Función K

En matemáticas, la función K, típicamente denotada por K(z), es una generalización del hiperfactorial para los números complejos, similar a la generalización del factorial a la función Gamma.

Formalmente, el la función K está definida como

$K(z)=(2\pi {)}^{-\frac{z-1}{2}}\exp [(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{2})+\underset{0}{\overset{z-1}{\int }}\ln \mathrm{\Gamma }(t+1)dt].$

que también puede expresarse en forma compacta como

$K(z)=\exp [{\zeta }^{\prime }(-1,z)-{\zeta }^{\prime }(-1)]$

donde ζ'(z) denota el derivada de la función zeta de Riemann, Plantilla:Math denota el función zeta de Hurwitz y

${\zeta }^{\prime }(a,z)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\frac{\partial \zeta (s,z)}{\partial s}|}_{s=a}.$

Otra expresión para la función poligamma es

$K(z)=\exp [{\psi }^{(-2)}(z)+\frac{z^2-z}{2}-\frac{z}{2}\ln 2\pi ]$

O utilizando la función de poligamma balanceada:

$K(z)=A\exp [\psi (-2,z)+\frac{z^2-z}{2}]$

donde A es la constante de Glaisher.

La función K está estrechamente relacionada con la función Gamma y con la función G de Barnes; para números naturales n, tenemos

La fórmula para la función usa sólo números naturales. Debemos empezar por el número 1 y elevarlo a sí mismo. Luego lo multiplicamos por 2 elevado a sí mismo (osea al cuadrado). Luego lo multiplicamos por 3 elevado al cubo y así sucesivamente. Osea, (1^1)x(2^2)x(3^3) y así continuamente.

Los primeros valores son

1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... ((Plantilla:OEIS )).

Enlaces externos

• Plantilla:Mathworld