Espacio prehilbertiano

Plantilla:Espacio matemático En matemáticas, un espacio prehilbertiano o espacio prehilbert es un espacio vectorial provisto de un producto escalar. Más concretamente, es un par $(V,⟨\cdot |\cdot ⟩)$, donde $V$ es un espacio vectorial sobre un cuerpo $𝕂$ y $⟨\cdot |\cdot ⟩$ es un producto escalar en $V$.

El espacio prehilbertiano es un tipo de espacio métrico con la métrica inducida por la norma que como veremos puede definirse a partir del producto escalar.

Un espacio prehilbertiano que además sea un espacio completo, se dirá que es un espacio de Hilbert o hilbertiano. Si es de dimensión finita se dirá que es espacio euclídeo.

Una condición necesaria para que un espacio prehilbertiano sea un espacio de Hilbert es que el cuerpo base $𝕂$ sea $ℝ$ o $ℂ$, así ningún espacio prehilbertiano sobre $\mathbb{Q}$ puede ser un espacio de Hilbert.

Definiciones

Formalmente, un espacio prehilbertiano es un espacio vectorial V sobre un cuerpo K (Puede ser $ℝ$ o $ℂ$), el cual posee una operación definida con la siguiente función:

$⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to 𝐊$

llamada producto escalar, que satisface ciertos axiomas:

• Hermítica.

$\mathrm{\forall }x,y\in V,⟨x,y⟩=\overline{⟨y,x⟩}.$

Nótese que si $K=ℝ$, la propiedad de hermítica es la simetría ordinaria:

$⟨x,y⟩=⟨y,x⟩.$

Esta condición implica que $⟨x,x⟩\in ℝ$ para todo $x\in V$, porque $⟨x,x⟩=\overline{⟨x,x⟩}$.

• Sesquilineal:

$\mathrm{\forall }a\in K,\mathrm{\forall }x,y\in V,⟨ax,y⟩=a⟨x,y⟩.$

$\mathrm{\forall }x,y,z\in V,⟨x+y,z⟩=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩.$

Combinando esta propiedad con la de ser hermítica:

$\mathrm{\forall }b\in K,\mathrm{\forall }x,y\in V,⟨x,by⟩=\bar{b}⟨x,y⟩.$

$\mathrm{\forall }x,y,z\in V,⟨x,y+z⟩=⟨x,y⟩+⟨x,z⟩.$

En el caso de que el cuerpo sea $ℝ$ esta propiedad implica que el producto escalar es bilineal.

• Definida positiva:

$\mathrm{\forall }x\in V,⟨x,x⟩\ge 0.$ (Tiene sentido, ya que $⟨x,x⟩\in ℝ$ para todo $x\in V$.)

Además, el único vector que al hacer el producto escalar con él mismo es cero, es el vector nulo, es decir:

$⟨x,x⟩=0\iff x=0.$

Normas en espacios prehilbertianos

En los espacios con producto escalar se define una norma

$\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}.$

La norma está bien definida, por ser siempre el producto escalar de un vector por sí mismo un número real mayor o igual que cero. En espacios euclídeos define la "longitud" del vector x. Además se trata de una norma por cumplir las condiciones:

• $\Vert x\Vert$ es siempre positiva y vale cero si y solamente si x vale cero.

• Homogeneidad: para todo vector x y r un escalar:

$\Vert r\cdot x\Vert =|r|\cdot \Vert x\Vert .$

• Desigualdad triangular: para todo vector x e y

$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert .$

Usando los axiomas ya mencionados podemos demostrar los siguientes teoremas:

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz: para x, y elementos en V

$|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$

la igualdad se cumple si y solo si x e y son linealmente dependientes

Esta es una de la más importantes desigualdades en la matemática. También es conocida en la literatura matemático rusa como la desigualdad Cauchy-Bunyakowski-Schwarz

La prueba de este teorema y sus aplicaciones pueden encontrarse en el artículo sobre la desigualdad de Cauchy-Schwarz

• Ley del paralelogramo:

$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2.$

• Teorema de Pitágoras: Sean x, y vectores ortogonales, entonces

$\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2=\Vert x+y{\Vert }^2.$

Estas últimas dos identidades sólo requieren expresar la definión de la norma en términos del producto interno, hacer las operaciones y usar los axiomas de norma.

Una fácil generalización del teorema pitagórico que puede ser probada por inducción es la siguiente:

• Si x₁, ..., x_n son vectores ortogonales, o sea, <x_j, x_k> = 0 para todo j, k distinto, entonces

$\sum _{i=1}^n\Vert x_i{\Vert }^2={\Vert \sum _{i=1}^n{x}_i\Vert }^2.$

Ejemplos

• Un ejemplo trivial son los números reales con la multiplicación estándar como producto interno.

$⟨x,y⟩:=xy$

• Más generalmente, cualquier espacio Euclidiano ${ℝ}^n$ con el producto escalar es un espacio con producto interno.

$⟨(x_1,\dots ,x_n),(y_1,\dots ,y_n)⟩:=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n$

tenemos la norma:

$\Vert x\Vert =\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}=\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}.$

Véase también

• Espacio de Hilbert

Enlaces externos

• Plantilla:Springer