Inmanente (matemáticas)

En matemáticas, el inmanente de una matriz fue definido por Dudley E. Littlewood y Archibald Read Richardson como una generalización de los conceptos de determinante y permanente.

Sea $\lambda =({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots )$ una partición de un entero $n$ y sea ${\chi }_{\lambda }$ el correspondiente carácter de la representación teorética irreducible del grupo simétrico $S_n$. El inmanente de una matriz $A=(a_{ij})$ de orden $n\times n$ asociado con el carácter ${\chi }_{\lambda }$ se define como la expresión

${\mathrm{Imm}}_{\lambda }(A)=\sum _{\sigma \in S_n}{\chi }_{\lambda }(\sigma )a_{1\sigma (1)}{a}_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}.$

Ejemplos

El determinante es un caso especial del inmanente, donde ${\chi }_{\lambda }$ es el carácter alternante $\mathrm{sgn}$, de S_n, definido por la paridad de una permutación.

El permanente es el caso donde ${\chi }_{\lambda }$ es el carácter trivial, que es idénticamente igual a 1.

Por ejemplo, para las matrices $3\times 3$, hay tres representaciones irreducibles de $S_3$, como se muestra en la tabla de caracteres:

$S_3$	$e$	$(12)$	$(123)$
${\chi }_1$	1	1	1
${\chi }_2$	1	−1	1
${\chi }_3$	2	0	−1

Como se indicó anteriormente, ${\chi }_1$ produce el permanente y ${\chi }_2$ produce el determinante, pero ${\chi }_3$ produce la operación que aplica los valores de la siguiente manera:

$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)⇝2a_{11}{a}_{22}{a}_{33}-a_{12}{a}_{23}{a}_{31}-a_{13}{a}_{21}{a}_{32}$

Propiedades

El inmanente comparte varias propiedades con el determinante y el permanente. En particular, el inmanente es multilineal en las filas y columnas de la matriz; y el inmanente es invariante ante permutaciones simultáneas de las filas o columnas por el mismo elemento del grupo simétrico.

Littlewood y Richardson estudiaron la relación del inmanente con las funciones de Schur en la teoría de la representación del grupo simétrico.

Las condiciones necesarias y suficientes para que el inmanente de una matriz de Gram sea $0$ vienen dadas por el teorema de Gamas.

Bibliografía

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