Valoración (matemáticas)

En matemáticas, más particularmente en geometría algebraica y en teoría de números, una valoración, o valoración de Krull, es una medida de multiplicidad. La noción es una generalización de la noción de grado u orden de cancelación de un anillo de polinomios en álgebra, del grado de divisibilidad por un número primo en teoría de números, del orden de un polo en análisis complejo o del número de puntos de contacto entre dos variedades algebraicas en geometría algebraica.

Definición

Se denomina valoración a una aplicación de un anillo conmutativo unitario $(A,+,\times )$ distinto de cero a un grupo abeliano totalmente ordenado $(G,+,<)$ y su unión con el infinito

$v:A⟶G\cup \{\mathrm{\infty }\}$

que verifica las siguientes propiedades:

• $\mathrm{\forall }x\in A,v(x)=\mathrm{\infty }⟺x=0$;
• $\mathrm{\forall }x,y\in A,v(xy)=v(x)+v(y)$;
• $v(x+y)⩾\min (v(x),v(y))$, propiedad que está conectada a la desigualdad triangular en espacios métricos.

Notas:

1. Se utilizan las convenciones clásicas $a<\mathrm{\infty }$ y $a+\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$ para todos los $a\in G$.
2. Algunos autores se limitan a realizar evaluaciones en un cuerpo.
3. Si A es un cuerpo o no, v es un morfismo de monoides de (A *, ×) en (G, +).
4. Cuando A es un cuerpo, v es, por lo tanto, un homomorfismo de grupos de (A*, ×) en (G, +), de modo que v(A*) es un subgrupo de G.
5. Cuando A es un cuerpo, a veces se exige que v sea sobreyectiva, pero siempre se puede volver a esta situación reemplazando G por v(AT*).

Se dice que dos valoraciones Plantilla:Math y Plantilla:Math en A son equivalentes si hay un isomorfismo de semigrupos ordenados

$\lambda :v(A^{*})\to v^{\prime }(A^{*})\text{tal que}{v}^{\prime }=\lambda \circ v.$

Valoraciones discretas

Cuando el grupo G es ℤ, Plantilla:Math se denomina valoración de Dedekind o valoración discreta. Dos valoraciones discretas Plantilla:Math y Plantilla:Math sobre Plantilla:Math son equivalentes si y solamente si son proporcionales, es decir, si existe un número racional Plantilla:Math no nulo tal que

$\mathrm{\forall }x\in A^{*},v^{\prime }(x)=kv(x).$

Las clases de equivalencia de valoraciones discretas en un anillo se denominan sus lugares.

Valoración trivial

La valoración

$\begin{array}{cccc}v:& A& ⟶& G\cup \{\mathrm{\infty }\}\\ & x& ⟼& \{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty }& \mathrm{s}\mathrm{i}x=0\\ 0& \mathrm{s}\mathrm{i}x\ne 0\end{array}\end{array}$

se llama valoración trivial.

Propiedades

Propiedades generales

Sea Plantilla:Math un anillo conmutativo unitario distinto de cero provisto de una valoración Plantilla:Math. Entonces:

• $v(1)=v(-1)=0$;
• $\mathrm{\forall }x,y\in A,v(x-y)⩾\min (v(x),v(y))$;
• $\mathrm{\forall }x,y\in A,v(x)\ne v(y)\Rightarrow v(x+y)=\min (v(x),v(y))$;
• Plantilla:Math es un dominio de integridad;
• existe una única valoración Plantilla:Math en un cuerpo de fracciones Plantilla:Math que amplía Plantilla:Math:

$\mathrm{\forall }p/q\in \mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}(A),w(p/q)=v(p)-v(q)$.

Valoraciones discretas sobre el cuerpo de los racionales

Los lugares de ℚ, es decir, las valoraciones discretas de ℚ (sin considerar un factor de proporcionalidad), son los de:

• valoración trivial;
• las valoraciones p-ádicas.

Valor absoluto asociado

Sea Plantilla:Math una valoración de Plantilla:Math con valores reales, y Plantilla:Math ∈ ]0, 1[. Se asocia con Plantilla:Math un valor absoluto ultramétrico (la noción de valor absoluto generalmente se define en un campo, pero perfectamente definible en cualquier anillo, y siempre induce una distancia en su conjunto subyacente; véase más adelante) expresado como | ∙ |_{Plantilla:Math}; y tal que

$\mathrm{\forall }x\in A^{*},|x{|}_v={\rho }^{v(x)}$.

La distancia asociada a este valor absoluto ($d(x,y)=|x-y{|}_v$) hace que Plantilla:Math sea un anillo topológico que incluye la topología derivada de un espacio ultramétrico.

Si Plantilla:Math es un cuerpo, entonces $(A,|\cdot {|}_v)$ es un cuerpo valorado, por lo que su anillo completado (para $d$) es un cuerpo valorado completo. Por la prolongación de las desigualdades, el valor absoluto de este anillo completado sigue siendo ultramétrico. Por ejemplo, los cuerpos ℚ_{Plantilla:Math} y k((T)) pueden obtenerse mediante esta construcción.

Ejemplos

Las siguientes aplicaciones son valoraciones:

Orden de cancelación de un polinomio

Plantilla:AP Sea Plantilla:Math un campo conmutativo, Plantilla:Math el anillo de los polinomios con coeficientes en Plantilla:Math y Plantilla:Math un elemento de Plantilla:Math. Se define la aplicación «orden de cancelación en Plantilla:Math»:

$\begin{array}{cccc}{v}_a:& K[X]& ⟶& \mathbb{Z}\cup \{\mathrm{\infty }\}\\ & P& ⟼& \sup \{k\in \mathbb{N}|\mathrm{\exists }R\in K[X],P(X)=(X-a{)}^{k}R(X)\}\end{array}$

que con un polinomio distinto de cero Plantilla:Math asocia el orden de multiplicidad de la raíz Plantilla:Math en Plantilla:Math (orden que es igual a 0 si Plantilla:Math no es raíz, y el infinito si Plantilla:Math es cero).

Si Plantilla:Math es distinto de cero, Plantilla:Math es igual al grado del menor monomio distinto de cero de Plantilla:Math.

Nota: Si Plantilla:Math pertenece a una extensión L de K (por ejemplo, en el cierre algebraico de K), la valoración Plantilla:Math en L[X] está restringida a una valoración sobre K[X].

Orden de cancelación de una fracción racional

Sea Plantilla:Math un campo conmutativo, Plantilla:Math el campo de las fracciones racionales con coeficientes en Plantilla:Math y Plantilla:Math un elemento de Plantilla:Math. Se define la aplicación

$\begin{array}{cccc}{v}_a:& K(X)& ⟶& \mathbb{Z}\cup \{\mathrm{\infty }\}\\ & P/Q& ⟼& v(P)-v(Q)\end{array}$

que asocia a una fracción racional la diferencia de las órdenes de cancelación del numerador y del denominador en Plantilla:Math. Si Plantilla:Math es positivo, es el orden de cancelación de Plantilla:Math sobre Plantilla:Math, si Plantilla:Math es estrictamente negativo, es el orden del polo de Plantilla:Math en Plantilla:Math.

Opuesto al grado de un polinomio

Sea Plantilla:Math un campo conmutativo y Plantilla:Math el anillo de polinomios con coeficientes en Plantilla:Math. Se define la aplicación

$\begin{array}{cccc}{v}_{\mathrm{\infty }}:& K[X]& ⟶& \mathbb{Z}\cup \{\mathrm{\infty }\}\\ & P& ⟼& -\text{grado }P\end{array}$

que a un polinomio Plantilla:Math asocia el opuesto de su grado, con la convención de que el grado del polinomio cero es (-_∞).

Orden de una serie de Laurent

En el cuerpo k((T)) de series formales de Laurent en un campo conmutativo k, se tiene una valoración asociando cualquier serie de Laurent con su orden.

Orden de una función meromórfica

Si U es un conjunto abierto conexo no vacío del cuerpo de los números complejos; y si A es un punto de U, se tiene una valoración en el cuerpo de funciones meromorfas en U por asociar a cualquier función meromorfa su orden en el punto A.

Valoración p-ádica

Dado el número primo Plantilla:Math, se define la aplicación

$\begin{array}{cccc}{v}_p:& \mathbb{Z}& ⟶& \mathbb{N}\cup \{\mathrm{\infty }\}\\ & n& ⟼& \{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty }& \text{ si }n=0\\ \max \{k\in \mathbb{N}|p^k\text{ divisor }n\}& \text{ si }n\ne 0\end{array}\end{array}$

que a un entero Plantilla:Math le asocia el exponente de Plantilla:Math en la descomposición de Plantilla:Math en factores primos, con la convención de que Plantilla:Math. La aplicación Plantilla:Math se denomina valoración [[Número p-ádico|Plantilla:Math-ádica]] en ℤ y se extiende sobre el campo de fracciones Es falso

Anillo de clasificación

Sea K un cuerpo conmutativo dotado de una valoración v. Los elementos de K de valoración positiva o cero constituyen un subanillo R llamado el anillo de valoración asociado con la valoración v sobre K:

$R=\{x\in K|v(x)⩾0\}$.

El cuerpo de fracciones de R es K.

Se tiene que v(1/x) = -v(x) para cualquier elemento distinto de cero x de K, y por lo tanto x es un elemento invertible de R si y solo si v(x) = 0. En consecuencia, R es un anillo local cuyo único ideal máximo M consiste en los elementos de valoración estrictamente positiva:

$M=\{x\in K|v(x)>0\}$.

Por ejemplo (para las valoraciones habituales en estos cuerpos) el anillo de valoración de ℚ_{Plantilla:Math} es ℤ_{Plantilla:Math} y el de k((T)) (donde k denota un campo conmutativo) es k[[T]]. Estos dos ejemplos también son anillos de valoración discreta.

Hay varias caracterizaciones de los anillos de valoración: Plantilla:Definición

Dos valoraciones v y vPlantilla:' sobre K son equivalentes si y solo si tienen el mismo anillo de valoración.

Para cualquier campo k y cualquier grupo abeliano completamente ordenado G, existe un campo valorado (K, v) cuyo grupo de valoración es G y cuyo cuerpo residual R/M es k.

Véase también

• FRACTRAN