q-análogo

Un $q$-análogo es un término matemático, que aparece en particular en combinatoria. Un análogo de $q$ generaliza un enunciado matemático con la ayuda de un parámetro adicional $q$, de modo que en el caso de $q\to 1$ el enunciado original vuelve a obtenerse. El término también juega un papel importante en la teoría de funciones especiales, particularmente en la teoría de los polinomios $q$.

Ejemplos elementales

Un número natural $n$ tiene el $q$-análogo

$[n{]}_q:=\frac{1-q^n}{1-q}=1+q+q^2+\cdots +q^{n-1},$

donde $\underset{q\to 1}{\lim }[n{]}_q=n$.

Combinatoria

q-factorial

el $q$-factorial se define para $n>0$ como:

$[n{]}_q!:=[n{]}_q[n-1{]}_q\cdots [1{]}_q=\prod _{k=1}^n\frac{1-q^k}{1-q},$

con $[0{]}_q!:=1$.

Al multiplicar se obtiene

$[n{]}_q!=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).$

Símbolo q-Pochhammer

El símbolo $q$-Pochhammer, se define como

$(a;q{)}_n:=\prod _{k=1}^n(1-a{q}^{k-1})$

o generalizando a más de un término como

$(a_1,a_2,\dots ,a_m;q{)}_n:=(a_1;q{)}_n(a_2;q{)}_n\dots (a_m;q{)}_n.$

Coeficiente q-binomial

El coeficiente $q$-binomial se define como

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}_q:=\frac{[n{]}_q!}{[k{]}_q![n-k{]}_q!}=\prod _{j=1}^k\frac{(1-q^{n-j+1})}{(1-q^j)}.$

Propiedades

Se aplica que

$[n{]}_q!=\frac{(q;q{)}_n}{(1-q{)}^n}$

y

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}_q=\frac{(q;q{)}_n}{(q;q{)}_k(q;q{)}_{n-k}}.$

Funciones especiales q

Función q-hipergeométrica

Plantilla:AP El $q$-análogo de la función hipergeométrica generalizada es la función $q$-hipergeométrica

${}_r{\varphi }_s[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_r\\ b_1& b_2& \dots & b_s\end{array};q,z]=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a_1,a_2,\dots ,a_r;q{)}_n}{(q,b_1,b_2,\dots ,b_s;q{)}_n}{z}^n{(-q^{(n-1)/2})}^{n(s+1-r)}.$

Polinomio q-ortogonal

Los $q$-polinomios hermitianos constantes $\{H_n(x\mid q)\}$ vienen dados por la siguiente recursión

$2x{H}_n(x\mid q)=H_{n+1}(x\mid q)+(1-q^n)H_{n-1}(x\mid q)$

con valores iniciales

$H_0(x\mid q)=1,H_1(x\mid q)=2x.$

Análisis

El $q$-análogo de la función exponencial es

$e_q^x:=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{[n{]}_q!}.$

q-cálculo

El $q$-análogo de la derivada de una función $f$ es la q-derivada o derivada de Jackson

$(D_{q}f)(x)=\frac{f(x)-f(qx)}{(1-q)x},$

esto da como resultado el llamado q-cálculo.

q-Serie de Taylor

El $q$-análogo de $(x-a{)}^n$ es

$(x-a{)}_q^n:=\prod _{k=0}^{n-1}(x-q^{k}a),$

que junto con la $q$-derivada y el $q$-factorial pueden usarse para definir el $q$-análogo de la serie de Taylor para $f$ dada

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{D_q^{n}f(a)(x-a{)}_q^n}{[n{]}_q!}.$

Referencias

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro

Enlaces externos

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