Espacio de Hausdorff

Axiomas de separación en espacios topológicos
T0
T1
T2
T2½
completamente T2
T3
T3½
T4
T5
T6

En topología, un espacio de Hausdorff, separado o $T_2$ es un espacio topológico en el que puntos distintos tienen entornos disjuntos.

Los espacios de Hausdorff se llaman así en honor de Felix Hausdorff, uno de los fundadores de la topología. La definición original de Hausdorff de un espacio topológico (de 1914) incluía la propiedad de Hausdorff como axioma.

Todo espacio métrico (y por lo tanto todo espacio normado) es un espacio de Hausdorff.

Definiciones

Se dice que dos puntos $x$ e $y$ de un espacio topológico $X$ cumplen la propiedad de Hausdorff si existen dos entornos $U_x$ de $x$ y $U_y$ de $y$ tales que $U_x\cap U_y=\varnothing$.

Se dice que un espacio topológico es un espacio de Hausdorff (o que verifica la propiedad de Hausdorff, o que es separado o que es $T_2$) si todo par de puntos distintos del espacio verifican la propiedad de Hausdorff.

(Obsérvese que si x = y, x e y no verifican la propiedad de Hausdorff.)

Principales propiedades de los Espacios de Hausdorff

• Todo espacio de Hausdorff es también de Fréchet o T₁, y por lo tanto también es un espacio T D y también un espacio de Kolmogórov o $T_0$.
• Así pues, por ser $T_1$, todo conjunto unitario es cerrado (para todo punto el conjunto formado por solo ese punto {p} es un conjunto cerrado).
• En un espacio de Hausdorff, las sucesiones convergentes convergen a un único punto.
• Los subespacios de un T₂ son T₂ (se hereda).
• Los espacios cocientes de espacios Hausdorff pueden ser no Hausdorff. De hecho, todo espacio topológico puede construirse como el cociente de espacios de Hausdorff.
• Todo espacio métrico es de Hausdorff.
• En un espacio de Hausdorff, los puntos distintos son topológicamente distinguibles.

Ejemplos y Contraejemplos

1. Todo Espacio Métrico $(X,d)$ es Hausdorff. Demostración: Para que sea Hausdorff basta con probar que para todos los puntos x e y ($x\ne y$) existen 2 abiertos $G_x$, $G_y$ ($x\in G_x,y\in G_y$) disjuntos (es decir $G_x\cap G_y=\mathrm{\varnothing }$). Esto es trivial pues los espacios métricos están dotados de una distancia (por definición) y podemos elegir abiertos tales que si $x,y\in X,$ con $d(x,y)=ϵ\Rightarrow G_x=B(x,r)\wedge G_y=B(y,r)$ donde $r=ϵ/2$, luego existen esos abiertos $G_x$,$G_y$ y claramente $G_x\cap G_y=\mathrm{\varnothing }$.
2. El conjunto de los números Reales con la topología usual $(ℝ,{\tau }_{usual})$. La demostración es igual a la anterior pues se da que la topología usual sobre $ℝ$ es la topología inducida por la distancia usual, ${\tau }_{d_{usual}}={\tau }_{usual}$.
3. Cualquier conjunto no vacío con la topología trivial $(X,{\tau }_{trivial})$ donde ${\tau }_{trivial}=\{\mathrm{\varnothing },X\}$ no es de Haussdorf, pues cualquier abierto que contenga al punto $x$ ha de ser el total, que contendrá a $y$ lo que hace imposible separarlos en abiertos disjuntos.
4. Un conjunto X con la topología discreta $(X,{\tau }_{discreta})$. Demostración: Basta con aplicar la definición de topología discreta, sabemos que en ${\tau }_{discreta}$ todo elemento $\{x\}$ con $x\in X$ es un conjunto abierto, luego se da que es totalmente disconexa, veamos si cumple Hausdorff: ¿Para todo par de puntos x,y $x\ne y$ existen dos abiertos $x\in G_x,y\in G_y$ disjuntos? Sí pues todo elemento $x\in X$ es abierto. Fin de la demostración.
5. Un conjunto no numerable $X$ con la topología conumerable $(X,{\tau }_{conumerable})$ no es Hausdorff. La topología conumerable es la siguiente: ${\tau }_{conumerable}=\{G\subseteq X:G^{c}numerable(ofinito)\}\cup \{\mathrm{\varnothing }\}$. Para que dicho espacio fuese Hausdorff tendríamos que ver que todo par de puntos $x,y$ $x\ne y$ poseen dos abiertos $x\in G_x,y\in G_y$ disjuntos. No es posible que sean disjuntos, ya que si la intersección fuese vacía, $G_x\cap G_y=\mathrm{\varnothing }\to \overline{G_x\cap G_y}=X\to \overline{G_x}\cup \overline{G_y}=X$. Esto es imposible, pues $\overline{G_x}$ y $\overline{G_y}$ son conjuntos numerables (por ser $G_x$ y $G_y$ abiertos de la topología) y su unión también es numerable, pero $X$ es no numerable, lo que contradice que los abiertos puedan ser disjuntos y por tanto convirtiendo a $(X,{\tau }_{conumerable})$ en un espacio que no es de Hausdorff.

Véase también

• Axiomas de separación
• Espacio de Kolmogórov (T₀)
• Espacio de Fréchet (T₁)
• Espacio completamente de Hausdorff
• Espacio regular (T₃)
• Espacio de Tíjonov (T_3½)
• Espacio normal
• Topología usual

Bibliografía

• Arkhangelskii, A.V., L.S. Pontryagin, General Topology I, (1990) Springer-Verlag, Berlín. Plantilla:ISBN.
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966).
• Plantilla:Springer