variables, cuantificadores, negación de cuantificadores y equivalencias lógicas.
|
* § 1.5.7;
* —
* § 1.3.
|
* <small>§ 1.7.7;</small>


* <small>Transparencias:</small>
** <small>1.03.R7US_1.3;</small>
** <small>1.07.R7US_1.7.</small>
* <small>—</small>
* <small>§ 1.4;</small>
* <small>Transparencias:</small>
** <small>1.04.R7US_1.4.</small>
|
* Rosen 7.ª Edición Global: § 1.7 (formas normales);
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Lógica|WP+ (Lógica)]].
|
* —
* § 1.3 (8, 10, 22, 41, 48, 55);
*[[iarchive:KDEM.DA.HD.70301|<span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., KDEM DA/HD – 703-01]].
|
* —
* § 1.4 (8, 10, 24, 43, 52, 59);
*[[iarchive:KDEM.DA.HD.70301|<span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., KDEM DA/HD – 703-01]].
|
* Rosen 7.ª Edición Global: § 1.7 (formas normales) (1, 2, 3, 4, 5, 6);
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Lógica|WP+ (Lógica)]].
|-
| style="text-align: center;" |
Mié
<br>
8/2
|<span style="font-variant: small-caps;">Lógica simbólica, II: Lógica de primer orden</span>

* Traducción inversa (desde español a lógica de primer orden).
|
* § 1.3.
|
* § 1.4;
* <small>Transparencias:
** 1.04.R7US_1.4.</small>
|
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Lógica|WP+ (Lógica)]].
|
* § 1.3 (8, 10, 22, 41, 48, 55).
|
* § 1.4 (8, 10, 24, 43, 52, 59).
|
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Lógica|WP+ (Lógica)]].
|-
| style="text-align: center;" |
Jue
<br>
9/2
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia]]
|<span style="font-variant: small-caps;">Lógica simbólica, II: Lógica de primer orden</span>

* Cuantificadores anidados, su orden y su negación;
* Traducción desde lógica de primer orden a español;
* Traducción inversa (desde español a lógica de primer orden).
|
* § 1.4.
|
* § 1.5;
* <small>Transparencias:
** 1.05.R7US_1.5.</small>
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Lógica|WP+ (Lógica)]].
|
* § 1.4 (5, 8, 13, 18, 21, 28, 37, 44).
|
* § 1.5 (5, 8, 13, 18, 21, 28, 39, 48).
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Lógica|WP+ (Lógica)]].
|-
| style="text-align: center;" |
'''Grupo B'''
<br>
Vie
<br>
10/2
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[World Pulses Day|Día Mundial de las Legumbres]]
----Sábado
<br>
11/2
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]

[[Día Mundial de la Radio]]<hr>
'''Grupo A'''
<br>
Lun
<br>
13/2
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |<span style="font-variant: small-caps;">'''Seminario/Laboratorio N.º 2''':</span><br><span style="font-variant: small-caps;">Pruebas y refutaciones, II</span>

* Resolución, eventualmente apoyada en software, de [[Argumento|argumentos]], [[Lenguaje formal|formales]] e [[Lenguaje natural|informales]] —[[Problema de enunciado verbal|enunciados verbales]] ([[:en:Word problem (mathematics education)|''word problems'']], en inglés)—, utilizando, esencialmente, un cálculo de deducción natural (tipo <span style="font-variant: small-caps;">Gentzen</span>).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* § 1.5 (especialmente, § 1.5.3, 1.5.6).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* § 1.6 (especialmente, § 1.6.4, 1.6.7);
* <small>Transparencias:
** 1.02.R7US_1.2;
** 1.03.R7US_1.3;
** 1.06.R7US_1.6.</small>
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Lógica|WP+ (Lógica)]].
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
*[[iarchive:KDEM.DA.HD.70301|<span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., KDEM DA/HD – 703-01]]
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
*[[iarchive:KDEM.DA.HD.70301|<span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., KDEM DA/HD – 703-01]]
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Lógica|WP+ (Lógica)]];
*[https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab <span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., Selección n.º 2 de cuestiones y 2.º seminario/laboratorio. Pruebas y refutaciones, II.]
|-
| style="text-align: center;" |
Mar
<br>
14/2
|<span style="font-variant: small-caps;">Lógica simbólica, III: Demostración</span>

* Argumentos válidos y reglas de inferencia.
|
* § 1.5.1, 1.5.2, 1.5.3, 1.5.4, 1.5.5, 1.5.6.
|
* § 1.6;
* <small>Transparencias:
** 1.06.R7US_1.6.</small>
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Lógica|WP+ (Lógica)]].
|
* § 1.5 (10, 12).
|
* § 1.6 (14, 16).
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Lógica|WP+ (Lógica)]].
|-
| style="text-align: center;"|
Mié
<br>
15/2
|<span style="font-variant: small-caps;">Lógica simbólica, III: Demostración</span>

* Introducción a la demostración;
* Métodos y estrategias de demostración.
* El rompecabezas MU.
|
* § 1.5.7, 1.5.8, 1.5.9, 1.5.10;
* § 3.1.
|
* § 1.7;
* § 1.8;
* <small>Transparencias:
** 1.07.R7US_1.7;
** 1.08.R7US_1.8.</small>
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Lógica|WP+ (Lógica)]].
|
* § 1.5 (20, 22, 30, 32, 35, 46, 58);
* § 3.1 (11, 13, 14, 19, 20, 27, 32, 38, 44, 49, 51).
|
* § 1.7 (14, 18, 24);
* § 1.8 (3, 7, 20, 23, 25, 26, 27, 42).
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Lógica|WP+ (Lógica)]].
|-
| style="text-align: center;"|
Jue
<br>
16/2
|<span style="font-variant: small-caps;">Conjuntos</span>

* Conjuntos;
* Operaciones entre conjuntos, álgebra de Boole, particiones.
|
* § 1.6;
* § 1.7.
|
* § 2.1;
* § 2.2.
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Conjuntos,_relaciones_y_funciones|WP+ (Conjuntos, relaciones y funciones)]].
|
* § 1.6 (5, 6, 17, 24, 27, 30);
* § 1.7 (2, 10, 12, 20, 29, 34).
|
* § 2.1 (7, 8, 23, 32, 41, 46);
* § 2.2 (2, 14, 16, 26, 37, 42).
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Conjuntos,_relaciones_y_funciones|WP+ (Conjuntos, relaciones y funciones)]].
|-
| style="text-align: center;" |
'''Grupo B'''
<br>
Vie
<br>
17/2
<hr>
'''Grupo A'''
<br>
Lun
<br>
20/2

[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Mundial de la Justicia Social]]
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |<span style="font-variant: small-caps;">'''Seminario/Laboratorio N.º 3''':</span><br><span style="font-variant: small-caps;">Pruebas y refutaciones, III</span>

* Resolución, eventualmente apoyada en software, de [[Argumento|argumentos]], [[Lenguaje formal|formales]] e [[Lenguaje natural|informales]] —[[Problema de enunciado verbal|enunciados verbales]] ([[:en:Word problem (mathematics education)|''word problems'']], en inglés)—, utilizando, esencialmente tablas semánticas de <span style="font-variant: small-caps;">Beth</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Hintikka</span> (al estilo de <span style="font-variant: small-caps;">Smullyan</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Jeffrey</span>]).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |—
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |—
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
*[[#Logica_Bibliografia|<span style="font-variant: small-caps;">Antón</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Casañ</span>, 1987: § 3.2]];
*[[#Logica_Bibliografia|<span style="font-variant: small-caps;">Garrido</span>, 1989: § 13 (para la Lógica de juntores y la de primer orden)]];
*[[#Logica_Bibliografia|<span style="font-variant: small-caps;">Manzano</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Huertas</span>, 2006: § 4 (para la Lógica de juntores), § 11 (para la Lógica de primer orden)]];
*[[#Logica_Bibliografia|<span style="font-variant: small-caps;">Valdés</span>, 1989: pp. 40-50 (para la Lógica de juntores), pp. 82-89 (para la Lógica de primer orden)]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Lógica|WP+ (Lógica)]].
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |—
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |—
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Lógica|WP+ (Lógica)]];
*[https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab <span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., Selección n.º 3 de cuestiones y 3.<sup>er</sup> seminario/laboratorio. Pruebas y refutaciones, III.]
|-
|style="text-align: center;" |
Mar
<br>
21/2
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Internacional de la Lengua Materna]]
| colspan="7" |Martes de carnaval.
|-
| style="text-align: center;" |
Mié
<br>
22/2
<br>
[[Miércoles de Ceniza]]
<br>
(1.<sup>er</sup> día de la [[Cuaresma]])
|<span style="font-variant: small-caps;">Funciones</span>

* Correspondencias, funciones y aplicaciones; inyectividad, sobreyectividad y biyectividad; función inversa.
|
* § 1.8.
|
* § 2.3.
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Conjuntos,_relaciones_y_funciones|WP+ (Conjuntos, relaciones y funciones)]].
|
* § 1.8 (6, 8, 12, 13, 16, 17, 27, 29, 36, 45, 69).
|
* § 2.3 (6, 8, 12, 13, 20, 21, 35, 37, 44, 53, 77).
|
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Conjuntos,_relaciones_y_funciones|WP+ (Conjuntos, relaciones y funciones)]].
|-
| colspan="8" style="box-sizing: border-box; line-height: 1.1; border-bottom-width: 3px; border-bottom-style: solid; border-bottom-color: rgb(0, 173, 239); border-top-width: 3px; border-top-style: solid; border-top-color: rgb(0, 173, 239); margin-top: 26px; margin-bottom: 9px; padding-left: 1px; padding-bottom: 7px; text-align: center; background: #E6ECFF;" |<p style="text-transform: uppercase; font-size: 120%;">'''Tema 2'''</p>

<p style="text-transform: uppercase;">'''FUNDAMENTOS II: RELACIONES, INDUCCIÓN, CARDINALIDAD Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS.'''</p>

<p>(7 h GG y 2 h S/L)</p>

<p>(1h GG Resolución del primer examen preparatorio)</p>
|-
| rowspan="2" style="text-align: center;"|
Jue
<br>
23/2
|<span style="font-variant: small-caps;">Relaciones, I</span>

* Relaciones y sus propiedades (reflexiva, irreflexiva, simétrica, asimétrica, antisimétrica, transitiva, intransitiva y conexa);
* Representación de relaciones: correspondencias, conjuntos, cartesiana, matrices binarias y grafos dirigidos (digrafos).
|
* § 7.1;
* § 7.3.
|
* § 9.1;
* § 9.3.
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Conjuntos,_relaciones_y_funciones|WP+ (Conjuntos, relaciones y funciones)]].
|
* § 7.1 (6, 8, 13, 20, 32, 34, 38);
* § 7.3 (10, 14, 26, 36).
|
* § 9.1 (6, 10, 15, 22, 34, 36, 40);
* § 9.3 (10, 14, 26, 36).
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Conjuntos,_relaciones_y_funciones|WP+ (Conjuntos, relaciones y funciones)]].
|-
| colspan="7" style="text-align: left; background: #FFF5FA;" |[[Archivo:Twenty_sided_dice.svg|vínculo=|37x37px]] [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica|MATDIN: Proyecto educativo Matemática discreta y numérica (actividad no presencial optativa)]].
::'''Primer punto de control'''. Usted:
::# debería haberse registrado en Wikipedia en español si aún no lo estaba;
::# debería haberse unido al proyecto (apúntese en la tabla de personas participantes en la [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Participantes y contribuciones principales|página de contribuciones]] del proyecto);
::# debería haber elegido los artículos de los que se hace responsable (seguir las indicaciones del [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica#Esquema_de_trabajo|esquema de trabajo]] del proyecto) —como mínimo, debe haber elegido un artículo correspondiente a los temas tratados en clase (en principio, el tema 1 [Fundamentos])— ; en cualquier caso, esta elección de artículos debe quedar recogida en su cuaderno de bitácora.
|-
| style="text-align: center;" |
'''Grupo B'''
<br>
Vie
<br>
24/2
<hr>
'''Grupo A'''
<br>
Lun
<br>
27/2
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |<span style="font-variant: small-caps;">'''Seminario/Laboratorio N.º 4''':</span><br><span style="font-variant: small-caps;">Inducción y recursión</span>

* Resolución, eventualmente apoyada en software, de ejercicios con [[Problema de enunciado verbal|enunciados verbales]] ([[:en:Word problem (mathematics education)|''word problems'']], en inglés), sobre:
** inducción matemática;
** inducción fuerte y buen orden;
** inducción estructural.
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |(§ 1.5.7, 1.5.8, 1.5.9, 1.5.10; § 3.1);

* § 3.3;
* § 3.3;
*§ 3.4.
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |(§ 1.7; § 1.8);

* § 5.1;
* § 5.2;
*§ 5.3;
* <small>Transparencias:
** 1.18.R7US_5.1.1;
** 1.18.R7US_5.1.2;
** 1.19.R7US_5.2;
** 1.20.R7US_5.3;
** 1.21.R7US_5.4.</small>
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* G. <span style="font-variant: small-caps;">Polya</span>. Cómo plantear y resolver problemas. México, D. F.: Trillas;
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Cardinalidad, inducción y recursión|WP+ (Cardinalidad)]].
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* § 3.3 (8, 10, 6, 14, 11, 20, 25, 50, 38, 60); § 3.3 (_, 34, _);
*§ 3.4 (__, __, __);
*[[iarchive:KDEM.DA.HD.70301|<span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., KDEM DA/HD – 703-01]].
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* § 5.1 (4, 6, 10, 18, 25, 32, 45, 50, 54, 62); § 5.2 (4, 10, 26);
*§ 5.3 (__, __, __);
* ([[iarchive:KDEM.DA.HD.70301|<span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., KDEM DA/HD – 703-01]]).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* G. <span style="font-variant: small-caps;">Polya</span>. Cómo plantear y resolver problemas. México, D. F.: Trillas;
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Cardinalidad, inducción y recursión|WP+ (Cardinalidad)]];
*[https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab <span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., Selección n.º 4 (y 4.bis) de cuestiones y 4.º seminario/laboratorio. Inducción y recursión.]
|-
|style="text-align: center;" |
Mar
<br>
28/2
|<span style="font-variant: small-caps;">Relaciones, II</span>

* Relaciones de equivalencia;
* Relaciones de tolerancia (compatibilidad);
* Preórdenes y órdenes, parciales, totales, estrictos; diagramas de Hasse.
* Relaciones de preferencia e indiferencia.
|
* § 7.5;
* § —;
* § 7.6;
* § —.
|
* § 9.5;
* § —;
* § 9.6;
* § —.
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Conjuntos,_relaciones_y_funciones|WP+ (Conjuntos, relaciones y funciones)]].
|
* § 7.5 (3, _, 7, 8, 10, 18, 26, 29, 31, 46, 48);
* § 7.6 (2, 3, 4, 5, 10, 13, 16, 28, 32, 36, 49, 51, 56, 59).
|
* § 9.5 (3, 8, 11, 12, 16, 24, 36, 41, 43, 60, 62);
* § 9.6 (8, 9, 10, 11, 16, 19, 22, 34, 38, 42, 55, 57, 62, 67).
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Conjuntos,_relaciones_y_funciones|WP+ (Conjuntos, relaciones y funciones)]].
|-
| rowspan="2" style="text-align: center;" |
Mié
<br>
1/3
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día de la Cero Discriminación]]
|<span style="font-variant: small-caps;">Relaciones, III</span>

* Resolución de cuestiones sobre relaciones binarias.
|
—
|
—
|
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Conjuntos,_relaciones_y_funciones|WP+ (Conjuntos, relaciones y funciones)]].
|
—
|
—
|
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Conjuntos,_relaciones_y_funciones|WP+ (Conjuntos, relaciones y funciones)]].
*[https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab <span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., Selección n.º 4 (y 4.bis) de cuestiones y 4.º seminario/laboratorio. Inducción y recursión.]
|-
|<span style="font-variant: small-caps;">¿Existe algo mayor que el infinito? (Cardinalidad, I)</span>

* Conjuntos numerables: <math>\mathbb{N}</math>, <math>\mathbb{Z}</math> y <math>\mathbb{Q}</math> son numerables.
|
* § 3.2.5.
|
* § 2.5.1, 2.5.2.
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Cardinalidad, inducción y recursión|WP+ (Cardinalidad)]].
|
* § 3.2.5 (31, 32, 34, 38);
|
* § 2.5 (1, 4, 16, 28).
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Cardinalidad, inducción y recursión|WP+ (Cardinalidad)]].
|-
| style="text-align: center;"|
Jue
<br>
2/3
|<span style="font-variant: small-caps;">¿Existe algo mayor que el infinito? (Cardinalidad, II)</span>

*<math>\mathbb{R}</math> no es numerable;
* Computabilidad;
* El Teorema de <span style="font-variant: small-caps;">Cantor</span> y la Hipótesis del Continuo.
|
* § 3.2.5;
* § 3.2.5: ejercicios 41, 42, 43;
* —.
|
* § 2.5.3;
* § 2.5.3 y ejercicios 37, 38, 39;
* § 2.5.3.
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Cardinalidad, inducción y recursión|WP+ (Cardinalidad)]].
|
* § 3.2.5 (31, 32, 34, 38).
|
* § 2.5 (1, 4, 16, 28).
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Cardinalidad, inducción y recursión|WP+ (Cardinalidad)]].
|-
| style="text-align: center;" |
'''Grupo B'''
<br>
Vie
<br>
3/3
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Mundial de la Vida Silvestre]]
<hr>
Sáb
<br>
4/3
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Mundial de la Ingeniería para el Desarrollo Sostenible]] <sup>([https://en.unesco.org/commemorations/engineering UNESCO])</sup>
<hr>
'''Grupo A'''
<br>
Lun
<br>
6/3
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |<span style="font-variant: small-caps;">'''Seminario/Laboratorio N.º 5''':</span><br><span style="font-variant: small-caps;">Cardinalidad y Estructuras algebraicas</span>

* Resolución, eventualmente apoyada en software, de ejercicios con [[Problema de enunciado verbal|enunciados verbales]] ([[:en:Word problem (mathematics education)|''word problems'']], en inglés), sobre:
** cardinalidad;
** estructuras algebraicas.
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |—
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |—
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.1;
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.2;
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.3;
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.4;
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Estructuras_algebraicas|WP+ (Estructuras algebraicas)]].
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |—
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |—
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.1 (1, 2);
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.2 (2, 4, 5, 8, 12, 17, 18, 19, 20, 26, 31, 36, 40);
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.3 (4, 5, 7, 8);
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.4 (2, 3, 4, 5);
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Estructuras_algebraicas|WP+ (Estructuras algebraicas)]];
*[https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab <span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., Selección n.º 5 de cuestiones y 5.º seminario/laboratorio. Cardinalidad y Estructuras algebraicas.]
<!--
|
|
|
|
|
|
|
-->
|-
| style="text-align: center;" |
Mar
<br>
7/3
|<span style="font-variant: small-caps;">Estructuras algebraicas, I</span>

* Estructuras algebraicas;
* Semigrupos, monoides y grupos.
|—
|—
|
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.1;
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.2;
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Estructuras_algebraicas|WP+ (Estructuras algebraicas)]].
|—
|—
|
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.1 (1, 2);
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.2 (2, 4, 5, 8, 12, 17, 18, 19, 20, 26, 31, 36, 40);
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Estructuras_algebraicas|WP+ (Estructuras algebraicas)]].
|-
| style="text-align: center;" |
Mié
<br>
8/3
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Internacional de la Mujer]]
|<span style="font-variant: small-caps;">Estructuras algebraicas, II</span>

* Homomorfismos;
* Anillos, dominios de integridad y cuerpos.
|—
|—
|
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.3;
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.4;
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Estructuras_algebraicas|WP+ (Estructuras algebraicas)]].
|—
|—
|
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.3 (4, 5, 7, 8);
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.4 (2, 3, 4, 5);
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Estructuras_algebraicas|WP+ (Estructuras algebraicas)]].
|-
| style="text-align: center;" |
Jue
<br>
9/3
|<span style="font-variant: small-caps;">Estructuras algebraicas, III</span>

* Resolución de ejercicios sobre estructuras algebraicas.
|—
|—
|
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.1;
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.2;
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.3;
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.4;
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Estructuras_algebraicas|WP+ (Estructuras algebraicas)]].
|—
|—
|
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.1 (1, 2);
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.2 (2, 4, 5, 8, 12, 17, 18, 19, 20, 26, 31, 36, 40);
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.3 (4, 5, 7, 8);
*<span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span> 7.ª Edición Global: § 12.4 (2, 3, 4, 5);
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Estructuras_algebraicas|WP+ (Estructuras algebraicas)]].
|-
| colspan="8" style="box-sizing: border-box; line-height: 1.1; border-bottom-width: 3px; border-bottom-style: solid; border-bottom-color: rgb(0, 173, 239); border-top-width: 3px; border-top-style: solid; border-top-color: rgb(0, 173, 239); margin-top: 26px; margin-bottom: 9px; padding-left: 1px; padding-bottom: 7px; text-align: center; background: #E6ECFF;" |<p style="text-transform: uppercase; font-size: 120%;">'''Tema 3'''</p>

<p style="text-transform: uppercase;">'''TEORÍA DE NÚMEROS.'''</p>

<p>(9 h GG y 3 h S/L)</p>

<p>(1h GG Resolución del primer examen preparatorio)</p>
|-
| style="text-align: center;" |
'''Grupo B'''
<br>
Vie
<br>
10/3
<hr>
'''Grupo A'''
<br>
Lun
<br>
13/3
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |<span style="font-variant: small-caps;">'''Seminario/Laboratorio N.º 6''':</span><br><span style="font-variant: small-caps;">Divisibilidad, aritmética modular, primos, MCD y congruencias</span>

* Resolución, eventualmente apoyada en software, de ejercicios con [[Problema de enunciado verbal|enunciados verbales]] ([[:en:Word problem (mathematics education)|''word problems'']], en inglés), sobre:
** divisibilidad;
** aritmética modular;
** primos;
** MCD;
** congruencias.
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Comienzo práctico del tema).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Comienzo práctico del tema).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Comienzo práctico del tema);
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Teoría_de_números|WP+ (Teoría de números)]].
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Comienzo práctico del tema).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Comienzo práctico del tema).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Comienzo práctico del tema);
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Teoría_de_números|WP+ (Teoría de números)]];
*[https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab <span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., Selección n.º 6 de cuestiones y 6.º seminario/laboratorio. Divisibilidad, aritmética modular, primos, MCD y congruencias.]
<!--
|
|
|
|
|
|
|
-->
|-
| style="text-align: center;" |
Mar
<br>
14/3
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Internacional de las Matemáticas]]
|<span style="font-variant: small-caps;">Divisibilidad y aritmética modular</span>

* Divisibilidad;
* Algoritmo de la división;
* Aritmética modular.
|
* § 2.4.1, 2.4.2;
* § 2.4.4;
* § 2.4.6.
|
* § 4.1.1, 4.1.2;
* § 4.1.3;
* § 4.1.4, 4.1.5.
|
* [http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1710003/Apuntes/Leccion10.pdf <span style="font-variant: small-caps;">González Gutiérrez</span>, 2004a, § 10.1, 10.4];
* [http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1710003/Apuntes/Leccion13.pdf <span style="font-variant: small-caps;">González Gutiérrez</span>, 2004d, § 13.1];
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Teoría_de_números|WP+ (Teoría de números)]].
|
* § 2.4 (5, 6, 7);
* § 2.4 (10, 22, 34, 36);
* § 2.4 (38, 42, 44).
|
* § 4.1 (5, 6, 7);
* § 4.1 (10, 16, 18, 20);
* § 4.1 (26, 34, 36).
|
* [http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1710003/Apuntes/Leccion10.pdf <span style="font-variant: small-caps;">González Gutiérrez</span>, 2004a, § 10.1, 10.4];
* [http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1710003/Apuntes/Leccion13.pdf <span style="font-variant: small-caps;">González Gutiérrez</span>, 2004d, § 13.1];
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Teoría_de_números|WP+ (Teoría de números)]].
|-
| style="text-align: center;" |
Mié
<br>
15/3
|<span style="font-variant: small-caps;">Primos</span>

* Números primos;
* Teorema fundamental de la aritmética.
|
* § 2.4.3.
|
* § 4.3.1, 4.3.2, 4.3.3, 4.3.4, 4.3.5;
* § 4.3.2.
|
*[http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1710003/Apuntes/Leccion11.pdf <span style="font-variant: small-caps;">González Gutiérrez</span>, 2004b];
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Teoría_de_números|WP+ (Teoría de números)]].
|
* § 2.4 (8, 12, 14, 15, 20, 24, 25, 26, 27)
|
* § 4.3 (2, 4, 6, 11, 18, 20, 21, 22, 23)
|
*[http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1710003/Apuntes/Leccion11.pdf <span style="font-variant: small-caps;">González Gutiérrez</span>, 2004b];
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Teoría_de_números|WP+ (Teoría de números)]].
|-
| style="text-align: center;"|
Jue
<br>
16/3
|<span style="font-variant: small-caps;">Máximo común divisor (MCD)</span>

* MCD y MCM;
* Algoritmo de Euclides;
* Teorema de Bézout y algoritmo extendido de Euclides.
|
* § 2.4.5;
* § 2.5.5;
* § 2.6.2 y p. 180.
|
* § 4.3.6;
* § 4.3.7;
* § 4.3.8 y p. 273.
|
*[http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1710003/Apuntes/Leccion10.pdf <span style="font-variant: small-caps;">González Gutiérrez</span>, 2004a, § 10.6, 10.7, 10.8];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Teoría_de_números|WP+ (Teoría de números)]].
|
* § 2.4 (17, 28);
* § 2.5 (21, 22);
* § 2.5 (2, 50).
|
* § 4.3 (15, 24);
* § 4.3 (33, 32);
* § 4.3 (40, 44).
|
*[http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1710003/Apuntes/Leccion10.pdf <span style="font-variant: small-caps;">González Gutiérrez</span>, 2004a, § 10.6, 10.7, 10.8];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Teoría_de_números|WP+ (Teoría de números)]].
|-
| style="text-align: center;" |
'''Grupo B'''
<br>
Vie
<br>
17/3
<hr>
'''Grupo A'''
<br>
Lun
<br>
20/3
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Internacional de la Francofonía]]
<br>
[[Día Internacional de la Felicidad]]
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |<span style="font-variant: small-caps;">'''Seminario/Laboratorio N.º 7''':</span><br><span style="font-variant: small-caps;">Ecuaciones diofánticas y en congruencias, I</span>

* Resolución, eventualmente apoyada en software, de ejercicios con [[Problema de enunciado verbal|enunciados verbales]] ([[:en:Word problem (mathematics education)|''word problems'']], en inglés), sobre:
** ecuaciones diofánticas y
** ecuaciones en congruencias.
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* —;
* § 2.6.8, 2.6.9, 2.6.10.
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* —;
* § 4.6.4, 4.6.5, 4.6.6, 4.6.7, 4.6.8.
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* [http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1710003/Apuntes/Leccion12.pdf <span style="font-variant: small-caps;">González Gutiérrez</span>, 2004c];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Teoría_de_números|WP+ (Teoría de números)]].
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* —;
* § 2.6 (46, 47, 45*).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* —;
* § 4.6 (24, 27, 23*).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* [http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1710003/Apuntes/Leccion12.pdf <span style="font-variant: small-caps;">González Gutiérrez</span>, 2004c];
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Teoría_de_números|WP+ (Teoría de números)]];
*[https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab <span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., Selección n.º 7 de cuestiones y 7.º seminario/laboratorio. Ecuaciones diofánticas y en congruencias, I.]
|-
| style="text-align: center;" |
Mar
<br>
21/3
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Mundial de la Poesía]]
<br>
[[Día Internacional de la Eliminación de la Discriminación Racial]]
<br>
[[Día Internacional del Novruz]]
<br>
[[Día Mundial del Síndrome de Down]]
<br>
[[Día Internacional de los Bosques]]
|<span style="font-variant: small-caps;">Resolución de congruencias, I</span>

* Congruencias lineales;
* Teorema chino del resto;
* Aritmética computacional con enteros grandes.
|
* § 2.6.3;
* § 2.6.4;
* § 2.6.5.
|
* § 4.4.2;
* § 4.4.3;
* § 4.4.4.
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Teoría_de_números|WP+ (Teoría de números)]]
|
* § 2.6 (4, 5, 6, 7, 8, ...);
* § 2.6 (... ... ...);
* § 2.6 (... ... ...).
|
* § 4.4 (2, 5a, 6a, 5b, 6c, ...);
* § 4.4 (... ... ...);
* § 4.4 (... ... ...).
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Teoría_de_números|WP+ (Teoría de números)]]
|-
| style="text-align: center;" |
Mié
<br>
22/3
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Mundial del Agua]]
|<span style="font-variant: small-caps;">Resolución de congruencias, II</span>

* Teorema pequeño de Fermat y pseudoprimos; teoremas de Euler y Wilson.
|
* § 2.6.6; p. 179.
|
* § 4.4.5 y § 4.4.6; p. 285.
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Teoría_de_números|WP+ (Teoría de números)]].
|
* § 2.6 (17, 28, 32, 34, 43, 44, 52, 56).
|
* § 4.4 (19, 38, 46, 48,41, 42, 58, 62).
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Teoría_de_números|WP+ (Teoría de números)]].<!--
* [https://www.youtube.com/watch?v=Z8m0vfnkYQw <span style="font-variant: small-caps;">Soto</span>, Jesús. Ecuaciones diofánticas. UCAM]
* [https://www.youtube.com/watch?v=RGovvYZV7Eo <span style="font-variant: small-caps;">Hervás</span>, Antonio. Ecuaciones diofánticas (1). UPV] -->
|-
| style="text-align: center;"|
Jue
<br>
23/3
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Meteorológico Mundial]]
|<span style="font-variant: small-caps;">Criterios de divisibilidad</span>

* Restos potenciales y criterios de divisibilidad.
|—
|—
|
*[http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1710003/Apuntes/Leccion10.pdf <span style="font-variant: small-caps;">González Gutiérrez</span>, 2004a, § 10.5];
*[http://ocw.upm.es/matematica-aplicada/matematica-discreta/contenidos/material-de-clase/tema-3 <span style="font-variant: small-caps;">Sendra</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Martín</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Méndez</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Ortiz</span>, 2011];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Teoría_de_números|WP+ (Teoría de números)]].
|—
|—
|
*[http://ocw.upm.es/matematica-aplicada/matematica-discreta/contenidos/material-de-clase/tema-3 <span style="font-variant: small-caps;">Sendra</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Martín</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Méndez</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Ortiz</span>, 2011];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Teoría_de_números|WP+ (Teoría de números)]].
|-
| style="text-align: center;" |
'''Grupo B'''
<br>
Vie
<br>
24/3
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Internacional del Derecho a la Verdad en relación con Violaciones Graves de los Derechos Humanos y de la Dignidad de las Víctimas]]
<br>
[[Día Mundial de la Tuberculosis]]
<hr>
Sáb
<br>
25/3
<br>
[[Anunciación]]
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día internacional de Solidaridad con los miembros del personal detenidos o desaparecidos]]
<br>
[[Día Internacional de Recuerdo de las Víctimas de la Esclavitud y la Trata Transatlántica de Esclavos]] <sup>([[:en:International Day of Remembrance of the Victims of Slavery and the Transatlantic Slave Trade|en]])</sup>
<hr>
'''Grupo A'''
<br>
Lun
<br>
27/3
<!--
<hr>
'''Grupo A'''
<br>
Lun
<br>
29/3
-->
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |<span style="font-variant: small-caps;">'''Seminario/Laboratorio N.º 8''':</span><br><span style="font-variant: small-caps;">Ecuaciones diofánticas y en congruencias, II</span>

* Resolución, eventualmente apoyada en software, de ejercicios con [[Problema de enunciado verbal|enunciados verbales]] ([[:en:Word problem (mathematics education)|''word problems'']], en inglés), sobre:
** ecuaciones diofánticas,
** ecuaciones en congruencias,
** y aplicaciones de las congruencias.
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Prácticas sobre ecuaciones diofánticas y en congruencias y aplicaciones de las congruencias).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Prácticas sobre ecuaciones diofánticas y en congruencias y aplicaciones de las congruencias).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Prácticas sobre ecuaciones diofánticas y en congruencias y aplicaciones de las congruencias).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Prácticas sobre ecuaciones diofánticas y en congruencias y aplicaciones de las congruencias).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Prácticas sobre ecuaciones diofánticas y en congruencias y aplicaciones de las congruencias).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Prácticas sobre ecuaciones diofánticas y en congruencias y aplicaciones de las congruencias);
*[https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab <span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., Selección n.º 8 de cuestiones y 8.º seminario/laboratorio. Ecuaciones diofánticas y en congruencias, II]
|-
| style="text-align: center;" |
Mar
<br>
28/3
|<span style="font-variant: small-caps;">Ecuaciones diofánticas</span>

* Ecuaciones diofánticas.
|—
|—
|
*[http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1710003/Apuntes/Leccion12.pdf <span style="font-variant: small-caps;">González Gutiérrez</span>, 2004c];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Teoría_de_números|WP+ (Teoría de números)]].
|—
|—
|
*[http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1710003/Apuntes/Leccion12.pdf <span style="font-variant: small-caps;">González Gutiérrez</span>, 2004c];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Teoría_de_números|WP+ (Teoría de números)]].
|-
| style="text-align: center;" |
Mié
<br>
29/3
|<span style="font-variant: small-caps;">Aplicaciones de las congruencias</span>

* Funciones de dispersión (optativo);
* Números pseudoaleatorios (optativo);
* Criptografía. RSA.
|
* § 2.4.7;
*§ 2.4.7;
*§ 2.6.7, 2.6.8, 2.6.9, 2.6.10.
|
* § 4.5.1;
* § 4.5.2;
*§ 4.6.4, 4.6.5, 4.6.6, 4.6.7.
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Teoría_de_números|WP+ (Teoría de números)]].
|
* § 2.4 (48, 49);
* § 2.4 (50, 51, 52);
*§ 2.6 (45, 46, 47).
|
* § 4.5 (2, 3);
* § 4.5 (6, 7, 8);
*§ 4.6 (23, 24, 27).
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Teoría_de_números|WP+ (Teoría de números)]].
|-
| style="text-align: center;" |
Jue
<br>
30/3
| colspan="7" style="text-align: left; background: #ffddff;" |[[Archivo:Group_full_edit.svg|vínculo=|32x32px]] '''Repaso de examen''': clase dedicada a compartir ideas y soluciones del '''examen preparatorio de mitad de curso''' (hecho como tarea en tiempo no presencial) ('''que se dedique este día depende de la marcha del desarrollo de la asignatura''').
|-
| colspan="8" style="box-sizing: border-box; line-height: 1.1; border-bottom-width: 3px; border-bottom-style: solid; border-bottom-color: rgb(0, 173, 239); border-top-width: 3px; border-top-style: solid; border-top-color: rgb(0, 173, 239); margin-top: 26px; margin-bottom: 9px; padding-left: 1px; padding-bottom: 7px; text-align: center; background: #E6ECFF;" |<p style="text-transform: uppercase; font-size: 120%;">'''Tema 4'''</p>

<p style="text-transform: uppercase;">'''RAZONAMIENTO COMBINATORIO.'''</p>

<p>(8 h GG y 3 h S/L)</p>
|-
| style="text-align: center;" |
'''Grupo B'''
<br>
Vie
<br>
31/3
<br>
[[Viernes de Dolores]]
<hr>
Sábado
<br>
1/4
<br>
[[Sábado de Pasión]]
<br>
[[Sábado de Lázaro]] <sup>([[:pt:Sábado de Lázaro|pt]]; [[:fr:Samedi de Lazare|fr]]; [[:it:Sabato di Lazzaro|it]]; [[:en:Lazarus Saturday|en]])</sup>
<hr>
Dom
<br>
2/4
<br>
[[Semana Santa]]
<br>
[[Domingo de Ramos|Domingo de Ramos
<br>]]
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
[[Domingo de Ramos|<br>]]
[[Día Mundial de Concienciación sobre el Autismo]]

| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |<span style="font-variant: small-caps;">'''Seminario/Laboratorio N.º 9''':</span><br><span style="font-variant: small-caps;">Combinatoria, I</span>

* Resolución, eventualmente apoyada en software, de ejercicios con [[Problema de enunciado verbal|enunciados verbales]] ([[:en:Word problem (mathematics education)|''word problems'']], en inglés), sobre:
** combinatoria.
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Prácticas sobre combinatoria).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Prácticas sobre combinatoria).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Prácticas sobre combinatoria);
* [[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Prácticas sobre combinatoria).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Prácticas sobre combinatoria).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Prácticas sobre combinatoria);
* [[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]];
*[https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab <span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., Selección n.º 9 de cuestiones y 9.º seminario/laboratorio. Combinatoria, I.]
|-
| style="text-align: center;" |
Lun
<br>
3/4
<br>
[[Semana Santa]]
<br>
[[Lunes Santo]]
| colspan="7" style="background: none;" |
|-
| style="text-align: center;" |
Mar
<br>
4/4
<br>
[[Semana Santa]]
<br>
[[Martes Santo]]
[[Lunes Santo|<br>]]
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
[[Martes Santo|<br>]]
[[Día Internacional de información sobre el peligro de las minas y de asistencia para las actividades relativas a las minas]]
| colspan="7" style="background: none;" |
|-
| style="text-align: center;" |
Mié
<br>
5/4
<br>
[[Semana Santa]]
<br>
[[Miércoles Santo]]
| colspan="7" style="background: none;" |
|-
| style="text-align: center;" |
Jue
<br>
6/4
<br>
[[Semana Santa]]
<br>
[[Jueves Santo|Jueves Santo
<br>]]
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
[[Jueves Santo|<br>]]
[[Día Internacional del Deporte para el Desarrollo y la Paz]]
| colspan="7" style="background: none;" |
|-
| style="text-align: center;" |
Vie
<br>
7/4<br>
[[Semana Santa]]
<br>
[[Viernes Santo|Viernes Santo
<br>]]
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
[[Viernes Santo|<br>]]
[[Día Mundial de la Salud]]
| colspan="7" style="background: none;" |
|-
| style="text-align: center;" |
Sáb
<br>
8/4
<br>
[[Semana Santa]]
<br>
[[Sábado Santo]]
| colspan="7" style="background: none;" |
|-
| style="text-align: center;" |
Dom
<br>
9/4
<br>
[[Semana Santa]]
<br>
[[Domingo de Resurrección]]
| colspan="7" style="background: none;" |
|-
| style="text-align: center;" |
Lun
<br>
10/4
<br>
[[Tiempo de Pascua]]
<br>
[[Lunes de Pascua]]
| colspan="7" style="background: none;" |
|-
| style="text-align: center;" |
Mar
<br>
11/4
|<span style="font-variant: small-caps;">Combinatoria</span>

* Fundamentos de combinatoria.
|
* § 4.1.
|
* § 6.1.
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008, § 1, § 3.1, § 3.1.1]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|
* § 4.1 (6, 16, 22, 28, 33, 37, 41, 51, 52).
|
* § 6.1 (8, 16, 26, 32, 37, 41, 49, 67, 68).
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008, § 1, § 3.1, § 3.1.1]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|-
| style="text-align: center;" |
Mié
<br>
12/4
[[Martes Santo|<br>]]
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
[[Martes Santo|<br>]]
[[Día Internacional de los Vuelos Espaciales Tripulados]]
|<span style="font-variant: small-caps;">Combinatoria</span>

* El principio de los cajones.
|
* § 4.2.
|
* § 6.2.
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008, § 1, § 3.1, § 3.1.1]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|
* § 4.2 (9, 10, 16, 17, 18, 20, 24, 25, 26, 36).
|
* § 6.2 (9, 10, 16, 17, 18, 20, 26, 27, 28, 40).
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008, § 1, § 3.1, § 3.1.1]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|-
| style="text-align: center;" |
Jue
<br>
13/4
|<span style="font-variant: small-caps;">Combinatoria</span>

* Permutaciones y combinaciones;
* Coeficientes binomiales e identidades.
|
* § 4.3;
* § 4.4
|
* § 6.3;
* § 6.4.
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008, § 4, § 5]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|
* § 4.3 (5, 12, 18, 22, 23, 35, 36, 37);
* § 4.4 (4, 8, 20, 22, 24, 33, 34).
|
* § 6.3 (5, 12, 18, 22, 23, 35, 36, 37);
* § 6.4 (4, 8, 20, 22, 24, 33, 34).
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008, § 4, § 5]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|-
| style="text-align: center;" |
'''Grupo B'''
<br>
Vie
<br>
14/4
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |<span style="font-variant: small-caps;">'''Seminario/Laboratorio N.º 10''':</span><br><span style="font-variant: small-caps;">Combinatoria, II</span>

* Resolución, eventualmente apoyada en software, de ejercicios con [[Problema de enunciado verbal|enunciados verbales]] ([[:en:Word problem (mathematics education)|''word problems'']], en inglés), sobre combinatoria.
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria);
* [[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria);
* [[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]];
*[https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab <span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., Selección n.º 10 de cuestiones y 10.º seminario/laboratorio. Combinatoria, II.]
|-
| style="text-align: center;" |
Sáb
<br>
15/4
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Mundial del Arte]]
|
|
|
|
|
|
|
|-
| style="text-align: center;" |
'''Grupo A'''
<br>
Lun
<br>
17/4
|style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |<span style="font-variant: small-caps;">'''Seminario/Laboratorio N.º 9''':</span><br><span style="font-variant: small-caps;">Combinatoria, I</span>

* Resolución, eventualmente apoyada en software, de ejercicios con [[Problema de enunciado verbal|enunciados verbales]] ([[:en:Word problem (mathematics education)|''word problems'']], en inglés), sobre:
** combinatoria.
|style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Prácticas sobre combinatoria).
|style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Prácticas sobre combinatoria).
|style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Prácticas sobre combinatoria);
* [[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Prácticas sobre combinatoria).
|style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Prácticas sobre combinatoria).
|style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Prácticas sobre combinatoria);
* [[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]];
*[https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab <span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., Selección n.º 9 de cuestiones y 9.º seminario/laboratorio. Combinatoria, I.]
|-
| style="text-align: center;" |
Mar
<br>
18/4
|<span style="font-variant: small-caps;">Combinatoria</span>

* Permutaciones y combinaciones generalizadas (variaciones, combinaciones y permutaciones, con repetición).
|
* § 4.5.1, 4.5.2, 4.5.3, 4.5.4.
|
* § 6.5.1, 6.5.2, 6.5.3, 6.5.4.
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008, § 4.1.3, § 4.3, § 4.4]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|
* § 4.5 (10, 15, 16, 34, 56).
|
* § 6.5 (10, 15, 16, 34, 66).
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008, § 4.1.3, § 4.3, § 4.4]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|-
| rowspan="2" style="text-align: center;" |
Mié
<br>
19/4
|<span style="font-variant: small-caps;">Combinatoria</span>

* Distribuciones no ordenadas de objetos en cajas.
|
* § 4.5.5 (~).
|
* § 6.5.5.
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008, § 7.1]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|
* § 4.5.5 (22, 47, 50).
|
* § 6.5.5 (22, 47, 50).
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008, § 7.1]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|-
| colspan="7" style="text-align: left; background: #FFF5FA;" |[[Archivo:Twenty_sided_dice.svg|vínculo=|37x37px]] [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica|MATDIN: Proyecto educativo Matemática discreta y numérica (actividad no presencial optativa)]].
:: '''Segundo punto de control.''' Usted:
::# debería haber publicado, de manera continua, las contribuciones realizadas hasta la fecha, correspondientes a los temas tratados en clase (en principio, temas 1 [Fudamentos], 2 [Teoría de números] y 3 [Combinatoria]);
::# debería haber publicado la parte de su [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica#Autoinforme|autoinforme]] sobre lo que ha desarrollado hasta el momento, en su cuaderno de bitácora (taller) y en la [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Participantes_y_contribuciones_principales|página de contribuciones]] del proyecto.
|-
| style="text-align: center;" |
Jue
<br>
20/4
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día de la lengua china]]
|<span style="font-variant: small-caps;">Combinatoria</span>

* Distribuciones ordenadas de objetos en cajas.
|
* § 4.5.5 (~).
|
* § 6.5.5.
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008, § 7.1]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|
* § 4.5.5 (22, 47, 50).
|
* § 6.5.5 (22, 47, 50).
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008, § 7.1]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|-
| style="text-align: center;" |
'''Grupo B'''
<br>
Vie
<br>
21/4
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Mundial de la Creatividad y la Innovación]]
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |<span style="font-variant: small-caps;">'''Seminario/Laboratorio N.º 11''':</span><br><span style="font-variant: small-caps;">Combinatoria, III</span>

* Resolución, eventualmente apoyada en software, de ejercicios con [[Problema de enunciado verbal|enunciados verbales]] ([[:en:Word problem (mathematics education)|''word problems'']], en inglés), sobre:
** combinatoria.
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria);
* [[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria);
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]];
*[https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab <span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., Selección n.º 11 de cuestiones y 11.<sup>er</sup> seminario/laboratorio. Combinatoria, III.]
|-
| style="text-align: center;" |
Sáb
<br>
22/4
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Internacional de la Madre Tierra]]
| colspan="7" style="background: none;" |
|-
| style="text-align: center;" |
Dom
<br>
23/4
<br>
[[Día de San Jorge]]
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Internacional del Libro|Día mundial del libro y del derecho de autor]]
<br>
[[Día de la Lengua Inglesa en las Naciones Unidas|Día de la Lengua Inglesa]]
<br>
[[Día del Idioma Español en las Naciones Unidas|Día del Idioma Español]]
<br>
[[Día Internacional de las Niñas en las TIC]]
| colspan="7" style="background: none;" |
|-
| style="text-align: center;" |
Lunes
<br>
24/4
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Internacional del Multilateralismo y la Diplomacia para la Paz]] <sup>([https://www.un.org/es/events/diplomacyday/index.shtml ref])</sup>
| colspan="7" |Festividad de San Jorge (por caer en domingo).
|-
| style="text-align: center;" |
Mar
<br>
25/4
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Mundial del Paludismo]]
<br>
[[Día Internacional del Delegado]] <sup>([https://www.un.org/es/events/delegatesday/ ref])</sup>
|<span style="font-variant: small-caps;">Combinatoria</span>

* Partición de conjuntos.
|
*
|
*
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|
*
|
*
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|-
| style="text-align: center;" |
Mié
<br>
26/4
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Mundial de la Propiedad Intelectual]]
<br>
[[Día Internacional de Recordación del Desastre de Chernóbyl]] <sup>([https://www.un.org/es/events/chernobylday/index.shtml ref])</sup>
|<span style="font-variant: small-caps;">Combinatoria</span>

* Descomposición aditiva de números.
|
*
|
*
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|
*
|
*
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|-
| colspan="8" style="box-sizing: border-box; line-height: 1.1; border-bottom-width: 3px; border-bottom-style: solid; border-bottom-color: rgb(0, 173, 239); border-top-width: 3px; border-top-style: solid; border-top-color: rgb(0, 173, 239); margin-top: 26px; margin-bottom: 9px; padding-left: 1px; padding-bottom: 7px; text-align: center; background: #E6ECFF;" |<p style="text-transform: uppercase; font-size: 120%;">'''Tema 5'''</p>

<p style="text-transform: uppercase;">'''COMBINATORIA AVANZADA: ECUACIONES EN DIFERENCIAS.'''</p>

<p>(8 h GG y 2 h S/L)</p>

<p>(1h GG Resolución del segundo examen preparatorio)</p>
|-
| style="text-align: center;" |
Jue
<br>
27/4
|<span style="font-variant: small-caps;">Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones de recurrencia)</span>

* Ecuaciones lineales en diferencias finitas, modelos y aplicaciones.
|
* (§ 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3, 3.2.4);
* § 6.1.
|
* (§ 2.4);
* § 8.1.
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009a|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009a, § 9.1, 9.2]];
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009b|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009b]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Ecuaciones_en_diferencias_finitas_(relaciones_recurrentes)|WP+ (Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes))]].
|
* § 6.1 (17, 22, 23, 25, 27, 36, 37, 42, 46).
|
* § 8.1 (1, 6, 7, 9, 11, 20, 21, 26, 30).
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009a|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009a, § 9.1, 9.2]];
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009b|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009b]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Ecuaciones_en_diferencias_finitas_(relaciones_recurrentes)|WP+ (Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes))]].
|-
| style="text-align: center;" |
'''Grupo B'''
<br>
Vie
<br>
28/4
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Mundial de la Seguridad y Salud en el Trabajo]]
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |<span style="font-variant: small-caps;">'''Seminario/Laboratorio N.º 12''':</span><br><span style="font-variant: small-caps;">Ecuaciones en diferencias, I</span>

* Resolución, eventualmente apoyada en software, de ejercicios con [[Problema de enunciado verbal|enunciados verbales]] ([[:en:Word problem (mathematics education)|''word problems'']], en inglés), sobre ecuaciones en diferencias finitas.
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre ecuaciones en diferencias finitas);
* § 6.3.
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre ecuaciones en diferencias finitas);
* § 8.3.
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre ecuaciones en diferencias finitas);
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009a|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009a]];
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009b|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009b]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Ecuaciones_en_diferencias_finitas_(relaciones_recurrentes)|WP+ (Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes))]].
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre ecuaciones en diferencias finitas);
* § 6.2 (45, 46, 47);
* § 6.3 (10, 11, 14, 15, 16).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre ecuaciones en diferencias finitas);
* § 8.2 (45, 46, 47);
* § 8.3 (10, 11, 14, 15, 16).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre ecuaciones en diferencias finitas);
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009a|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009a]];
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009b|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009b]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Ecuaciones_en_diferencias_finitas_(relaciones_recurrentes)|WP+ (Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes))]];
* [https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab <span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., Selección n.º 12 de cuestiones y 12.º seminario/laboratorio. Ecuaciones en diferencias, I.]
|-
| style="text-align: center;" |
Dom
<br>
30/4
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Internacional del Jazz]]
| colspan="7" |
|-
| style="text-align: center;" |
Lunes
<br>
1/5
| colspan="7" |[[Día Internacional de los Trabajadores]] 
|-
| style="text-align: center;" |
Mar
<br>
2/5
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Mundial del Atún]]
|<span style="font-variant: small-caps;">Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones de recurrencia)</span>

* Ecuaciones lineales homogéneas en diferencias finitas con coeficientes constantes, I.
|
* § 6.2.1, 6.2.2.
|
* § 8.2.1, 8.2.2.
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009a|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009a, § 9.1, 9.2, 9.3]];
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009b|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009b]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Ecuaciones_en_diferencias_finitas_(relaciones_recurrentes)|WP+ (Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes))]].
|
* § 6.2 (2, 3, 4, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18).
|
* § 8.2 (2, 3, 4, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18).
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009a|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009a, § 9.1, 9.2, 9.3]];
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009b|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009b]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Ecuaciones_en_diferencias_finitas_(relaciones_recurrentes)|WP+ (Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes))]].
|-
| style="text-align: center;" |
Mié
<br>
3/5
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día Mundial de la Libertad de Prensa]]
|<span style="font-variant: small-caps;">Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones de recurrencia)</span>

* Ecuaciones lineales homogéneas en diferencias finitas con coeficientes constantes, II.
|
* § 6.2.1, 6.2.2.
|
* § 8.2.1, 8.2.2.
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009a|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009a, § 9.1, 9.2, 9.3]];
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009b|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009b]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Ecuaciones_en_diferencias_finitas_(relaciones_recurrentes)|WP+ (Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes))]].
|
* § 6.2 (2, 3, 4, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18).
|
* § 8.2 (2, 3, 4, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18).
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009a|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009a, § 9.1, 9.2, 9.3]];
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009b|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009b]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Ecuaciones_en_diferencias_finitas_(relaciones_recurrentes)|WP+ (Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes))]].
|-
| style="text-align: center;" |
Jue
<br>
4/5
|<span style="font-variant: small-caps;">Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones de recurrencia)</span>

* Ecuaciones lineales no homogéneas en diferencias finitas con coeficientes constantes, I.
|
* § 6.2.3.
|
* § 8.2.3.
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009a|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009a, § 9.1, 9.2, 9.3 (esp. 9.3.2)]];
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009b|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009b]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Ecuaciones_en_diferencias_finitas_(relaciones_recurrentes)|WP+ (Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes))]].
|
* § 6.2 (23, 24, 26, 31).
|
* § 8.2 (23, 24, 26, 31).
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009a|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009a, § 9.1, 9.2, 9.3 (esp. 9.3.2)]];
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009b|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009b]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Ecuaciones_en_diferencias_finitas_(relaciones_recurrentes)|WP+ (Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes))]].
|-
| style="text-align: center;" |
'''Grupo B'''
<br>
Vie
<br>
5/5
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Día del Patrimonio Mundial Africano]]
<br>
[[Día Mundial de la Lengua Portuguesa]] <sup>([[:pt:Dia da Língua Portuguesa nas Nações Unidas|pt]]; [[:en:UN Portuguese Language Day|en]])</sup>
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |<span style="font-variant: small-caps;">'''Seminario/Laboratorio N.º 13''':</span><br><span style="font-variant: small-caps;">Ecuaciones en diferencias, II</span>

* Resolución, eventualmente apoyada en software, de ejercicios con [[Problema de enunciado verbal|enunciados verbales]] ([[:en:Word problem (mathematics education)|''word problems'']], en inglés), sobre ecuaciones en diferencias finitas.
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre ecuaciones en diferencias finitas).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre ecuaciones en diferencias finitas).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre ecuaciones en diferencias finitas);
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009a|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009a]];
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009b|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009b]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Ecuaciones_en_diferencias_finitas_(relaciones_recurrentes)|WP+ (Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes))]].
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre ecuaciones en diferencias finitas).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre ecuaciones en diferencias finitas).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre ecuaciones en diferencias finitas);
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009a|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009a]];
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009b|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009b]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Ecuaciones_en_diferencias_finitas_(relaciones_recurrentes)|WP+ (Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes))]];
*[https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab <span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., Selección n.º 13 de cuestiones y 13.<sup>er</sup> seminario/laboratorio. Ecuaciones en diferencias, II.]
|-
| style="text-align: center;" |
'''Grupo A'''
<br>
Lun
<br>
8/5
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Jornadas de Recuerdo y Reconciliación en Honor de Quienes Perdieron la Vida en la Segunda Guerra Mundial]]
<br>
[[Día Mundial de las Aves Migratorias]]

| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |<span style="font-variant: small-caps;">'''Seminario/Laboratorio N.º 10''':</span><br><span style="font-variant: small-caps;">Combinatoria, II</span>

* Resolución, eventualmente apoyada en software, de ejercicios con [[Problema de enunciado verbal|enunciados verbales]] ([[:en:Word problem (mathematics education)|''word problems'']], en inglés), sobre combinatoria.
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria);
* [[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria);
* [[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]];
*[https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab <span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., Selección n.º 10 de cuestiones y 10.º seminario/laboratorio. Combinatoria, II.]
|-
| style="text-align: center;" |
Mar
<br>
9/5
<br>
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]
<br>
[[Jornadas de Recuerdo y Reconciliación en Honor de Quienes Perdieron la Vida en la Segunda Guerra Mundial]]
|<span style="font-variant: small-caps;">Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones de recurrencia)</span>

* Ecuaciones lineales no homogéneas en diferencias finitas con coeficientes constantes, II.
|
* § 6.2.3.
|
* § 8.2.3.
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009a|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009a, § 9.1, 9.2, 9.3 (esp. 9.3.2)]];
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009b|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009b]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Ecuaciones_en_diferencias_finitas_(relaciones_recurrentes)|WP+ (Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes))]].
|
* § 6.2 (23, 24, 26, 31).
|
* § 8.2 (23, 24, 26, 31).
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009a|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009a, § 9.1, 9.2, 9.3 (esp. 9.3.2)]];
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009b|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009b]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Ecuaciones_en_diferencias_finitas_(relaciones_recurrentes)|WP+ (Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes))]].
|-
| rowspan="2" style="text-align: center;" |
Mié
<br>
10/5
|<span style="font-variant: small-caps;">Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones de recurrencia)</span>

* Sistemas de ecuaciones lineales en diferencias finitas, I.
* Sistemas de ecuaciones lineales en diferencias finitas, II y III.
|—
|—
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009a|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009a, § 9.4]];
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009b|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009b]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Ecuaciones_en_diferencias_finitas_(relaciones_recurrentes)|WP+ (Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes))]].
|—
|—
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009a|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009a, § 9.4]];
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009b|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009b]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Ecuaciones_en_diferencias_finitas_(relaciones_recurrentes)|WP+ (Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes))]].
|-
| colspan="7" style="text-align: left; background: #FFF5FA;" |[[Archivo:Twenty_sided_dice.svg|vínculo=|37x37px]] [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica|MATDIN: Proyecto educativo Matemática discreta y numérica (actividad no presencial optativa)]].
:: '''Tercer y último punto de control.''' Usted:
::# debería haber publicado, de manera continua, las contribuciones realizadas hasta la fecha, correspondientes a los temas tratados en clase (en principio, todos, temas del 1 al 4);
::# debería haber publicado la parte de su [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica#Autoinforme|autoinforme]] sobre todo su trabajo, en su cuaderno de bitácora y en la [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Participantes_y_contribuciones_principales|página de contribuciones]] del proyecto;
::# desde este momento hasta la fecha de finalización de la componente académica, puede '''revisar todo lo que ha hecho''', '''corregir errores menores''' y '''completar detalles pequeños'''.
|-
| rowspan="2" style="text-align: center;" |
Jue
<br>
11/5
| colspan="7" style="text-align: left; background: #ffddff;" |[[Archivo:Group_full_edit.svg|vínculo=|32x32px]] '''Repaso de examen''': clase dedicada a compartir ideas y soluciones del '''examen preparatorio de final de curso''' (hecho como tarea en tiempo no presencial) ('''que se dedique este día depende de la marcha del desarrollo de la asignatura''').
|-
| colspan="7" style="text-align: left; background: #FFF5FA;" |[[Archivo:Twenty_sided_dice.svg|vínculo=|37x37px]] [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica|MATDIN: Proyecto educativo Matemática discreta y numérica (actividad no presencial optativa)]].
:: '''Fin de la componente académica''' para el II.º cuatrimestre del curso 2022-2023.
|-
| style="text-align: center;" |
Vie
<br>
12/5
<br>
Fiesta académica de la [[Escuela Politécnica de Cáceres|Escuela Politécnica]]
| colspan="7" style="background: none;" |'''Terminación de las clases'''.





<!--

|-
| style="text-align: center;" |
'''Grupo A'''<br>
Lun
<br>
9/5
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |<span style="font-variant: small-caps;">'''Seminario/Laboratorio N.º 11''':</span><br><span style="font-variant: small-caps;">Combinatoria, III</span>

* Resolución, eventualmente apoyada en software, de ejercicios con [[Problema de enunciado verbal|enunciados verbales]] ([[:en:Word problem (mathematics education)|''word problems'']], en inglés)—, sobre combinatoria.
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria);
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria).
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* (Lo estudiado sobre combinatoria);
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]];
*[https://archive.org/details/leon-rojas-j.-m.-2009-2019-matematica-discreta-cuestiones-sem-lab <span style="font-variant: small-caps;">León-Rojas</span>, J. M., Selección n.º 11 de cuestiones y 11.<sup>er</sup> seminario/laboratorio. Combinatoria, III.]
|-
| style="text-align: center;" |


Mié
<br>
11/5
|<span style="font-variant: small-caps;">Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones de recurrencia)</span>

* Sistemas de ecuaciones lineales en diferencias finitas, II y III.
|—
|—
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009a|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009a, § 9.4]];
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009b|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009b]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Ecuaciones_en_diferencias_finitas_(relaciones_recurrentes)|WP+ (Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes))]].
|—
|—
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009a|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009a, § 9.4]];
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#NavasEstebanQuesada2009b|<span style="font-variant: small-caps;">Navas</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Esteban</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Quesada</span>, 2009b]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Ecuaciones_en_diferencias_finitas_(relaciones_recurrentes)|WP+ (Ecuaciones en diferencias finitas (relaciones recurrentes))]].

-->

|-
| colspan="8" style="text-align: center;" |
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]

'''15 de mayo'''
<br>
[[Día Internacional de la Familia|Día Internacional de las Familias]]

'''16 de mayo'''
<br>
[[Día Internacional de la Convivencia en Paz]]
<br>
[[Día Internacional de la Luz]]
|-
| style="text-align: center;"|
Mié
<br>
17/5
<br>
'''Inicio del período de exámenes de la convocatoria de mayo-junio
|-
| colspan="8" style="text-align: center;" |
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]

'''17 de mayo'''
<br>
[[Día Mundial de las Telecomunicaciones y la Sociedad de la Información]]

'''20 de mayo'''
<br>
[[Día Mundial de las Abejas]]

'''21 de mayo'''
<br>
[[Día Mundial de la Diversidad Cultural para el Diálogo y el Desarrollo]]
<br>
[[Día Internacional del Té]] <sup>([https://undocs.org/es/A/74/386#page=9 ref])</sup>

'''22 de mayo'''
<br>
[[Día Internacional de la Diversidad Biológica]]

'''23 de mayo'''
<br>
[[Día Internacional para la Erradicación de la Fístula Obstétrica]]

'''29 de mayo'''
<br>
[[Día Internacional del Personal de Paz de las Naciones Unidas]]
<br>

'''31 de mayo'''
<br>
[[Día Mundial Sin Tabaco]]
|-
| style="text-align: center;"|
ddd
<br>
nn/mm
| colspan="7" style="text-align: left; background: #ff88ff; color: black;" |[[Archivo:Hand-33988.svg|vínculo=|32x32px]] '''Examen final ordinario''', convocatoria de mayo-junio.
|-
| colspan="8" style="text-align: center;" |
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]

...
|-
| style="text-align: center;"|
Jue
<br>
8/6
<br>
'''Fin del período de exámenes de la convocatoria de mayo-junio'''
|-
| colspan="8" style="text-align: center;" |
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]

...
|-
| style="text-align: center;"|
Lun
<br>
19/6
<br>
'''Inicio del período de exámenes de la convocatoria de junio-julio
|-
| colspan="8" style="text-align: center;" |
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]

...
|-
| style="text-align: center;"|
ddd
<br>
nn/mm
| colspan="7" style="text-align: left; background: #ffbbff; color: black;" |[[Archivo:Hand-33988.svg|vínculo=|32x32px]] '''Examen final extraordinario''', convocatoria de junio-julio.
|-
| colspan="8" style="text-align: center;" |
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]

...
|-
| style="text-align: center;"|
Vie
<br>
7/7
<br>
'''Fin del período de exámenes de la convocatoria de julio'''
|-
| colspan="8" style="text-align: center;" |
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]

...
|-
| style="text-align: center;"|
Mié
<br>
19/7
<br>
'''Fin del período lectivo'''
|-
| colspan="8" style="text-align: center;" |
[[File:UN emblem blue.svg|link=|46x46px]]

...

Véase: <br>
[https://www.un.org/es/sections/observances/international-days/ Días internacionales que en la actualidad conmemoran las Naciones Unidas], <br>
[https://en.unesco.org/commemorations/international-days International Days (UNESCO)], <br>
[[:Categoría:Día Internacional]].
<!-- INICIO PARTES DE OTROS AÑOS, POR EJEMPLO, GRAFOS
|-
|
|<span style="font-variant: small-caps;">'''Seminario/Laboratorio N.º 9''':</span><br><span style="font-variant: small-caps;">Combinatoria</span>

* Métodos de generación de permutaciones y combinaciones.
|
* § 4.6
|
* § 6.6
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008]];
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#Sedgewick1977|<span style="font-variant: small-caps;">Sedgewick</span>, 1977]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|
* § 4.6 (4, 2, 8, 9, 10, 11).
|
* § 6.6 (2, 6, 10, 11, 12, 13).
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008]];
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#Sedgewick1977|<span style="font-variant: small-caps;">Sedgewick</span>, 1977]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|-
|Mié 8/5
|<span style="font-variant: small-caps;">Ecuaciones en diferencias finitas y combinatoria</span>

* Funciones generatrices
|
* § 6.4.
|
* § 8.4.
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008, § 8]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|
* § 6.4 (30, 32, 34, 39).
|
* § 8.4 (30, 32, 34, 39).
|
*[[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008, § 8]];
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|-
|Mié 8/5
|<span style="font-variant: small-caps;">Combinatoria: el principio de inclusión-exclusión</span>

* El principio de inclusión-exclusión;
* Aplicaciones del principio de inclusión-exclusión.
|
* § 6.5.
* § 6.6.1, 6.6.2, 6.6.3, 6.6.4.
|
* § 8.5;
* § 8.6.1, 8.6.2, 8.6.3, 8.6.4.
|
* [[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008, § 3.1.2]];
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|
* § 6.5 (8, 11, 24);
* § 6.6 (1, 2, 3, 4, 6, 8, 10).
|
* § 8.5 (8, 11, 24);
* § 8.6 (1, 2, 3, 4, 6, 8, 10).
|
* [[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008, § 3.1.2]];
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|-
|
|<span style="font-variant: small-caps;">Combinatoria: el principio de inclusión-exclusión</span>

* Desórdenes.
|
* § 6.6.5.
|
* § 8.6.5.
|
* [[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008, § 4.6.4]];
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|
* § 6.6 (13, 14, 16, 17, 18, 20, 26).
|
* § 8.6 (13, 14, 16, 17, 18, 20, 26).
|
* [[Usuario:Jmleonrojas/Taller#FrancoBranas2008|<span style="font-variant: small-caps;">Franco</span>, <span style="font-variant: small-caps;">Espinel</span> y <span style="font-variant: small-caps;">Almeida</span>, 2008, § 4.6.4]];
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|-
|
|<span style="font-variant: small-caps;">'''Seminario/Laboratorio N.º 13''':</span><br><span style="font-variant: small-caps;">Combinatoria: el principio de inclusión-exclusión</span>

* Polinomios de torre. Disposiciones con posiciones prohibidas.
|—
|—
|
*<span style="font-variant: small-caps;">Grimaldi</span>, § 8.4, 8.5;
* John G. <span style="font-variant: small-caps;">Michaels</span> y Kenneth H. <span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span>. Applications of Discrete Mathematics. NY: McGraw-Hill, Updated Edition, 2007. (Ch. 9: Arrangements with forbidden positions);
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|—
|—
|
*<span style="font-variant: small-caps;">Grimaldi</span>, § 8.4, 8.5;
* John G. <span style="font-variant: small-caps;">Michaels</span> y Kenneth H. <span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span>. Applications of Discrete Mathematics. NY: McGraw-Hill, Updated Edition, 2007. (Ch. 9: Arrangements with forbidden positions);
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Combinatoria|WP+ (Combinatoria)]].
|-
|Vie 22/3, Lun 25/3 [[Cuaresma]]: [[Viernes de Dolores]]
| colspan="7" style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |[[Archivo:High-contrast-input-keyboard.svg|vínculo=|32x32px]] [[wikipedia:Editatón|Editatón]]: Inicio de la lectura y redacción optativa de un breve análisis matemático y computacional, reflexivo, crítico y analítico, sobre el texto [[iarchive:tinkertoycomputer00dewd|A. K. <span style="font-variant: small-caps;">Dewdney</span> (1993) The Tinkertoy Computer and other machinations. Chapter 17: Automated Math''. Nueva York: W. H. Freeman.'']] (En inglés). (Juegos de ordenador. De cómo un par de programas obtusos pasan por genios en los tests de inteligencia. ''Investigación y Ciencia'', N. 116, mayo 1986, pp. 94-98, Prensa Científica, S. A.,https://issuu.com/joshidelhampfert/docs/niyc116 [En español]). ('''Nota:''' Los contenidos concretos de esta actividad de desarrollo personal no serán parte obligatoria de ningún examen).
|-
|
|<span style="font-variant: small-caps;">Grafos y sus aplicaciones</span>

* Caminos y circuitos eulerianos y hamiltonianos.
|
* § 8.5.
|
* § 10.5.
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Grafos|WP+ (Grafos)]].
|
* § 8.5 (3, 5, 13, 14, 26, 28, 44, 45, 49).
|
* § 10.5 (3, 5, 13, 14, 26, 28, 44, 45, 49).
|
*[[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Grafos|WP+ (Grafos)]].
|-
|Jue 3/5
|<span style="font-variant: small-caps;">Grafos y sus aplicaciones</span>

* Grafos y modelos basados en grafos.
|
* § 8.1.
|
* § 10.1.
|
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Grafos|WP+ (Grafos)]].
|
* § 8.1 (_, _, 20, 22).
|
* § 10.1 (12, 28, 22, 24).
|
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Grafos|WP+ (Grafos)]].
|-
|Vie 4/5, Lun 7/5
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |<span style="font-variant: small-caps;">Grafos y sus aplicaciones</span>

* Teoría de emparejamiento. El problema de asignación.
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |—
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |—
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* <span style="font-variant: small-caps;">Grimaldi</span>, § 13.4;
* John G. Michaels<span style="font-variant: small-caps;">Michaels</span> y Kenneth H. <span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span>. Applications of Discrete Mathematics. NY: McGraw-Hill, Updated Edition, 2007. (Ch. 17: The assignment problem);
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Grafos|WP+ (Grafos)]].
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |—
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |—
| style="text-align: left; background: #EEFFEE;" |
* <span style="font-variant: small-caps;">Grimaldi</span>, § 13.4;
* John G. Michaels<span style="font-variant: small-caps;">Michaels</span> y Kenneth H. <span style="font-variant: small-caps;">Rosen</span>. Applications of Discrete Mathematics. NY: McGraw-Hill, Updated Edition, 2007. (Ch. 17: The assignment problem);
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Grafos|WP+ (Grafos)]].
|-
|Mar 8/5
|<span style="font-variant: small-caps;">Grafos y sus aplicaciones</span>

* Terminología y tipos de grafos.
|
* § 8.2.
|
* § 10.2.
|
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Grafos|WP+ (Grafos)]].
|
* § 8.2 (4, 5, _, 18, 20, 25, 31, 35, 42).
|
* § 10.2 (4, 5, 18, 20, 22, 35, 49, 53, 60).
|
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Grafos|WP+ (Grafos)]].
|-
|Mié 9/5
|<span style="font-variant: small-caps;">Grafos y sus aplicaciones</span>

* Isomorfismo de grafos;
* Conectividad.
|§ 8.3;

* § 8.4.
|
* § 10.3;
* § 10.4.
|
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Grafos|WP+ (Grafos)]].
|
* § 8.3 (6, 23, 28, 29, 32, 33, 37, 41, 55);
* § 8.4 (1, _, 13, 15, _, _, 21, 35).
|
* § 10.3 (6, 23, 28, 29, 32, 33, 37, 41, 55);
* § 10.4 (1, 11, 15, 19, 21, 23, 29, 43).
|
* [[wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje#Grafos|WP+ (Grafos)]].
FIN PARTE DEDICADA A GRAFOS -->
|}
</div>
<!--
Template:Importance/colour
 | top      = #ff00ff
 | high     = #ff88ff
 | mid      = #ffbbff
 | low      = #ffddff
 | bottom   = #ffeeff
 | no       = #ffffff
 | na       = #f5f5f5
 | core     = #ff00ff
 | unknown  = transparent
 | #default = transparent
-->

== Coda ==

=== <i>Ex post</i> I: Aula de Humanidades Juanelo Turriano (Segunda edición) ===
<!--
{| style="margin:auto; width:90%; color:black;"
 | style="width:0%; text-align:right; background-color:White;" | [[File:Ambox warning green construction.svg|center|46px]]
 | style="width:100%; text-align:center; background-color:#f1fadf; border-style: solid; border-width: 0px 0px 0px 0px" | <hr style="border-width: 1px;">Iniciativa aún '''en construcción''' pero '''activa''' para poder disfrutar y contribuir a ella. Por favor, disculpen las posibles molestias.<hr style="border-width: 1px;">
|}
-->
(Su concepción y primera edición, inédita, fue fruto del trabajo conjunto con el profesor [[Andoni Alonso Puelles]]; en ella nos hemos basado para construir la presente).

El Aula de Humanidades [[Juanelo Turriano]] no tuvo ni tiene el propósito de ofrecer una visión general de las humanidades sino de incidir en temas comunes, como el uso y el impacto recíproco de la ciencia y la tecnología en la sociedad desde el punto de vista humanístico (sin menoscabo del fomento de la lectura y de la interdisciplinariedad subyacentes), esto es, '''la convivencialidad de las Humanidades, la Ciencia, la Tecnología, la Sociedad, la Naturaleza y la Innovación''', de modo que la persona científica o ingeniera conozca las demandas y repercusiones éticas y sociales de sus quehaceres, a la vez que disfrute y aprenda del encuentro con las personas autoras de dichas reflexiones y acciones.

Los libros, cuya lectura se propone, se han clasificado en diversos bloques temáticos. Esta estructura en bloques se ha pensado de tal manera que la lectura y reflexión sobre cada bloque se lleve a cabo, relajada, que no distraidamente, durante aproximadamente un año. Se recomienda que tras la lectura de cada libro, la persona interesada elabore un pequeño resumen del mismo y análisis critico y que busque fuentes documentales con las que contrastar sus conclusiones, a modo de toma de conciencia de lo leído y reflexionado. Asimismo, tras terminar todo un bloque, se sugiere que haga un trabajo similar sobre el conjunto.

Existen sesudas selecciones que complementan esta, como la de [[Jordi Llovet]] —''[[La literatura admirable|La literatura admirable. Del Génesis a Lolita]]''<ref>http://pasadopresente.com/component/booklibraries/bookdetails/2018-03-12-09-31-08</ref>, 2018— o la de [[Nuccio Ordine]] —''[[Clásicos para la vida|Clásicos para la vida. Una pequeña biblioteca ideal]]''<ref>http://www.acantilado.es/catalogo/clasicos-la-vida/</ref>, 2017 (''Classici per la vita. Una piccola biblioteca ideale'', 2016)—. Se insiste por tanto en que, como no podría ser de otra manera, en ningún caso queda restringido el ámbito a los temas mencionados, sino que de acuerdo a nuestro profundo convencimiento de que el estudio de las humanidades es esencial para entender el mundo, podrá trabajarse cualquiera de las [[humanidades|disciplinas humanísticas]].

Tras el encuentro con la persona autora a través de la obra propuesta, no ha de olvidarse explorar, lo más posible, el resto de su obra, para así obtener una visión en conjunto de su pensamiento.

Además del enriquecimiento personal, cultural y humanístico, que conlleva lo anterior, se invita a '''compartir lo aprendido y meditado''',
* '''contribuyendo a iniciativas del conocimiento libre como Wikipedia''' —quizás también en sus [[Wikipedia:Wikiproyectos|wikiproyectos]]—, Wikilibros, Wikiversidad o cualquiera de los otros proyectos de la fundación Wikimedia —por poner solo un ejemplo, a fecha de hoy (8 de noviembre de 2018) no existe ningún artículo en la Wikipedia en español sobre la obra ''[[El universo abierto]]'' de Popper (si bien sí sobre ''[[La sociedad abierta y sus enemigos]]'' y sobre ''[[La lógica de la investigación científica]]'') y su lectura y reflexión y la de, por ejemplo, el ensayo del profesor Jorge Estrella, ''[https://www.cepchile.cl/cep/site/artic/20160303/asocfile/20160303183332/rev62_estrella.pdf El universo abierto de Karl Popper]'', que aporta una visión global sobre la filosofía de Popper, podría servir de base para elaborar dicho artículo;
* '''promoviendo encuentros''', presenciales o en línea, para el debate y la discusión, de asistencia y participación libre y gratuita, sobre estos temas.

A continuación se relacionan los libros, clasificados en cada bloque. El orden en el que aparecen, desde el primero hasta el último, se piensa como el más conveniente para un mejor aprovechamiento de su lectura. Aparecen enlaces en rojo, significando como es habitual que dicho artículo, sea sobre un autor o una obra, no existe aún en la Wikipedia en español.

==== A modo de prólogo ====
Permítaseme el atrevimiento casi irreverente de recomendar la lectura de la sección «''Cooperar es progresar''» (pp. 59ss.) de:
* {{cite journal |last1=<span style="font-variant: small-caps;">León Rojas</span> |first1=Juan Miguel |author-link1= |last2= |first2= |author-link2= |last3= |first3= |author-link3= |last4= |first4= |author-link4= |last5= |first5= |author-link5= |display-authors= |author-mask= |name-list-format= |last-author-amp= |date= |year=2012 |orig-year= |editor1-last= |editor1-first= |editor1-link= |editor2-last= |editor2-first= |editor2-link= |editor3-last= |editor3-first= |editor3-link= |editor4-last= |editor4-first= |editor4-link= |editor5-last= |editor5-first= |editor5-link= |display-editors= |others= |title=El museo y las arquitecturas de conocimiento libre |script-title= |trans-title= |url= |access-date= |url-access= |format= |department= |journal=Museos.es |type= |series= |language= |edition= |location= |publisher= |publication-place= |publication-date= |volume=7-8 |issue= |page= |pages=44-65 |at= |nopp= |arxiv= |asin= |bibcode= |bibcode-access= |biorxiv= |citeseerx= |doi= 10.4438/2387-0958-MU-2011-2012-7-8-22 |doi-access= |doi-broken-date= |isbn= |issn= |jfm= |jstor= |jstor-access= |lccn= |mr= |oclc= |ol= |ol-access= |osti= |osti-access= |pmc= |pmid= |rfc= |ssrn= |zbl= |id= |archive-url= |archive-date= |dead-url= |via= |layurl= |laysource= |laydate= |quote= |postscript= |ref= }} [[File:Cc-by.svg|16x16px|link=|alt=]] [https://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ CC BY 3.0] (También en acceso libre en [https://archive.org/details/LEONROJASJ.M.ElMuseoYLasArquitecturasDeConocimientoLibreMuseos.es2012SEPARATACCBY Internet Archive] y en [https://www.researchgate.net/publication/330393123_El_museo_y_las_arquitecturas_de_conocimiento_libre ResearchGate]).
La transversalidad del conocimiento libre y de la actividad museística como conservadores coadyuvantes del patrimonio humanístico, científico, tecnológico y social me lleva a ello. En este artículo también se discuten las iniciativas WLA y GLAM-Wiki de la Fundación Wikimedia (''vid.'' «''Ideas de difusión''», pp. 50ss.) —más sobre estas iniciativas en [https://outreach.wikimedia.org/wiki/GLAM/References#With_reference_to_Wikipedia,_Wikimedia_Commons_or_other_Wikimedia_projects Outreach] de Wikimedia.

==== A modo de ejemplo ====
Quizás el más antiguo conocido de tecnología compleja hasta la fecha,
* [[mecanismo de Anticitera|el mecanismo de Anticitera]]
(puede verse también, en inglés: [https://www.bbc.com/reel/video/p09pcwnz/unlocking-the-secrets-of-the-world-s-oldest-computer Unlocking the secrets of the world's oldest computer] —Harriet <span style="font-variant: small-caps;">Constable</span>, 15.07.2021—).

==== Primer bloque temático: Filosofía de la Técnica y de la Tecnología ====
<!--
# [[Ernst Kapp]], ''[[Conceptos básicos de una filosofía de la tecnología]]'' (''Grundlinien einer Philosophie der Technik'', 1877) (Libro completo, en alemán, en el [http://vlp.mpiwg-berlin.mpg.de/library/data/lit39532/index_html?pn=1 Laboratorio Virtual del Instituto Max Planck para la Historia de la Ciencia])
# [[Peter Klimentjevich Engelmeyer]] (en la Wikipedia en inglés: [[:w:Peter Klimentjevich Engelmeyer]]), ''[[]]''
-->
# [[Juan David García Bacca]], ''[[Elogio de la técnica]]'' (1968)
# [[Lewis Mumford]], ''[[Técnica y civilización]]'' (''Technics and Civilization'', 1934)
# [[Albert Borgmann]] (en la Wikipedia en inglés: [[:w:Albert Borgmann|Albert Borgmann]]), ''[[...]]'' (''Technology and the Character of Contemporary Life: A Philosophical Inquiry'', 1984) (Un artículo en la Wikipedia en inglés: [[:w:Technology and the Character of Contemporary Life: A Philosophical Inquiry|Technology and the Character of Contemporary Life: A Philosophical Inquiry]])
# [[Carl Mitcham]] (en la Wikipedia en inglés: [[:w:Carl Mitcham|Carl Mitcham]]), ''[[¿Qué es la filosofía de la tecnología?]]'' (libro de 1989)
# [[Langdon Winner]], ''[[La ballena y el reactor|La ballena y el reactor: una búsqueda de los límites en la era de la alta tecnología]]'' (''The Whale and the Reactor: A Search for Limits in an Age of High Technology'', 1986)
# [[Alvin Toffler]], ''[[La tercera ola]]'' (''The Third Wave'', 1980)
# [[Jacques Ellul]], ''[[La sociedad tecnológica]]'' (''The Technological Society'', 1954) (en [[Zenon Pylyshyn]] [en la Wikipedia en inglés: [[:w:Zenon Pylyshyn|Zenon Pylyshyn]]], ''[[Perspectivas de la revolución de los computadores]]'' [''Perspectives on the computer revolution'', 1970])
# [[Jürgen Habermas]], ''[[Ciencia y técnica como ideología]]'' (''Technik und Wissenschaft als „Ideologie“'', 1968)
# [[Jean Baudrillard]], ''[[El sistema de los objetos]]'' (''Le Système des objets'', 1968) (Artículo en la Wikipedia en francés: [[:fr:Le Système des objets|Le Système des objets]])
# [[Gilbert Simondon]], ''[[El modo de existencia de los objetos técnicos]]'' (''Du mode d'existence des objets techniques'', 1958); (artículo en la Wikipedia en francés: [[:fr:Du mode d'existence des objets techniques|Du mode d'existence des objets techniques]]); (el texto completo, en inglés, en [http://www.academia.edu/4184556/Gilbert_Simondon_On_the_Mode_of_Existence_of_Technical_Objects Academina.edu])
# [[Herbert Alexander Simon]], ''Las ciencias de lo artificial'' (''The Sciences of the Artificial'', 1969) (Artículo en la Wikipedia en inglés: [[:w:The Sciences of the Artificial|The Sciences of the Artificial]])
# [[Jeremy Rifkin]], ''[[El siglo de la biotecnología|El siglo de la biotecnología: el comercio genético y el nacimiento de un mundo feliz]]'' (''The Biotech Century: Harnessing the Gene and Remaking the World'', 1998)
# [[Ursula Franklin]] ''[[El mundo real de la tecnología]]'' (''The Real World of Technology'', 1992)
# [[Shannon Vallor]] ([[:w:Shannon Vallor|Shannon Vallor]] en la Wikipedia en inglés) ''Technology and the Virtues: A Philosophical Guide to a Future Worth Wanting'', 2018

==== Segundo bloque temático: Ciencia, Tecnología y Sociedad ====
# [[Guy Debord]], ''[[La sociedad del espectáculo]]'' (''La société du spectacle'', 1967)
# [[Jorge Luis Borges]], ''[[La biblioteca de Babel]]'' (en ''[[Ficciones]]'', 1944)
# [[Javier Echeverría]], ''[[Introducción a la metodología de la ciencia|Introducción a la metodología de la ciencia: la Filosofía de la Ciencia en el siglo XX]]'' (1989)
# [[Andrew Feenberg]], ''[[Transformar la tecnología. Una nueva visita a la teoría crítica]]'' (''Transforming Technology: A Critical Theory Revisited'', 2002)
# [[Karl Popper]], ''[[El universo abierto|El universo abierto. Una discusión a favor del indeterminismo]]'' (''The Open Universe: An Argument for Indeterminism'', 1956-57 como galeradas inéditas, 1982 como libro)
# [[Thomas Kuhn]], ''[[¿Qué son las revoluciones científicas? y otros ensayos]]'' (1989) (''What are scientific revolutions?'', 1981; ''Commensurabillity, comparability, communicability'', 1982; ''Rationality and theory choice'', 1983)
# [[Simone Weil]], ''[[Sobre la ciencia]]'' (''Sur la science'', 1966)
# [[Charles Fort]], ''[[El libro de los condenados|El libro de los condenados]]'' (''The Book of the Damned'', 1919) (Texto completo, en inglés, en [[:s:en:The Book of the Damned|Wikisource]])
# [[Zygmunt Bauman]], ''[[Comunidad. En busca de seguridad en un mundo hostil]]'' (''Community. Seeking Safety in an Insecure World'', 2001)
# [[Cathy O'Neil]], ''[[Armas de destrucción matemática|Armas de destrucción matemática: cómo el big data aumenta la desigualdad y amenaza la democracia]]'' (2017) (''Weapons of Math Destruction. How Big Data Increases Inequality and Threatens Democracy'', 2016)
<!--{{cite book |last=<span style="font-variant:small-caps">O'Neil</span> |first=Cathy |date=2017 |title=Armas de destrucción matemática: cómo el big data aumenta la desigualdad y amenaza la democracia |edition=1a |language=español |publisher=Capitán Swing |location=Madrid |isbn=978-84-947408-4-8 |url=https://capitanswing.com/libros/armas-de-destruccion-matematica/}} © TDR. (Traducido al español por Violeta Arranz de la Torre de: {{cite book |last=<span style="font-variant:small-caps">O'Neil</span> |first=Cathy |date=2017 |title=Weapons of Math Destruction. How Big Data Increases Inequality and Threatens Democracy |edition=1a |language=inglés |publisher=Penguin Books Ltd. |location= Londres, Inglaterra (GB-ENG) |url=https://www.penguin.co.uk/books/304513/weapons-of-math-destruction/ |isbn=978-0-141-98541-1}}). © TDR.-->
# [[Nuccio Ordine]], ''[[La utilidad de lo inútil]]'' (''L'utilità dell'inutile'', 2013)
# [[Donald A. Norman]], ''[[El diseño de los objetos del futuro|El diseño de los objetos del futuro. La interacción entre el hombre y la máquina]]'' (''The design of future things'', 2007)
# [[Kevin Kelly]], ''[[Lo inevitable]]'' (''The Inevitable'', 2016) (Artículo en la Wikipedia en inglés: [[:w:The Inevitable (book)|The Inevitable]])
# [[Donna Haraway]], ''[[El Manifiesto Cyborg|Un manifiesto cíborg]]'' (''A Cyborg Manifesto'', 1985)

==== Segundo bloque temático: Imagen del Ser Humano ====
# [[José Ortega y Gasset]], ''[[La rebelión de las masas]]'' (1930)
# —, ''[[Meditación de la técnica]]'' (1939)
# [[George H. Mead]], ''[[Espíritu, persona y sociedad]]'' (''Mind, Self and Society'', 1934) (Artículo sobre él en la Wikipedia en inglés: [[:w:Mind, Self and Society|Mind]])
# [[John R. Searle]], ''[[El misterio de la conciencia]]'' (''The Mystery of Conciousness'', 1997)
# [[Roger Penrose]], ''[[Las sombras de la mente|Las sombras de la mente: hacia una comprensión científica de la consciencia]]'' (''Shadows of the Mind: A Search for the Missing Science of Consciousness'', 1994)
# [[Alan Ross Anderson]] (ed.), ''[[Controversia sobre mentes y máquinas]]'' (''Minds and Machines'', 1964)
# [[Bart Kosko]] (en la Wikipedia en inglés: [[:w:Bart Kosko|Bart Kosko]]), ''[[Pensamiento borroso|Pensamiento borroso. La nueva ciencia de la lógica borrosa]]'' (''Fuzzy Thinking. The New Science of Fuzzy Logic'', 1993)
# [[Paul Virilio]], ''[[El cibermundo|El cibermundo, la política de lo peor: entrevista con Philippe Petit]]'' (''Cybermonde, la politique du pire : entretien avec Philippe Petit'', 1996)
# [[Edward A. Lee|Edward Ashford Lee]] (en la Wikipedia en inglés: [[:w:Edward A. Lee|Edward Ashford Lee]], ''Plato and the Nerd: The Creative Partnership of Humans and Technology'' (2017)
# [[Adam Smith]], ''[[Teoría de los sentimientos morales]]'' (''The Theory of Moral Sentiments'', 1759) (En Wikisource, el texto en inglés: [[:en:s:The Theory of Moral Sentiments|The Theory of Moral Sentiments]])
# [[Hannah Arendt]], ''[[Hannah_Arendt#La_condici%C3%B3n_humana_(Vita_activa)|La condición humana]]'' (''The Human Condition'', 1958) (En la Wikipedia en inglés: ''[[:w:The Human Condition (book)|The Human Condition]]'')
# [[Simone de Beauvoir]], ''[[El segundo sexo]]'' (''Le Deuxième Sexe'', 1949)
# [[Luce Irigaray]], ''[[Espéculo de la otra mujer]]'' (''Speculum. De l’autre femme'', 1974)
# [[Luc Ferry]], ''[[Aprender a vivir|Aprender a vivir: Filosofía para mentes jóvenes]]'' (''Apprendre à vivre : Traité de philosophie à l'usage des jeunes générations'', 2006)

==== Tercer bloque temático: Multiculturalismo y Globalización ====
# [[Iván Illich]], ''[[La Convivencialidad]]'' (''Tools for Conviviality'', 1973) (En la Wikipedia en inglés: ''[[:w:Tools for Conviviality|Tools for Conviviality]]'')
# [[Peter Sloterdijk]], ''[[Normas para el parque humano|Normas para el parque humano. Una respuesta a la Carta sobre el humanismo de Heidegger]]'' (''Regeln für den Menschenpark. Ein Antwortschreiben zu Heideggers Brief über den Humanismus'', 1999)
# [[Hans Küng]], ''[[Una ética mundial para la economía y la política]]'' (''Weltethos fur Weltpolitik und Weltwirtschaft'', 1997)
# [[Robert Nozick]], ''[[Anarquía, Estado y utopía]]'' (''Anarchy, State, and Utopia'', 1974)
# [[Donaldo Macedo]] (en la Wikipedia en inglés: [[:w:Donaldo Macedo|Donaldo Macedo]]), [[Bessie Dendrinos]]<ref>http://en.enl.uoa.gr/academic-staff/emeriti-and-retired/dendrinos-bessie0.html</ref> y [[Panayota Gounari]]<ref>http://www.faculty.umb.edu/panagiota_gounari/</ref>, ''[[Lengua, ideología y poder. La hegemonía del inglés]]'' (''The Hegemony of English'', 2003)
<!-- *  {{cite book |last1=<span style="font-variant: small-caps;">Macedo</span> |first1=Donaldo |last2=<span style="font-variant: small-caps;">Dendrinos</span> |first2=Bessie |last3=<span style="font-variant: small-caps;">Gounari</span> |first3=Panayota |title=Lengua, ideología y poder. La hegemonía del inglés |year=2005 |publisher=Graó |location=Barcelona |isbn=84-7827-368-9 |url=http://www.grao.com/llibres/lengua-ideologia-y-poder}} © TDR. (Traducido al español por Eva Verloop de: {{cite book |last1=<span style="font-variant: small-caps;">Macedo</span> |first1=Donaldo |last2=<span style="font-variant: small-caps;">Dendrinos</span> |first2=Bessie |last3=<span style="font-variant: small-caps;">Gounari</span> |first3=Panayota |title=The Hegemony of English |year=2016 |año-original=2003 |publisher=Routledge [Paradigm Publishers] |location= Abingdon, Inglaterra (GB-ENG), RU [Boulder, Colorado (US-CO), EUA] |url=https://www.routledge.com/Hegemony-of-English/Macedo-Dendrinos-Gounari/p/book/9781594510014 |isbn=978-1-59451-001-4}}). © TDR.-->
# [[William Foote Whyte]] (en la Wikipedia en inglés: [[:w:William Foote Whyte|William Foote Whyte]]), "[[La sociedad de las esquinas]]" (''Street Corner Society'', 1943) (En la Wikipedia en inglés: [[:w:Street Corner Society|Street Corner Society]])
# [[Jorge Riechmann]], ''[[Un mundo vulnerable|Un mundo vulnerable. Ensayos sobre ecología, ética y tecnociencia]]'' (2000)
# [[Edgar Morin]], ''[[La vía|La vía. Para el futuro de la humanidad]]'' (''La Voie. Pour l'avenir de l'humanité'', 2011)
# [[Christian Laval]] y [[Pierre Dardot]], ''[[La nueva razón del mundo|La nueva razón del mundo. Ensayo sobre la sociedad neoliberal]]'' (''La nouvelle raison du monde'', 2009)
# —, ''[[Común (libro)|Común. Ensayo sobre la revolución en el siglo XXI]]'' (''Commun, Essai sur la révolution au XXIe siècle'', 2014)
# [[Serge Latouche]], ''[[La apuesta por el decrecimiento|La apuesta por el decrecimiento: ¿cómo salir del imaginario dominante?]]'' (''Le pari de la décroissance'', 2006)
# [[Paul Bloom]] (en la Wikipedia en inglés: [[:w:Paul Bloom|Paul Bloom]]), ''Contra la empatía: argumentos para una compasión racional'' (''Against empathy: The case for rational compassion'', 2016)
# [[Michel Onfray]], ''[[Política del rebelde. Tratado de la resistencia y la insumisión]]'' (''Politique du rebelle : Traité de résistance et d'insoumission'', 1997)
# [[Lawrence Lovasik|Lawrence G. Lovasik]] ([[:w:Lawrence Lovasik|Lawrence G. Lovasik]], en la Wikipedia en inglés), ''[[El poder oculto de la amabilidad]]'' (''The Hidden Power of Kindness: A Practical Handbook for Souls Who Dare to Transform the World, One Deed at a Time'', 1962)

==== Cuarto bloque temático: Ética y Valor Humano ====
# [[Francisco Díez de Velasco Abellán]], ''Hombres, ritos, Dioses. Introducción a la historia de las religiones'' (1995)
# [[Jean-Jacques Rousseau]], ''[[El contrato social|El contrato social; o los principios del derecho político]]'' (''Du contrat social; ou Principes du droit politique'', 1762)
# [[Martin Heidegger]], ''[[La pregunta por la técnica]]'' (''Die Frage nach der Technik'', 1954) (Disponible la [https://revistafilosofia.uchile.cl/index.php/RDF/article/view/45002 traducción de Francisco Soler al español en la Revista de Filosofía de la Universidad de Chile])
# [[Max Weber]], ''[[La ética protestante y el espíritu del capitalismo]]'' (''Die protestantische Ethik und der 'Geist' des Kapitalismus'', 1904-1905)
# [[Ayn Rand]], ''[[La rebelión de Atlas]]'' (''Atlas Shrugged'', 1957)
# [[Joseph Conrad]], ''[[El corazón de las tinieblas]]'' (''Heart of Darkness'', 1899)
# [[Cesare Beccaria]], ''[[De los delitos y las penas]]'' (''Dei delitti e delle pene'', 1764)
# [[Christian Laval]], ''[[La escuela no es una empresa|La escuela no es una empresa: el ataque neoliberal a la enseñanza pública]]'' (''L'école n'est pas une entreprise: Le néo-libéralisme à l'assaut de l'enseignement public'', 2003)
# [[Martha Nussbaum]], ''[[Sin fines de lucro (libro)|Sin fines de lucro: por qué la democracia necesita de las humanidades]]'' (''Not for profit: why democracy needs the humanities'', 2010)
# [[Sigmund Freud]], ''[[El malestar en la cultura]]'' (''Das Unbehagen in der Kultur'', 1930)
# [[Lev Tolstoi]], ''[[Confesión (libro)|Confesión]]'' (''Ispoved'', 1884) (En la Wikipedia en inglés: [[:w:A Confession|A Confession]]) (En Wikisource, el texto en inglés: [[:en:s:A Confession (Tolstoy)|A Confession (Tolstoy)]])
# [[Francis Collins]], ''[[¿Cómo habla Dios? La evidencia científica de la fe]]'' (''The Language of God: A Scientist Presents Evidence for Belief'', 2006) (En la Wikipedia en inglés: ''[[:w:The Language of God: A Scientist Presents Evidence for Belief|The Language of God: A Scientist Presents Evidence for Belief]]'')
# [[John Stuart Mill]], ''[[Sobre la libertad]]'' (''On liberty'', 1859)
# [[Frédéric Gros]], ''[[Desobedecer]]'' (''Désobéir'', París: Albin Michel, 2017)

==== Quinto bloque temático: Evolución ====
# [[George Orwell]], ''[[1984 (novela)|1984]]'' (''Nineteen eighty-four'', 1949).
# [[Aldous Huxley]], ''[[Un mundo feliz]]'' (''Brave New World'', 1932)
# —, ''[[Nueva visita a un mundo feliz]]'' (''Brave New World Revisited'', 1958)
# [[Daniel Dennett]], ''[[La peligrosa idea de Darwin|La peligrosa idea de Darwin: la evolución y los significados de la vida]]'' (''Darwin's Dangerous Idea: Evolution and the Meanings of Life'', 1996) (En la Wikipedia en inglés: [[:w:Darwin's Dangerous Idea|Darwin's Dangerous Idea]])
# [[George Bassalla]] (en la Wikipedia en inglés: [[:w:George Basalla|George Basalla]]), ''[[La evolución de la tecnología]]'' (''The Evolution of Technology'', 1988)
# [[Paul Feyerabend]], ''[[Contra el método|Contra el método: esquema de una teoría anarquista del conocimiento]]'' (''Against Method: Outline of an Anarchist Theory of Knowledge'', 1970/1975) (En la Wikipedia en inglés: [[:w:Against Method|Against Method]]) (1.ª ed. de 1970, en inglés, disponible en: [http://mcps.umn.edu/philosophy/completeVol4.html Minnesota Center for Philosophy of Science])
# [[Hans Jonas]], ''[[El principio de responsabilidad]]'' (''Das Prinzip Verantwortung'', 1979)
# [[Herman Melville]] ''[[Moby-Dick|Moby-Dick; o La Ballena]]'' (''Moby-Dick; or, The Whale'', 1851)
# [[Yuval Noah Harari]], ''[[Sapiens: De animales a dioses|Sapiens: De animales a dioses: Una breve historia de la humanidad]]'' (''Sapiens: A Brief History of Humankind'', 2014)
# —, ''[[Homo Deus: Breve historia del mañana]]'' (''Homo Deus: A Brief History of Tomorrow'', 2016) <!-- —si bien se recomienda la lectura previa de su obra ''[[Sapiens: De animales a dioses|Sapiens: De animales a dioses: Una breve historia de la humanidad]]'' (''Sapiens: A Brief History of Humankind'', 2014) -->
# [[Hernán Zin]], ''[[La libertad del compromiso: cambiar tu vida para cambiar el mundo]]'' (2005)
# [[Paola Cavalieri]] (en la Wikipedia en inglés: [[:w:Paola Cavalieri|Paola Cavalieri]]) y [[Peter Singer]], ''[[El Proyecto «Gran Simio»: la igualdad más allá de la humanidad]]'' (''The Great Ape Project: Equality Beyond Humanity'', 1993)
# [[Steven M. Wise]] (en la Wikipedia en inglés: [[:w:Steven M. Wise|Steven M. Wise]]), ''[[Sacudiendo la jaula|Sacudiendo la jaula: Hacia los Derechos de los animales]]'' (''Rattling the Cage: Toward Legal Rights for Animals'', 2000)
# [[Samuel Butler (novelista)|Samuel Butler]], ''[[Erewhon, un mundo sin máquinas]]'' (''Erewhon: or, Over the Range'', 1872) (En la Wikipedia en inglés: [[:w:Erewhon|Erewhon]]) <!--(el capítulo 6 trata sobre el derecho de las plantas)-->(Texto completo, en inglés, en la [http://nzetc.victoria.ac.nz/tm/scholarly/tei-ButErew.html Colección de textos electrónicos de Nueva Zelanda (''NZETC: New Zealand Electronic Text Collection'']) de la [[Universidad Victoria en Wellington|Universidad Victoria]]

==== A continuación ====
# [[Baruch Spinoza]], ''[[Ética (Spinoza)|Ética]]'' (''Ethica ordine geometrico demonstrata'', 1677) (Texto completo en inglés en [[:s:en:Ethics (Spinoza)|Wikisource]])
# [[Thomas Hobbes]], ''[[Leviatán (Hobbes)|Leviatán, o La materia, forma y poder de una república eclesiástica y civil]]'' (''Leviathan, or The Matter, Forme and Power of a Common-Wealth Ecclesiasticall and Civil'', 1651) (Texto completo en inglés en [[:s:en:Leviathan|Wikisource]])
# [[Arthur Schopenhauer]], ''[[El mundo como voluntad y representación]]'' (''Die Welt als Wille und Vorstellung'', 1819)
<!--
— ¿Más? (Orden alfabético de apellidos)
* [[Félix Duque]], ''[[Contra el humanismo]]'' (2003)
* [[Marta Isabel González García]]<ref>https://filosofia.uniovi.es/personal/pdi/-/asset_publisher/0026/content/pdi_gonzalez-garcia?redirect=%2Fpersonal%2Fpdi</ref>, [[José Antonio López Cerezo]]<ref>https://filosofia.uniovi.es/personal/pdi/-/asset_publisher/0026/content/pdi_lopez-cerezo-jose-antonio?redirect=%2Fpersonal%2Fpdi</ref>, [[José Luis Luján López]]<ref>http://personal.uib.es/jl.lujan</ref>, ''[[Ciencia, tecnología y sociedad: lecturas seleccionadas]]'' (1997)
* [[Àngel Puyol]], ''[[El discurso de la igualdad]]'' (2001)
* [[Teófilo Rodríguez Neira]]<ref>https://www.unioviedo.es/asoced/pagina_nueva_4.htm</ref>, ''[[La cultura contra la escuela]]'' (1999) <!--https://www.elcomercio.es/v/20140119/asturias/acusan-empresario-aleman-comprar-20140119.html-->
<!--
* [[Fernando Trias de Bes]] y [[Álex Rovira Celma]], ''[[La Buena suerte]]'' (2004)
-->

==== Y para no finalizar ====
# [[Jesús Zamora Bonilla]]<ref>https://www2.uned.es/dpto_log/jpzb/</ref>, ''[[Sacando consecuencias]]'' (2017)

=== <i>Ex post</i> II: Humor, entretenimiento, curiosidades ===
* [http://phdcomics.com/ Piled Higher and Deeper. (En inglés). © gratis OA.]
* [http://www.rudimentsofwisdom.com/default.htm Tim Hunkin and Shane Frazer's The Rudiments of Wisdom Cartoon Encyclopaedia. (En inglés). © gratis OA.]
* [https://abstrusegoose.com/253 Wizards. Abstruse Goose. (En inglés). © CC BY-NC.]

== Véase también ==
<small>
;Enlaces internos
* Personas participantes y contribuciones principales del proyecto educativo, plan de aprendizaje y taller del plan de aprendizaje
** [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica|Proyecto educativo «Matemática discreta y numérica»]]
** [[Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Participantes y contribuciones principales|Proyecto educativo «Matemática discreta y numérica»: personas participantes y contribuciones principales]]
<!--** [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje|Plan de aprendizaje «Matemática discreta y numérica»]]-->
** [[Wikipedia:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje/Taller|Taller del plan de aprendizaje «Matemática discreta y numérica»]] (los editatones están aquí)

*Páginas de discusión
** [[Wikipedia_discusión:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica|Página de discusión del proyecto educativo «Matemática discreta y numérica»]]
** [[Wikipedia_discusión:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Participantes y contribuciones principales|Página de discusión de la página de personas participantes y contribuciones principales del proyecto educativo «Matemática discreta y numérica»]]
** [[Wikipedia_discusión:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje|Página de discusión del plan de aprendizaje «Matemática discreta y numérica»]]
** [[Wikipedia_discusión:Proyecto_educativo/Matemática_discreta_y_numérica/Plan_de_aprendizaje/Taller|Página de discusión del taller del plan de aprendizaje «Matemática discreta y numérica»]]

;Enlaces interwiki
*Proyecto educativo, personas participantes y contribuciones principales, plan de aprendizaje y taller del plan de aprendizaje
** [[w:Wikipedia:School_and_university_projects/Discrete_and_numerical_mathematics|Proyecto universitario «Discrete and numerical mathematics»]] (proyecto educativo equivalente en la Wikipedia en inglés)
** [[w:Wikipedia:School_and_university_projects/Discrete_and_numerical_mathematics/Participants and major contributions|Proyecto universitario «Discrete and numerical mathematics»: Personas participantes y contribuciones principales]] (personas participantes y contribuciones principales del proyecto educativo equivalente en la Wikipedia en inglés)
** [[w:Wikipedia:School_and_university_projects/Discrete_and_numerical_mathematics/Learning_plan|Plan de aprendizaje «Discrete and numerical mathematics»]] (plan de aprendizaje equivalente en la Wikipedia en inglés)
** [[w:Wikipedia:School and university projects/Discrete and numerical mathematics/Learning plan/Sandbox|Taller del plan de aprendizaje «Discrete and numerical mathematics»]] (taller del plan de aprendizaje equivalente en la Wikipedia en inglés) (los editatones en inglés, están aquí)

*Páginas de discusión
** [[w:Wikipedia_talk:School_and_university_projects/Discrete_and_numerical_mathematics|Página de discusión del proyecto universitario «Discrete and numerical mathematics»]] (página de discusión del proyecto educativo equivalente en la Wikipedia en inglés)
** [[w:Wikipedia_talk:School_and_university_projects/Discrete_and_numerical_mathematics/Participants and major contributions|Proyecto universitario «Discrete and numerical mathematics»: Personas participantes y contribuciones principales]] (página de discusión de la página de participantes y contribuciones principales del proyecto educativo equivalente en la Wikipedia en inglés)
** [[w:Wikipedia_talk:School_and_university_projects/Discrete_and_numerical_mathematics/Learning_plan|Página de discusión del plan de aprendizaje «Discrete and numerical mathematics»]] (página de discusión del plan de aprendizaje equivalente en la Wikipedia en inglés)
** [[w:Wikipedia_talk:School_and_university_projects/Discrete_and_numerical_mathematics/Learning_plan/Sandbox|Página de discusión del taller del plan de aprendizaje «Discrete and numerical mathematics»]] (página de discusión del taller del plan de aprendizaje equivalente en la Wikipedia en inglés)
</small>

== Para estar al tanto, saber más o escribir algún comentario ==
Siéntase libre de corregir cualquier '''error tipográfico''' que haya detectado en cualquiera de las páginas del plan o del proyecto (¡esto es Wikipedia!).

También serán recibidos con sumo agrado y agradecimiento toda la '''retroalimentación''' para hacerlo mejor la siguiente vez, esto es, todos los '''comentarios''', '''impresiones''', '''opiniones''', '''sensaciones''' y '''consejos''', '''deseos''', '''sugerencias''' o '''propuestas''' sobre cómo mejorar esta iniciativa. La página de discusión del plan de aprendizaje es un lugar ideal donde escribirlas. Por favor, no dude en hacerlo. Significa mucho para este proyecto.

* [[Wikipedia discusión:{{PAGENAME}}|Página de discusión del plan de aprendizaje «Matemática discreta y numérica»]]

== Referencias ==
{{listaref}}

== Declaración de conformidad ==
<div lang="es" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div class="messagebox-skeletal" style="position:relative;margin:20px auto;width:66%;min-width:18em;border:1px solid #AAA;background:white;padding:2px;">
  <div style="position:absolute;top:2px;left:2px;">[[File:Skeletal-hand.jpg|100px]]</div><div style="position:relative;margin:0;margin-left:91px;min-height:30px;">
    <div style="margin:0;padding:5px;"><small>
[[Usuario:Jmleonrojas|Juan Miguel León Rojas]] declara responsablemente que el plan de aprendizaje aquí especificado cumple con todos los requerimientos esenciales del [https://epcc.unex.es/informacion-academica/programas-asignaturas/ plan docente (ficha12a)] de la asignatura Ampliación de Matemáticas impartida en la Escuela Politécnica de la Universidad de Extremadura.</small>
    </div>
  </div>
</div>

== Acerca de esta página en la Wikipedia en español ==
* {{a|{{FULLPAGENAME}}}} ([//tools.wmflabs.org/pageviews?range=latest-20&pages={{FULLPAGENAMEE:{{{article|{{{{{FULLPAGENAME}}|{{FULLPAGENAME}}}}}}}}}}&project=es.wikipedia.org análisis de visitas]) ([{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=info}} más información])

<br>
{| style="margin:auto; width:55%; color:black;"
 | style="width:0%; text-align:right; background-color:White;" | [[File:Gftp.svg|center|55px]]
 | style="width:100%; text-align:center; background-color:#f1fadf; padding:1em 1em 1em 1em; border-style: solid; border-width: 0px 0px 0px 0px" | <!--<hr style="border-width: 1px;">--><span style="font-family:cursive;">Por favor, '''contribuya a la protección del medioambiente''': imprima este documento solo si lo considera absolutamente necesario.</span><!--<hr style="border-width: 1px;">-->
|}
<br>

|}
| style="border:1px solid transparent;" |
<!--          INFORMACIÓN TRANSVERSA, 1 y 2 / TRANSVERSE INFORMATION, 1 and 2          -->
| class="MainPageBG" style="width:20%; border:1px solid #deecc8; background:#f7fffa; vertical-align:top;"|
{| id="pamdan-right" style="width:100%; vertical-align:top; background:#f7fffa;"
<!--          INFORMACIÓN TRANSVERSA 1 / TRANSVERSE INFORMATION 1          -->
| style="padding:2px;" | <h2 id="pamdan-it1-h2" style="margin:3px; background:#deecc8; font-family:inherit; font-size:small; font-weight:bold; border:1px solid #deecc8; text-align:left; color:rgb(0, 0, 0); padding:0.2em 0.4em;">Información transversa 1.- Algo sobre Conocimiento libre y abierto<hr style="width: 100%; height: 4px; background-color: rgb(0, 102, 0);" /></h2>
|-
| style="color:#000; padding:2px 5px 5px;" | <div id="pamdan-it1" style="font-size:small;">
<div style="margin-left: 0%; text-align: right; color: rgb(0, 102, 0); font-size:small;">
  <table width="100%" border="0" cellpadding="10px">
    <tr>
      <td style="background-color: transparent;">
      </td>
      <td>«Los verdaderos poemas del cante jondo no son de nadie,<br />están flotando en el viento como vilanos de oro<br />y cada generación los viste de un color distinto,<br />para abandonarlos a las futuras».
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="3"><small>[[Federico García Lorca|Federico <span style="font-variant: small-caps;">García Lorca</span>]] (1898-1936): <em>Importancia histórica y artística del primitivo canto andaluz llamado «cante jondo»</em>. (Conferencia leída en el «Centro Artístico» de Granada, el 19 de febrero de 1922). Vid. http://gnawledge.com/pdf/granada/LorcaCanteJondo.pdf.</small>
      </td>
    </tr>
  </table>
</div>
==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Algunas referencias sobre licencias libres y abiertas y en general sobre Conocimiento y Cultura Libre</span> ====
* [[Aaron Swartz|Aaron <span style="font-variant: small-caps;">Swartz</span> (1986-2013)]]
** [[Manifiesto por la Guerrilla del Acceso Abierto]] (julio de 2008)
** {{YouTube|id=mT8FJcIx3HI|title=''La historia de Aaron Swartz. El chico de Internet''}} (en español) (''The Internet's OwnBoy'', escrito y dirigido por [[Brian Knappenberger]] <sup>([[:en:Brian Knappenberger|en]])</sup>, música por [[John Dragonetti]] <sup>([[:en:John Dragonetti|en]])</sup>. [[Participant Media]] <sup>([[:en:Participant (company)|en]])</sup> y FilmBuff, 2014) (más, en Wikipedia: [[La historia de Aaron Swartz. El chico de Internet]])
* [http://es.creativecommons.org/ Creative Commons España (CC)]
* [http://www.opendefinition.org/okd/espanol/ Definición de Conocimiento Abierto (OKD) (''Open Definition'')]
* [http://freedomdefined.org/Definition/Es Definición de Obras Culturales Libres (''freedomdefined.org'')]
* [http://fsfe.org/index.es.html Free Software Foundation Europe (FSFE)]
* [http://www.ocwconsortium.org/ Open CourseWare (OCW)]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Open_education Open Education]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Open_educational_resources Open Educational Resources (OER)]
* [http://okfn.org/ Open Knowledge Foundation (OKF)]
* [http://www.opensource.org/ Open Source Initiative (OSI)]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Open_textbook Open Textbooks]
* [[Usuario:Jmleonrojas/Taller/Software Libre y Conocimiento Libre]]
* [https://xnet-x.net/es/ Xnet]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Abogados especialistas en propiedad intelectual y derecho informático</span> ====
* [[David Bravo]]
* [[Javier de la Cueva]]
* [http://derechoynormas.blogspot.com.es/ David Maeztu]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Algunos repositorios abiertos</span> ====
* [https://archive.org/ Internet Archive: Non-profit digital library offering free universal access to books, movies &amp; music, as well as 386 billion archived web pages (Wayback Machine).]
* [http://www.bitacoravirtual.cl/2011/03/05/repositorios-de-proyectos-de-arquitectura/ Algunos sobre proyectos de arquitectura (además de software libre para arquitectura) (CC BY-NC-SA)]
* [http://www.infotecarios.com/hackathon-repositorios-de-datos-abiertos-open-data-segunda-parte/ Infotecarios: Hackathon, Repositorios de Datos Abiertos – Open Data (segunda parte) (CC BY-NC-ND)]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Atentos al derecho de cita</span> ====
* [http://ucinema.sim.ucm.es/video/ucm/demanda/3jornadacv_013.html Lema, Carlos (2006) Guía de buenas prácticas acordes con la Ley de Propiedad Intelectual; III Jornada Campus Virtual UCM (gratis OA).]
* [http://www.bufetalmeida.com/503/el-derecho-de-cita-con-fines-docentes.html Sánchez Almeida, Carlos (2009) El derecho de cita con fines docentes (CC BY-NC-SA).]
* [http://de.vroniplag.wikia.com/wiki/Home Universidad de Granada (2009) Derechos de autor en plataformas e-learning (CC BY-NC-SA)]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Y al posible plagio</span> ====
* [https://scholarlyoa.com/category/plagiarism-2/ Beall, J. Plagiarism. ''Scholarly Open Access''. © gratis OA.]
* [http://copy-shake-paste.blogspot.com.es/ Copy, Shake, and Paste. A blog about plagiarism and scientific misconduct (CC BY-NC-SA)]
* [[Usuario:Jmleonrojas/Taller/Anti-plagio]]
* [http://de.vroniplag.wikia.com/wiki/Home VroniPlag Wiki (CC BY-SA)] (más información desde [http://en.wikipedia.org/wiki/VroniPlag_Wiki Wikipedia])
:---
* [[Plagio]]
* [[Detección del plagio]] <sup>([[:pt:Detecção de similaridade de conteúdo|pt]], [[:en:Plagiarism detection|en]])</sup>
* [[Wikipedia:Atribución dentro de Wikipedia]] <sup>([[:gl:Wikipedia:Atribución dentro da Wikipedia|gl]], [[:en:Wikipedia:Copying within Wikipedia|en]])</sup>

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Bibliotecas (textos, cursos)</span> ====
* [http://alqua.org Alqua] (© FLOK)
* [http://aimath.org/textbooks/approved-textbooks/ American Institute of Mathematics (AIM): Approved Textbooks (open textbooks)] (© FLOK)
* [https://www.wdl.org/es/ Biblioteca Digital Mundial] / [https://www.wdl.org/en/ World Digital Library (WDL) (UNESCO)]
* [https://bvpb.mcu.es/es/inicio/inicio.do Biblioteca Virtual del Patrimonio Bibliográfico]
* [http://www.cervantesvirtual.com/ Biblioteca Virtual Miguel de Cervantes (España)]
* [http://www.biblioteca.org.ar/ Biblioteca Virtual Universal (Argentina)]
* [http://bookboon.com/ Bookboon] (© gratis OA)
* [https://www.boundless.com/ Boundless] (© CC BY-SA)
* [http://www.ck12.org/ CK-12]
* [http://collegeopentextbooks.org/textbook-listings/textbooks-by-subject/math College Open Textbooks: Math]
* [http://oerconsortium.org/discipline-specific/ Community College Consortium for Open Educational Resources: Open Textbooks]
* [http://www.elastico.net/copyfight/listing.php?sec=0 CopyFight]
* [https://www.europeana.eu/es Europeana]
* [http://www.siyavula.com/work-oer.html Free High School Science Texts Project]
* [http://www.freetechbooks.com/numerical-methods-f66.html FreeTechBooks]
* Proyecto / Project LATIn, [http://www.proyectolatin.org/index.php/es/component/booklibrary/512/all_categories libros publicados], [http://comunidad.proyectolatin.org/groups/all comunidades] y [http://comunidad.proyectolatin.org/groups/writing_groups/ grupos de escritura]
* [https://hispana.mcu.es/es/inicio/inicio.do Hispana]
* [https://www.merlot.org Merlot]
* [http://problems.magmath.com/math/textbooks MagMath]
* [http://ocw.mit.edu/courses/online-textbooks/ MIT OpenCourseWare: Online Textbooks]
* [https://www.oercommons.org/ OER Commons]
* [https://www.openbookpublishers.com Open Book Publishers]
* [http://opencourselibrary.org/ Open Course Library]
* [http://www.openculture.com/free_textbooks Open Culture: Free Textbooks]
* [https://oli.cmu.edu/ Open Learning Initiative (Carnegie Mellon University)]
* [http://textbooks.opensuny.org/ Open SUNY Textbooks]
* [http://www.opentextbookstore.com/catalog.php Open Textbook Store]
* [http://www.etnassoft.com/biblioteca/tag/matematicas/ OpenLibra]
* [https://openstax.org/ OpenStax]
* [http://cnx.org/ OpenStax CNX]
* [https://florida.theorangegrove.org/og/hierarchy.do?topic=d37c6ed5-3822-84a6-721c-6d9033a88541&page=1 Orange Grove Texts]
* [http://www.oreilly.com/openbook/ O'Reilly Open Books Project]
* [http://www.gutenberg.org/ Project Gutenberg]
* [https://sites.google.com/site/redmatematicaantioquia/home/libros-de-la-red Red Matematica Antioquia] (© gratisOA)
* [http://www.saylor.org/ Saylor Academy] (© CC BY-SA)
* [http://scholarcommons.usf.edu/oa_textbooks/ Scholar Commons (University of South Florida)]
* [http://www.studentpirgs.org/open-textbooks/catalog Student PIRGS: affordable textbooks initiative], conjuntamente con la Universidad de Minesota creando la [http://open.umn.edu/opentextbooks/ Open Textbook Library]
* [http://textbookequity.org/ Textbook Equity LLC]
* [http://textbookrevolution.org/index.php/Main_Page Textbook Revolution]
* [http://textosmareaverde.blogspot.com.es/ Textos Marea Verde]
* [http://www.theassayer.org/ The Assayer] (© OPL, without A or B)
* [http://onlinebooks.library.upenn.edu/ The Online Books Page]. (Véase, también: [http://onlinebooks.library.upenn.edu/licenses.html Copyrights and licenses] y [http://onlinebooks.library.upenn.edu/archives.html Archives and Indexes]).
* [https://unedabierta.uned.es/ Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED) Abierta]
* [https://wiki.creativecommons.org/wiki/Free_to_Learn_Guide/Index_of_OER_Resources Más...]
</div>
|-
<!--          INFORMACIÓN TRANSVERSA 2 / TRANSVERSE INFORMATION 2          -->
| style="padding:2px;" | <h2 id="pamdan-it1-h2" style="margin:3px; background:#deecc8; font-family:inherit; font-size:small; font-weight:bold; border:1px solid #deecc8; text-align:left; color:rgb(0, 0, 0); padding:0.2em 0.4em;">Información transversa 2.- Acerca de más temas de interés<hr style="width: 100%; height: 4px; background-color: rgb(0, 102, 0);" /></h2>
|-
| style="color:#000; padding:2px 5px 5px;" | <div id="pamdan-it2" style="font-size:small;">
<!--
==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Violencia de género</span> ====
* [https://www.youtube.com/watch?v=iue_2fa93dI CARE Noruega, Querido papá (Hjærepappa.no)] (versión en inglés, [https://www.youtube.com/watch?v=dP7OXDWof30 aquí] y subtitulado en español, [https://www.youtube.com/watch?v=gvyuY9lCGUM aquí])
-->

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Accesibilidad y usabilidad</span> ====
* [http://alistapart.com/ A List Apart]
* [https://www.nngroup.com/articles/usability-101-introduction-to-usability/ Nielsen, Jacob (2012) Usability 101: Introduction to Usability.''Nielsen Norman Group Weekly Newsletter, January 4''. © TDR, Acceso Gratis).]
* [https://www.w3.org/ World Wide Web Consortium (W3C)]
* [http://www.w3schools.com/ W3Schools Online Web Tutorials]
:---
* [[Accesibilidad|Accesibilidad. ''Wikipedia, La enciclopedia libre''. (© CC BY-SA).]]
* [[Usabilidad|Usabilidad. ''Wikipedia, La enciclopedia libre''. (© CC BY-SA).]]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Web_usability Web usability. En ''Wikipedia, The Free Encyclopedia''. (© CC BY-SA).]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Biblioteca</span> ====
* [https://openlibrary.org/works/OL3457014W/Two_against_one Caplow, Theodore (1968) ''Two against one: Coallitions in Triads''. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, U.S.A.] (Versión española de Natividad Sánchez Sáinz-Trápaga: [http://www.worldcat.org/title/dos-contra-uno-teoria-de-coaliciones-en-las-triadas/oclc/48348679/editions?referer=di&editionsView=true ''Dos contra uno: Teoría de coaliciones en las tríadas''. Alianza Editorial, S. A., Madrid, España, 1974]).

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Comercio Justo</span> ====

===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Tecnología</span> =====
* [https://www.fairphone.com/es/ Fairphone]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Ética hacker</span> ====
* [http://www.eldiario.es/turing/Libros-cultura_hacker-Wikileaks_0_284871542.html Alan Lazalde (2014) Libros imprescindibles para entender la cultura hacker, ''Diario Turing. Eldiario.es''. © CC BY-SA.]
* [http://www.elmundo.es/tecnologia/2014/10/27/544dea28ca474156028b456b.html Pablo Romero (2014) Richard Stallman: 'La RAE debe corregir la definición de hacker', ''El mundo''. © TDR.]
:---
* [[Ética hacker|Ética hacker. ''Wikipedia, La enciclopedia libre''. (© CC BY-SA).]]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Hacker_culture Hacker culture. En ''Wikipedia, The Free Encyclopedia''. (© CC BY-SA).]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Filosofía</span> ====
* [http://www.dmoz.org/World/Espa%C3%B1ol/Sociedad/Filosof%C3%ADa/ DMOZ (en varias lenguas)]
* [http://www.filosofia.org/pcero.htm '''Proyecto Filosofía en español (Fundación Gustavo Bueno)''']
* [http://www.iep.utm.edu/ Internet Encyclopedia of Philosophy (en inglés)]
* [http://www.philosophica.info/ Philosophica]
* [http://philosophy.stackexchange.com/ Philosophy Stack Exchange (en inglés)]
* [http://philpapers.org/ PhilPapers (en inglés)]
* [http://plato.stanford.edu/ '''Stanford Encyclopedia of Philosophy (en inglés)''']
* [http://www.informationphilosopher.com/ The Information Philosopher (en inglés)]
:---
* [[Filosof%C3%ADa|Filosofía. ''Wikipedia, La enciclopedia libre''. (© CC BY-SA).]]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Hemeroteca</span> ====
* [http://revistas.ucm.es/index.php/TEKN Teknokultura. (© CC BY-NC-ND)]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Herramientas</span> ====
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Atom_(text_editor) ATOM (editor de texto modificable hasta el núcleo) (© FLOSS).]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Etherpad#Etherpad_Lite Etherpad Lite (editor web basado en la colaboración en tiempo real).]
** [https://github.com/ether/etherpad-lite Código fuente.]
** [https://github.com/ether/etherpad-lite/wiki/Sites-that-run-Etherpad-Lite Sitios que lo proporcionan], por ejemplo, el colectivo [https://www.systemli.org/en/index.html Systemli.org] o el [http://www.piratpartiet.se/ Swedish Pirate Party / Partido Pirata sueco] con [http://piratepad.net/ PiratePad].

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">LaTeX</span> ====
* [http://cervantex.es/ '''CervanTeX''']
* [http://detexify.kirelabs.org/classify.html Detexify]
* [http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php Editor en línea de ecuaciones en LaTeX (CodeCogs)]
* [http://rinconmatematico.com/latexrender/ Editor en línea de ecuaciones en LaTeX (Rincón Matemático)]
* [https://www.overleaf.com/latex/examples Ejemplos (en Overleaf)]
* [http://alexeev.org/gmailtex.html LaTeX para Gmail]
* [http://tex.stackexchange.com LaTeX Stack Exchange]
* [http://papeeria.com/templates Modelos (en Papeeria)]
* [https://docs.moodle.org/32/en/Using_TeX_Notation Moodle LaTeX]
* [http://osl.ugr.es/CTAN/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf Pakin, Scott (2015). The Comprehensive LaTeX Symbol List.]
* [https://www.sharelatex.com/learn ShareLaTeX]
* [http://texample.net/ TeXample.net]
* [https://texblog.org/ TeXblog]
* [http://texnique.fr TeXnique]
* [https://www.latex-project.org// '''The LaTeX Project''']
* [http://makingtexwork.sourceforge.net/mtw/ Walsh, N. (2002) Making TeX Work. O'Reilly.]
* [http://asymptote.sourceforge.net/ Asymptote]
* [http://asy.marris.fr/asymptote/ Asymptote (en asy.marris.fr)]
* [http://www.piprime.fr/asymptote/ Asymptote (en piprime.fr)]
* [http://pgfplots.net/ PGFPlots.net]
:---
* [[LaTeX|LaTeX. ''Wikipedia, La enciclopedia libre''. (© CC BY-SA).]]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:LaTeX_symbols Wikipedia:LaTeX_symbols. En ''Wikipedia, The Free Encyclopedia''. (© CC BY-SA).]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Lengua española</span> ====
:([[Idioma español]])
* [https://www.academia.org.mx/ Academia Mexicana de la Lengua]
** [http://www.cordiam.org/ Corpus Diacrónico y Diatópico del Español de América (CORDIAM)]
* [http://www.asale.org/ '''Asociación de Academias de la Lengua Española (ASALE).''' (© gratisOA).] (Para saber de otras asociaciones de la lengua española en el mundo, consúltese, por ejemplo: [[Asociaci%C3%B3n de Academias de la Lengua Espa%C3%B1ola#Otras asociaciones de lengua espa.C3.B1ola en el mundo|Asociación de Academias de la Lengua Española#Otras asociaciones de lengua española en el mundo. Wikipedia [© CC BY-SA]]).
* [http://www.cilengua.es/ Centro Internacional de Investigación de la Lengua Española (Cilengua).]
* [http://cvc.cervantes.es/ Centro Virtual Cervantes (CVC).]
* [https://www.definiciones-de.com/ Diccionario de español] (ALEGSA - Santa Fe, Argentina, desde 1998 en adelante), en particular:
** [https://www.definiciones-de.com/Definicion/Cat/1_0.php Diccionario de ciencias]
** [https://www.definiciones-de.com/Definicion/Cat/27_0.php Diccionario de filosofía]
** [https://www.definiciones-de.com/Definicion/Cat/20_0.php Diccionario de matemáticas]
** [https://www.definiciones-de.com/m/Definicion/Cat/164_0.php Diccionario de palabras cultas]
** [https://www.definiciones-de.com/Definiciones/general_categorias.php Categorías o subdiccionarios del Diccionario de español]
<div class="dablink"><span style="font-size:88%">En relación:</span> ''[https://www.alegsa.com.ar/Diccionario/diccionario.php Diccionario de informática]''</div>
* [http://diccionario.raing.es/ Diccionario español de ingeniería (DEI).]
* [https://virgulilla.wordpress.com/ Español (con virgulilla).]
* [http://www.caminodelalengua.com/ Fundación Camino de la Lengua Castellana.]
* [http://www.fundeu.es/ '''Fundación del Español Urgente (FundéuRAE)''']
** [https://www.fundeu.es/blog/ El blog de la FundéuRAE]
*** [https://www.fundeu.es/blog-tag/oteador/ El oteador de palabras]
** [http://www.wikilengua.org/index.php/Portada Wikilengua del español]
* [http://www.cervantes.es Instituto Cervantes.]
** [https://siele.org/ SIELE (Servicio Internacional de Evaluación de la Lengua Española).]
** [https://examendemo.siele.org/ '''Práctica de examen'''.]
* [http://www.lexipedia.com/spanish/Bienvenido Lexipedia.]
* [https://www.practicaespanol.com/ <strike>Practica Español</strike>]
* [http://www.rae.es/ '''Real Academia Española (RAE)''']
** [https://www.rae.es/banco-de-datos Banco de datos]
*** [https://www.rae.es/banco-de-datos/crea Corpus de Referencia del Español Actual (CREA)]
*** [https://www.rae.es/banco-de-datos/cdh Corpus del Diccionario histórico de la lengua española (CDH)]
*** [https://www.asale.org/obras-y-proyectos/corpes-xxi Corpus del Español del Siglo XXI (CORPES XXI)]
*** [https://www.rae.es/banco-de-datos/corde Corpus Diacrónico del Español (CORDE)]
** [https://lema.rae.es/damer/ Diccionario de americanismos]
** [http://dle.rae.es Diccionario de la Lengua Española (DLE)]
** [https://www.rae.es/dhle/ Diccionario histórico de la lengua española (DHLE)]
** [http://lema.rae.es/dpd/ Diccionario panhispánico de dudas (DPD)]
*** [https://www.rae.es/dpd/ayuda/abreviaturas Abreviaturas]
** [https://dpej.rae.es/ Diccionario panhispánico del español jurídico (DPEJ)]
** [http://www.rae.es/sites/default/files/EL_NEOLOGISMO_EN_EL_DICCIONARIO.pdf Fernando Lázaro Carreter (2002): El neologismo en el Diccionario.]
** [https://aplica.rae.es/grweb/cgi-bin/buscar.cgi Nueva gramática de la lengua española (2009)]
** [https://aplica.rae.es/orweb/cgi-bin/buscar.cgi Ortografía de la lengua española (2010)]
** [http://www.rae.es/sites/default/files/Principales_novedades_de_la_Ortografia_de_la_lengua_espanola.pdf RAE (2010): Principales novedades de la ortografía de la lengua española.]
* [https://forum.wordreference.com/forums/s%C3%B3lo-espa%C3%B1ol.45/ Wordreference Forums: Sólo Español]
===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Diccionarios combinatorios o de colocaciones</span> =====
:([[Colocación]])
* [http://www.dicesp.com DICE]
===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Correctores de ortografía y gramática</span> =====
* [http://spanishchecker.com/ SpanishChecker]
===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Español de los Estados Unidos</span> =====
* [http://www.anle.us/ Academia Norteamericana de la Lengua Española (ANLE)]
===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Español llano</span> =====
:([[Lenguaje llano]])
* [http://www.lecturafacil.net/es/ Asociación Lectura Fácil]
* [https://publications.europa.eu/es/publication-detail/-/publication/c2dab20c-0414-408d-87b5-dd3c6e5dd9a5 '''Cómo escribir con claridad, por la Comisión Europea''']
* [http://www.facillectura.es/ Extremadura vive la fácil lectura]
* [http://plainlanguagenetwork.org/plain-language/que-es-el-lenguaje-claro/ ¿Qué es el lenguaje claro?, por Plain Language Association International (PLAIN)]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Lengua inglesa</span> ====
:([[Idioma inglés]])
* [https://learnenglish.britishcouncil.org/en/content '''Prueba y practica tu inglés''' (por el British Council)]
===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Diccionarios y tesauros</span> =====
* [http://dictionary.cambridge.org/ '''Cambridge''' (diccionarios, gramática y tesauro) (inglés británico y estadounidense)]
* [https://www.collinsdictionary.com/ Collins (varias lenguas)]
* [http://www.linguee.es/ '''Linguee''' (varias lenguas)]
* [http://www.onelook.com/ OneLook]
* [https://www.oxforddictionaries.com/ '''Oxford''' (diccionarios, gramática y tesauro) (inglés británico y estadounidense)]
* [https://www.urbandictionary.com/ '''Urban dictionary''']
* [http://www.wordreference.com/ '''WordReference.com''' (varias lenguas)]

===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Diccionarios combinatorios o de colocaciones</span> =====
* [http://www.ozdic.com/ Ozdic]
===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Inglés académico</span> =====
* [http://www.cambridge.org/gb/cambridgeenglish/catalog/grammar-vocabulary-and-pronunciation/academic-vocabulary-use-2nd-edition/academic-vocabulary-use-2nd-edition-edition-answers '''Michael McCarthy & Felicity O'Dell: Academic Vocabulary in Use, Cambridge University Press, 2.ª ed., 2016. (© TDR).''']
* [http://www.uefap.com/ Using English for Academic Purposes: A Guide for Students in Higher Education (UEfAP)] y el / and the [http://www.uefap.com/test/ English Language Level Test].
* [http://writingguide.se/ Writing Guide.]
* '''[https://owl.purdue.edu/owl/purdue_owl.html Purdue Online Writing Lab]'''
===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Inglés estadounidense</span> =====
* [https://americanenglish.state.gov/resources-0 '''American English''' (Departamento de Estado de Estados Unidos)]
* [https://es.wikihow.com/imitar-un-acento-americano-convincente Cómo imitar un acento americano convincente. ''WikiHow''. (© gratisOA)]
* [http://www.merriam-webster.com/ '''Merriam-Webster''']
* [http://nws.merriam-webster.com/opendictionary/ '''Merriam-Webster: The Open Dictionary - New Words & Slang''']
* [http://www.thepunctuationguide.com/ The Punctuation Guide]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/The_Elements_of_Style William Strunk (Jr.) (1918/1920), Elwin Brooks White (1959) ''The Elements of Style''. Harcourt, Brace &amp; Howe (1920), Macmillan (1959).]

===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Inglés británico</span> =====
* [https://es.wikihow.com/hablar-ingl%C3%A9s-con-un-acento-brit%C3%A1nico Cómo hablar inglés con un acento británico. ''WikiHow''. (© gratisOA)]
* [http://queens-english-society.org/ The Queen's English Society. (© gratisOA)]

===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Inglés llano</span> =====
* [https://www.linkedin.com/learning/writing-in-plain-english Judy Steiner-Williams: Writing in plain English (This course qualifies for professional development units (PDUs))]
* [http://www.bradford.ac.uk/external-affairs/web-team/web-style-guide-and-content-tips/plain-english/ '''University of Bradford (GB): Write in Plain English.''']
* [http://www.bristol.ac.uk/arts/exercises/grammar/grammar_tutorial/index.htm University of Bristol (GB): Improve your writing: grammar exercises]
* [http://sydney.edu.au/law/learning_teaching/legal_writing/plain_english.shtml '''University of Sidney (AU): Writing in Plain English.''']
* [https://global.oup.com/academic/product/oxford-guide-to-plain-english-9780199669172?cc=fr&lang=en& <strong>Martin <span style="font-variant:small-caps;">Cutts</span>. <i>Oxford Guide to Plain English</i>. Oxford University Press, Oxford, United Kingdom, , 4th edition, 2013. ISBN 978-0-19-966917-1</strong>]
* [http://ogden.basic-english.org/ Charles K. Ogden's Basic English], p. ej., la [https://simple.wikipedia.org/wiki/Main_Page Simple English Wikipedia.]
* [http://www.clarity-international.net/plain-language-resources/general-resouces/ Clarity: General Resources]
* [http://plainlanguagenetwork.org/ Plain Language Association International (PLAIN)]
** [https://www.gov.uk/guidance/content-design/writing-for-gov-uk#plain-english Writing for GOV.UK]
** [http://www.plainlanguage.gov/resources/index.cfm Plain Language.gov (USA): Plain-Language Training Resources]
* [http://centerforplainlanguage.org/ Center for Plain Language]
** [http://centerforplainlanguage.org/plain-language-supports-science-communication/ Plain language supports science communication]
** [http://centerforplainlanguage.org/the-importance-of-plain-language-for-content-creation/ The importance of plain language for content creation]
* [http://www.plainenglish.co.uk/ '''Plain English Campaign (Fighting for crystal-clear communication since 1979).''']
** [http://www.plainenglish.co.uk/free-guides.html Free Guides]
** [http://www.plainenglish.co.uk/drivel-defence-text.html '''Drivel Defence for Text''']
* [http://hemingwayapp.com/ '''Hemingway Editor''']
* [https://www.plainenglishfoundation.com/free-writing-tools Plain English Foundation: Free Writing Tools]
* [http://www.clearest.co.uk/ Plain Language Commission]
** {{cite web
 |url=https://irp-cdn.multiscreensite.com/aaf9e928/files/uploaded/Plain_English_LEXICON_June_2011.pdf
 |title=Plain English Lexicon
 |last=<span style="font-variant: small-caps;">Cutts</span>
 |first=Martin
 |language=
 |date=
 |website=
 |publisher=
 |access-date=
 |quote= }}
** [http://www.clearest.co.uk/publications Publications]
* [https://www.globish.com Globish]

===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Inglés y matemáticas</span> =====
* [http://www.oxfordreference.com/view/10.1093/acref/9780199679591.001.0001/acref-9780199679591 '''Christopher Clapham and James Nicholson: The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Oxford University Press, 5.ª ed., 2014. (© TDR).''']
* [https://eu.ixl.com/ IXL | Maths and English Practice.]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Matemática</span> ====
===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Páginas web</span> =====
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Unsolved_problems_in_mathematics Unsolved Problems in Mathematics]
* [http://ztfnews.wordpress.com/ ::ZTFNews.org]
* [http://andrescaicedo.wordpress.com/ A kind of library]
* [http://www.youtube.com/user/AlgoRythmics AlgoRythmics]
* [http://www.ams.org/ '''American Mathematical Society (AMS)''']
* [http://artofproblemsolving.com/wiki/ AoPS: Art of Problem Solving]
* [http://www.bbc.com/mundo/topics/7db88d7c-d47d-4a04-b58c-07afdf54ff7f BBC Mundo: Matemática]
* [http://www.bbc.com/mundo/topics/3ca594e5-b737-419c-8f35-712844f46608 BBC Mundo: Computación]
* [http://bit-player.org/ bit-player]
* [http://blocdemat.wordpress.com/ blocdemat]
* [http://blog.i-math.org/ Blog para anti-matemáticos]
* [http://cafematematico.com/ Café matemático]
* [http://cifrasyteclas.com/ Cifras y teclas]
* [http://www.divulgamat.net/ divulgaMAT]
* [http://www.matematicas.net/ El Paraíso de las Matemáticas]
* [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page '''Encyclopedia of Mathematics''']
* [http://www.epsilones.com/paginas/a-mapa.html Epsilones]
* [http://www.arrakis.es/~mcj/index.htm Gacetilla matemática]
* [http://gaussianos.com/ Gausianos]
* [http://www.geogebra.org/cms/es/ GeoGebra]
* [http://www.blogseitb.com/matematicas/ Grafitti matemático]
* [http://estadistica.gobex.es Instituto de Estadística de Extremadura]
* [http://www.ine.es/ Instituto Nacional de Estadística (INE)]
* [http://topologia.wordpress.com/ Juegos topológicos]
* [https://lacienciaparatodos.wordpress.com/category/matematicas/ La ciencia para todos: Matemáticas]
* [http://www.mpdf.es/ lasmatematicas.es en pdf]
* [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ '''MacTutor History of Mathematics archive''']
* [http://www.matematicalia.net/ Matematicalia (© gratis OA)]
* [http://matematicascercanas.com/ Matemáticas cercanas. (© CC BY-NC-ND).]
* [http://www.matematicasdigitales.com/ Matemáticas digitales]
* [http://catedu.es/matematicas_mundo/index.html Matemáticas en tu mundo]
* [http://i-matematicas.com/blog/ Matemáticas interactivas y manipulativas]
* [http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/ Matemáticas y sus fronteras]
* [http://matesmates.wordpress.com/ ¡Mates, Mates!]
* [http://www.matetam.com/ MaTeTaM]
* [http://www.mathematik.com/ Mathematik]
* [http://www.mathsfact.com/ Mathsfact]
* [http://mathsmovies.com/ Mathsmovies]
* [http://mathworld.wolfram.com/ MathWorld (© TDR)]
* [http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/ Mati, una profesora muy particular]
* [http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras Mati y sus mateaventuras]
* [http://memorandummatematico.wordpress.com/ Memorandum Matemático]
* [http://mate.dm.uba.ar/~lechague/zona.htm Museo interactivo de Matemáticas]
* [http://naukas.com/categorias/ciencia/matematicas/ Naukas: Matemáticas]
* [http://naukas.com/categorias/ciencia/tecnologia/ Naukas: Tecnología]
* [https://www.bbvaopenmind.com/tema/matematicas/ OpenMind (© TDR)]
* [http://cms.dm.uba.ar/material/paenza Adrián Paenza: Libros de divulgación]
* [http://www.planetamatematico.com/ Planeta Matemático]
* [http://planetmath.org/ PlanetMath (© CC BY-SA)]
* [http://www.fmat.cl/ Portal Matemático (fmat)]
* [http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ Proyecto Descartes]
* [https://www.quantamagazine.org/computer-science/ Quanta Magazine: Computer Science (© TDR)] (En inglés)
* [https://www.quantamagazine.org/mathematics/ Quanta Magazine: Mathematics (© TDR)] (En inglés)
* [http://www.rsme.es/ '''Real Sociedad Matemática Española''']
* [http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/ Revista Digital Matemática, Educación e Internet]
* [http://rinconmatematico.com/ Rincón Matemático]
* [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ The MacTutor History of Mathematics archive]
* [http://oeis.org/ The On-line Encyclopedia of Integer Sequences]
* [http://tiopetrus.blogia.com/ Tio Petros]
* [http://eliatron.blogspot.com.es/ Tito Eliatron Dixit]
* [http://mateturismo.wordpress.com/ Turismo Matemático]
* [http://portales.educared.net/wikillerato/Matematicas Wikillerato (© CC BY)]
* [http://www.wolframalpha.com/examples/ Wolfram|Alpha]
* [http://mathworld.wolfram.com/ WolframMathWorld]
* [http://yair.es/ Yair.es]

===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Aplicaciones para Android</span> =====
* [http://www.malmath.com/ MalMath]
:---
* [[Matem%C3%A1ticas|Matemáticas. ''Wikipedia, La enciclopedia libre''. (© CC BY-SA).]]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Programación</span> ====
===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Lenguajes</span> =====
* [[Free Pascal]]
** [https://en.wikibooks.org/wiki/Pascal_Programming Wikilibro 'Pascal Programming' (en inglés)]
* [[Python]]
** [https://www.python.org/shell/ Python Shell]
** [https://en.wikibooks.org/wiki/Category:Shelf:Python_programming_language Estantería de wikilibros sobre Python (en inglés)]
** [https://www.w3schools.com/python/default.asp Tutorial de Python de la W3school (en inglés)]
* [[SageMath]]
** [https://sagecell.sagemath.org/ SageMathCell]
** [https://cocalc.com/ CoCalc]

===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Intérpretes en línea</span> =====
* [http://ideone.com/ Ideone]
* [https://rextester.com/ Rextester]
* [https://tio.run Try It Online]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Preservación digital</span> ====
* [https://wiki.archivematica.org/Main_Page Archivematica]
* [http://daitss.fcla.edu/ DAITSS]
* [http://www.ifs.tuwien.ac.at/dp/hoppla/ Hoppla]
* [http://jhove.sourceforge.net/ JHOVE]
* [http://www.roda-community.org/ RODA]
:---
* [[Preservaci%C3%B3n digital|Preservación digital. ''Wikipedia, La enciclopedia libre''. (© CC BY-SA).]]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Representación del conocimiento</span> ====
* [http://skos.um.es/ Simple Knowledge Organization System (SKOS)]
* [http://www.jfsowa.com/krbook/ Sowa, John F. (2000) ''Knowledge Representation. Logical, Philosophical, and Computational Foundations''. Brooks/Cole, Thomson Learning, Pacific Grove, CA, USA.]
:---
* [[Representaci%C3%B3n del conocimiento|Representación del conocimiento. ''Wikipedia, La enciclopedia libre''. (© CC BY-SA).]]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Seguridad informática</span> ====
* [http://www.kriptopolis.com/ Kriptópolis | Criptografía y Seguridad]
* [https://nmap.org/ Nmap], incluyendo el repositorio [https://nmap.org/book/nse-scripts.html NSE].
* [http://www.elladodelmal.com/ Un informático en el lado del mal.]
:---
* [[Seguridad inform%C3%A1tica|Seguridad informática. ''Wikipedia, La enciclopedia libre''. (© CC BY-SA).]]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Software libre y de código abierto</span> ====
* [http://alternativeto.net/ AlternativeTO]
* [http://www.findbestopensource.com/home/ Best Open Source]
* [http://libreprojects.net Libre Projects]
* [http://www.linuxadictos.com/alternativas-linux-programas-windows.html Linux Adictos]
* [http://linuxappfinder.com/alternatives Linux App Finder]
* [https://www.openhub.net/ Open Hub]
* [http://www.opensourcealternative.org/ Open Source Alternative]
* [http://osliving.com/ Open Source Living]
* [http://www.osalt.com/ Osalt]
* [http://ostatic.com/ OStatic]
* [http://directory.fsf.org/ The Free Software Directory]
* [http://www.linuxalt.com/ The Linux Alternative Project]
* [http://www.zwodnik.com/ Zwodnik]
* [http://www.alternativepedia.com/ AlternativePedia]
:---
* [[Software libre y de c%C3%B3digo abierto|Software libre y de código abierto. ''Wikipedia, La enciclopedia libre''. (© CC BY-SA).]]
* [[T%C3%A9rminos alternativos para el software libre|Términos alternativos para el software libre. ''Wikipedia, La enciclopedia libre''. (© CC BY-SA).]]

<span style="color: rgb(0, 0, 0);">— &amp; —</span>

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">A cierra ojos</span> ====
* [https://arstechnica.com/ Ars Technica (© TDR)]
* [http://barrapunto.com Barrapunto (© TDR)]
* [http://elastico.net/ Elástico 3.0 (© CC BY-NC)]
* [https://geekgazette.org/ Geek Gazette (© TDR)]
* [http://www.genbeta.com/ Genbeta (© TDR)]
* [http://www.genbetadev.com/ Genbeta Dev (© TDR)]
* [https://hackernoon.com/ Hackernoon (© TDR)]
* [https://medium.com/ Medium (© TDR)]
* [http://www.microsiervos.com/ Microsiervos (© TDR)]
* [https://www.bbvaopenmind.com/tema/informatica/ OpenMind (© TDR)]
* [https://www.redeszone.net/ Redes Zone (© TDR)]
* [https://slashdot.org/ Slashdot (© TDR)]
* [https://www.wired.com/ Wired (© TDR)]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Burbujas</span> ====
* [http://www.cogsci.uci.edu/~ddhoff/ Donald D. Hoffman (en inglés)]
* [http://www.careercast.com/jobs-rated/best-jobs-2015 The Best Jobs of 2015 (CareerCast) (en inglés)]
* {{cite magazine
| last       = <span style="font-variant: small-caps;">Britton</span>
| first      = Jack
| date       = 17 de noviembre de 2017
| title      = The degrees that make you rich... and the ones that don't
| url        = http://www.bbc.com/news/education-41693230
| magazine   = BBC News
| location   = 
| publisher  = 
| access-date=17 de noviembre de 2017
}}

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Miscelánea</span> ====
* [http://101claves.com/ 101claves]
* [https://99percentinvisible.org/ 99 % invisible (© TDR)]
* [https://culturacolectiva.com/ Cultura Colectiva + (© TDR)]
* [http://www.domestika.org/ Domestika]
* [http://dondeestamiequipo.net/ Mario Kogan y José Ochoa: ¿Dónde está mi equipo? / Where is my team?]
* [http://jordiclaramonte.blogspot.com.es/ Estética y Teoría del Arte]
* [http://www.joshuadavis.com/ Joshua Davis Studios]
* [http://kunsthallewien.at/#/en Kunsthalle Wien]
* [https://www.bbvaopenmind.com/libros/ OpenMind libros (© TDR)]
* [https://www.trecebits.com/ TreceBits (© TDR)]
* [http://yugop.com/ Yugop]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Wikimedia, en español</span> ====

===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Wikipedia</span> =====
* [[Wikipedia:Bienvenidos|Wikipedia: Bienvenidos]]
* [[Wikipedia:Bienvenidos alumnos|Wikipedia: Bienvenidos alumnos]]
* [[Wikipedia:Bienvenidos profesores|Wikipedia: Bienvenidos profesores]]
* [[Wikipedia:Programa educativo|Wikipedia: Programa educativo]]
* [[Wikipedia:Proyectos educativos|Wikipedia: Proyectos educativos]]
* [[Wikipedia:Artículos solicitados|Wikipedia: Artículos solicitados]]
* [[Wikiproyecto:Matemáticas|Wikiproyecto: Matemáticas]]
* [[Wikipedia:Wikipedia en CD/2009/Matemáticas|Wikipedia en CD (2009): Matemáticas]]
* [[Ayuda:Referencia rápida|Ayuda: Referencia rápida]]

===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Wikilibros</span> =====
* [https://es.wikibooks.org/wiki/Wikilibros:Bienvenida Wikilibros: Bienvenida]
* [https://es.wikibooks.org/wiki/Wikilibros:Wikilibros_solicitados Wikilibros: Wikilibros solicitados]

==== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">Wikimedia, in English</span> ====

===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Wikimedia</span> =====
* [https://outreach.wikimedia.org/wiki/Education/Case_Studies Wikimedia outreach: Education: Case_Studies]
* [https://outreach.wikimedia.org/wiki/Coursework_feedback Wikimedia outreach: Coursework feedback]

===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Wikipedia</span> =====
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Welcoming_committee/Welcome_to_Wikipedia Welcome to Wikipedia]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Training Wikipedia: Training]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Education_program Wikipedia: Education program]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:School_and_university_projects Wikipedia: School and university projects]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Requested_articles Wikipedia: Requested articles]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:WikiProject_Mathematics Wikipedia: WikiProject Mathematics]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Help:Cheatsheet Help: Cheatsheet]

===== <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: italic;">— Wikibooks</span> =====
* [https://en.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Welcome Wikibooks: Welcome]
* [https://en.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Requested_books Wikibooks: Requested books]
</div>
|}
|}