Ver el código de «Valoración (matemáticas)»

En [[matemáticas]], más particularmente en [[geometría algebraica]] y en [[teoría de números]], una '''valoración''', o '''valoración de [[Wolfgang Krull|Krull]]''', es una medida de multiplicidad. La noción es una generalización de la noción de [[Grado (matemática)|grado]] u orden de cancelación de un [[anillo de polinomios]] en [[álgebra]], del grado de [[divisibilidad]] por un [[número primo]] en [[teoría de números]], del orden de un [[Polo (análisis complejo)|polo]] en [[análisis complejo]] o del número de puntos de [[Contacto (matemáticas)|contacto]] entre dos [[Variedad algebraica|variedades algebraicas]] en [[geometría algebraica]].

== Definición ==

Se denomina ''valoración'' a una [[Función matemática|aplicación]] de un [[anillo conmutativo]] [[Anillo unitario|unitario]] <math>(A,+,\times)</math> distinto de cero a un [[grupo abeliano]] [[Orden total|totalmente ordenado]] <math>(G,+,<)</math> y su [[Unión de conjuntos|unión]] con el [[infinito]]
: <math>v:A \longrightarrow G \cup \{\infty\}</math>
que verifica las siguientes propiedades:
* <math>\forall  x \in A,\ v(x)=\infty \Longleftrightarrow x=0</math>;
* <math>\forall x,y \in A,\ v(xy)=v(x)+v(y)</math>;
* <math>v(x+y) \geqslant \min(v(x),v(y))</math>, propiedad que está conectada a la [[desigualdad triangular]] en [[Espacio métrico|espacios métricos]].

'''Notas''':
# Se utilizan las convenciones clásicas <math>a < \infty</math> y <math>a + \infty =\infty</math> para todos los <math>a \in G</math>.
# Algunos autores se limitan a realizar evaluaciones en un [[cuerpo (matemáticas)|cuerpo]].
# Si ''A'' es un cuerpo o no, ''v'' es un [[Monoide|morfismo de monoides]] de (''A'' *, ×) en (''G'', +).
# Cuando ''A'' es un cuerpo, ''v'' es, por lo tanto, un [[homomorfismo de grupos]] de (''A''*, ×) en (''G'', +), de modo que ''v''(''A''*) es un [[subgrupo]] de ''G''.
# Cuando ''A'' es un cuerpo, a veces se exige que ''v'' sea [[Función sobreyectiva|sobreyectiva]], pero siempre se puede volver a esta situación reemplazando ''G'' por ''v''(''AT''*).

Se dice que dos valoraciones ''{{math|v}}'' y ''{{math|v'}}'' en ''A'' son equivalentes si hay un [[isomorfismo]] de [[semigrupo]]s ordenados
<center><math>\lambda:v(A^*)\to v'(A^*)\quad\text{tal que}\quad v'=\lambda\circ v.</math></center>

=== Valoraciones discretas ===
{{VT|Anillo de valoración discreta}}

Cuando el grupo ''G'' es ℤ, ''{{math|v}}'' se denomina '''valoración de Dedekind''' o '''valoración discreta'''. Dos valoraciones discretas ''{{math|v}}'' y ''{{math|v'}}'' sobre ''{{math|A}}'' son equivalentes si y solamente si son [[Proporcionalidad|proporcionales]], es decir, si existe un número racional ''{{math|k}}'' no nulo tal que

: <math>\forall x \in A^*,\ v'(x)=kv(x).</math>

Las [[Relación de equivalencia|clases de equivalencia]] de valoraciones discretas en un anillo se denominan sus '''lugares'''.

=== Valoración trivial ===

La valoración
: <math>\begin{array}{rrcl} v: & A & \longrightarrow & G \cup \{\infty\} \\ & x & \longmapsto & \begin{cases}\infty & \mathrm{si}\ x=0 \\  0 & \mathrm{si}\ x \neq 0 \end{cases}\end{array}</math>
se llama '''valoración trivial'''.

== Propiedades ==
=== Propiedades generales ===
Sea ''{{math|A}}'' un anillo conmutativo unitario distinto de cero provisto de una valoración ''{{math|v}}''. Entonces:

* <math>v(1)=v(-1)=0</math>;
* <math>\forall x,y \in A,\ v(x-y)\geqslant \min(v(x),v(y))</math>;
* <math>\forall x,y \in A,\ v(x)\neq v(y) \Rightarrow v(x+y)=\min(v(x),v(y))</math>;
* ''{{math|A}}'' es un [[dominio de integridad]];
* existe una única valoración ''{{math|w}}'' en un [[cuerpo de fracciones]] {{math|Frac(''A'')}} que amplía ''{{math|v}}'':
: <math>\forall p/q \in \mathrm{Frac}(A),\ w(p/q)=v(p)-v(q)</math>.

=== Valoraciones discretas sobre el cuerpo de los racionales ===
{{AP|Teorema de Ostrowski}}

Los lugares de ℚ, es decir, las valoraciones discretas de ℚ (sin considerar un factor de proporcionalidad), son los de:
* valoración trivial;
* las [[#Valoración p-ádica|valoraciones ''p''-ádicas]].

=== Valor absoluto asociado ===
Sea ''{{math|v}}'' una valoración de ''{{math|A}}'' con valores reales, y ''{{math|ρ}}'' ∈ ]0, 1[. Se asocia con ''{{math|v}}'' un [[valor absoluto ultramétrico]] (la noción de [[valor absoluto]] generalmente se define en un campo, pero perfectamente definible en cualquier anillo, y siempre induce una distancia en su conjunto subyacente; véase más adelante) expresado como | ∙ |<sub>{{math|''v''}}</sub>; y tal que
: <math>\forall x \in A^*,\ |x|_v=\rho^{v(x)}</math>.

La distancia asociada a este [[valor absoluto]] (<math>d(x,y)=|x-y|_v</math>) hace que ''{{math|A}}'' sea un [[anillo topológico]] que incluye la [[Espacio metrizable|topología derivada]] de un [[espacio ultramétrico]].

Si ''{{math|A}}'' es un cuerpo, entonces <math>(A,|\cdot|_v)</math> es un [[cuerpo valorado]], por lo que su [[Anillo topológico|anillo completado]] (para <math>d</math>) es un cuerpo valorado completo. Por la [[Espacio de Hausdorff|prolongación de las desigualdades]], el valor absoluto de este anillo completado sigue siendo ultramétrico. Por ejemplo, los cuerpos ℚ<sub>{{math|''p''}}</sub> y ''k''((''T'')) pueden obtenerse mediante esta construcción.

== Ejemplos ==

Las siguientes aplicaciones son valoraciones:

=== Orden de cancelación de un polinomio ===
{{AP|Construcción del anillo de los polinomios}}
Sea ''{{math|K}}'' un campo conmutativo, {{math|''K''[''X'']}} el anillo de los [[polinomio]]s con [[coeficiente (matemática)|coeficientes]] en ''{{math|K}}'' y ''{{math|a}}'' un elemento de ''{{math|K}}''. Se define la aplicación «orden de cancelación en ''{{math|a}}''»:
: <math>\begin{array}{rrcl} v_a: & K[X]& \longrightarrow & \Z \cup \{\infty\} \\ & P & \longmapsto & \sup\left\{k\in \N\ |\ \exists R \in K[X],\ P(X)=(X-a)^kR(X)\right\}\end{array}</math>
que con un polinomio distinto de cero ''{{math|P}}'' asocia el orden de [[Multiplicidad (matemáticas)|multiplicidad]] de la raíz ''{{math|a}}'' en ''{{math|P}}'' (orden que es igual a 0 si ''{{math|a}}'' no es raíz, y el infinito si ''{{math|P}}'' es cero).

Si ''{{math|P}}'' es distinto de cero, {{math|''v<sub>a</sub>''(''P'')}} es igual al [[Grado (matemática)|grado]] del menor [[monomio]] distinto de cero de {{math|''P''(''a + X'')}}.

Nota: Si ''{{math|a}}'' pertenece a una extensión ''L'' de ''K'' (por ejemplo, en el cierre algebraico de ''K''), la valoración {{math|''v<sub>a</sub>''}} en ''L''[''X''] está restringida a una valoración sobre ''K''[''X''].

=== Orden de cancelación de una fracción racional ===

Sea ''{{math|K}}'' un campo conmutativo, {{math|''K''(''X'')}} el campo de las [[números racionales|fracciones racionales]] con coeficientes en ''{{math|K}}'' y ''{{math|a}}'' un elemento de ''{{math|K}}''. Se define la aplicación
: <math>\begin{array}{rrcl} v_a: & K(X) & \longrightarrow & \Z \cup\{\infty\} \\ & P/Q & \longmapsto & v(P)-v(Q)\end{array}</math>
que asocia a una fracción racional la diferencia de las órdenes de cancelación del [[numerador]] y del [[denominador]] en {{math|''a''}}. Si {{math|''v''(''R'')}} es positivo, es el orden de cancelación de ''{{math|R}}'' sobre ''{{math|a}}'', si {{math|''v''(''R'')}} es estrictamente negativo, es el orden del [[número racional|polo]] de ''{{math|R}}'' en ''{{math|a}}''.

=== Opuesto al grado de un polinomio ===
Sea ''{{math|K}}'' un campo conmutativo y {{math|''K''[''X'']}} el anillo de polinomios con coeficientes en ''{{math|K}}''. Se define la aplicación

: <math>\begin{array}{rrcl} v_\infty: & K[X] & \longrightarrow & \Z \cup \{\infty\} \\ & P & \longmapsto & -\text{grado } P\end{array}</math>

que a un polinomio ''{{math|P}}'' asocia el opuesto de su [[Grado (matemática)|grado]], con la convención de que el grado del polinomio cero es (-<sub><span style="font-size: 200%;">&infin;</span></sub>).

=== Orden de una serie de Laurent ===
En el cuerpo ''k''((''T'')) de [[Serie formal de potencias|series formales de Laurent]] en un campo conmutativo ''k'', se tiene una valoración asociando cualquier [[serie de Laurent]] con su orden.

=== Orden de una función meromórfica ===
Si ''U'' es un [[conjunto abierto]] [[Conjunto conexo|conexo]] no vacío del cuerpo de los [[números complejos]]; y si ''A'' es un punto de ''U'', se tiene  una valoración en el cuerpo de [[Función meromorfa|funciones meromorfas]] en ''U'' por asociar a cualquier función meromorfa su orden en el punto ''A''.

=== Valoración ''p''-ádica ===
{{AP|Número p-ádico}}

Dado el [[número primo]] ''{{math|p}}'', se define la aplicación
: <math>
\begin{array}{rrcl} 
v_p: & \Z & \longrightarrow & \N \cup \{\infty\} \\ 
& n & \longmapsto & 
\begin{cases}
\infty & \mbox{ si } n=0\\
\max \{ k \in \N\ |\  p^k \mbox{ divisor }n\}& \mbox{ si } n \neq 0
\end{cases}
\end{array}
</math>
que a un entero ''{{math|n}}'' le asocia el [[Exponenciación|exponente]] de ''{{math|p}}'' en la descomposición de ''{{math|n}}'' en factores primos, con la convención de que {{math|''v<sub>p</sub>''(0) {{=}} ∞}}. La aplicación {{math|''v<sub>p</sub>''}} se denomina valoración [[Número p-ádico|{{math|''p''}}-ádica]] en ℤ y se extiende sobre el campo de fracciones Es falso

== Anillo de clasificación ==

Sea ''K'' un cuerpo conmutativo dotado de una valoración ''v''. Los elementos de ''K'' de valoración positiva o cero constituyen un subanillo ''R'' llamado el ''anillo de valoración'' asociado con la valoración ''v'' sobre ''K'':
<center><math>R=\{x\in K\ |\ v(x) \geqslant 0\}</math>.</center>
El [[cuerpo de fracciones]] de ''R'' es ''K''.

Se tiene que ''v''(1/''x'') = -''v''(''x'') para cualquier elemento distinto de cero ''x'' de ''K'', y por lo tanto ''x'' es un elemento invertible de ''R'' si y solo si ''v''(''x'') = 0.
En consecuencia, ''R'' es un [[anillo local]] cuyo único [[ideal máximo]] ''M'' consiste en los elementos de valoración estrictamente positiva:
<center><math>M=\{x\in K\ |\ v(x)>0\}</math>.</center>

Por ejemplo (para las valoraciones habituales en estos cuerpos) el anillo de valoración de ℚ<sub>{{math|''p''}}</sub> es ℤ<sub>{{math|''p''}}</sub> y el de ''k''((''T'')) (donde ''k'' denota un campo conmutativo) es ''k''<nowiki>[[</nowiki>''T''<nowiki>]]</nowiki>. Estos dos ejemplos también son [[anillo de valoración discreta|anillos de valoración discreta]].

Hay varias caracterizaciones de los anillos de valoración:<ref>{{cita libro|autor=[[Nicolas Bourbaki]]|título=[[Elementos de matemática|Algèbre commutative]]|página=VI.1.2}}.</ref>
{{definición|'''Enunciado''': Sea ''R'' un [[dominio de integridad]] y ''K'' un [[cuerpo de fracciones]]. Las siguientes condiciones son equivalentes:
# ''R'' es un anillo de valoración (para una determinada valoración en ''K'');
# para cualquier elemento ''x'' de ''K'' que no pertenezca a ''R'', la inversa de ''x'' pertenece a ''R'';
# en el conjunto de ideales principales de ''R'', el orden definido por inclusión es [[Orden total|total]];
# en el conjunto de ideales de ''R'', el orden definido por la inclusión es total.
}}

Dos valoraciones ''v'' y ''v{{'}}'' sobre ''K'' son equivalentes si y solo si tienen el mismo anillo de valoración.<ref>{{Harvsp|Bourbaki AC|p=VI.3.2}}</ref>

Para cualquier campo ''k'' y cualquier grupo abeliano completamente ordenado ''G'', existe un campo valorado (''K, v'') cuyo grupo de valoración es ''G'' y cuyo [[Anillo local|cuerpo residual]] ''R/M'' es ''k''.<ref>{{Harvsp|Bourbaki AC|p=VI.3.4}}</ref>

== Véase también ==
* [[FRACTRAN]]

== Referencias ==
{{listaref}}

== Enlaces externos ==
{{Portal|Matemáticas}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de números algebraicos]]