Politopo cíclico

En matemáticas, un politopo cíclico, denotado como C(n,d), es un tipo de politopo convexo formado como la envolvente convexa de n puntos distintos de una curva normal racional en R^d, donde n es mayor que d. Estos politopos fueron estudiados por Constantin Carathéodory, David Gale, Theodore Motzkin, Victor Klee y otros. Desempeñan un papel importante en la combinatoria poliédrica: según el teorema del límite superior, demostrado por Peter McMullen y Richard Stanley, el límite Δ(n,d) del politopo cíclico C (n,d) maximiza el número f_i de caras de dimensión i entre todos las esferas simpliciales de dimensión d − 1 con n vértices.

Definición

La curva de momentos en ${ℝ}^d$ está definida por

$𝐱:ℝ\to {ℝ}^d,𝐱(t):={\left[\begin{array}{c}t,t^2,\dots ,t^d\end{array}\right]}^T$.

El politopo cíclico de dimensión $d$ con $n$ vértices es la envolvente convexa

$C(n,d):=𝐜𝐨𝐧𝐯\{𝐱(t_1),𝐱(t_2),\dots ,𝐱(t_n)\}$

de $n>d\ge 2$ distintos puntos $𝐱(t_i)$ con $t_1<t_2<\dots <t_n$ en la curva de momentos.

La estructura combinatoria de este politopo es independiente de los puntos elegidos, y el politopo resultante tiene dimensión d y n vértices. Su límite es un politopo simplicial (d − 1)-dimensional denotado Δ(n,d).

Condición de uniformidad de Gale

La condición de uniformidad de Gale proporciona una condición necesaria y suficiente para determinar una cara en un politopo cíclico.

Sea $T:=\{t_1,t_2,\dots ,t_n\}$. Entonces, si y solo si un subconjunto $d$ $T_d\subseteq T$ forma una faceta de $C(n,d)$. Dos elementos cualquiera en $T\setminus T_d$ están separados por un número par de elementos de $T_d$ en la secuencia $(t_1,t_2,\dots ,t_n)$.

Politopos vecinos

Los politopos cíclicos son ejemplos de politopos vecinos, ya que cada conjunto de como máximo d/2 vértices forma una cara. Fueron los primeros politopos vecinos conocidos, y Theodore Motzkin conjeturó que todos los politopos vecinos son combinatoriamente equivalentes a los politopos cíclicos, pero ahora se sabe que esto es falso.

Número de caras

El número de caras de dimensión i del politopo cíclico Δ(n,d) viene dado por la fórmula

$f_i(\mathrm{\Delta }(n,d))=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i+1})\text{for}0\le i<\lfloor \frac{d}{2}\rfloor$

y $(f_0,\dots ,f_{\lfloor \frac{d}{2}\rfloor -1})$ determinan completamente $(f_{\lfloor \frac{d}{2}\rfloor },\dots ,f_{d-1})$ a través de las ecuaciones de Dehn-Sommerville.

Teorema del límite superior

El teorema del límite superior establece que los politopos cíclicos tienen el máximo número posible de caras para una determinada dimensión y número de vértices: si Δ es una esfera simplicial de dimensión d − 1 con n vértices, entonces

$f_i(\mathrm{\Delta })\le f_i(\mathrm{\Delta }(n,d))\text{for}i=0,1,\dots ,d-1.$

La conjetura del límite superior para los politopos simpliciales fue propuesta por Theodore Motzkin en 1957 y probada por Peter McMullen en 1970. Victor Klee sugirió que la misma declaración debería ser válida para todas las esferas simpliciales y esto fue establecido en 1975 por Richard P. Stanley utilizando la noción del anillo de Stanley-Reisner y métodos homológicos.

Véase también

• Álgebra conmutativa combinatoria