Polinomios de Gegenbauer

Animación que muestra los polinomios en el plano xα para los primeros 4 valores de n

En matemáticas, los polinomios de Gegenbauer o polinomios ultraesféricos CPlantilla:Su(x) son polinomios ortogonales en el intervalo [−1,1] con respecto a la función de ponderación (1 − x²)^α–1/2. Generalizan los polinomios de Legendre y los polinomios de Chebyshov; y son casos especiales de los polinomios de Jacobi. Llevan el nombre de Leopold Gegenbauer.Plantilla:ContenidoPlantilla:Clear

Caracterizaciones

Gráfico del polinomio C n^(m)(x) de Gegenbauer con n=10 y m=1 en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con la función de Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

Hay disponibles varias caracterizaciones de los polinomios de Gegenbauer:

• Los polinomios se pueden definir en términos de su función generatriz Plantilla:Harv:

$\frac{1}{(1-2xt+t^2{)}^{\alpha }}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n^{(\alpha )}(x)t^n(0\le |x|<1,|t|\le 1,\alpha >0)$

• Los polinomios satisfacen la relación de recurrencia Plantilla:Harv:

$\begin{array}{cc}{C}_0^{(\alpha )}(x)& =1\\ C_1^{(\alpha )}(x)& =2\alpha x\\ (n+1)C_{n+1}^{(\alpha )}(x)& =2(n+\alpha )x{C}_n^{(\alpha )}(x)-(n+2\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(x).\end{array}$

• Los polinomios de Gegenbauer son soluciones particulares de la ecuación diferencial de Gegenbauer Plantilla:Harv:

$(1-x^2)y^{″}-(2\alpha +1)x{y}^{\prime }+n(n+2\alpha )y=0.$

Cuando α = 1/2, la ecuación se reduce a la ecuación de Legendre, y los polinomios de Gegenbauer se reducen a los polinomios de Legendre.

Cuando α = 1, la ecuación se reduce a la ecuación diferencial de Chebyshov, y los polinomios de Gegenbauer se reducen a los polinomios de Chebyshov de segunda clase.

• Se dan como una función hipergeométrica en ciertos casos donde la serie es de hecho finita:

$C_n^{(\alpha )}(z)=\frac{(2\alpha {)}_n}{n!}{}_2{F}_1(-n,2\alpha +n;\alpha +\frac{1}{2};\frac{1-z}{2}).$

(Abramowitz & Stegun p. 561). Aquí (2α)_n es el factorial ascendente. Explícitamente,

$C_n^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1{)}^k\frac{\mathrm{\Gamma }(n-k+\alpha )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )k!(n-2k)!}(2z{)}^{n-2k}.$

• Son casos especiales de los polinomios de Jacobi Plantilla:Harv:

$C_n^{(\alpha )}(x)=\frac{(2\alpha {)}_n}{(\alpha +\frac{1}{2}{)}_n}{P}_n^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(x).$

en el que $(\theta {)}_n$ representa el factorial ascendente de $\theta$.

Por lo tanto también se obtiene la fórmula de Rodrigues

$C_n^{(\alpha )}(x)=\frac{(-1{)}^n}{2^{n}n!}\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{1}{2})\mathrm{\Gamma }(n+2\alpha )}{\mathrm{\Gamma }(2\alpha )\mathrm{\Gamma }(\alpha +n+\frac{1}{2})}(1-x^2{)}^{-\alpha +1/2}\frac{d^n}{d{x}^n}[(1-x^2{)}^{n+\alpha -1/2}].$

Gráficos

• 
  Polinomios de Gegenbauer con α=1
• 
  Polinomios de Gegenbauer con α=2
• 
  Polinomios de Gegenbauer con α=3

Ortogonalidad y normalización

Para un α fijo, los polinomios son ortogonales en [−1, 1] con respecto a la función de ponderación (Abramowitz & Stegun /página_774.htm pág. 774)

$w(z)={(1-z^2)}^{\alpha -\frac{1}{2}}.$

A saber, para n ≠ m,

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{C}_n^{(\alpha )}(x)C_m^{(\alpha )}(x)(1-x^2{)}^{\alpha -\frac{1}{2}}dx=0.$

son normalizados por

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{[C_n^{(\alpha )}(x)]}^2(1-x^2{)}^{\alpha -\frac{1}{2}}dx=\frac{\pi 2^{1-2\alpha }\mathrm{\Gamma }(n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\mathrm{\Gamma }(\alpha ){]}^2}.$

Aplicaciones

Los polinomios de Gegenbauer aparecen naturalmente como extensiones de los polinomios de Legendre en el contexto de la teoría del potencial y del análisis armónico. El potencial newtoniano en Rⁿ tiene la expansión, válida con α = (n − 2)/2,

$\frac{1}{|𝐱-𝐲{|}^{n-2}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{|𝐱{|}^k}{|𝐲{|}^{k+n-2}}{C}_k^{(\alpha )}(\frac{𝐱\cdot 𝐲}{|𝐱||𝐲|}).$

Cuando n = 3, esto da la expansión del polinomio de Legendre del potencial gravitatorio. Expresiones similares están disponibles para la expansión del núcleo de Poisson en una bola Plantilla:Harv.

De ello se deduce que las cantidades $C_k^{((n-2)/2)}(𝐱\cdot 𝐲)$ son armónicos esféricos, cuando se consideran como una función de x solamente. Son, de hecho, exactamente los armónicos esféricos zonales, hasta una constante de normalización.

Los polinomios de Gegenbauer también aparecen en la teoría de funciones definidas positivas.

La desigualdad de Askey-Gasper se lee como

$\sum _{j=0}^n\frac{C_j^{\alpha }(x)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2\alpha +j-1}{j})}\ge 0(x\ge -1,\alpha \ge 1/4).$

En métodos espectrales para resolver ecuaciones diferenciales, si una función se expande en base a los polinomios de Chebyshov y su derivada se representa en una base de Gegenbauer/ultraesférica, entonces el operador derivado se convierte en una matriz diagonal, lo que lleva a métodos de matriz banda rápidos para problemas grandes.

Véase también

• Polinomios de Rogers, el análogo q de los polinomios de Gegenbauer
• Polinomios de Chebyshov
• Polinomios de Romanovski

Bibliografía

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 22". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.*Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Plantilla:Citation.
• Plantilla:Springer.