Circuito RLC

En electrodinámica, un circuito RLC es un circuito lineal que contiene una resistencia eléctrica, una bobina y un capacitor.

Existen dos tipos de circuitos RLC, en serie o en paralelo, según la interconexión de los tres tipos de componentes. El comportamiento de un circuito RLC se describe generalmente por una ecuación diferencial de segundo orden (en donde los circuitos RC o RL se comportan como circuitos de primer orden).

Con ayuda de un generador de señales, es posible inyectar en el circuito oscilaciones y observar en algunos casos el fenómeno de resonancia, caracterizado por un aumento de la corriente (ya que la señal de entrada elegida corresponde a la pulsación propia del circuito, calculable a partir de la ecuación diferencial que lo rige).

Circuito RLC en serie

Circuito RLC en serie

Circuito sometido a un escalón de tensión

Si un circuito RLC en serie es sometido a un escalón de tensión $E$, la ley de las mallas impone la relación:

$E=u_C+u_L+u_R=u_C+L\frac{di}{dt}+R_{t}i$

Introduciendo la relación característica de un condensador:

$i_C=i=C\frac{d{u}_C}{dt}$

Se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden:

$E=u_C+LC\frac{d^2{u}_C}{d{t}^2}+R_{t}C\frac{d{u}_C}{dt}$

donde:

• E es la fuerza electromotriz de un generador, en Voltios (V);
• u_C es la tensión en los bornes de un condensador, en Voltios (V);
• L es la inductancia de la bobina, en Henrios (H);
• i es la intensidad de corriente eléctrica en el circuito, en Amperios (A);
• q es la carga eléctrica del condensador, en Coulombs (C);
• C es la capacidad eléctrica del condensador, en Faradios (F);
• R_t es la resistencia total del circuito, en Ohmios (Ω); y
• t es el tiempo en segundos (s)

En el caso de un régimen sin pérdidas, esto es para $R_t=0$, se obtiene una solución de la forma:

$u_c=E\cos (\frac{2\pi t}{T_0}+\phi )$

$T_0=2\pi \sqrt{LC}$

donde:

• T₀ el periodo en segundos;
• φ la fase en el origen (lo más habitual es elegirla para que φ = 0).

Lo que resulta:

$f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$

donde $f_0$ es la frecuencia de resonancia, en hercios (Hz).

Circuitos sometidos a una tensión sinusoidal

La transformación compleja aplicada a las diferentes tensiones permite escribir la ley de las mallas bajo la forma siguiente:

$\underset{\_}{U_G}=\underset{\_}{U_R}+\underset{\_}{U_L}+\underset{\_}{U_C},$

siendo $\underset{\_}{U_G}$ la tensión en el generador. Introduciendo las impedancias complejas:

$\underset{\_}{U_G}=R\underset{\_}{I}+j\omega L\underset{\_}{I}-\frac{j}{\omega C}\underset{\_}{I}=[R+j\frac{{\omega }^{2}LC-1}{\omega C}]\underset{\_}{I}$

La frecuencia angular (o pulsación) de resonancia de corriente de este circuito ω₀ es dada por:

${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

Para esta frecuencia la relación de arriba se convierte en:

$\underset{\_}{U_G}=\underset{\_}{U_R}=R\underset{\_}{I}$

y se obtiene: $\underset{\_}{U_L}=-\underset{\_}{U_C}=\frac{j}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\underset{\_}{U_G}$.

Circuito RLC en paralelo

Circuito RLC en paralelo

$i_r=\frac{u}{R}$
$\frac{d{i}_l}{dt}=\frac{u}{L}$
$i_c=\frac{dq}{dt}=C\frac{du}{dt}$

ya que $q=Cu$

$i=i_r+i_l+i_c$

$\frac{di}{dt}=C\frac{d^{2}u}{d{t}^2}+\frac{1}{R}\frac{du}{dt}+\frac{u}{L}$.

Atención: la rama C es un corto-circuito: de esta manera no se pueden unir las ramas A y B directamente a los bornes de un generador E, se les debe adjuntar una resistencia.

Las dos condiciones iniciales son:

• $i_{l0}$ conserva su valor antes de la puesta en tensión (porque la inductancia se opone a la variación de corriente).
• $q_0$ conserva su valor antes de la puesta en tensión $u_0=\frac{q_0}{C}$.

Circuito sometido a una tensión sinusoidal

La transformación compleja aplicada a las diferentes intensidades proporciona:

$\underset{\_}{I}=\underset{\_}{I_r}+\underset{\_}{I_l}+\underset{\_}{I_c}$

Siendo, introduciendo las impedancias complejas:

$\underset{\_}{I}=\frac{1}{R}\underset{\_}{U}+\frac{1}{jL\omega }\underset{\_}{U}+jC\omega \underset{\_}{U}$

siendo : $\underset{\_}{I}=[\frac{1}{R}+j(C\omega -\frac{1}{L\omega })]\underset{\_}{U}$

La frecuencia angular de resonancia en intensidad de este circuito ω₀ es dada por:

${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

Para esta frecuencia, la relación de arriba se convierte en:

$\underset{\_}{I}=\underset{\_}{I_r}=\frac{1}{R}\underset{\_}{U}$

y se obtiene:

$\underset{\_}{I_c}=-\underset{\_}{I_l}=j\sqrt{\frac{C}{L}}\underset{\_}{U}$.

Uso de los circuitos RLC

Los circuitos RLC son generalmente utilizados para realizar filtros de frecuencias, o de transformadores de impedancia. Estos circuitos pueden entonces comportar múltiples inductores y condensadores: se habla entonces de «red LC».

Un circuito LC simple es denominado de segundo orden porque su función de transferencia comporta un polinomio de segundo grado en el denominador.

Véase también

• Circuito RC
• Circuito RL
• Circuito LC

Enlaces externos

• Un vídeo explicativo sobre la resonancia de un circuito RLC
• Calculadora - Circuito RLC en régimen
• Animación (applet JAVA)
• Desarrollo matemático y oscilaciones amortiguadas en un circuito RLC serie Plantilla:Wayback