Interior algebraico

En análisis funcional, una rama de las matemáticas, el interior algebraico o núcleo radial de un subconjunto de un espacio vectorial es un refinamiento del concepto de interior.

Definición

Supóngase que $A$ es un subconjunto de un espacio vectorial $X.$ El interior algebraico (o núcleo radial) de $A$ con respecto a $X$ es el conjunto de todos los puntos en los que $A$ es un conjunto radial. Un punto $a_0\in A$ se llama Plantilla:Enf de $A$Plantilla:Sfn y se dice que $A$ es Plantilla:Enf si por cada $x\in X$ existe un número real $t_x>0$ tal que por cada $t\in [0,t_x],$ $a_0+tx\in A.$ Esta última condición también se puede escribir como $a_0+[0,t_x]x\subseteq A$ donde el conjunto

$a_0+[0,t_x]x:=\{a_0+tx:t\in [0,t_x]\}$

es el segmento rectilíneo (o intervalo cerrado) que comienza en $a_0$ y termina en $a_0+t_{x}x$. Este segmento es un subconjunto de $a_0+[0,\mathrm{\infty })x,$, que es el Plantilla:Enf que emana de $a_0$ en la dirección de $x$ (es decir, paralelo a/una traslación de $[0,\mathrm{\infty })x$).

Por lo tanto, geométricamente, un punto interior de un subconjunto $A$ es un punto $a_0\in A$ con la propiedad de que en cada dirección (vector) posible $x\ne 0,$ $A$ contiene algún segmento rectilíneo (no degenerado) que comienza en $a_0$ y se dirige en esa dirección (es decir, un subconjunto del rayo $a_0+[0,\mathrm{\infty })x$).

El interior algebraico de $A$ (con respecto a $X$) es el conjunto de todos esos puntos. Es decir, es el subconjunto de puntos contenidos en un conjunto dado respecto del cual los puntos del conjunto son radiales.

Si $M$ es un subespacio lineal de $X$ y $A\subseteq X$, entonces esta definición se puede generalizar al interior algebraico de $A$ con respecto a $M$ es:Plantilla:Sfn

${\mathrm{aint}}_{M}A:=\{a\in X:\text{ para todo }m\in M,\text{ existe algún }{t}_m>0\text{ tal que }a+[0,t_m]\cdot m\subseteq A\}.$

donde ${\mathrm{aint}}_{M}A\subseteq A$ siempre se cumple y si ${\mathrm{aint}}_{M}A\ne \varnothing$, entonces $M\subseteq \mathrm{aff}(A-A),$ donde $\mathrm{aff}(A-A)$ es la envolvente afín de $A-A$ (que es igual a $\mathrm{span}(A-A)$).

Cierre algebraico

Se dice que un punto $x\in X$ es Plantilla:Enf de un subconjunto $A\subseteq X$ si existe algún $a\in A$ tal que el segmento rectilíneo $[a,x):=a+[0,1)x$ esté contenido en $A.$Plantilla:Sfn. El Plantilla:Enf, indicado por ${\mathrm{acl}}_{X}A,$, consta de $A$ y todos los puntos en $X$ a los que se puede acceder linealmente desde $A.$Plantilla:Sfn.

Interior algebraico (núcleo)

En el caso especial en el que $M:=X,$, el conjunto ${\mathrm{aint}}_{X}A$ se denomina interior algebraico o núcleo de $A$ y se denota por $A^i$ o $\text{núcleo}A.$.

Formalmente, si $X$ es un espacio vectorial, entonces el interior algebraico de $A\subseteq X$ es

${\mathrm{aint}}_{X}A:=\text{núcleo}(A):=\{a\in A:\text{ para todo }x\in X,\text{ existe algún }{t}_x>0,\text{ tal que para todo }t\in [0,t_x],a+tx\in A\}.$

Si $A$ no está vacío, entonces estos subconjuntos adicionales también son útiles para los enunciados de muchos teoremas en el análisis funcional convexo (como el teorema de Ursescu):

${}^{ic}A:=\{\begin{array}{cc}{}^{i}A& \text{si }\mathrm{aff}A\text{ es un conjunto cerrado,}\\ \varnothing & \text{en caso contrario}\end{array}$

${}^{ib}A:=\{\begin{array}{cc}{}^{i}A& \text{si }\mathrm{expan}(A-a)\text{ es un subespacio lineal abarrilado de }X\text{ para cualquier/todo }a\in A\text{,}\\ \varnothing & \text{en caso contrario}\end{array}$

Si $X$ es un espacio de Fréchet, $A$ es convexo y $\mathrm{aff}A$ está cerrado en $X$, entonces ${}^{ic}A={}^{ib}A$ pero en general es posible tener ${}^{ic}A=\varnothing$ mientras ${}^{ib}A$ es Plantilla:Enf vacío.

Ejemplos

Si $A=\{x\in {ℝ}^2:x_2\ge x_1^2\text{o }{x}_2\le 0\}\subseteq {ℝ}^2$, entonces $0\in \text{núcleo}(A),$ pero $0\in ̸\mathrm{int}(A)$ y $0\in ̸\text{núcleo}(\text{núcleo}\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{)}).$

Propiedades del núcleo

Supóngase que $A,B\subseteq X.$

• En general, $\text{núcleo}A\ne \text{núcleo}(\text{núcleo}A).$ Pero si $A$ es convexo, entonces:
  • $\text{núcleo}A=\text{núcleo}(\text{núcleo}A),$ y
  • para todos los $x_0\in \text{núcleo}A,y\in A,0<\lambda \le 1$ y luego $\lambda x_0+(1-\lambda )y\in \text{núcleo}A.$
• $A$ es un subconjunto absorbente de un espacio vectorial real si y solo si $0\in \text{núcleo}(A).$
• $A+\text{núcleo}B\subseteq \text{núcleo}(A+B)$Plantilla:Sfn
• $A+\text{núcleo}B=\text{núcleo}(A+B)$ si $B=\text{núcleo}B.$Plantilla:Sfn

Tanto el núcleo como el cierre algebraico de un conjunto convexo son nuevamente convexos.Plantilla:Sfn Si $C$ es convexo, $c\in \text{núcleo}C,$ y $b\in {\mathrm{acl}}_{X}C$, entonces el segmento rectilíneo $[c,b):=c+[0,1)b$ está contenido en $\text{núcleo}C.$Plantilla:Sfn

Relación con el interior topológico

Sea $X$ un espacio vectorial topológico, $\mathrm{int}$ denota el operador interior y $A\subseteq X$. Entonces:

• $\mathrm{int}A\subseteq \text{núcleo}A$
• Si $A$ es convexo no vacío y $X$ es de dimensión finita, entonces $\mathrm{int}A=\text{núcleo}A.$Plantilla:Sfn
• Si $A$ es convexo con interior no vacío, entonces $\mathrm{int}A=\text{núcleo}A.$
• Si $A$ es un conjunto convexo cerrado y $X$ es un espacio métrico completo, entonces $\mathrm{int}A=\text{núcleo}A.$

Interior algebraico relativo

Si $M=\mathrm{aff}(A-A)$, entonces el conjunto ${\mathrm{aint}}_{M}A$ se denota por ${}^{i}A:={\mathrm{aint}}_{\mathrm{aff}(A-A)}A$ y se llama el interior algebraico relativo de $A$.Plantilla:Sfn Este nombre surge del hecho de que $a\in A^i$ si y solo si $\mathrm{aff}A=X$ y $a\in {}^{i}A$ (donde $\mathrm{aff}A=X$ si y solo si $\mathrm{aff}(A-A)=X$).

Interior relativo

Si $A$ es un subconjunto de un espacio vectorial topológico $X$, entonces el interior relativo de $A$ es el conjunto

$\mathrm{rint}A:={\mathrm{int}}_{\mathrm{aff}A}A.$

Es decir, el interior topológico de A en $\mathrm{aff}A,$ es el subespacio lineal afín más pequeño de $X$ que contiene a $A.$. El siguiente conjunto también es útil:

$\mathrm{ri}A:=\{\begin{array}{cc}\mathrm{rint}A& \text{si }\mathrm{aff}A\text{ es un subespacio cerrado de }X\text{,}\\ \varnothing & \text{en caso contrario}\end{array}$

Interior cuasi relativo

Si $A$ es un subconjunto de un espacio vectorial topológico $X$, entonces el interior cuasi relativo de $A$ es el conjunto

$\mathrm{qri}A:=\{a\in A:\overline{\mathrm{cone}}(A-a)\text{es un subespacio lineal de }X\}.$

En un espacio vectorial topológico de dimensión finita de Hausdorff, $\mathrm{qri}A={}^{i}A={}^{ic}A={}^{ib}A.$

Véase también

• Punto límite
• Interior (topología)
• Unidad de orden
• Interior cuasirrelativo
• Conjunto radial
• Interior relativo
• Teorema de Ursescu

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro