Matriz de Gram

En álgebra lineal, la matriz de Gram de un conjunto de vectores $v_1,\dots ,v_n$ en un espacio prehilbertiano, es la matriz que define el producto escalar, cuyas entradas vienen dadas por $G_{ij}=⟨v_i,v_j⟩$. Debe su nombre al matemático danés Jørgen Pedersen Gram.

Propiedades

Una matriz de Gram, G, es una matriz cuadrada que cumple las siguientes propiedades:

• Es hermítica o hermitiana, según lo que postula Charles Hermite

$g_{ij}=g_{ji}^{*}$

En caso de que los vectores sean reales, la matriz de Gram es simétrica.

$g_{ij}=g_{ji}$

• Es una matriz semidefinida positiva, y todas las matrices semidefinidas positivas son la matriz de Gram de algún conjunto de vectores. Dicho conjunto de vectores generalmente no es único: la matriz de Gram de cualquier base ortonormal es una matriz identidad. La analogía de dimensión infinita de este teorema es el Teorema de Mercer.
• Los determinantes de los menores principales son todos positivos. Es decir:

$|G_i|>0i=1,\dots ,n;\text{ siendo }{G}_i=\left(\begin{array}{ccc}{g}_{11}& \cdots & g_{1i}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ g_{i1}& \cdots & g_{ii}\end{array}\right)$

Aplicaciones

Una de las aplicaciones más importantes de dicha matriz es la comprobación de la independencia lineal: un conjunto de vectores será linealmente independiente si y sólo si el determinante de Gram no es nulo.

Determinante de Gram

El determinante de Gram o gramiano $G(x_1,\dots ,x_n)$ de n-vectores es el determinante de la matriz formada por los n² productos escalares formados con esos vectores: Plantilla:Ecuación Numéricamente, el determinante de Gram coincide con el volumen al cuadrado del paralelepípedo formado por los vectores. En particular, los vectores son linealmente independientes si y sólo si el determinante de Gram no es nulo (es decir, si la matriz de Gram es invertible).

Ejemplos

Normalmente, los vectores son elementos de un espacio euclídeo, o funciones de un espacio $L^2$, tales como funciones continuas en un intervalo cerrado $[a,b]$ (que es un subespacio de $L^2([a,b])$).

Dada una función de variable real $\{l_i(\cdot ),i=1,\dots ,n\}$ definida en el intervalo $[t_0,t_f]$, la matriz de Gram $G=[G_{ij}]$, se define como el producto escalar estándar de funciones: $G_{ij}=\underset{t_0}{\overset{t_f}{\int }}{l}_i(\tau )l_j(\tau )d\tau$.

Dada una matriz A, la matriz $A^{\mathrm{T}}A$ es la matriz de Gram de las columnas de A, mientras que la matriz $A{A}^{\mathrm{T}}$ es la matriz de Gram de las filas de A.

Para una forma bilineal B definida en un espacio vectorial de dimensión finita, se define la matriz de Gram G asociada a un conjunto de vectores $v_1,\dots ,v_n$, como $G_{i,j}=B(v_i,v_j)$. Dicha matriz sería simétrica si la forma bilineal B lo fuera.

Enlaces externos

• Plantilla:Cita publicación