Conjunto

Los diversos polígonos en la imagen constituyen un conjunto. Algunos de los elementos del conjunto, además de ser polígonos son regulares. La colección de estos últimos —los polígonos regulares en la imagen— es otro conjunto, en particular, un subconjunto del primero.

En matemáticas, un conjunto se define como la agrupación de elementos que comparten una propiedad en común y conforman un todo.

Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

Plantilla:Math

Un conjunto suele definirse mediante la propiedad que poseen todos sus elementos. El conjunto de los números primos, dentro de los naturales, se define por la propiedad de ser números con solo dos divisores naturales.(véase Número Primo)

Plantilla:Math

Formalmente, un conjunto es el tipo de objeto matemático del que tratan los axiomas de Zermelo-Fraenkel.

Historia de conjuntos

Georg Cantor (m. 1918), matemático alemán

El concepto de conjunto como objeto abstracto no comenzó a emplearse en matemáticas hasta el Plantilla:Siglo, a medida que se despejaban las dudas sobre la noción de infinito. Los trabajos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann ya contenían ideas relacionadas con una visión conjuntista de la matemática. Las contribuciones de Richard Dedekind al álgebra estaban formuladas en términos claramente conjuntistas, que aún prevalecen en la matemática moderna: relaciones de equivalencia, particiones, homomorfismos, etc., y él mismo explicitó las hipótesis y operaciones relativas a conjuntos que necesitó en su trabajo.

La teoría de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmente a Georg Cantor. Comenzando con sus investigaciones sobre conjuntos numéricos, desarrolló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades. La influencia de Dedekind y Cantor empezó a ser determinante a finales del Plantilla:Siglo, en el proceso de «axiomatización» de la matemática, en el que todos los objetos matemáticos, como los números, las funciones y las diversas estructuras, fueron construidos con base en los conjuntos.

Definición

Un conjunto es una colección bien definida de objetos,dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, etc. Algunos ejemplos son:

Plantilla:Math es el conjunto de los números naturales menores que 5.

Plantilla:Math es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.

Plantilla:Math es el conjunto de las vocales a, e, i, o y u.

Plantilla:Math es el conjunto de los palos de la baraja francesa.

Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo Plantilla:Unicode: la expresión Plantilla:Math se lee entonces como «Plantilla:Math está en Plantilla:Math», «Plantilla:Math pertenece a Plantilla:Math», «Plantilla:Math contiene a Plantilla:Math», etc. Para la noción contraria se usa el símbolo Plantilla:Unicode. Por ejemplo:

Plantilla:Math , Plantilla:Math

Plantilla:Math, Plantilla:Math

Notación

Relación de pertenencia. El conjunto Plantilla:Math es un conjunto de polígonos. En la imagen, algunas de las figuras pertenecen a dicho conjunto, pero otras no.

Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math se usa una definición intensiva o por comprensión, donde se especifica una propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math se usa una definición extensiva, listando todos sus elementos explícitamente.

Es habitual usar llaves para escribir los elementos de un conjunto, de modo que:

Plantilla:Math

Plantilla:Math

Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican de forma intensiva mediante una propiedad:

Plantilla:Math

Plantilla:Math

Otra notación habitual para denotar por comprensión es:

Plantilla:Math

Plantilla:Math

Plantilla:Math,

En estas expresiones los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto Plantilla:Math es el conjunto de «los números de la forma Plantilla:Math tal que Plantilla:Math es un número entero entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros cuadrados de números naturales. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical («|») u oblicua «/» .

Igualdad de conjuntos

Conjunto de personas. El conjunto de «personas» mostrado en la imagen, Plantilla:Math, tiene 8 miembros. Este conjunto puede representarse mediante llaves o mediante un diagrama de Venn. El orden de las personas en Plantilla:Math es irrelevante.

Un conjunto está totalmente determinado por sus elementos. Por ello, la igualdad de conjuntos se establece como: Plantilla:Definición Esta propiedad tiene varias consecuencias. Un mismo conjunto puede especificarse de muchas maneras distintas, en particular extensivas o intensivas. Por ejemplo, el conjunto Plantilla:Math de los números naturales menores que 5 es el mismo conjunto que Plantilla:Math, el conjunto de los números 1, 2, 3 y 4. También:

Plantilla:Math

Plantilla:Math

Plantilla:Math

El orden en el que se precisan los elementos tampoco se tiene en cuenta para comparar dos conjuntos:

Plantilla:Math

Plantilla:Math

Además, un conjunto no puede tener elementos «repetidos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento de dicho conjunto o no serlo. Se da entonces que, por ejemplo:

Plantilla:Math

En ausencia de alguna característica adicional que distinga los «1» repetidos, lo único que puede decirse del conjunto de la derecha es que «1» es uno de sus elementos.

Conjunto vacío

Plantilla:AP El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el conjunto vacío y se denota por $\mathrm{\varnothing }$ o simplemente {}. Algunas teorías axiomáticas de conjuntos aseguran que el conjunto vacío existe incluyendo un axioma del conjunto vacío. En otras teorías, su existencia puede deducirse. Muchas posibles propiedades de conjuntos son trivialmente válidas para el conjunto vacío.

Propiedades

En la teoría de conjuntos axiomática estándar, por el Axioma de extensionalidad, dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos; por lo tanto solo puede haber un conjunto sin ningún elemento. Por consiguiente, solo hay un único conjunto vacío, y hablamos de "el conjunto vacío" en lugar de "un conjunto vacío".

Para cualquier conjunto A:

(Ver operaciones con conjuntos)

• El conjunto vacío es un subconjunto de A:

  $\mathrm{\forall }A:\mathrm{\varnothing }\subseteq A$

• La unión de A con el conjunto vacío es A:

  $\mathrm{\forall }A:A\cup \mathrm{\varnothing }=A$

• La intersección de A con el conjunto vacío es el conjunto vacío:

  $\mathrm{\forall }A:A\cap \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }$

• El producto cartesiano de A y el conjunto vacío es el conjunto vacío:

  $\mathrm{\forall }A:A\times \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }$

El conjunto vacío tiene las siguientes propiedades:

• Su único subconjunto es el propio conjunto vacío:

  $\mathrm{\forall }A:A\subseteq \mathrm{\varnothing }\Rightarrow A=\mathrm{\varnothing }$

• El conjunto potencia del conjunto vacío es el conjunto que contiene únicamente el conjunto vacío:

  $2^{\mathrm{\varnothing }}=\{\mathrm{\varnothing }\}$

• Su número de elementos (cardinalidad) es cero:

  $\mathrm{n}(\mathrm{\varnothing })=0$

(La lista de símbolos matemáticos empleados se encuentra aquí).

Subconjuntos

Subconjunto. Plantilla:Math es un subconjunto de Plantilla:Math (en particular un subconjunto propio).

Un subconjunto Plantilla:Math de un conjunto Plantilla:Math, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de Plantilla:Math (o quizá todos): Plantilla:Definición Cuando Plantilla:Math es un subconjunto de Plantilla:Math, se denota como Plantilla:Math y se dice que «Plantilla:Math está contenido en Plantilla:Math». También puede escribirse Plantilla:Math, y decirse que Plantilla:Math es un superconjunto de Plantilla:Math y también «Plantilla:Math contiene a Plantilla:Math» o «Plantilla:Math incluye a Plantilla:Math».

Todo conjunto Plantilla:Math es un subconjunto de sí mismo, ya que siempre se cumple que «cada elemento de Plantilla:Math es a su vez un elemento de Plantilla:Math». Es habitual establecer una distinción más fina mediante el concepto de subconjunto propio: Plantilla:Math es un subconjunto propio de Plantilla:Math si es un subconjunto de Plantilla:Math pero no es igual a Plantilla:Math. Se denota como Plantilla:Math, es decir: Plantilla:Math pero Plantilla:Math (y equivalentemente, para un superconjunto propio, Plantilla:Math).

Ejemplos.

El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».

Plantilla:Math}

Plantilla:Math}

Conjuntos disjuntos

Plantilla:Ap Dos conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo, los conjuntos de los números racionales y los números irracionales son disjuntos: no hay ningún número que sea a la vez racional e irracional. La intersección de dos conjuntos disjuntos es el conjunto vacío.

Cardinalidad

Plantilla:Ap Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito se pueden contar los elementos del conjunto: Plantilla:Definición El cardinal se denota por Plantilla:Math, Plantilla:Math o Plantilla:Math. Así, en los ejemplos anteriores, se tiene que Plantilla:Math (cuatro números), Plantilla:Math (tres colores) y Plantilla:Math (diez cuadrados). El único conjunto cuyo cardinal es 0 es el conjunto vacío Plantilla:Math.

Existen, a su vez, determinadas propiedades de cardinalidad. Si tomamos como ejemplo dos conjuntos, A y B:

1. $n(\mathrm{\varnothing })=0$
2. $A=B\Rightarrow n(A)=n(B)$
3. $A\subseteq B\Rightarrow n(A)\le n(B)$
4. $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$
5. $n(U)=n(A)+n(A^c)$
6. $n(A-B)=n(A)-n(A\cap B)$

Y en el caso de tres conjuntos, A, B y C:

1. $n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)$
2. $n(A-(B\cup C))=n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)$
3. $n((A\cap B)-C)=n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C)$
4. $n((A\cup B)-C)=n(A\cup B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)$

En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso por ejemplo de los números naturales: Plantilla:Math. Sin embargo, existe una manera de comparar conjuntos infinitos entre sí, y se obtiene que existen conjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «número de elementos» de un conjunto infinito es un número transfinito.

Cardinalidad de los reales

Plantilla:Ap Uno de los resultados más importantes de Georg Cantor fue que la cardinalidad de los reales ($𝔠$) es más grande que la de los números naturales (${\mathrm{\aleph }}_0$). Esto es, que hay más números reales R que números enteros N. Concretamente, Cantor mostró que $𝔠=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}>{\mathrm{\aleph }}_0$.

La hipótesis del continuo afirma que no existen conjuntos con cardinalidades intermedias entre los naturales y los reales:

• No existe ningún conjunto Plantilla:Math tal que su cardinal Plantilla:Math cumpla:

${\mathrm{\aleph }}_0<|A|<2^{{\mathrm{\aleph }}_0}.$

Si se asume el axioma de elección, la estructura de los cardinales infinitos es más clara: todos los cardinales infinitos son álefs y están bien ordenados, por lo que existe solo un cardinal inmediatamente superior a Plantilla:Math, denotado por Plantilla:Math. La hipótesis es equivalente entonces a:

• El cardinal del conjunto de los números reales es el inmediatamente superior al cardinal de los números naturales:

$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\mathrm{\aleph }}_1.$

Operaciones con conjuntos

Plantilla:Imagen múltiple Plantilla:AP Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse, partiendo de ciertos conjuntos dados, para obtener nuevos conjuntos:

• Unión: (símbolo Plantilla:Math) La unión de dos conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math, que se representa como Plantilla:Math, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math.
• $A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}$
• Intersección: (símbolo Plantilla:Math) La intersección de dos conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math es el conjunto Plantilla:Math de los elementos comunes a A y B.
• $A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}$
• Diferencia: (símbolo \) La diferencia del conjunto Plantilla:Math con Plantilla:Math es el conjunto Plantilla:Math que resulta de eliminar de Plantilla:Math cualquier elemento que esté en Plantilla:Math.
• $A\setminus B=\{x\mid x\in A\wedge x\notin B\}$
• Complemento: El complemento de un conjunto Plantilla:Math es el conjunto Plantilla:Math que contiene todos los elementos que no pertenecen a Plantilla:Math, respecto a un [[Conjunto universal|conjunto Plantilla:Math]] que lo contiene.
• $A^c=\{x\in U\mid x\in ̸A\}$
• Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math es el conjunto Plantilla:Math con todos los elementos que pertenecen, o bien a Plantilla:Math, o bien a Plantilla:Math, pero no a ambos a la vez.
• $A△B=\{x\mid x\in A\setminus B\vee x\in B\setminus A\}$
• Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math es el conjunto Plantilla:Math de todos los pares ordenados Plantilla:Math formados con un primer elemento Plantilla:Math perteneciente a Plantilla:Math, y un segundo elemento Plantilla:Math perteneciente a Plantilla:Math.

Ejemplos

• Plantilla:Math
• Plantilla:Math
• Plantilla:Math
• Plantilla:Math
• Plantilla:Math

Referencias

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro Suplemento del capítulo II.
• Plantilla:Obra citada.
• Plantilla:Cita web
• Plantilla:Cita libro
• Nachbin, Leopoldo : Álgebra elemental (1986) Rochester, Nueva York; editora: Eva V. Chesnau. Edición de la OEA, traducida al español por César E. Silva.

Bibliografía adicional

• Halmos, Paul R. : Teoría intuitiva de conjuntos (1965) Compañía editorial Continental S.A. México 22, D.F. primera edición en español.

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld