Ecuación íntegro-diferencial

En matemáticas, una ecuación íntegro-diferencial es una ecuación que involucra integrales y derivadas de una función.

Forma general

Una ecuación íntegro-diferencial de primer orden se puede escribir en la forma

$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}(x)+\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t,u(t))\mathrm{d}t=g(x,u(x)).$

La resolución exacta de tal ecuación a menudo es difícil y a menudo pasa por el uso de transformaciones (Transformada de Laplace, Transformada de Fourier, ...)

Aplicaciones

Las ecuaciones íntegro-diferenciales modelan muchas situaciones de la ciencia y la ingeniería, como en el análisis de circuitos. Según la segunda ley de Kirchhoff, la caída de tensión neta en un circuito cerrado es igual a la tensión suministrada $E(t)$. (Es esencialmente una aplicación de la ley de conservación de la energía). Por lo tanto, un circuito RLC obedece

$L\frac{d}{dt}I(t)+RI(t)+\frac{1}{C}\underset{0}{\overset{t}{\int }}I(\tau )d\tau =E(t),$

donde $I(t)$ es la corriente en función del tiempo, $R$ es la resistencia, $L$ la inductancia, y $C$ la capacitancia.

La actividad de las neuronas inhibidoras y excitadoras que interactúan puede describirse mediante un sistema de ecuaciones íntegro-diferenciales, véase, por ejemplo, el modelo de Wilson-Cowan.

En astrofísica, la ecuación de Schwarzschild-Milne, que describe la dispersión de la luz en atmósferas estelares, es íntegro-diferencial.

En economía, la representación de Lévy-Khintchine de un proceso de Lévy se basa en una ecuación íntegro-diferencial.

Enlaces externos

• Interactive Mathematics
• Numerical solution of the example using Chebfun