Hermann Schwarz

Hermann Schwarz (25 de enero de 1843 - 30 de noviembre de 1921) fue un matemático alemán conocido por su trabajo en análisis complejo. Nació en Hermsdorf, Silesia (ahora Sobieszów, Polonia) y murió en Berlín. Se casó con Marie Kummer y tuvieron seis hijos.

Schwarz inicialmente estudió química en Berlín pero Kummer y Weierstraß lo persuadieron para que se hiciera matemático. Entre 1867 y 1869 trabajó en Halle, después en Zürich. Desde 1875 trabajó en la Universidad de Göttingen, tratando los temas de teoría de funciones, geometría diferencial y cálculo de variaciones.

Su trabajo de “búsqueda de una superficie mínima” lo acabó en la Academia de Berlín en 1867 pero no fue impreso hasta 1871, y reimpreso en su Colección de artículos matemáticos (1890).

En 1892 se convirtió en miembro de la Academia de las ciencias de Berlín y en profesor de la Universidad de Berlín. Algunos de sus estudiantes más importantes fueron Lipót Fejér, Paul Koebe y Ernst Zermelo. Falleció en Berlín con 78 años de edad.

Teorema de Schwarz

En análisis es conocido este teorema para comprobar la derivabilidad de una función de varias variables.

Sea $f:A\subseteq {ℝ}^2⟶ℝ$ una función cuyas derivadas parciales segundas son continuas, entonces se cumple que son simétricas:

• $\frac{d^{2}f}{dxdy}=\frac{d^{2}f}{dydx}$.

De forma más general, se puede extender a una función vectorial $F:A\subseteq {ℝ}^n⟶{ℝ}^m$ donde, para dos derivadas parciales de cualquier variable $x_i,x_j$ con $1\le i,j\le n$, se cumple que

• $\frac{d^{2}F}{d{x}_{i}d{x}_j}=\frac{d^{2}F}{d{x}_{j}d{x}_i}$

Esta simetría que se aplica a la segunda derivada, se extiende a todas las derivadas, en el caso de que las derivadas sucesivas de la función sean continuas. Por ejemplo, en la tercera derivada ocurre que

• $\frac{d^{3}f}{dxdxdy}=\frac{d^{3}f}{dxdydx}=\frac{d^{3}f}{dydxdx}$

Véase también

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz
• Lema de Schwarz
• Teorema de Schwarz
• Transformada de Schwarz-Christoffel

Bibliografía

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