Curva normal racional

En matemáticas, una curva normal racional es un tipo de curva algebraica Plantilla:Mvar suave de grado Plantilla:Mvar sobre un n-espacio proyectivo Plantilla:Math. Es un ejemplo simple de una variedad proyectiva. Formalmente, es la superficie de Veronese cuando el dominio es la recta proyectiva. Para Plantilla:Math es una cónica plana Plantilla:Math y para Plantilla:Math es una cúbica alabeada. El término normal se refiere a la normalidad proyectiva, no a un esquema normal. La intersección de la curva normal racional con un espacio afín se llama curva de momentos.

Definición

La curva normal racional se puede dar paramétricamente como la imagen de la aplicación

$\nu :{𝐏}^1\to {𝐏}^n$

que asigna a las coordenadas homogéneas Plantilla:Math el valor

$\nu :[S:T]\mapsto [S^n:S^{n-1}T:S^{n-2}{T}^2:\cdots :T^n].$

En el espacio afín del grafo Plantilla:Math la aplicación es simplemente

$\nu :x\mapsto (x,x^2,\dots ,x^n).$

Es decir, la curva normal racional es el cierre por un solo punto del infinito de la variedad algebraica

$(x,x^2,\dots ,x^n).$

De manera equivalente, la curva normal racional puede entenderse como una variedad proyectiva, definida como el lugar geométrico cero común de los polinomios homogéneos

$F_{i,j}(X_0,\dots ,X_n)=X_i{X}_j-X_{i+1}{X}_{j-1}$

donde $[X_0:\cdots :X_n]$ son las coordenadas homogéneas en Plantilla:Math. No se necesita el conjunto completo de estos polinomios; es suficiente elegir Plantilla:Mvar de estos para especificar la curva.

Parametrización alternativa

Sean $[a_i:b_i]$ Plantilla:Math puntos distintos en Plantilla:Math. Entonces el polinomio

$G(S,T)=\prod _{i=0}^n(a_{i}S-b_{i}T)$

es un polinomio homogéneo de grado Plantilla:Math con raíces distintas. Los polinomios

$H_i(S,T)=\frac{G(S,T)}{(a_{i}S-b_{i}T)}$

son entonces una base para el espacio de polinomios homogéneos de grado Plantilla:Mvar. La aplicación

$[S:T]\mapsto [H_0(S,T):H_1(S,T):\cdots :H_n(S,T)]$

o, de manera equivalente, dividiendo por Plantilla:Math

$[S:T]\mapsto [\frac{1}{(a_{0}S-b_{0}T)}:\cdots :\frac{1}{(a_{n}S-b_{n}T)}]$

es una curva normal racional. Que esta es una curva normal racional se puede entender al tener en cuenta que los monomios

$S^n,S^{n-1}T,S^{n-2}{T}^2,\cdots ,T^n,$

son solo una posible base del espacio de polinomios homogéneos de grado Plantilla:Mvar. De hecho, cualquier base servirá. Esta es solo una aplicación de la afirmación de que dos variedades proyectivas cualesquiera son proyectivamente equivalentes si son módulo congruentes respecto al grupo lineal proyectivo Plantilla:Math (con Plantilla:Mvar el cuerpo sobre el que se define el espacio proyectivo).

Esta curva racional envía los ceros de Plantilla:Mvar a cada uno de los puntos de coordenadas de Plantilla:Math; es decir, todos menos uno de los Plantilla:Math desaparecen por un cero de Plantilla:Mvar. Por el contrario, cualquier curva normal racional que pase por los puntos de coordenadas Plantilla:Math puede escribirse paramétricamente de esta manera.

Propiedades

La curva normal racional tiene numerosas propiedades destacables:

• Cualquier punto Plantilla:Math en Plantilla:Mvar es linealmente independiente y abarca Plantilla:Math. Esta propiedad distingue a la curva normal racional de todas las demás curvas.
• Dados los puntos Plantilla:Math en Plantilla:Math en posición general lineal (es decir, sin Plantilla:Math en un hiperplano), hay una curva normal racional única que los atraviesa. La curva se puede especificar explícitamente utilizando la representación paramétrica, organizando Plantilla:Math de los puntos para que se encuentren en los ejes de coordenadas y luego asignando los otros dos puntos a Plantilla:Math y Plantilla:Math.
• Las rectas tangente y secante de una curva normal racional son disjuntas por pares, excepto en los puntos de la propia curva. Esta es una propiedad compartida por embebidos suficientemente positivos de cualquier variedad proyectiva.
• Existen

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{2})-2n-1$

cuádricas independientes que generan los ideales de la curva.

• La curva no es una intersección completa, para Plantilla:Math. Es decir, no se puede definir (como un subesquema del espacio proyectivo) solo por ecuaciones Plantilla:Math, siendo esa la codimensión de la curva en ${𝐏}^n$.
• La aplicación canónica de una curva hiperelíptica tiene una imagen de una curva normal racional y es 2 a 1.
• Toda curva irreductible no degenerada Plantilla:Math de grado Plantilla:Mvar es una curva normal racional.

Véase también

• Desplazamiento normal racional

Bibliografía

• Joe Harris, Algebraic Geometry, A First Course, (1992) Springer-Verlag, New York. Plantilla:Isbn