Quinto problema de Hilbert

El quinto problema de Hilbert (uno de los conocidos como veintitrés Problemas de Hilbert, publicados en 1900 por el matemático alemán David Hilbert), se refiere a la caracterización de Grupo de Lie.

La teoría de los grupos de Lie describe la simetría continua en matemáticas; su importancia en este campo y en física teórica (por ejemplo, en la investigación sobre quarks) creció de manera constante en el Plantilla:Siglo. En términos generales, la teoría de grupos de Lie es el terreno común de la teoría de grupos y la teoría de variedades topológicas. La pregunta que hizo Hilbert se centró con precisión en la cuestión siguiente:

¿Hay alguna diferencia si se impone una restricción a las variedades diferenciables?

La respuesta esperada fue negativa (los grupos clásicos, los ejemplos más centrales en la teoría de grupos de Lie, son variedades suaves). Esto finalmente se confirmó a principios de la década de 1950. Dado que Hilbert no disponía de la noción precisa de "variedad", hay lugar para cierto debate sobre la formulación del problema en el lenguaje matemático contemporáneo.

Formulación clásica

Una formulación que fue aceptada durante un largo período fue que la cuestión era caracterizar a los grupos de Lie como los grupos topológicos que también eran variedades topológicas. En términos más cercanos a los que Hilbert habría usado, cerca del elemento neutro Plantilla:Mvar del grupo Plantilla:Mvar en cuestión, hay un conjunto abierto Plantilla:Mvar en el espacio euclídeo que contiene Plantilla:Mvar, y en algún subconjunto abierto Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar hay una función continua:

Plantilla:Math

que satisfaga el grupo donde se definen. Esto es un fragmento de un grupo topológico localmente euclídeo típico. El problema es entonces demostrar que Plantilla:Mvar es una función infinitamente diferenciable cerca de Plantilla:Mvar (dado que los grupos topológicos son espacios homogéneos, iguales en todas partes como cerca de Plantilla:Mvar).

Otra forma de decirlo es que la posible función infinitamente diferenciable de Plantilla:Mvar no importa: los axiomas de grupo colapsan toda la gama Plantilla:Math.

Solución

El primer resultado importante fue el de John von Neumann en 1933, para grupos compactos. El caso del grupo abeliano localmente compacto fue resuelto en 1934 por Lev Pontriaguin. La resolución final, al menos en esta interpretación de lo que Hilbert quería decir, llegó con el trabajo de Andrew Gleason, Deane Montgomery y Leo Zippin en la década de 1950.

En 1953, Hidehiko Yamabe obtuvo la respuesta final al quinto problema de Hilbert:

Si un grupo compacto conectado localmente Plantilla:Mvar es un límite inverso de una secuencia de grupos de Lie, y si Plantilla:Mvar "no tiene subgrupos pequeños" (una condición definida a continuación), entonces Plantilla:Mvar es un grupo de Lie.

Sin embargo, la cuestión aún se debate, ya que en la literatura ha habido otras afirmaciones similares, basadas en gran parte en diferentes interpretaciones de la afirmación de Hilbert del problema dada por varios investigadores.

De manera más general, todo grupo localmente compacto y casi conectado es el límite proyectivo de un grupo de Lie. Si se considera un grupo general localmente compacto Plantilla:Mvar y el componente conectado de la identidad Plantilla:Math, se tiene una extensión de grupo

Plantilla:Math

Como grupo totalmente desconectado, Plantilla:Math tiene un subgrupo compacto abierto, y el retroceso Plantilla:Math de tal subgrupo compacto abierto es un subgrupo abierto, casi conectado, de Plantilla:Mvar. De esta manera, se tiene una estructura suave en Plantilla:Mvar, ya que es homeomorfa a Plantilla:Math, donde Plantilla:Math es un conjunto discreto.

Formulación alternativa

Otro punto de vista es que Plantilla:Mvar debería tratarse como un grupo de transformación, en lugar de una forma abstracta. Esto conduce a la formulación de la conjetura de Hilbert-Smith, que fue probada para $R^3$ en 2013.

Sin subgrupos pequeños

Una condición importante en la teoría es "sin subgrupos pequeños". Se dice que un grupo topológico Plantilla:Mvar, o una parte de un grupo como el Plantilla:Mvar anterior, no tiene "subgrupos pequeños" si hay un Plantilla:Mvar vecino de Plantilla:Mvar que no contiene un subgrupo mayor que Plantilla:Math. Por ejemplo, el grupo circular satisface la condición, mientras que los [[Número p-ádico|enteros Plantilla:Mvar-ádicos]] Plantilla:Math como grupo aditivo no lo hace, porque Plantilla:Mvar contendrá los subgrupos: Plantilla:Math, para todos los números enteros grandes Plantilla:Mvar. Esto da una idea de la dificultad del problema. En el caso de la conjetura de Hilbert-Smith, se trata de una reducción conocida de si Plantilla:Math puede actuar fielmente sobre una variedad cerrada. Gleason, Montgomery y Zippin caracterizaron a los grupos de Lie entre los grupos localmente compactos, como aquellos que no tienen subgrupos pequeños.

Dimensiones infinitas

Los investigadores también han considerado el quinto problema de Hilbert sin suponer dimensionalidad finita. El último capítulo de Benyamini y Lindenstrauss discute la tesis de Per Enflo, sobre el quinto problema de Hilbert sin espacio compacto.

Véase también

• Hans Rådström

Bibliografía

• Plantilla:Cite journal
• Plantilla:Cite book
• D. Montgomery and L. Zippin, Topological Transformation Groups
• Yamabe, Hidehiko, On an arcwise connected subgroup of a Lie group, Osaka Mathematical Journal v.2, no. 1 Mar. (1950),  13–14.
• Irving Kaplansky, Lie Algebras and Locally Compact Groups, Chicago Lectures in Mathematics, 1971.
• Benyamini, Yoav and Lindenstrauss, Joram, Geometric nonlinear functional analysis Colloquium publications, 48. American Mathematical Society.
• Enflo, Per. (1970) Investigations on Hilbert’s fifth problem for non locally compact groups. (Tesis doctoral de cinco artículos de Enflo de 1969 a 1970)
  • Enflo, Per; 1969a: Topological groups in which multiplication on one side is differentiable or linear. Math. Scand., 24,  195–197.
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  • Enflo, Per; 1969b: On a problem of Smirnov. Ark. Math. 8,  107–109.
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  • Plantilla:Cite journal

Plantilla:Problemas de Hilbert