Teorema de los ceros de Hilbert

El Nullstellensatz de Hilbert (en alemán: "teorema de los lugares de los ceros de Hilbert") es un teorema en geometría algebraica que relaciona variedades e ideales en anillos de polinomios sobre cuerpos algebraicamente cerrados. Fue probado inicialmente por David Hilbert en su artículo sobre teoría de invariantes publicado en 1893.

Formulación

Sea $k$ un cuerpo algebraicamente cerrado (como el de los números complejos). Considere el anillo de polinomios $k[X_1,X_2,\dots ,X_n]$ y sea $I$ un ideal en este anillo. El conjunto algebraico $V(I)$ definido por este ideal consiste de todas las n-tuplas $𝐱=(x_1,\dots ,x_n)$ en $k^n$ tal que $f(𝐱)=0$ para todo $f$ en $I$. El teorema de los ceros de Hilbert nos dice que si $p$ es un polinomio en $k[X_1,X_2,\dots ,X_n]$ que se anula en la variedad $V(I)$, i.e. $p(𝐱)=0$ para todo $𝐱$ en $V(I)$, entonces existe un número natural $r$ tal que $p^r$ está en $I$.

Un corolario inmediato es el Nullstellensatz débil: El ideal $I$ contiene a $1$ si y solo si los polinomios en $I$ no tienen ceros en común en $k[X_1,X_2,\dots ,X_n]$. Equivalentemente, si $I$ es un ideal propio en $k[X_1,X_2,\dots ,X_n]$ entonces $V(I)$ no puede ser vacío. Esta es la razón para el nombre del teorema; que es fácilmente demostrable a partir de esta forma "débil" usando el truco de Rabinowitsch. La suposición de que $k$ es algebraicamente cerrado es esencial aquí; por ejemplo el ideal propio $(X^2+1)$ en $ℝ[X]$ no tiene un cero común en $ℝ$.

Con la notación común de la geometría algebraica, el Nullstellensatz puede ser también formulado como

I(V(J)) = $\sqrt{J}$ para todo ideal $J$

Aquí, $\sqrt{J}$ denota el radical de $J$ e $I(U)$ denota el ideal de todos los polinomios que se anulan en el conjunto $U$. De este modo, obtenemos una correspondencia biyectiva que revierte el orden entre las variedades afines en $k^n$ y los ideales radicales de $k[X_1,X_2,\dots ,X_n]$ .

Referencias

• Plantilla:Cita libro