Radical de un ideal

En teoría de anillos, una rama de las matemáticas, el radical de un anillo $R$ es el ideal por la izquierda $N$ que es la intersección de todos los ideales por la izquierda maximales de $R$. Hay diferentes tipos de radicales, como el nilradical o el radical de Jacobson, así como una teoría de propiedades generales radicales.

Definición de radical de un ideal

Sea $R$ un anillo conmutativo y sea $I$ un ideal del anillo. El conjunto $\sqrt{I}=\text{rad }I:=\{r\in R|\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N},r^n\in I\}$ se denomina radical del ideal $I$ (o sencillamente radical de $I$).

Si $a\in \text{rad }I$ es que existe un entero $n\ge 0$ tal que $a^n\in I$. Así, si $r\in R$ es $(ar{)}^n=a^n{r}^n\in I$.

Si además $b\in \text{rad }I$ existirá otro entero $m\ge 0$ de manera que $b^m\in I$.

Por el Teorema del binomio:

$(a+b{)}^{n+m}=\sum _{i=0}^{n+m}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{i})a^i{b}^{n+m-i}$

• Si $i<n$ entonces es $n+m-n=m<n+m-i$, luego el exponente de $b$ es mayor o igual que $m$, y así $a^i{b}^{n+m-i}=a^i(b^m)b^{n+m-i-m}\in I$.

• Si $i\ge n$ entonces es $a^i{b}^{n+m-i}=(a^n)a^{i-n}{b}^{n+m-i}\in I$ ya que $a^n\in I$.

En cualquier caso, cada sumando de $(a+b{)}^{n+m}$ está en $I$, que es un ideal de $R$, luego $(a+b{)}^{n+m}\in I$ y será $a+b\in \text{rad }I$.

Así $\text{rad }I$ es un ideal de $R$.

Un ideal $I$ de un anillo conmutativo y unitario $R$ se dice que es ideal radical si coincide con su radical, esto es, si $\text{rad }I=I$. Como es obvio, el radical de un ideal es siempre un ideal radical.

Todo ideal primo es radical: En efecto, Si $P$ es un ideal primo, entonces $R/P$ es un dominio integral, esto es, no tiene divisores de cero, y en particular no puede tener nilpotentes.

Es sencillo comprobar que si tomamos $\pi :R⟶R/I$ la proyección canónica de $R$ sobre $I$, entonces $\text{rad }I={\pi }^{-1}(N(R/I))$ (de hecho mediante esta demostración se demuestra de manera inmediata que $\text{rad }I$ es un ideal de $R$; aquí, $N(R)$ es el nilradical de $R$, definido más abajo). Para ver esto, notar en primer lugar que si $r\in {\pi }^{-1}(N(R/I))$, entonces para algún $n\ge 0$, $\pi (r{)}^n=\pi (r^n)$ es cero en $R/I$, y por tanto $r^n$ está en $I$. Recíprocamente, si $r^n$ está en $I$ para algún $n\ge 0$ será $r^n\in I$, entonces $(\pi (r){)}^n=\pi (r^n)$es cero en $R/I$, y por tanto $\pi (r)$ está en $N(R/I)$.

Mediante el uso de la localización, podemos ver que $\text{rad }I$ es la intersección de todos los ideales primos de $R$ que contienen a $I$: cada ideal primo es radical, así que la intersección de los ideales primos que contienen a $I$ contienen a $\text{rad }I$. Si $r$ es un elemento de $R$ que no está en $\text{rad }I$, entonces sea $S$ el conjunto $\{r^n:n\in \mathbb{Z},n>0\}$. $S$ es multiplicativamente cerrado, así que podremos formar la localización $S^{-1}R$.

El nilradical

Sea $R$ un Anillo conmutativo. Primero mostraremos que los elementos nilpotentes de $R$ forman un ideal $N$. Sean $a$ y $b$ elementos nilpotentes de $R$ con $a^n=0$ y $b^m=0$. Probamos que $a+b$ es nilpotente. Podemos usar el Teorema del binomio para expandir (a+b)^(n+m) :

$(a+b{)}^{n+m}=\sum _{i=0}^{n+m}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{i})a^i{b}^{n+m-i}$

Para cada $i$, se da una y sólo una de las siguientes condiciones:

• $i\ge n$
• $n+m-i\ge m$

Esto dice que en cada expresión $a^i\cdot b^{n+m-i}$, o bien el exponente de $a$ será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si $i<n$ entonces es $n+m-i>n+m-n=m$, luego el exponente de $b$ es mayor o igual que $m$, y así $a^i{b}^{n+m-i}=a^i\cdot (b^m{)}^{n+m-i-m}=a^i{0}^{n-i}=0$), o bien el exponente de $b$ será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si $i\ge n$ entonces es $a^i{b}^{n+m-i}=(a^n{)}^{i-n}{b}^{n+m-i}=0^{i-n}{b}^{n+m-i}=0$). Así tenemos que $a+b$ es nilpotente, y por tanto está en $N$.

Para terminar de comprobar que $N$ es un ideal, cogemos un elemento arbitrario $r\in R$. $(r\cdot a{)}^n=r^n\cdot a^n=r^n\cdot 0=0$, así que $r\cdot a$ es nilpotente, y está por tanto en $N$. Con lo que $N$ es un ideal.

$N$ se denomina entonces nilradical de $R$, o radical nilpotente de $R$, y se denota por $N(R)$. Al anillo $\frac{R}{N(R)}$ se le denomina anillo reducido (asociado a $R$), aunque esta denominación está cayendo en el desuso.

Es inmediato comprobar que $N(R/N(R))=\{0\}$.

Es sencillo demostrar que $N(R)=\text{rad }0$, esto es, que el nilradical de un anillo es precisamente el radical del ideal nulo. Por esto, el nilradical de $R$ es la intersección de todos los ideales primos de $R$.