Función de poligamma balanceada

En matemáticas, la función polygamma generalizada es una función introducida por Olivier Espinosa y Victor H. Moll.

Consiste en una generalización de la función polygamma a orden negativo y fraccionario, permaneciendo igual a ésta para órdenes enteros positivos.

Definición

La función polygamma generalizada está definida como sigue:

$\psi (z,q)=\frac{{\zeta }^{\prime }(z+1,q)+(\psi (-z)+\gamma )\zeta (z+1,q)}{\mathrm{\Gamma }(-z)}$

o alternativamente,

$\psi (z,q)=e^{-\gamma z}\frac{\partial }{\partial z}\left(e^{\gamma z}\frac{\zeta (z+1,q)}{\mathrm{\Gamma }(-z)}\right),$

donde ψ(z) es la función polygamma y ζ(z,q), es la función zeta de Hurwitz.

La función está balanceada si satisface las condiciones

$f(0)=f(1)\text{y}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=0$.

Relaciones

Varias funciones especiales pueden ser expresadas en términos de función polygamma generalizada:

$\begin{array}{cc}\psi (x)& =\psi (0,x)\\ [8px]{\psi }^{(n)}(x)& =\psi (n,x)n\in \mathbb{N}\\ [8px]\mathrm{\Gamma }(x)& =\exp (\psi (-1,x)+\frac{1}{2}\ln 2\pi )\\ [8px]\zeta (z,q)& =\frac{\mathrm{\Gamma }(1-z)}{\ln 2}(2^{-z}\psi (z-1,\frac{q+1}{2})+2^{-z}\psi (z-1,\frac{q}{2})-\psi (z-1,q))\\ [8px]{\zeta }^{\prime }(-1,x)& =\psi (-2,x)+\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}+\frac{1}{12}\\ [8px]B_n(q)& =-\frac{\mathrm{\Gamma }(n+1)}{\ln 2}(2^{n-1}\psi (-n,\frac{q+1}{2})+2^{n-1}\psi (-n,\frac{q}{2})-\psi (-n,q))\end{array}$

donde Plantilla:Math son los polinomios de Bernoulli

$K(z)=A\exp (\psi (-2,z)+\frac{z^2-z}{2})$

donde K(z) es la función K y A es la constante de Glaisher.

Valores especiales

La función polygamma generalizada puede ser expresada en forma compacta en ciertos puntos (donde A es la constante de Glaisher y G es la constante de Catalan):

$\begin{array}{cccc}\psi (-2,\frac{1}{4})& =\frac{1}{8}\ln 2\pi +\frac{9}{8}\ln A+\frac{G}{4\pi }& & \\ [8px]\psi (-2,\frac{1}{2})& =\frac{1}{4}\ln \pi +\frac{3}{2}\ln A+\frac{5}{24}\ln 2& \psi (-3,\frac{1}{2})& =\frac{1}{16}\ln 2\pi +\frac{1}{2}\ln A+\frac{7\zeta (3)}{32{\pi }^2}\\ [8px]\psi (-2,1)& =\frac{1}{2}\ln 2\pi & \psi (-3,1)& =\frac{1}{4}\ln 2\pi +\ln A\\ [8px]\psi (-2,2)& =\ln 2\pi -1& \psi (-3,2)& =\ln 2\pi +2\ln A-\frac{3}{4}\end{array}$