Coeficiente binomial gaussiano

En matemáticas, los coeficientes binomiales gaussianos (también llamados coeficientes gaussianos, polinomios gaussianos, o coeficientes q-binomiales) son q-análogos de los coeficientes binomiales. El coeficiente gaussiano binomial, escrito como

{(\binom{n}{k})}_{q}

ó

{[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}]}_{q}

,

es un polinomio en q con coeficientes enteros, cuyos valores cuando q es tomada como una potencia prima cuenta el número de subespacios de dimensión k en un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo finito con q elementos.

Definiciones

Los coeficientes binomiales gaussianos se define como:^[1]

{(\binom{m}{r})}_{q} = \frac{(1 - q^{m}) (1 - q^{m - 1}) \dots (1 - q^{m - r + 1})}{(1 - q) (1 - q^{2}) \dots (1 - q^{r})}

donde m y r son enteros no negativos. Si Plantilla:Math, se evalúa a 0. Para Plantilla:Math, el valor es 1 puesto que el numerador y el denominador son productos vacíos.

Aunque la fórmula en principio parecer ser una función racional, en realidad es un polinomio, puesto que la división es exacta en Z[q]

Todos los factores en el numerador y el denominador son divisibles por Plantilla:Math, y el cocientes es el q-número:

[k]_{q} = \sum_{0 \leq i < k} q^{i} = 1 + q + q^{2} + \dots + q^{k - 1} = {\begin{matrix} \frac{1 - q^{k}}{1 - q} & for & q \neq 1 \\ k & for & q = 1 \end{matrix},

Dividiendo estos factores da la fórmula equivalente

{(\binom{m}{r})}_{q} = \frac{[m]_{q} [m - 1]_{q} \dots [m - r + 1]_{q}}{[1]_{q} [2]_{q} \dots [r]_{q}} (r \leq m) .

En términos del q factorial $[n]_{q}! = [1]_{q} [2]_{q} \dots [n]_{q}$ , la fórmula puede ser expresada como

{(\binom{m}{r})}_{q} = \frac{[m]_{q}!}{[r]_{q}! [m - r]_{q}!} (r \leq m) .

Sustituyendo Plantilla:Math en ${(\binom{m}{r})}_{q}$ se obtiene el coeficiente binomial ordinario $(\binom{m}{r})$ .

El coeficiente binomial gaussiano tiene valores finitos como $m \to \infty$ :

{(\binom{\infty}{r})}_{q} = \lim_{m \to \infty} {(\binom{m}{r})}_{q} = \frac{1}{(1 - q) (1 - q^{2}) \dots (1 - q^{r})} = \frac{1}{[r]_{q}! (1 - q)^{r}}

Ejemplos

{(\binom{0}{0})}_{q} = {(\binom{1}{0})}_{q} = 1

{(\binom{1}{1})}_{q} = \frac{1 - q}{1 - q} = 1

{(\binom{2}{1})}_{q} = \frac{1 - q^{2}}{1 - q} = 1 + q

{(\binom{3}{1})}_{q} = \frac{1 - q^{3}}{1 - q} = 1 + q + q^{2}

{(\binom{3}{2})}_{q} = \frac{(1 - q^{3}) (1 - q^{2})}{(1 - q) (1 - q^{2})} = 1 + q + q^{2}

{(\binom{4}{2})}_{q} = \frac{(1 - q^{4}) (1 - q^{3})}{(1 - q) (1 - q^{2})} = (1 + q^{2}) (1 + q + q^{2}) = 1 + q + 2 q^{2} + q^{3} + q^{4}

{(\binom{6}{3})}_{q} = \frac{(1 - q^{6}) (1 - q^{5}) (1 - q^{4})}{(1 - q) (1 - q^{2}) (1 - q^{3})} = (1 + q^{2}) (1 + q^{3}) (1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4}) = 1 + q + 2 q^{2} + 3 q^{3} + 3 q^{4} + 3 q^{5} + 3 q^{6} + 2 q^{7} + q^{8} + q^{9}

Propiedades

Reflexión

Como ocurre en el coeficientes binomiales ordinarios, los coeficientes binomiales gaussianos tienen simetría central, i.e., son invariantes bajo la reflexión $r \to m - r$ :

{(\binom{m}{r})}_{q} = {(\binom{m}{m - r})}_{q} .

en particular,

{(\binom{m}{0})}_{q} = {(\binom{m}{m})}_{q} = 1,

{(\binom{m}{1})}_{q} = {(\binom{m}{m - 1})}_{q} = \frac{1 - q^{m}}{1 - q} = 1 + q + \dots + q^{m - 1} m \geq 1 .

Límite cuando q = 1

La evaluación de un coeficiente binomial gaussiano cuando Plantilla:Nowrap es

\lim_{q \to 1} {(\binom{m}{r})}_{q} = (\binom{m}{r})

i.e. la suma de los coeficientes da el corresponiente valor binomial.

Análogos de la identidad de Pascal

Los análogos de la identidad de Pascal para los coeficientes binomiales gaussianos son:^[1]

{(\binom{m}{r})}_{q} = q^{r} {(\binom{m - 1}{r})}_{q} + {(\binom{m - 1}{r - 1})}_{q}

y

{(\binom{m}{r})}_{q} = {(\binom{m - 1}{r})}_{q} + q^{m - r} {(\binom{m - 1}{r - 1})}_{q} .

Cuando $q = 1$ , these ambos dan la identidad binomial usual. Se puede ver que cuando $m \to \infty$ , ambas ecuaciones continúan siendo válidas.

El primer análogo de Pascal permite el cálculo recursivo de los coeficientes binomiales gaussianos (con respecto a m ) usando los valores iniciales

{(\binom{m}{m})}_{q} = {(\binom{m}{0})}_{q} = 1

y también muestra que los coeficientes binomiales de Gauss son de hecho polinomios (en q).

El segundo análogo de Pascal se sigue del primero usando la sustitución $r \to m - r$ y de la invarianza de los coeficientes binomiales gaussianos bajo la reflexión $r \to m - r$ .

Demostraciones de los análagos

Ambos análogos pueden probarse observando primero que a partir de la definición de ${(\binom{m}{r})}_{q}$ , se tiene que:

{(\binom{m}{r})}_{q} = \frac{1 - q^{m}}{1 - q^{m - r}} {(\binom{m - 1}{r})}_{q} [1]

{(\binom{m}{r})}_{q} = \frac{1 - q^{m}}{1 - q^{r}} {(\binom{m - 1}{r - 1})}_{q} [2]

\frac{1 - q^{r}}{1 - q^{m - r}} {(\binom{m - 1}{r})}_{q} = {(\binom{m - 1}{r - 1})}_{q} [3]

como

\frac{1 - q^{m}}{1 - q^{m - r}} = \frac{1 - q^{r} + q^{r} - q^{m}}{1 - q^{m - r}} = q^{r} + \frac{1 - q^{r}}{1 - q^{m - r}}

[1] se convierte en:

{(\binom{m}{r})}_{q} = q^{r} {(\binom{m - 1}{r})}_{q} + \frac{1 - q^{r}}{1 - q^{m - r}} {(\binom{m - 1}{r})}_{q}

y sustituyendo en [3] se obtiene el primer análogo.

En un proceso similar, usando

\frac{1 - q^{m}}{1 - q^{r}} = q^{m - r} + \frac{1 - q^{m - r}}{1 - q^{r}}

en vez del anterior, se obtiene el segundo análogo.

Teorema q-binomial

Hay una análogo del teorema binomial para coeficientes q-binomiales:

\prod_{k = 0}^{n - 1} (1 + q^{k} t) = \sum_{k = 0}^{n} q^{k (k - 1) / 2} {(\binom{n}{k})}_{q} t^{k} .

Al igual que el teorema del binomio habitual, esta fórmula tiene numerosas generalizaciones y extensiones; una de ellas, correspondiente al teorema binomial generalizado de Newton para potencias negativas, es

\prod_{k = 0}^{n - 1} \frac{1}{1 - q^{k} t} = \sum_{k = 0}^{\infty} {(\binom{n + k - 1}{k})}_{q} t^{k} .

En el límite $n \to \infty$ , estas fórmulas dan

\prod_{k = 0}^{\infty} (1 + q^{k} t) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{q^{k (k - 1) / 2} t^{k}}{[k]_{q}! (1 - q)^{k}}

y

\prod_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{1 - q^{k} t} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{t^{k}}{[k]_{q}! (1 - q)^{k}}

.

Tomando $t = q$ se obtienen las funciones generadoras para distintas partes y cualquier parte respectivamente.

Identidad q-binomial central

Con los coeficientes binomiales ordinarios, se tiene que:

\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} = (\binom{2 n}{n})

Con los coeficientes q-binomiales, el análogo es:

\sum_{k = 0}^{n} q^{k^{2}} {(\binom{n}{k})}_{q}^{2} = {(\binom{2 n}{n})}_{q}

Referencias

Plantilla:Reflist

Bibliografía

Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, Plantilla:ISBN, Plantilla:ISBN, Plantilla:ISBN
Plantilla:Cite web (undated, 2004 or earlier).
Ratnadha Kolhatkar, Zeta function of Grassmann Varieties (dated January 26, 2004)
Plantilla:MathWorld
Plantilla:Cite journal
Plantilla:Cite journal
Plantilla:Cite journal
Plantilla:Cite journal
Plantilla:Cite journal
Plantilla:Cite journal
Plantilla:Cite journal
Plantilla:Cite journal
Plantilla:Cite journal
Plantilla:Cite journal
Plantilla:Cite journal
Plantilla:Cite journal
Plantilla:Cite web (2009).

Enlaces externos

Plantilla:MathWorld

Plantilla:Control de autoridades

↑ ^1,0 ^1,1 Mukhin, Eugene, chapter 3

[Sin_nombre-p5KV-1-1] 1,0 ^1,1 Mukhin, Eugene, chapter 3

[1]

Coeficiente binomial gaussiano

Sumario

Definiciones

Ejemplos

Propiedades

Reflexión

Límite cuando q = 1

Análogos de la identidad de Pascal

Demostraciones de los análagos

Teorema q-binomial

Identidad q-binomial central

Referencias

Bibliografía

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Coeficiente binomial gaussiano

Definiciones

Ejemplos

Propiedades

Reflexión

Límite cuando q = 1

Análogos de la identidad de Pascal

Demostraciones de los análagos

Teorema q-binomial

Identidad q-binomial central

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