Operación interna

Árbol de clasificación

Una operación matemática, se dice que es una operación interna, en un conjunto A si para todos los valores de la operación el resultado pertenece a A.

En el caso de un conjunto $A$ y una operación binaria $⊚$ definida sobre él $(A,⊚)$, tendremos que para dos elementos cualesquiera del conjunto A operados bajo $⊚$, el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:

$\begin{array}{cccc}⊚:& A\times A& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& c=a⊚b\end{array}$

El resultado siempre pertenece al mismo conjunto:

$\mathrm{\forall }a,b\in A:a⊚b\in A$

Ejemplo

Sea el conjunto de los números naturales: N y la operación suma: +, $(\mathbb{N},+)$ podemos ver:

$\begin{array}{cccc}+:& \mathbb{N}\times \mathbb{N}& ⟶& \mathbb{N}\\ & (a,b)& ⟼& c=a+b\end{array}$

Se cumple:

$\mathrm{\forall }x,y\in \mathbb{N}:x+y\in \mathbb{N}$.

Para todo valor x e y que pertenecen a los números naturales, la suma x + y pertenece a los números naturales.

Por lo tanto $(\mathbb{N},+)$ es una operación interna.

Si vemos el mismo conjunto de los números naturales y la operación resta: -, $(\mathbb{N},-)$ tenemos que:

$\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }x,y\in N:x-y\in N$.

No para todos los valores x e y que pertenecen a N, x - y pertenece a N, o lo que es lo mismo:

$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N},\mathrm{\exists }y\in \mathbb{N}:x-y\notin \mathbb{N}$.

Para todo valor x de N, existen valores y de N tal que x - y no pertenece a N, eso se da en todos los casos en los que y es mayor que x, por ejemplo, 3 - 5 no pertenece a N.

La operación resta de los números naturales no es una operación interna.

Véase también

• Conjunto
• Operación matemática
• Operación binaria

• Ley de composición
• Propiedades de las operaciones binarias
• Estructura algebraica

Bibliografía

1. Plantilla:Cita libro
2. Plantilla:Cita libro

Enlaces externos

Estructuras algebraicas básicas. Universidade da Coruña