Imagen inversa

La imagen inversa, antiimagen o contraimagen de una aplicación es la aplicación que a cada subconjunto del conjunto final de la aplicación le hace corresponder el conjunto de elementos del conjunto inicial cuya imagen se encuentra en este conjunto. Es una aplicación que a un conjunto le hace corresponder otro conjunto.

Definición

Sea $f:\text{A}⟶\text{B}$ una aplicación e $\text{Y}\subset \text{B}$. La imagen inversa de $Y$ se define como sigue:

$f^{-1}(Y)=\{x\in A|\mathrm{\exists }y\in Y,f(x)=y\}$

Propiedades

La imagen inversa resulta ser compatible con todas las operaciones con conjuntos:

Unión

$\mathrm{\forall }Y,Z\subset \text{B}{f}^{-1}(\text{Y}\cup \text{Z})=f^{-1}(\text{Y})\cup f^{-1}(\text{Z})$

Intersección

$\mathrm{\forall }Y,Z\subset \text{B}{f}^{-1}(\text{Y}\cap \text{Z})=f^{-1}(\text{Y})\cap f^{-1}(\text{Z})$

Complementario

$\mathrm{\forall }Y\subset \text{B}{f}^{-1}(\text{B}-\text{Y})=\text{A}-f^{-1}(\text{Y})$

Diferencia de conjuntos

$\mathrm{\forall }\text{Y},\text{Z}\subset \text{B}{f}^{-1}(\text{Y}-\text{Z})=f^{-1}(\text{Y})-f^{-1}(\text{Z})$

Aplicaciones

La imagen inversa se usa frecuentemente en topología y teoría de la medida.