Subconjunto

Diagrama de Euler mostrando que A es un subconjunto de B.
Es decir, A ⊆ B.

Plantilla:Math es subconjunto de otro conjunto Plantilla:Math si todos los elementos de Plantilla:Math pertenecen también a Plantilla:Math. Decimos entonces que Plantilla:Math «está contenido» dentro de Plantilla:Math.

Definición

La diferencia entre los conjuntos es formado por elementos que pertenecen a uno y a los otros no.
Otras maneras de decirlo son «Plantilla:Math está incluido en Plantilla:Math», «Plantilla:Math incluye a Plantilla:Math»,etc.

Ejemplos

• El «conjunto de todas las mujeres» es un subconjunto del «conjunto de todas las personas».
• Plantilla:Math}
• Plantilla:Math. Es decir, números pares positivos Plantilla:Unicode números naturales

Subconjunto propio

Es cierto que cada elemento de un conjunto Plantilla:Math es un elemento de Plantilla:Math (es una afirmación tautológica). Por tanto se tiene el siguiente teorema: Plantilla:Teorema Así, dados dos conjuntos Plantilla:Math, cabe la posibilidad de que sean iguales, Plantilla:Math.

Por otro lado, es posible también que Plantilla:Math contenga algunos pero no todos los elementos de Plantilla:Math: Plantilla:Definición Es verdadero que todos los ejemplos de subconjunto mostrados arriba son de hecho subconjuntos propios.

Según el autor, Plantilla:Math y Plantilla:Math subconjunto o subconjunto propio.Sin embargo, es importante aclarar que existe una diferencia entre subconjunto y subconjunto propio, pues el subconjunto abarca la definición de subconjunto propio.

Conjunto potencia

Plantilla:AP La totalidad de los subconjuntos de un conjunto dado Plantilla:Math constituye el llamado conjunto potencia o conjunto partes de Plantilla:Math: Plantilla:Definición Cuando el conjunto Plantilla:Math tiene un número finito de elementos, por ejemplo Plantilla:Math, el conjunto potencia también es finito y tiene Plantilla:Math elementos.

Por ejemplo, dado el conjunto Plantilla:Math, su conjunto potencia es:

$𝒫(A)=\{\mathrm{\varnothing },\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$

Propiedades

Plantilla:Teorema Esto se debe a que «todo elemento de Plantilla:Math lo es de Plantilla:Math» significa lo mismo que «Plantilla:Math no tiene ningún elemento que no esté en Plantilla:Math», y esto es cierto sea cual sea Plantilla:Math ya que Plantilla:Math no tiene elementos.

Si cada elemento de un conjunto Plantilla:Math lo es de otro conjunto Plantilla:Math, y cada elemento de Plantilla:Math a su vez lo es de otro conjunto Plantilla:Math, entonces cada miembro de Plantilla:Math pertenece también a Plantilla:Math, o sea:

$A\subseteq B$ y $B\subseteq C$ implica $A\subseteq C.$
En el diagrama, $A\subseteq B\subseteq C$.

Además, si dos conjuntos son subconjuntos el uno del otro, entonces todos los miembros de uno lo son del otro y viceversa. Entonces, ambos conjuntos poseen los mismos elementos, y los conjuntos quedan definidos únicamente por sus elementos, luego: Plantilla:Teorema

Propiedades avanzadas

La relación de inclusión tiene las mismas propiedades que la relación de orden no estricto: es reflexiva (Plantilla:Math); transitiva (Plantilla:Math y Plantilla:Math implican Plantilla:Math); y antisimétrica (Plantilla:Math y Plantilla:Math implican Plantilla:Math).

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro

Véase también

• Teoría de conjuntos
• Conjunto
• Intersección de conjuntos
• Unión de conjuntos
• Diferencia de conjuntos
• Complemento de un conjunto