Sustitución en integración

En cálculo, integración por sustitución, también conocido como cambio de variable, es un método para evaluar integrales y antiderivadas. Es la contraparte a la regla de cadena para diferenciación.

Sustitución para una variable

Introducción

Antes de enunciar el teorema de manera formal, considere un caso sencillo para integrales indefinidas.

Calcular $\int (2x^3+1{)}^7(x^2)dx$

Sea $u=2x^3+1$. Esto significa $\frac{du}{dx}=6x^2$ o en forma diferencial $du=6x^{2}dx$. Ahora

,$\begin{array}{cc}\int (2x^3+1{)}^7(x^2)dx& =\frac{1}{6}\int \underset{u^7}{\underbrace{(2x^3+1{)}^7}}\underset{du}{\underbrace{(6x^2)dx}}\\ & =\frac{1}{6}\int u^{7}du\\ & =\frac{1}{6}\left(\frac{1}{8}{u}^8\right)+C\\ & =\frac{1}{48}(2x^3+1{)}^8+C\end{array}$

donde $C\in ℝ$ es una constante arbitraria de integración.

Este procedimiento es frecuentemente utilizado pero no todas las integrales permiten su uso. En cualquier caso en que sea aplicable, el resultado puede verificarse derivando y comparando con el integrando original.

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}[\frac{1}{48}(2x^3+1{)}^8+C]& =\frac{1}{48}8(2x^3+1{)}^7(6x^2)\\ & =x^2(2x^3+1{)}^7\end{array}$

Para integrales definidas, los límites de integración deben ajustarse a la nueva variable pero el procedimiento es prácticamente igual.

Integrales definidas

Sea $\phi :[a,b]\to I$ una función continuamente diferenciable donde $I\subseteq ℝ$ es un intervalo. Supóngase que $f:I\to ℝ$ es una función continua entonces

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx=\underset{\phi (a)}{\overset{\phi (b)}{\int }}f(u)du.$

La fórmula es usada para transformar una integral a una integral que es más fácil de calcular.

Demostración

La fórmula de integración por sustitución puede ser demostrada utilizando el teorema fundamental de cálculo como sigue.

Sean $f$ y $\phi$ funciones tales que $f$ es continua en $I$ y $\phi$ tiene derivada ${\phi }^{\prime }$ tal que es integrable en el intervalo cerrado $[a,b]$ entonces la función $f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)$ también es integrable en $[a,b]$. Por lo que las integrales

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx$

y

$\underset{\phi (a)}{\overset{\phi (b)}{\int }}f(u)du$

existen y queda demostrar que son iguales.

Dado que $f$ es continua, tiene una antiderivada $F$. La función compuesta $F\circ \phi$ está definida, como $\phi$ es diferenciable, combinando la regla de cadena y la definición de antiderivada obtenemos

$(F\circ \phi {)}^{\prime }(x)=F^{\prime }(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)=f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x).$

Aplicando el teorema fundamental del cálculo dos veces obtenemos

$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}(F\circ \phi {)}^{\prime }(x)dx\\ & =(F\circ \phi )(b)-(F\circ \phi )(a)\\ & =F(\phi (b))-F(\phi (a))\\ & =\underset{\phi (a)}{\overset{\phi (b)}{\int }}f(u)du,\end{array}$

Ejemplos

Ejemplo 1

Considere la integral

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}x\cos (x^2+1)dx.$

Haga la sustitución $u=x^2+1$ para obtener $du=2xdx$, esto es $xdx=\frac{1}{2}du$ Por lo que

$\begin{array}{cc}\underset{x=0}{\overset{x=2}{\int }}x\cos (x^2+1)dx& =\frac{1}{2}\underset{u=1}{\overset{u=5}{\int }}\cos (u)du\\ & =\frac{\mathrm{sen}(u)}{2}{|}_1^5\\ & =\frac{\mathrm{sen}(5)-\mathrm{sen}(1)}{2}.\end{array}$

Dado que el límite inferior $x=0$ fue reemplazado por $u=1$ y el límite superior $x=2$ con $2^2+1=5$, regresar a la variable original $x$, fue innecesario.

Antiderivadas

La sustitución puede ser usada para determinar antiderivadas. Uno escoge una relación entre $x$ y $u$, determina la relación correspondiente entre $dx$ y $du$ mediante diferenciación y realiza las sustituciones.

Similar al ejemplo 1 de arriba, la siguiente antiderivada puede ser obtenida utilizando este método:

$\begin{array}{cc}\int x\cos (x^2+1)dx& =\frac{1}{2}\int 2x\cos (x^2+1)dx\\ & =\frac{1}{2}\int \cos udu\\ & =\frac{1}{2}\mathrm{sen}u+C\\ & =\frac{1}{2}\mathrm{sen}(x^2+1)+C\end{array}$

donde $C\in ℝ$ es una constante arbitraria de integración.

Para este ejemplo, no hubo límites de integración que modificar pero en el último paso regresar a la variable original $u=x^2+1$ es necesario.

La función tangente puede ser integrada utilizando sustitución expresándola en términos del seno y coseno:

$\int \tan xdx=\int \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}dx$

Utilizando la sustitución $u=\cos x$ obtenemos $du=-\sin xdx$ y

$\begin{array}{cc}\int \tan xdx& =\int \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}dx\\ & =\int -\frac{du}{u}\\ & =-\ln |u|+C\\ & =-\ln |\cos x|+C\\ & =\ln |\sec x|+C.\end{array}$

Sustitución para múltiples variables

Uno también puede utilizar el método de sustitución cuando integra funciones de varias variables. Aquí la función de sustitución $(v_1,\dots ,v_n)=\phi (u_1,\dots ,u_n)$ necesita ser inyectiva y continuamente diferenciable, los diferenciales se transforman como

$d{v}_1\cdots d{v}_n=|\det (D\phi )(u_1,\dots ,u_n)|d{u}_1\cdots d{u}_n,$

donde $\det (D\phi )(u_1,\dots ,u_n)$denota el determinante de la matriz jacobiana de derivadas parciales de $\phi$ en el punto $(u_1,\dots ,u_n)$.

De manera más precisa, el fórmula del cambio de variables se enuncia en el siguiente teorema

Teorema. Sean $U$ un subconjunto abierto en ${ℝ}^n$ y $\phi :U\to {ℝ}^n$ una función diferenciable inyectiva con derivadas parciales continuas entonces para cualquier función continua real $f$ con soporte contenido en $\phi (U)$

$\underset{\phi (U)}{\int }f(𝐯)d𝐯=\underset{U}{\int }f(\phi (𝐮))|\det (D\phi )(𝐮)|d𝐮.$

Para funciones Lebesgue medibles, el teorema puede enunciarse de la siguiente forma:

Teorema. Sean $U$ un subconjunto medible en ${ℝ}^n$ y $\phi :U\to {ℝ}^n$ una función inyectiva, suponga que para cada $x\in U$ existe ${\phi }^{\prime }(x)\in {ℝ}^{n,n}$ tal que $\phi (y)=\phi (x)+{\phi }^{\prime }(x)(y-x)+o(||y-x||)$ cuando $y\to x$ entonces $\phi (U)$ es medible y para cualquier función real $f$ definida en $\phi (U)$

$\underset{\phi (U)}{\int }f(v)dv=\underset{U}{\int }f(\phi (u))|\det {\phi }^{\prime }(u)|du$

Aplicación en probabilidad

La sustitución puede ser utilizada para responder a la siguiente pregunta en probabilidad: dada una variable aleatoria $X$ con función de densidad $p_X$ y otra variable aleatoria $Y$ tal que $Y=\varphi (X)$, ¿cuál es función de densidad para $Y$?

Es muy fácil responder esta pregunta respondiendo primero: ¿cuál es la probabilidad de que $Y$ tome un valor en algún subconjunto particular $S$? Denote esta probabilidad $P(Y\in S)$, si $Y$ tiene función de densidad $p_Y$ entonces la respuesta es

$P(Y\in S)=\underset{S}{\int }{p}_Y(y)dy,$

pero esto realmente no es útil pues no sabemos quién es $p_Y$; que es lo que estamos intentando encontrar. Podemos progresar si consideramos el problema en la variable $X$. $Y$ toma un valor en $S$ siempre que $X$ toma un valor en ${\varphi }^{-1}(S)$, por lo que

$P(Y\in S)=\underset{{\varphi }^{-1}(S)}{\int }{p}_X(x)dx.$

cambiando de variable $x$ a $y$ obtenemos

$P(Y\in S)=\underset{{\varphi }^{-1}(S)}{\int }{p}_X(x)dx=\underset{S}{\int }{p}_X({\varphi }^{-1}(y))\left|\frac{d{\varphi }^{-1}}{dy}\right|dy.$

combinando esto con la primera ecuación tendremos

$\underset{S}{\int }{p}_Y(y)dy=\underset{S}{\int }{p}_X({\varphi }^{-1}(y))\left|\frac{d{\varphi }^{-1}}{dy}\right|dy,$

por lo que

$p_Y(y)=p_X({\varphi }^{-1}(y))\left|\frac{d{\varphi }^{-1}}{dy}\right|.$

En el caso en el que $X$ y $Y$ dependan de varias variables no correlacionadas, es decir, $p_X=p_X(x_1,\dots ,x_n)$ y $y=\varphi (x)$, $p_Y$ puede ser hallada por sustitución en varias variables como se mencionó anteriormente, este resultado es

$p_Y(y)=p_X({\varphi }^{-1}(y))|\det D{\varphi }^{-1}(y)|.$

Véase también

• Función de densidad de probabilidad
• Sustitución de variables
• Sustitución trigonométrica
• Sustitución de Weierstrass
• Sustitución de Euler

Referencias

• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada.
• Plantilla:Obra citada.
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada.
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada.

Enlaces externos

• Integración por sustitución en Enciclopedia de Matemáticas
• Fórmula de área en Enciclopedia de Matemáticas