Forma multilineal

En matemáticas, dado un anillo conmutativo, una función multilineal es una función de $n$ argumentos de $n$ espacios vectoriales respectivos. Dicha función se caracteriza por respetar la suma de vectores y la multiplicación escalar en cualquiera de las coordenadas.

Definición

Sea $R$ un anillo conmutativo (por ejemplo $R=$ $ℝ$ o $R=$ $ℂ$ ) y $V_1,\dots V_n,W$ espacios vectoriales sobre $R$. Plantilla:Definición

Se puede demostrar que la colección de todas las funciones multilineales de $V_1,\dots V_n$ en $W$ es un $R$-espacio vectorial respecto a las operaciones usuales de suma y multiplicación escalar de funciones. Dicho espacio se denota por $ℳ(V_1,\dots ,V_n;W)$. Si $V_1=\cdots =V_n=V$ y $W=R$, el espacio se denota por ${ℳ}_n(V;R)$.

Funciones multilineales especiales

Sea $V$ un $R$-espacio vectorial y $f\in {ℳ}_n(V;R)$, es decir, $\underset{n\text{-veces}}{\underbrace{V\times \cdots \times V}}\stackrel{f}{⟶}R$. En álgebra abstracta a una función como $f$ se le llama tensor y el conjunto de tensores de $n$ argumentos sobre el espacio vectorial $V$ se denota por ${𝒯}_n(V)$. En otras palabras, ${𝒯}_n(V)={ℳ}_n(V;R)$.

Se puede demostrar que: Plantilla:Teorema donde $V^{*}$ denota el espacio dual, y $\otimes$ denota el producto tensorial.

Tensor simétrico

Un tensor $f\in {𝒯}_n(V)$ se dice simétrico si para cada permutación $\pi$ del grupo simétrico $S_n$ y cualquier elemento $(v_1,\dots ,v_n)\in V\times \cdots \times V$ se cumple $f(\pi (v_1),\dots ,\pi (v_n))=f(v_1,\dots ,v_n)$. El $R$-espacio vectorial de todos los tensores simétricos se denota por ${𝒮}_n(V)$ y obviamente, ${𝒮}_n(V)\subset {𝒯}_n(V)$.

Tensor antisimétrico

Un tensor $f\in {𝒯}_n(V)$ se dice antisimétrico si para cada permutación $\pi$ del grupo simétrico $S_n$ y cualquier elemento $(v_1,\dots ,v_n)\in V\times \cdots \times V$ se cumple $f(\pi (v_1),\dots ,\pi (v_n))=(-1{)}^{\pi }f(v_1,\dots ,v_n)$, donde $(-1{)}^{\pi }$ denota el signo de la permutación. El $R$-espacio vectorial de todos los tensores antisimétricos se denota por ${𝒜}_n(V)$ y obviamente, ${𝒜}_n(V)\subset {𝒯}_n(V)$.

Tensor alternado

Un tensor $f\in {𝒯}_n(V)$ se dice alternado si dado $(v_1,\dots ,v_n)\in V\times \cdots \times V$ con la particularidad de que $v_i=v_j$ para algún par de índices $i\ne j$, se tiene que $f(v_1,\dots ,v_n)=0$. El $R$-espacio vectorial de todos los tensores alternados se denota por ${𝒜L}_n(V)$ y ${𝒜L}_n(V)\subset {𝒜}_n(V)\subset {𝒯}_n(V)$, es decir, todo tensor alternado es antisimétrico. Además, cuando en el anillo conmutativo $R$ el $2$ es invertible, entonces se tiene la igualdad ${𝒜L}_n(V)={𝒜}_n(V)$, es decir, los tensores alternados son exactamente los antisimétricos.

Bibliografía

Lezama, O., Cuadernos de Álgebra, No. 4: Álgebra Lineal, SAC²: Seminario de Álgebra Constructiva, Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá. https://web.archive.org/web/20130603160516/http://www.matematicas.unal.edu.co/sac2/